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Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:54:10Z

Sara.lopez.caro: /* Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el módulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);
}}
[[Archivo:tensordeformaciones.png|750px|centro|Tensor Deformaciones]]

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|700px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

[[Archivo:vonm.png|750px|thumb|right|Apartado 11]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Inicializar la matriz de Von Mises
VonMises = zeros(size(X));

% Definición de las funciones para las tensiones
M11 = @(x, y) (-6 .* y - 1) ./ 50;
M12 = @(x, y) (2 - x) / 25;
M22 = @(x, y) (-2 .* y - 3) ./ 50;

% Iterar sobre el mallado para calcular Von Mises en cada punto
for i = 1:size(Y, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construcción de la matriz de tensiones
sigma = [M11(X(i, j), Y(i, j)), M12(X(i, j), Y(i, j)), 0;
M12(X(i, j), Y(i, j)), M22(X(i, j), Y(i, j)), 0;
0, 0, (-2 .* Y(i, j) - 1) ./ 50];

% Cálculo de los autovalores de la matriz de tensiones
eigvals = eig(sigma);

% Cálculo de la tensión de Von Mises
VonMises(i, j) = sqrt(((eigvals(1) - eigvals(2))^2 + ...
(eigvals(2) - eigvals(3))^2 + ...
(eigvals(3) - eigvals(1))^2) / 2);
end
end

% Limitar la gráfica a los puntos dentro del triángulo definido por f(x)
mask = Y > f(X);
VonMises(mask) = NaN;

% Graficar los resultados en tres vistas diferentes
subplot(1, 3, 1);
surf(X, Y, VonMises);
view(2);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5]);
colorbar;
title('Plano XOY');

subplot(1, 3, 2);
surf(X, Y, VonMises);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises en 3D');
axis vis3d;

subplot(1, 3, 3);
hold on;
surf(X, Y, VonMises);
view(0, 0);
xlabel('Eje x');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Plano XOZ');
MAX = max(VonMises, [], 'all');
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX)];
text(-0.5, -0.5, MAX * 0.8, txt);
hold off;

}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actúan en la placa plana triangular, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuación de la elasticidad lineal, modelo matemático que define como los solidos deformables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relación lineal entre tensión y deformación.
Con esta teoría se asume que el solido es isótropo y homogéneo, es decir que tiene las mismas características mecánicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento: <center><math>\vec{F}=-∇·σ</math></center>

Recordando σ del apartado 9, se calcula el campo de fuerzas pedido con el siguiente comando:
[[Archivo:Campodefuerzas.png|350px|thumb|right|campodefuerzas]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

F1 = (-3*Y)/25 - 1/25 + (4*(2 - X))/25;
F2 = (4*(2 - X))/25 + (-Y - 2)/25;
[div_x1, div_y_1] = gradient(F1, x, y);
[div_2x, div_2y] = gradient(F2, x, y);
divergencia = div_x1 + div_2y;
Fx = -divergencia;
Fy = -divergencia;
Fuerza = sqrt(Fx.^2 + Fy.^2);
max_F = max(Fuerza(:));
figure;
quiver(X, Y, Fx, Fy);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Fuerza en la presa triangular');
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por: <center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>
Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:Campodefuerzas.png

2024-12-09T17:53:47Z

Sara.lopez.caro:

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:53:01Z

Sara.lopez.caro: /* Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el módulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);
}}
[[Archivo:tensordeformaciones.png|750px|centro|Tensor Deformaciones]]

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|700px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

[[Archivo:vonm.png|750px|thumb|right|Apartado 11]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Inicializar la matriz de Von Mises
VonMises = zeros(size(X));

% Definición de las funciones para las tensiones
M11 = @(x, y) (-6 .* y - 1) ./ 50;
M12 = @(x, y) (2 - x) / 25;
M22 = @(x, y) (-2 .* y - 3) ./ 50;

% Iterar sobre el mallado para calcular Von Mises en cada punto
for i = 1:size(Y, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construcción de la matriz de tensiones
sigma = [M11(X(i, j), Y(i, j)), M12(X(i, j), Y(i, j)), 0;
M12(X(i, j), Y(i, j)), M22(X(i, j), Y(i, j)), 0;
0, 0, (-2 .* Y(i, j) - 1) ./ 50];

% Cálculo de los autovalores de la matriz de tensiones
eigvals = eig(sigma);

% Cálculo de la tensión de Von Mises
VonMises(i, j) = sqrt(((eigvals(1) - eigvals(2))^2 + ...
(eigvals(2) - eigvals(3))^2 + ...
(eigvals(3) - eigvals(1))^2) / 2);
end
end

% Limitar la gráfica a los puntos dentro del triángulo definido por f(x)
mask = Y > f(X);
VonMises(mask) = NaN;

% Graficar los resultados en tres vistas diferentes
subplot(1, 3, 1);
surf(X, Y, VonMises);
view(2);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5]);
colorbar;
title('Plano XOY');

subplot(1, 3, 2);
surf(X, Y, VonMises);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises en 3D');
axis vis3d;

subplot(1, 3, 3);
hold on;
surf(X, Y, VonMises);
view(0, 0);
xlabel('Eje x');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Plano XOZ');
MAX = max(VonMises, [], 'all');
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX)];
text(-0.5, -0.5, MAX * 0.8, txt);
hold off;

}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actúan en la placa plana triangular, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuación de la elasticidad lineal, modelo matemático que define como los solidos deformables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relación lineal entre tensión y deformación.
Con esta teoría se asume que el solido es isótropo y homogéneo, es decir que tiene las mismas características mecánicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento: <center><math>\vec{F}=-∇·σ</math></center>

Recordando σ del apartado 9, se calcula el campo de fuerzas pedido con el siguiente comando:
[[Archivo:Campodefuerzas.png|650px|thumb|right|campodefuerzas]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

F1 = (-3*Y)/25 - 1/25 + (4*(2 - X))/25;
F2 = (4*(2 - X))/25 + (-Y - 2)/25;
[div_x1, div_y_1] = gradient(F1, x, y);
[div_2x, div_2y] = gradient(F2, x, y);
divergencia = div_x1 + div_2y;
Fx = -divergencia;
Fy = -divergencia;
Fuerza = sqrt(Fx.^2 + Fy.^2);
max_F = max(Fuerza(:));
figure;
quiver(X, Y, Fx, Fy);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Fuerza en la presa triangular');
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por: <center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>
Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:52:08Z

Sara.lopez.caro: /* Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el módulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);
}}
[[Archivo:tensordeformaciones.png|750px|centro|Tensor Deformaciones]]

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|700px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

[[Archivo:vonm.png|750px|thumb|right|Apartado 11]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Inicializar la matriz de Von Mises
VonMises = zeros(size(X));

% Definición de las funciones para las tensiones
M11 = @(x, y) (-6 .* y - 1) ./ 50;
M12 = @(x, y) (2 - x) / 25;
M22 = @(x, y) (-2 .* y - 3) ./ 50;

% Iterar sobre el mallado para calcular Von Mises en cada punto
for i = 1:size(Y, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construcción de la matriz de tensiones
sigma = [M11(X(i, j), Y(i, j)), M12(X(i, j), Y(i, j)), 0;
M12(X(i, j), Y(i, j)), M22(X(i, j), Y(i, j)), 0;
0, 0, (-2 .* Y(i, j) - 1) ./ 50];

% Cálculo de los autovalores de la matriz de tensiones
eigvals = eig(sigma);

% Cálculo de la tensión de Von Mises
VonMises(i, j) = sqrt(((eigvals(1) - eigvals(2))^2 + ...
(eigvals(2) - eigvals(3))^2 + ...
(eigvals(3) - eigvals(1))^2) / 2);
end
end

% Limitar la gráfica a los puntos dentro del triángulo definido por f(x)
mask = Y > f(X);
VonMises(mask) = NaN;

% Graficar los resultados en tres vistas diferentes
subplot(1, 3, 1);
surf(X, Y, VonMises);
view(2);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5]);
colorbar;
title('Plano XOY');

subplot(1, 3, 2);
surf(X, Y, VonMises);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises en 3D');
axis vis3d;

subplot(1, 3, 3);
hold on;
surf(X, Y, VonMises);
view(0, 0);
xlabel('Eje x');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Plano XOZ');
MAX = max(VonMises, [], 'all');
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX)];
text(-0.5, -0.5, MAX * 0.8, txt);
hold off;

}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actúan en la placa plana triangular, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuación de la elasticidad lineal, modelo matemático que define como los solidos deformables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relación lineal entre tensión y deformación.
Con esta teoría se asume que el solido es isótropo y homogéneo, es decir que tiene las mismas características mecánicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento: <center><math>\vec{F}=-∇·σ</math></center>

Recordando σ del apartado 9, se calcula el campo de fuerzas pedido con el siguiente comando:

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

F1 = (-3*Y)/25 - 1/25 + (4*(2 - X))/25;
F2 = (4*(2 - X))/25 + (-Y - 2)/25;
[div_x1, div_y_1] = gradient(F1, x, y);
[div_2x, div_2y] = gradient(F2, x, y);
divergencia = div_x1 + div_2y;
Fx = -divergencia;
Fy = -divergencia;
Fuerza = sqrt(Fx.^2 + Fy.^2);
max_F = max(Fuerza(:));
figure;
quiver(X, Y, Fx, Fy);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Fuerza en la presa triangular');
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por: <center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>
Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:50:15Z

Sara.lopez.caro: /* Campo de fuerzas \vec{F} */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el módulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);
}}
[[Archivo:tensordeformaciones.png|750px|centro|Tensor Deformaciones]]

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|700px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

[[Archivo:vonm.png|750px|thumb|right|Apartado 11]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Inicializar la matriz de Von Mises
VonMises = zeros(size(X));

% Definición de las funciones para las tensiones
M11 = @(x, y) (-6 .* y - 1) ./ 50;
M12 = @(x, y) (2 - x) / 25;
M22 = @(x, y) (-2 .* y - 3) ./ 50;

% Iterar sobre el mallado para calcular Von Mises en cada punto
for i = 1:size(Y, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construcción de la matriz de tensiones
sigma = [M11(X(i, j), Y(i, j)), M12(X(i, j), Y(i, j)), 0;
M12(X(i, j), Y(i, j)), M22(X(i, j), Y(i, j)), 0;
0, 0, (-2 .* Y(i, j) - 1) ./ 50];

% Cálculo de los autovalores de la matriz de tensiones
eigvals = eig(sigma);

% Cálculo de la tensión de Von Mises
VonMises(i, j) = sqrt(((eigvals(1) - eigvals(2))^2 + ...
(eigvals(2) - eigvals(3))^2 + ...
(eigvals(3) - eigvals(1))^2) / 2);
end
end

% Limitar la gráfica a los puntos dentro del triángulo definido por f(x)
mask = Y > f(X);
VonMises(mask) = NaN;

% Graficar los resultados en tres vistas diferentes
subplot(1, 3, 1);
surf(X, Y, VonMises);
view(2);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5]);
colorbar;
title('Plano XOY');

subplot(1, 3, 2);
surf(X, Y, VonMises);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises en 3D');
axis vis3d;

subplot(1, 3, 3);
hold on;
surf(X, Y, VonMises);
view(0, 0);
xlabel('Eje x');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Plano XOZ');
MAX = max(VonMises, [], 'all');
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX)];
text(-0.5, -0.5, MAX * 0.8, txt);
hold off;

}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actúan en la placa plana triangular, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuación de la elasticidad lineal, modelo matemático que define como los solidos deformables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relación lineal entre tensión y deformación.
Con esta teoría se asume que el solido es isótropo y homogéneo, es decir que tiene las mismas características mecánicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento: <center><math>\vec{F}=-∇·σ</math></center>

Recordando σ del apartado 9, se calcula el campo de fuerzas pedido con el siguiente comando:

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

F1 = (-3*Y)/25 - 1/25 + (4*(2 - X))/25;
F2 = (4*(2 - X))/25 + (-Y - 2)/25;
[div_x1, div_y_1] = gradient(F1, x, y);
[div_2x, div_2y] = gradient(F2, x, y);
divergencia = div_x1 + div_2y;
F_x = -divergencia;
F_y = -divergencia;
Fuerza = sqrt(F_x.^2 + F_y.^2);
max_F = max(Fuerza(:));

% Configuración de la gráfica
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Fuerza en la región triangular');
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por: <center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>
Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:49:52Z

Sara.lopez.caro: /* Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el módulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);
}}
[[Archivo:tensordeformaciones.png|750px|centro|Tensor Deformaciones]]

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|700px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

[[Archivo:vonm.png|750px|thumb|right|Apartado 11]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Inicializar la matriz de Von Mises
VonMises = zeros(size(X));

% Definición de las funciones para las tensiones
M11 = @(x, y) (-6 .* y - 1) ./ 50;
M12 = @(x, y) (2 - x) / 25;
M22 = @(x, y) (-2 .* y - 3) ./ 50;

% Iterar sobre el mallado para calcular Von Mises en cada punto
for i = 1:size(Y, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construcción de la matriz de tensiones
sigma = [M11(X(i, j), Y(i, j)), M12(X(i, j), Y(i, j)), 0;
M12(X(i, j), Y(i, j)), M22(X(i, j), Y(i, j)), 0;
0, 0, (-2 .* Y(i, j) - 1) ./ 50];

% Cálculo de los autovalores de la matriz de tensiones
eigvals = eig(sigma);

% Cálculo de la tensión de Von Mises
VonMises(i, j) = sqrt(((eigvals(1) - eigvals(2))^2 + ...
(eigvals(2) - eigvals(3))^2 + ...
(eigvals(3) - eigvals(1))^2) / 2);
end
end

% Limitar la gráfica a los puntos dentro del triángulo definido por f(x)
mask = Y > f(X);
VonMises(mask) = NaN;

% Graficar los resultados en tres vistas diferentes
subplot(1, 3, 1);
surf(X, Y, VonMises);
view(2);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5]);
colorbar;
title('Plano XOY');

subplot(1, 3, 2);
surf(X, Y, VonMises);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises en 3D');
axis vis3d;

subplot(1, 3, 3);
hold on;
surf(X, Y, VonMises);
view(0, 0);
xlabel('Eje x');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Plano XOZ');
MAX = max(VonMises, [], 'all');
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX)];
text(-0.5, -0.5, MAX * 0.8, txt);
hold off;

}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

F1 = (-3*Y)/25 - 1/25 + (4*(2 - X))/25;
F2 = (4*(2 - X))/25 + (-Y - 2)/25;
[div_x1, div_y_1] = gradient(F1, x, y);
[div_2x, div_2y] = gradient(F2, x, y);
divergencia = div_x1 + div_2y;
F_x = -divergencia;
F_y = -divergencia;
Fuerza = sqrt(F_x.^2 + F_y.^2);
max_F = max(Fuerza(:));

% Configuración de la gráfica
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Fuerza en la región triangular');
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por: <center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>
Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:44:44Z

Sara.lopez.caro: /* Calculo de la Masa */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el módulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);
}}
[[Archivo:tensordeformaciones.png|750px|centro|Tensor Deformaciones]]

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|700px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

[[Archivo:vonm.png|750px|thumb|right|Apartado 11]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Inicializar la matriz de Von Mises
VonMises = zeros(size(X));

% Definición de las funciones para las tensiones
M11 = @(x, y) (-6 .* y - 1) ./ 50;
M12 = @(x, y) (2 - x) / 25;
M22 = @(x, y) (-2 .* y - 3) ./ 50;

% Iterar sobre el mallado para calcular Von Mises en cada punto
for i = 1:size(Y, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construcción de la matriz de tensiones
sigma = [M11(X(i, j), Y(i, j)), M12(X(i, j), Y(i, j)), 0;
M12(X(i, j), Y(i, j)), M22(X(i, j), Y(i, j)), 0;
0, 0, (-2 .* Y(i, j) - 1) ./ 50];

% Cálculo de los autovalores de la matriz de tensiones
eigvals = eig(sigma);

% Cálculo de la tensión de Von Mises
VonMises(i, j) = sqrt(((eigvals(1) - eigvals(2))^2 + ...
(eigvals(2) - eigvals(3))^2 + ...
(eigvals(3) - eigvals(1))^2) / 2);
end
end

% Limitar la gráfica a los puntos dentro del triángulo definido por f(x)
mask = Y > f(X);
VonMises(mask) = NaN;

% Graficar los resultados en tres vistas diferentes
subplot(1, 3, 1);
surf(X, Y, VonMises);
view(2);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5]);
colorbar;
title('Plano XOY');

subplot(1, 3, 2);
surf(X, Y, VonMises);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises en 3D');
axis vis3d;

subplot(1, 3, 3);
hold on;
surf(X, Y, VonMises);
view(0, 0);
xlabel('Eje x');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Plano XOZ');
MAX = max(VonMises, [], 'all');
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX)];
text(-0.5, -0.5, MAX * 0.8, txt);
hold off;

}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actúan en la placa plana triangular, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuación de la elasticidad lineal, modelo matemático que define como los solidos deformables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relación lineal entre tensión y deformación.
Con esta teoría se asume que el solido es isótropo y homogéneo, es decir que tiene las mismas características mecánicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento: <center><math>\vec{F}=-∇·σ</math></center>

Recordando σ del apartado 9, se calcula el campo de fuerzas pedido con el siguiente comando:

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

F1 = (-3*Y)/25 - 1/25 + (4*(2 - X))/25;
F2 = (4*(2 - X))/25 + (-Y - 2)/25;
[div_x1, div_y_1] = gradient(F1, x, y);
[div_2x, div_2y] = gradient(F2, x, y);
divergencia = div_x1 + div_2y;
F_x = -divergencia;
F_y = -divergencia;
Fuerza = sqrt(F_x.^2 + F_y.^2);
max_F = max(Fuerza(:));

% Configuración de la gráfica
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Fuerza en la región triangular');
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por: <center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>
Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:43:37Z

Sara.lopez.caro: /* Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el módulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);
}}
[[Archivo:tensordeformaciones.png|750px|centro|Tensor Deformaciones]]

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|700px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

[[Archivo:vonm.png|750px|thumb|right|Apartado 11]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Inicializar la matriz de Von Mises
VonMises = zeros(size(X));

% Definición de las funciones para las tensiones
M11 = @(x, y) (-6 .* y - 1) ./ 50;
M12 = @(x, y) (2 - x) / 25;
M22 = @(x, y) (-2 .* y - 3) ./ 50;

% Iterar sobre el mallado para calcular Von Mises en cada punto
for i = 1:size(Y, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construcción de la matriz de tensiones
sigma = [M11(X(i, j), Y(i, j)), M12(X(i, j), Y(i, j)), 0;
M12(X(i, j), Y(i, j)), M22(X(i, j), Y(i, j)), 0;
0, 0, (-2 .* Y(i, j) - 1) ./ 50];

% Cálculo de los autovalores de la matriz de tensiones
eigvals = eig(sigma);

% Cálculo de la tensión de Von Mises
VonMises(i, j) = sqrt(((eigvals(1) - eigvals(2))^2 + ...
(eigvals(2) - eigvals(3))^2 + ...
(eigvals(3) - eigvals(1))^2) / 2);
end
end

% Limitar la gráfica a los puntos dentro del triángulo definido por f(x)
mask = Y > f(X);
VonMises(mask) = NaN;

% Graficar los resultados en tres vistas diferentes
subplot(1, 3, 1);
surf(X, Y, VonMises);
view(2);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5]);
colorbar;
title('Plano XOY');

subplot(1, 3, 2);
surf(X, Y, VonMises);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises en 3D');
axis vis3d;

subplot(1, 3, 3);
hold on;
surf(X, Y, VonMises);
view(0, 0);
xlabel('Eje x');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Plano XOZ');
MAX = max(VonMises, [], 'all');
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX)];
text(-0.5, -0.5, MAX * 0.8, txt);
hold off;

}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actúan en la placa plana triangular, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuación de la elasticidad lineal, modelo matemático que define como los solidos deformables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relación lineal entre tensión y deformación.
Con esta teoría se asume que el solido es isótropo y homogéneo, es decir que tiene las mismas características mecánicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento: <center><math>\vec{F}=-∇·σ</math></center>

Recordando σ del apartado 9, se calcula el campo de fuerzas pedido con el siguiente comando:

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

F1 = (-3*Y)/25 - 1/25 + (4*(2 - X))/25;
F2 = (4*(2 - X))/25 + (-Y - 2)/25;
[div_x1, div_y_1] = gradient(F1, x, y);
[div_2x, div_2y] = gradient(F2, x, y);
divergencia = div_x1 + div_2y;
F_x = -divergencia;
F_y = -divergencia;
Fuerza = sqrt(F_x.^2 + F_y.^2);
max_F = max(Fuerza(:));

% Configuración de la gráfica
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Fuerza en la región triangular');
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:41:52Z

Sara.lopez.caro: /* Campo de fuerzas \vec{F} */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el módulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);
}}
[[Archivo:tensordeformaciones.png|750px|centro|Tensor Deformaciones]]

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|700px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

[[Archivo:vonm.png|750px|thumb|right|Apartado 11]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Inicializar la matriz de Von Mises
VonMises = zeros(size(X));

% Definición de las funciones para las tensiones
M11 = @(x, y) (-6 .* y - 1) ./ 50;
M12 = @(x, y) (2 - x) / 25;
M22 = @(x, y) (-2 .* y - 3) ./ 50;

% Iterar sobre el mallado para calcular Von Mises en cada punto
for i = 1:size(Y, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construcción de la matriz de tensiones
sigma = [M11(X(i, j), Y(i, j)), M12(X(i, j), Y(i, j)), 0;
M12(X(i, j), Y(i, j)), M22(X(i, j), Y(i, j)), 0;
0, 0, (-2 .* Y(i, j) - 1) ./ 50];

% Cálculo de los autovalores de la matriz de tensiones
eigvals = eig(sigma);

% Cálculo de la tensión de Von Mises
VonMises(i, j) = sqrt(((eigvals(1) - eigvals(2))^2 + ...
(eigvals(2) - eigvals(3))^2 + ...
(eigvals(3) - eigvals(1))^2) / 2);
end
end

% Limitar la gráfica a los puntos dentro del triángulo definido por f(x)
mask = Y > f(X);
VonMises(mask) = NaN;

% Graficar los resultados en tres vistas diferentes
subplot(1, 3, 1);
surf(X, Y, VonMises);
view(2);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5]);
colorbar;
title('Plano XOY');

subplot(1, 3, 2);
surf(X, Y, VonMises);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises en 3D');
axis vis3d;

subplot(1, 3, 3);
hold on;
surf(X, Y, VonMises);
view(0, 0);
xlabel('Eje x');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Plano XOZ');
MAX = max(VonMises, [], 'all');
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX)];
text(-0.5, -0.5, MAX * 0.8, txt);
hold off;

}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la placa plana triangular, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento: <center><math>\vec{F}=-∇·σ</math></center>

Recordando σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} del apartado 9, se calcula el campo de fuerzas pedido con el siguiente comando:

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

F1 = (-3*Y)/25 - 1/25 + (4*(2 - X))/25;
F2 = (4*(2 - X))/25 + (-Y - 2)/25;
[div_x1, div_y_1] = gradient(F1, x, y);
[div_2x, div_2y] = gradient(F2, x, y);
divergencia = div_x1 + div_2y;
F_x = -divergencia;
F_y = -divergencia;
Fuerza = sqrt(F_x.^2 + F_y.^2);
max_F = max(Fuerza(:));

% Configuración de la gráfica
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Fuerza en la región triangular');
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:40:50Z

Sara.lopez.caro: /* Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el módulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);
}}
[[Archivo:tensordeformaciones.png|750px|centro|Tensor Deformaciones]]

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|700px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

[[Archivo:vonm.png|750px|thumb|right|Apartado 11]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Inicializar la matriz de Von Mises
VonMises = zeros(size(X));

% Definición de las funciones para las tensiones
M11 = @(x, y) (-6 .* y - 1) ./ 50;
M12 = @(x, y) (2 - x) / 25;
M22 = @(x, y) (-2 .* y - 3) ./ 50;

% Iterar sobre el mallado para calcular Von Mises en cada punto
for i = 1:size(Y, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construcción de la matriz de tensiones
sigma = [M11(X(i, j), Y(i, j)), M12(X(i, j), Y(i, j)), 0;
M12(X(i, j), Y(i, j)), M22(X(i, j), Y(i, j)), 0;
0, 0, (-2 .* Y(i, j) - 1) ./ 50];

% Cálculo de los autovalores de la matriz de tensiones
eigvals = eig(sigma);

% Cálculo de la tensión de Von Mises
VonMises(i, j) = sqrt(((eigvals(1) - eigvals(2))^2 + ...
(eigvals(2) - eigvals(3))^2 + ...
(eigvals(3) - eigvals(1))^2) / 2);
end
end

% Limitar la gráfica a los puntos dentro del triángulo definido por f(x)
mask = Y > f(X);
VonMises(mask) = NaN;

% Graficar los resultados en tres vistas diferentes
subplot(1, 3, 1);
surf(X, Y, VonMises);
view(2);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5]);
colorbar;
title('Plano XOY');

subplot(1, 3, 2);
surf(X, Y, VonMises);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises en 3D');
axis vis3d;

subplot(1, 3, 3);
hold on;
surf(X, Y, VonMises);
view(0, 0);
xlabel('Eje x');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Plano XOZ');
MAX = max(VonMises, [], 'all');
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX)];
text(-0.5, -0.5, MAX * 0.8, txt);
hold off;

}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la placa plana triangular, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento: <center><math>\vec{F}=-∇·σ</math></center>

Recordando σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} del apartado 9, se calcula el campo de fuerzas pedido con el siguiente comando:

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ==

{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = 0:h:2;
y = 0:h:3;

% Malla de puntos (X, Y)
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Función límite para definir la región válida
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

%Definición de F
F1 = (-3*Y)/25 - 1/25 + (4*(2 - X))/25;
F2 = (4*(2 - X))/25 + (-Y - 2)/25;
[div_x1, div_y_1] = gradient(F1, x, y);
[div_2x, div_2y] = gradient(F2, x, y);
divergencia = div_x1 + div_2y;
F_x = -divergencia;
F_y = -divergencia;
Fuerza = sqrt(F_x.^2 + F_y.^2);
max_F = max(Fuerza(:));

% Configuración de la gráfica
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Fuerza en la región triangular');
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:32:23Z

Sara.lopez.caro: /* Tensiones de Von Mises */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el módulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);
}}
[[Archivo:tensordeformaciones.png|750px|centro|Tensor Deformaciones]]

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|700px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:vonm.png|750px|thumb|right|Apartado 11]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Inicializar la matriz de Von Mises
VonMises = zeros(size(X));

% Definición de las funciones para las tensiones
M11 = @(x, y) (-6 .* y - 1) ./ 50;
M12 = @(x, y) (2 - x) / 25;
M22 = @(x, y) (-2 .* y - 3) ./ 50;

% Iterar sobre el mallado para calcular Von Mises en cada punto
for i = 1:size(Y, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construcción de la matriz de tensiones
sigma = [M11(X(i, j), Y(i, j)), M12(X(i, j), Y(i, j)), 0;
M12(X(i, j), Y(i, j)), M22(X(i, j), Y(i, j)), 0;
0, 0, (-2 .* Y(i, j) - 1) ./ 50];

% Cálculo de los autovalores de la matriz de tensiones
eigvals = eig(sigma);

% Cálculo de la tensión de Von Mises
VonMises(i, j) = sqrt(((eigvals(1) - eigvals(2))^2 + ...
(eigvals(2) - eigvals(3))^2 + ...
(eigvals(3) - eigvals(1))^2) / 2);
end
end

% Limitar la gráfica a los puntos dentro del triángulo definido por f(x)
mask = Y > f(X);
VonMises(mask) = NaN;

% Graficar los resultados en tres vistas diferentes
subplot(1, 3, 1);
surf(X, Y, VonMises);
view(2);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5]);
colorbar;
title('Plano XOY');

subplot(1, 3, 2);
surf(X, Y, VonMises);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises en 3D');
axis vis3d;

subplot(1, 3, 3);
hold on;
surf(X, Y, VonMises);
view(0, 0);
xlabel('Eje x');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Plano XOZ');
MAX = max(VonMises, [], 'all');
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX)];
text(-0.5, -0.5, MAX * 0.8, txt);
hold off;

}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:32:00Z

Sara.lopez.caro: /* Tensiones Tangenciales */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el módulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);
}}
[[Archivo:tensordeformaciones.png|750px|centro|Tensor Deformaciones]]

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|700px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:vonm.png|450px|thumb|right|Apartado 11]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Inicializar la matriz de Von Mises
VonMises = zeros(size(X));

% Definición de las funciones para las tensiones
M11 = @(x, y) (-6 .* y - 1) ./ 50;
M12 = @(x, y) (2 - x) / 25;
M22 = @(x, y) (-2 .* y - 3) ./ 50;

% Iterar sobre el mallado para calcular Von Mises en cada punto
for i = 1:size(Y, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construcción de la matriz de tensiones
sigma = [M11(X(i, j), Y(i, j)), M12(X(i, j), Y(i, j)), 0;
M12(X(i, j), Y(i, j)), M22(X(i, j), Y(i, j)), 0;
0, 0, (-2 .* Y(i, j) - 1) ./ 50];

% Cálculo de los autovalores de la matriz de tensiones
eigvals = eig(sigma);

% Cálculo de la tensión de Von Mises
VonMises(i, j) = sqrt(((eigvals(1) - eigvals(2))^2 + ...
(eigvals(2) - eigvals(3))^2 + ...
(eigvals(3) - eigvals(1))^2) / 2);
end
end

% Limitar la gráfica a los puntos dentro del triángulo definido por f(x)
mask = Y > f(X);
VonMises(mask) = NaN;

% Graficar los resultados en tres vistas diferentes
subplot(1, 3, 1);
surf(X, Y, VonMises);
view(2);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5]);
colorbar;
title('Plano XOY');

subplot(1, 3, 2);
surf(X, Y, VonMises);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises en 3D');
axis vis3d;

subplot(1, 3, 3);
hold on;
surf(X, Y, VonMises);
view(0, 0);
xlabel('Eje x');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Plano XOZ');
MAX = max(VonMises, [], 'all');
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX)];
text(-0.5, -0.5, MAX * 0.8, txt);
hold off;

}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:30:53Z

Sara.lopez.caro: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el módulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);
}}
[[Archivo:tensordeformaciones.png|750px|centro|Tensor Deformaciones]]

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|400px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:TVM.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.Apartado 11]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Inicializar la matriz de Von Mises
VonMises = zeros(size(X));

% Definición de las funciones para las tensiones
M11 = @(x, y) (-6 .* y - 1) ./ 50;
M12 = @(x, y) (2 - x) / 25;
M22 = @(x, y) (-2 .* y - 3) ./ 50;

% Iterar sobre el mallado para calcular Von Mises en cada punto
for i = 1:size(Y, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construcción de la matriz de tensiones
sigma = [M11(X(i, j), Y(i, j)), M12(X(i, j), Y(i, j)), 0;
M12(X(i, j), Y(i, j)), M22(X(i, j), Y(i, j)), 0;
0, 0, (-2 .* Y(i, j) - 1) ./ 50];

% Cálculo de los autovalores de la matriz de tensiones
eigvals = eig(sigma);

% Cálculo de la tensión de Von Mises
VonMises(i, j) = sqrt(((eigvals(1) - eigvals(2))^2 + ...
(eigvals(2) - eigvals(3))^2 + ...
(eigvals(3) - eigvals(1))^2) / 2);
end
end

% Limitar la gráfica a los puntos dentro del triángulo definido por f(x)
mask = Y > f(X);
VonMises(mask) = NaN;

% Graficar los resultados en tres vistas diferentes
subplot(1, 3, 1);
surf(X, Y, VonMises);
view(2);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5]);
colorbar;
title('Plano XOY');

subplot(1, 3, 2);
surf(X, Y, VonMises);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises en 3D');
axis vis3d;

subplot(1, 3, 3);
hold on;
surf(X, Y, VonMises);
view(0, 0);
xlabel('Eje x');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Plano XOZ');
MAX = max(VonMises, [], 'all');
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX)];
text(-0.5, -0.5, MAX * 0.8, txt);
hold off;

}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:30:27Z

Sara.lopez.caro: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el módulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);
[[Archivo:tensordeformaciones.png|750px|centro|Tensor Deformaciones]]
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|400px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:Tensordeformaciones.png

2024-12-09T17:28:48Z

Sara.lopez.caro:

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:28:24Z

Sara.lopez.caro: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el módulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensordeformaciones.png|thumb|450px|right|Tensor Deformaciones]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);

}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|400px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:26:13Z

Sara.lopez.caro: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el módulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);

}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|400px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:25:58Z

Sara.lopez.caro: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el modulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);

}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|400px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:22:32Z

Sara.lopez.caro: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el modulo:
<math>|\nabla \times \vec{u}|</math> = <math> \frac {2-x}{25} </math>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);

}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|400px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:22:16Z

Sara.lopez.caro: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el modulo:
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);

}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|400px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:20:12Z

Sara.lopez.caro: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);

}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|400px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:19:42Z

Sara.lopez.caro: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right |<math>

[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);

}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|400px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:19:08Z

Sara.lopez.caro: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right <math>

[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);

}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|400px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:18:14Z

Sara.lopez.caro: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | =\\frac{-2(2-x)}{50} </math>.

[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);

}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|400px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:17:42Z

Sara.lopez.caro: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | =\left \frac{-2(2-x)}{50} \right </math>.

[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);

}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|400px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:15:24Z

Sara.lopez.caro: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);

}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|400px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:Rotacionalpresatriangular.png

2024-12-09T17:08:13Z

Sara.lopez.caro:

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:07:51Z

Sara.lopez.caro: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);

}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|400px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:05:00Z

Sara.lopez.caro: /* Divergencia del Vector U */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);

}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|400px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T17:03:23Z

Sara.lopez.caro: /* Divergencia del Vector U */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);

}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|400px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T16:55:02Z

Sara.lopez.caro: /* Divergencia del Vector U */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);

}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.
\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{i}-\left( \overrightarrow{i} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{i} \right) \overrightarrow{i} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
\frac{4 -2x}{50}
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{4\ -2x}{50}| \\
&=&\frac{4\ -2x}{50}
\end{eqnarray*}
]
[[Archivo:TANG.png|400px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:Divergenciapresatriangular.png

2024-12-09T16:54:26Z

Sara.lopez.caro:

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T16:53:56Z

Sara.lopez.caro: /* Divergencia del Vector U */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);

}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.
\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{i}-\left( \overrightarrow{i} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{i} \right) \overrightarrow{i} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
\frac{4 -2x}{50}
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{4\ -2x}{50}| \\
&=&\frac{4\ -2x}{50}
\end{eqnarray*}
[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
h = 1/10; % Paso de muestreo
x1 = 0:h:2; % Eje x
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y1 = 0:h:max(f(x1));
% Crear el mallado
[Mx, My] = meshgrid(x1, y1);
My(My > f(Mx)) = NaN;
tang=(2-Mx)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T16:53:13Z

Sara.lopez.caro: /* Divergencia del Vector U */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>
[[Archivo:Divergencia.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.
\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{i}-\left( \overrightarrow{i} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{i} \right) \overrightarrow{i} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
\frac{4 -2x}{50}
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{4\ -2x}{50}| \\
&=&\frac{4\ -2x}{50}
\end{eqnarray*}
[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
h = 1/10; % Paso de muestreo
x1 = 0:h:2; % Eje x
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y1 = 0:h:max(f(x1));
% Crear el mallado
[Mx, My] = meshgrid(x1, y1);
My(My > f(Mx)) = NaN;
tang=(2-Mx)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T16:33:09Z

Sara.lopez.caro: /* Divergencia del Vector U */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.
\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{i}-\left( \overrightarrow{i} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{i} \right) \overrightarrow{i} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
\frac{4 -2x}{50}
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{4\ -2x}{50}| \\
&=&\frac{4\ -2x}{50}
\end{eqnarray*}
[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T16:32:28Z

Sara.lopez.caro: /* Divergencia del Vector U */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
[[Archivo:divergencia.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]

El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.
\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{i}-\left( \overrightarrow{i} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{i} \right) \overrightarrow{i} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
\frac{4 -2x}{50}
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{4\ -2x}{50}| \\
&=&\frac{4\ -2x}{50}
\end{eqnarray*}
[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T16:31:19Z

Sara.lopez.caro: /* Divergencia del Vector U */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

[[Archivo:divergencia.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]
En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.
\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{i}-\left( \overrightarrow{i} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{i} \right) \overrightarrow{i} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
\frac{4 -2x}{50}
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{4\ -2x}{50}| \\
&=&\frac{4\ -2x}{50}
\end{eqnarray*}
[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50 </math>

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50 </math>

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50 </math>
[[Archivo:Apartado 11.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura.TVM]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T08:43:01Z

Sara.lopez.caro: /* Después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

[[Archivo:Divergencia mire.jpg|thumb|450px|miniatura|derecha|Divergencia mire]]
En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.
\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{i}-\left( \overrightarrow{i} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{i} \right) \overrightarrow{i} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
\frac{4 -2x}{50}
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{4\ -2x}{50}| \\
&=&\frac{4\ -2x}{50}
\end{eqnarray*}

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')

[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

[[Archivo: Mallado XOY.jpg|650px|miniaturadeimagen|center|Figura 15.Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T08:41:03Z

Sara.lopez.caro: /* Después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

[[Archivo:Divergencia mire.jpg|thumb|450px|miniatura|derecha|Divergencia mire]]
En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.
\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{i}-\left( \overrightarrow{i} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{i} \right) \overrightarrow{i} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
\frac{4 -2x}{50}
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{4\ -2x}{50}| \\
&=&\frac{4\ -2x}{50}
\end{eqnarray*}

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')

[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

[[Archivo: Mallado XOY.jpg|650px|miniaturadeimagen|center|Figura 15.Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T08:40:33Z

Sara.lopez.caro: /* Después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|650px|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

[[Archivo:Divergencia mire.jpg|thumb|450px|miniatura|derecha|Divergencia mire]]
En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.
\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{i}-\left( \overrightarrow{i} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{i} \right) \overrightarrow{i} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
\frac{4 -2x}{50}
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{4\ -2x}{50}| \\
&=&\frac{4\ -2x}{50}
\end{eqnarray*}

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')

[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

[[Archivo: Mallado XOY.jpg|650px|miniaturadeimagen|center|Figura 15.Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T08:40:15Z

Sara.lopez.caro: /* Después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|600px|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

[[Archivo:Divergencia mire.jpg|thumb|450px|miniatura|derecha|Divergencia mire]]
En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.
\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{i}-\left( \overrightarrow{i} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{i} \right) \overrightarrow{i} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
\frac{4 -2x}{50}
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{4\ -2x}{50}| \\
&=&\frac{4\ -2x}{50}
\end{eqnarray*}

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')

[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

[[Archivo: Mallado XOY.jpg|650px|miniaturadeimagen|center|Figura 15.Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:Subplot.png

2024-12-09T08:39:45Z

Sara.lopez.caro:

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T08:39:23Z

Sara.lopez.caro: /* Sólido antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|450px|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

[[Archivo:Divergencia mire.jpg|thumb|450px|miniatura|derecha|Divergencia mire]]
En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.
\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{i}-\left( \overrightarrow{i} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{i} \right) \overrightarrow{i} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
\frac{4 -2x}{50}
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{4\ -2x}{50}| \\
&=&\frac{4\ -2x}{50}
\end{eqnarray*}

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')

[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

[[Archivo: Mallado XOY.jpg|650px|miniaturadeimagen|center|Figura 15.Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T08:31:29Z

Sara.lopez.caro: /* Campo de vectores */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

[[Archivo:Divergencia mire.jpg|thumb|450px|miniatura|derecha|Divergencia mire]]
En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.
\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{i}-\left( \overrightarrow{i} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{i} \right) \overrightarrow{i} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
\frac{4 -2x}{50}
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{4\ -2x}{50}| \\
&=&\frac{4\ -2x}{50}
\end{eqnarray*}

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')

[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

[[Archivo: Mallado XOY.jpg|650px|miniaturadeimagen|center|Figura 15.Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T08:31:11Z

Sara.lopez.caro: /* Campo de vectores */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

[[Archivo:Divergencia mire.jpg|thumb|450px|miniatura|derecha|Divergencia mire]]
En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.
\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{i}-\left( \overrightarrow{i} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{i} \right) \overrightarrow{i} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
\frac{4 -2x}{50}
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{4\ -2x}{50}| \\
&=&\frac{4\ -2x}{50}
\end{eqnarray*}

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')

[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

[[Archivo: Mallado XOY.jpg|650px|miniaturadeimagen|center|Figura 15.Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T08:26:55Z

Sara.lopez.caro:

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

[[Archivo:Divergencia mire.jpg|thumb|450px|miniatura|derecha|Divergencia mire]]
En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.
\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{i}-\left( \overrightarrow{i} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{i} \right) \overrightarrow{i} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
\frac{4 -2x}{50}
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{4\ -2x}{50}| \\
&=&\frac{4\ -2x}{50}
\end{eqnarray*}

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')

[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

[[Archivo: Mallado XOY.jpg|650px|miniaturadeimagen|center|Figura 15.Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T08:26:23Z

Sara.lopez.caro:

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>.
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>.
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>.

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

[[Archivo:Divergencia mire.jpg|thumb|450px|miniatura|derecha|Divergencia mire]]
En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.
\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{i}-\left( \overrightarrow{i} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{i} \right) \overrightarrow{i} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
\frac{4 -2x}{50}
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{4\ -2x}{50}| \\
&=&\frac{4\ -2x}{50}
\end{eqnarray*}

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')

[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

[[Archivo: Mallado XOY.jpg|650px|miniaturadeimagen|center|Figura 15.Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T08:23:07Z

Sara.lopez.caro:

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math>.

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

[[Archivo:Divergencia mire.jpg|thumb|450px|miniatura|derecha|Divergencia mire]]
En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.
\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{i}-\left( \overrightarrow{i} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{i} \right) \overrightarrow{i} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
\frac{4 -2x}{50}
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{4\ -2x}{50}| \\
&=&\frac{4\ -2x}{50}
\end{eqnarray*}

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')

[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

[[Archivo: Mallado XOY.jpg|650px|miniaturadeimagen|center|Figura 15.Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T08:19:20Z

Sara.lopez.caro: /* Divergencia del Vector U */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

[[Archivo:Divergencia mire.jpg|thumb|450px|miniatura|derecha|Divergencia mire]]
En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.
\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{i}-\left( \overrightarrow{i} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{i} \right) \overrightarrow{i} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
\frac{4 -2x}{50}
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{4\ -2x}{50}| \\
&=&\frac{4\ -2x}{50}
\end{eqnarray*}

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')

[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

[[Archivo: Mallado XOY.jpg|650px|miniaturadeimagen|center|Figura 15.Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T08:18:24Z

Sara.lopez.caro: /* Después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

[[Archivo:Divergencia mire.jpg|thumb|450px|right|Divergencia mire]]
En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

[[Archivo:rotacional mire.png|thumb|450px|right|rotacional mire]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

[[Archivo:tensiones normales mire.png|thumb|450px|right|tensiones normales mire]]

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.
\begin{eqnarray*}
\left\|\sigma \cdot \overrightarrow{i}-\left( \overrightarrow{i} \cdot \sigma \cdot
\overrightarrow{i} \right) \overrightarrow{i} \right\| &=&
\left| \left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
\frac{4 -2x}{50}
\end{array}
\right) -
\left(
\begin{array}{c}
\frac{-6y +1}{50}\\
0
\end{array}
\right) \right| \\
&=&|\frac{4\ -2x}{50}| \\
&=&\frac{4\ -2x}{50}
\end{eqnarray*}

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')

[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

[[Archivo: Mallado XOY.jpg|650px|miniaturadeimagen|center|Figura 15.Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]