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ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS

2015-11-26T16:01:42Z

Sandro.andres:

{{ TrabajoSIG | ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS | Sandro Andrés Martínez

Miriam García Lorenzana

Marino Rivera Muñoz

José Manuel Torres Serrano | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

== Introducción==

En este trabajo se plantea el análisis del transporte público de mayor capacidad como son el metro y el cercanías en la zona de Madrid Río. Más concretamente, nos centramos en la margen derecha correspondiente a los distritos de Latina, Carabanchel y Usera, entre Príncipe Pío y Legazpi, en la que se detecta una bolsa de inaccesibilidad en lo relativo a estos medios de transporte.

Esta zona el transporte depende fundamentalmente del vehículo privado, ya que la falta de estaciones de metro y las bajas frecuencias de los autobuses hacen que el primero sea mucho más competitivo.

Para el estudio empleamos los datos de la Infraestructura de Datos Espaciales de la Comunidad de Madrid, donde se encuentran los datos de las estaciones, las líneas, las bocas de metro y cercanías y los diferentes distritos y barrios. Con ello, y junto con los datos estadísticos de población y otros factores de servicios e instalaciones, se pretende valorar diferentes alternativas en función de su cercanía a centros públicos, áreas con mayor densidad, zonas de ocio y otros lugares de interés. Esto nos permitirá hacer un estudio completo y eficiente.

Lo que pretendemos obtener son los lugares más propicios para situar nuevas estaciones y crear nuevas líneas que las conecten a la red existente, procurando también crear transbordos con otras líneas existentes para mejorar el mallado de la red.

[[Archivo:Intro1.jpg|400px|thumb|left|Mapa de la zona de estudio, con las zonas peor comunicadas señaladas]]

==Metodología==

Para comenzar hemos seleccionado en la capa de los barrios de Madrid solo los que son objeto de estudio y hemos añadido una columna en la tabla de atributos con los datos de población de cara a utilizarlos en el análisis. También hemos cargado la hoja 559 del MTN 50 para utilizarla como referencia de la ciudad de Madrid y de cara a una mejor presentación de los planos.

Posteriormente, hemos cargado todas las capas relativas a líneas y estaciones, centros educativos, centros de salud y lugares de interés relacionados con comercio y turismo, todas ellas descargadas de la plataforma Nomecalles. Mediante el comando de unión hemos agrupado los datos para adaptarlo al análisis multicriterio que se explica a continuación.

Dicho método consiste en tener en cuenta una serie de variables a las que se les asignarán diferentes pesos repartidos proporcionalmente a su importancia e impacto a la hora de buscar la ubicación de una nueva estación. En este caso hemos considerado 4 factores: cercanía a un punto de interés general, cercanía a líneas de ferrocarril, lejanía a estaciones de metro y densidad de población.

Para la '''cercanía a puntos de interés general''' se asigna un 35% del total, pues consideramos que es el factor más determinante a la hora generar desplazamientos. Dentro de este apartado:

:* Se le asigna un 40% a '''centros educativos''', incluyendo centros públicos y universidades, con un área de influencia distancia de 500 metros, ya que las personas que se desplazan a estos lugares son en general gente joven que puede recorrer mayores distancias.

:* A los '''centros sanitarios''' de les asigna un 35% y un área de influencia de 300 metros, ya que pensamos que la gente que se desplaza a estos lugares es gente en general con dolencias que impiden recorrer mayores distancias.

:* En cuanto a los puntos relacionados con '''comercio y turismo''', se les asigna un 15% y un 10% y unas áreas de influencia de 350 y 700 metros respectivamente, pues pensamos que cuando se va de compras no se recorren grandes distancias al ir cargando con lo comprado, mientras que en el caso del turismo si se recorren mayores distancias por motivos de ocio. En cualquier caso, estos dos últimos, salvo eventos puntuales en el tiempo, no generan tanta demanda con los dos primeros, ya que en los barrios estudiados tampoco hay zonas de gran atracción como si las hay en centro de la capital.

En cuanto a la conexión a las '''redes de transporte''' se distinguen dos casos:

:* Por un lado la conexión a la '''red de cercanías''' la consideramos positiva, ya que en la zona de estudio hay pocas estaciones de cercanías, y por tanto no estaría de más crear alguna nueva sobre líneas existentes, por ejemplo en la línea C-5, que a pesar de cruzar el Manzanares por la zona del Vicente Calderón, no tiene ninguna parada en varios kilómetros a ambos márgenes. Por ello, con el fin de crear nuevas estaciones que sirvan además de conexión con la nueva línea que plantearemos, se otorga un peso del 25% al área de influencia de 100 metros a lo largo de las líneas de cercanías para crear dicho intercambio.

:* Por otro lado, hemos decidido penalizar la cercanía a las '''estaciones de metro''', dado que lo que pretendemos es crear estaciones en lugares donde no las hay y que lo necesiten. Por eso, dentro del 20% que hemos asignado a este apartado, consideramos que el área de influencia de 200 metros de las bocas de metro no tenga ninguna puntuación, que el área entre 200 y 400 metros tengan un valor del 50%, y todo lo que esté más allá de 400 metros puntúe un 100%. Esto no quita que a la hora de proponer una nueva línea, si se cruza alguna línea de metro, no se busque la correspondencia con alguna estación existente para mejorar el mallado de la red.

Finalmente, el 20% restante del peso total se le asigna a la '''densidad de población''' de los diferentes barrios, pues en las zonas más densamente pobladas será donde seguramente tendrá mayor éxito la construcción de una nueva estación. El que se le asigne un mayor o menor porcentaje de ese 20% dependerá de la relación entre la densidad del barrio y la densidad máxima de todos los barrios, ya que lo importante es priorizar entre unas zonas y otras.

Los pesos resumidos son los siguientes:

• Cercanía a un punto de interés general (35%)
:* Educación (<500m): 0,4
:*:* Centros públicos: 0,6
:*:* Universidades: 0,4
:* Sanidad (<300m): 0,35
:*:* Hospitales: 0,6
:*:* Ambulatorios: 0,25
:*:* Centros de especialidades: 0,15
:* Comercio (<350m): 0,15 (Hipermercados, centros comerciales y grandes superficies)
:* Turismo (<700m): 0,10 (plazas de toros, museos, parques y puentes)

• Conexión con la red de cercanías (<100m) (25%)

• Lejanía a una boca de metro (20%)
:* 0-200 metros: 0
:* 200-400 metros: 0,5
:* >400 metros: 1

• Densidad de población (20%)
:* Normalización: división entre el máximo

Con dichos pesos, hemos realizado Buffers en cada uno de los elementos a la distancia o distancias consideradas con el fin de reflejar en cada uno de los puntos de interés considerados las áreas que reciben cada puntuación. Para hacer efectivos los valores hemos introducido en la tabla de atributos una nueva columna con los valores en tanto por uno. La extensión de los buffers se ha modificado recortándolos con la capa de barrios para adaptarlos a la zona de estudio.

En el caso de la densidad de población hemos utilizado los datos de población cargados anteriormente y los hemos dividido en cada barrio por su área (calculada con las opciones de la tabla de atributos), obteniendo la densidad de cada barrio en habitantes por hectárea. Para normalizar estos valores hemos adoptado el criterio de dividir por el valor máximo, para conseguir valores relativos entre 0 y 1.

Antes de rasterizar es necesario definir capas vectoriales que tengan todas la misma extensión, con el valor deseado en la zona de los buffers y 0 en el resto, para que a la hora de sumarlos abarquemos todo el área de estudio. Para ello hemos creado una capa con valor 0 en todos sus puntos y la hemos cortado con la capa de barrios. Después hemos unido cada uno de los buffers a dicha capa, consiguiendo las capas definitivas a rasterizar.

A continuación, tenemos que rasterizar las capas de los buffers creados según el valor de los pesos asignados para lo cual hay que recurrir a Grass. Lo primero que hacemos es crear el directorio de mapas de Grass, con un tamaño de celdas de 5 metros y después importar las capas vectoriales. Posteriormente se rasterizan para poder sumarlas.

Finalmente, se suman todas las capas raster con la calculadora de Grass para obtener el mapa con las zonas óptimas para colocar nuevas paradas según el análisis multicriterio empleado. En el apartado 5 de anejos pueden verse los mapas con las diferentes áreas de influencia como pasos intermedios.

==Resultados==

A continuación se muestra la capa final obtenida de aplicar el análisis multicriterio a la zona de estudio, sumando todas las capas de las áreas de influencia con sus respectivos pesos. La puntuación de cada punto aparece en tanto por uno.

[[Archivo:Multicriterio.jpg|800px|thumb|centre|Resultados del análisis multicriterio]]

Para decidir las zonas donde es mejor situar las nuevas estaciones, nos quedamos solo con aquellas cuya puntuación es superior a 0,5. Se puede observar que la mayoría de áreas con esa puntuación se encuentran a lo largo de la margen derecha del Manzanares, salvo en el caso del barrio de la Chopera, y otras zonas que ya quedan bastante más alejadas y desconectadas del resto en el distrito de Carabanchel.

Entre las áreas de mayor puntuación, como son las inmediaciones de la Ermita de San Isidro, comprobamos la eficacia de nuestro modelo, visualizando centros de educación pública como son el Colegio San Alberto Magno o el Colegio Público Nuestra Señora del Lucero sin accesibilidad a transportes públicos de gran capacidad.

Además hay que tener en cuenta la importancia que da nuestro modelo a la red de cercanías con el fin de hacer un intercambiador, mejorando así la accesibilidad entre ambas redes (metro y cercanías). No obstante, y como es lógico, la densidad de población juega un papel muy importante en las consideraciones llevadas a cabo, detectando zonas claras donde es necesario mejorar el transporte público de gran capacidad.

Observando los resultados del modelo y fijándonos detenidamente en la figura 1 mostrada anteriormente, se considera en primera instancia la opción de realizar paradas en las líneas existentes. Esta primera opción valorada, si bien es cierto que dando importancia exclusivamente a la parte económica era considerablemente aconsejable, no nos soluciona el problema detectado en la zona.

Para solucionar dicho problema, tenemos que incidir en las áreas claramente desatendidas y por ello se plantea la opción de una nueva línea de metro con un intercambiador, encontrando la eficacia en los puntos débiles detectados por el modelo.

Con estos resultados, procedemos a proponer el trazado de una nueva línea, que en este caso será de metro, dado que las distancias entre algunas de las estaciones no son muy grandes como puede verse en el mapa.

[[Archivo:Conclusiona.jpg|800px|thumb|centre|Propuesta de la nueva línea de metro]]

La nueva línea, a la que hemos nombrado línea 13 de metro, comienza su recorrido en el intercambiador de Príncipe Pio, donde conectaría con las líneas 6, 10 y Ramal del metro y las líneas C-1, C-7 y C-10 de cercanías. Partiendo de dicha estación, cruzaría el río Manzanares intentado esquivar las infraestructuras existentes bajo la zona, para llegar a su primera parada en las inmediaciones del Paseo de la Ermita del Santo. Posteriormente continuaría en paralelo al río hasta llegar a su intersección con la línea C-5 de cercanías, situándose aquí la estación de San Isidro, que permitiría el transbordo entre ambos modos de transporte, como era uno de los objetivos del estudio. La siguiente estación sería la de Marqués de Vadillo, estación de la línea 5 de metro ya existente, y que mejoría el mallado de la red a pesar de no ser uno de los puntos que se obtienen como resultado del estudio. Finalmente la línea tendría otra parada en el barrio de Comillas, y cruzaría el río con otra parada en el barrio de la Chopera (estación de Matadero), para dirigirse a su final en la estación de Legazpi, donde conecta con las líneas 3 y 6 del metro, siendo otro gran intercambiador de la ciudad.

==Conclusiones==

En el presente estudio hemos propuesto una solución a la falta de estaciones de metro y cercanías en la zona de Madrid Río, que deriva en una gran bolsa de inaccesibilidad, en los distritos de Latina, Carabanchel, Usera y Arganzuela.

Realizando buffers entorno a los puntos de interés hemos visto las zonas más inaccesibles y después hemos realizado operaciones raster en base al '''análisis multicriterio''' propuesto, con el fin de obtener los puntos propicios donde situar nuevas estaciones. Finalmente concluimos que la solución óptima es la creación de una nueva línea de metro entre Príncipe Pio y Legazpi por la margen derecha del río Manzanares.

[[Archivo:Conclusionb.jpg|800px|thumb|centre|Detalle de la nueva línea 13]]

Con esta nueva línea 13 que proponemos se mejora la red de transporte público de alta capacidad una de las zonas con peor cobertura de la red, conectando a su vez con grandes estaciones de gran número de viajeros en sus extremos, y con otras líneas a lo largo de su recorrido, permitiendo mejorar la intermodalidad.

La nueva línea 13, de 5,7 kilómetros de longitud, cuenta con 7 estaciones de las cuales 4 serían de nueva construcción. esta nueva infraestructura benefeciaría a 230.000 vecinos de los barrios de la Chopera, Casa de Campo, Argüelles, los Cármenes, Puerta de Toledo, Comillas, Opañel, San Isidro y Moscardó, incrementando la accesibilidad a los barrios y a sus dotaciones, mejorando la calidad de vida de la zona.

Además esta nueva línea tiene la ventaja de poder ampliarse por ambos extremos en caso de ser necesario.

En el caso del extremo norte, la línea puede ampliarse hacia la Avenida de Valladolid, zona también bastante aislada bordeada por la Casa de Campo y las vías del tren, que a pesar de todo no tienen ninguna parada en la zona. Sin embargo, según nuestro análisis no existe ningún punto de interés importante en esa zona por la falta de dotaciones, y dado que el barrio de Casa de Campo tiene una gran superficie despoblada, tampoco ha podido acumular puntuación por densidad de población. Aun así las reivindicaciones de transporte de los vecinos de la zona podrían tenerse en cuenta.

Por el extremo sur la ampliación es difícil más allá del nudo sur al no haber núcleos de población cercanos, por lo que solo se podría añadir una parada más al final de la calle Embajadores, aunque su utilidad es dudosa al no poder tampoco conectar con la línea C-5 de cercanías por la excesiva elevación de las vías en ese punto.

==Anejos==

[[Archivo:Sanidad.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros sanitarios]]

[[Archivo:Metrocercanias.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de metro y cercanías]]

[[Archivo:Educacion.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros educativos]]

[[Archivo:Densidadbarrios.jpg|800px|thumb|centre|Barrios de Madrid según su densidad de población]]

[[Archivo:Comercioturismo.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros de comercio y turismo]]

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS

2015-11-26T15:50:36Z

Sandro.andres:

{{ TrabajoSIG | ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS | Sandro Andrés Martínez

Miriam García Lorenzana

Marino Rivera Muñoz

José Manuel Torres Serrano | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

== Introducción==

En este trabajo se plantea el análisis del transporte público de mayor capacidad como son el metro y el cercanías en la zona de Madrid Río. Más concretamente, nos centramos en la margen derecha correspondiente a los distritos de Latina, Carabanchel y Usera, entre Príncipe Pío y Legazpi, en la que se detecta una bolsa de inaccesibilidad en lo relativo a estos medios de transporte.

Esta zona el transporte depende fundamentalmente del vehículo privado, ya que la falta de estaciones de metro y las bajas frecuencias de los autobuses hacen que el primero sea mucho más competitivo.

Para el estudio empleamos los datos de la Infraestructura de Datos Espaciales de la Comunidad de Madrid, donde se encuentran los datos de las estaciones, las líneas, las bocas de metro y cercanías y los diferentes distritos y barrios. Con ello, y junto con los datos estadísticos de población y otros factores de servicios e instalaciones, se pretende valorar diferentes alternativas en función de su cercanía a centros públicos, áreas con mayor densidad, zonas de ocio y otros lugares de interés. Esto nos permitirá hacer un estudio completo y eficiente.

Lo que pretendemos obtener son los lugares más propicios para situar nuevas estaciones y crear nuevas líneas que las conecten a la red existente, procurando también crear transbordos con otras líneas existentes para mejorar el mallado de la red.

[[Archivo:Intro1.jpg|400px|thumb|left|Mapa de la zona de estudio, con las zonas peor comunicadas señaladas]]

==Metodología==

Para comenzar hemos seleccionado en la capa de los barrios de Madrid solo los que son objeto de estudio y hemos añadido una columna en la tabla de atributos con los datos de población de cara a utilizarlos en el análisis. También hemos cargado la hoja 559 del MTN 50 para utilizarla como referencia de la ciudad de Madrid y de cara a una mejor presentación de los planos.

Posteriormente, hemos cargado todas las capas relativas a líneas y estaciones, centros educativos, centros de salud y lugares de interés relacionados con comercio y turismo, todas ellas descargadas de la plataforma Nomecalles. Mediante el comando de unión hemos agrupado los datos para adaptarlo al análisis multicriterio que se explica a continuación.

Dicho método consiste en tener en cuenta una serie de variables a las que se les asignarán diferentes pesos repartidos proporcionalmente a su importancia e impacto a la hora de buscar la ubicación de una nueva estación. En este caso hemos considerado 4 factores: cercanía a un punto de interés general, cercanía a líneas de ferrocarril, lejanía a estaciones de metro y densidad de población.

Para la '''cercanía a puntos de interés general''' se asigna un 35% del total, pues consideramos que es el factor más determinante a la hora generar desplazamientos. Dentro de este apartado:

:* Se le asigna un 40% a '''centros educativos''', incluyendo centros públicos y universidades, con un área de influencia distancia de 500 metros, ya que las personas que se desplazan a estos lugares son en general gente joven que puede recorrer mayores distancias.

:* A los '''centros sanitarios''' de les asigna un 35% y un área de influencia de 300 metros, ya que pensamos que la gente que se desplaza a estos lugares es gente en general con dolencias que impiden recorrer mayores distancias.

:* En cuanto a los puntos relacionados con '''comercio y turismo''', se les asigna un 15% y un 10% y unas áreas de influencia de 350 y 700 metros respectivamente, pues pensamos que cuando se va de compras no se recorren grandes distancias al ir cargando con lo comprado, mientras que en el caso del turismo si se recorren mayores distancias por motivos de ocio. En cualquier caso, estos dos últimos, salvo eventos puntuales en el tiempo, no generan tanta demanda con los dos primeros, ya que en los barrios estudiados tampoco hay zonas de gran atracción como si las hay en centro de la capital.

En cuanto a la conexión a las '''redes de transporte''' se distinguen dos casos:

:* Por un lado la conexión a la '''red de cercanías''' la consideramos positiva, ya que en la zona de estudio hay pocas estaciones de cercanías, y por tanto no estaría de más crear alguna nueva sobre líneas existentes, por ejemplo en la línea C-5, que a pesar de cruzar el Manzanares por la zona del Vicente Calderón, no tiene ninguna parada en varios kilómetros a ambos márgenes. Por ello, con el fin de crear nuevas estaciones que sirvan además de conexión con la nueva línea que plantearemos, se otorga un peso del 25% al área de influencia de 100 metros a lo largo de las líneas de cercanías para crear dicho intercambio.

:* Por otro lado, hemos decidido penalizar la cercanía a las '''estaciones de metro''', dado que lo que pretendemos es crear estaciones en lugares donde no las hay y que lo necesiten. Por eso, dentro del 20% que hemos asignado a este apartado, consideramos que el área de influencia de 200 metros de las bocas de metro no tenga ninguna puntuación, que el área entre 200 y 400 metros tengan un valor del 50%, y todo lo que esté más allá de 400 metros puntúe un 100%. Esto no quita que a la hora de proponer una nueva línea, si se cruza alguna línea de metro, no se busque la correspondencia con alguna estación existente para mejorar el mallado de la red.

Finalmente, el 20% restante del peso total se le asigna a la '''densidad de población''' de los diferentes barrios, pues en las zonas más densamente pobladas será donde seguramente tendrá mayor éxito la construcción de una nueva estación. El que se le asigne un mayor o menor porcentaje de ese 20% dependerá de la relación entre la densidad del barrio y la densidad máxima de todos los barrios, ya que lo importante es priorizar entre unas zonas y otras.

Los pesos resumidos son los siguientes:

• Cercanía a un punto de interés general (35%)
:* Educación (<500m): 0,4
:*:* Centros públicos: 0,6
:*:* Universidades: 0,4
:* Sanidad (<300m): 0,35
:*:* Hospitales: 0,6
:*:* Ambulatorios: 0,25
:*:* Centros de especialidades: 0,15
:* Comercio (<350m): 0,15 (Hipermercados, centros comerciales y grandes superficies)
:* Turismo (<700m): 0,10 (plazas de toros, museos, parques y puentes)

• Conexión con la red de cercanías (<100m) (25%)

• Lejanía a una boca de metro (20%)
:* 0-200 metros: 0
:* 200-400 metros: 0,5
:* >400 metros: 1

• Densidad de población (20%)
:* Normalización: división entre el máximo

Con dichos pesos, hemos realizado Buffers en cada uno de los elementos a la distancia o distancias consideradas con el fin de reflejar en cada uno de los puntos de interés considerados las áreas que reciben cada puntuación. Para hacer efectivos los valores hemos introducido en la tabla de atributos una nueva columna con los valores en tanto por uno. La extensión de los buffers se ha modificado recortándolos con la capa de barrios para adaptarlos a la zona de estudio.

En el caso de la densidad de población hemos utilizado los datos de población cargados anteriormente y los hemos dividido en cada barrio por su área (calculada con las opciones de la tabla de atributos), obteniendo la densidad de cada barrio en habitantes por hectárea. Para normalizar estos valores hemos adoptado el criterio de dividir por el valor máximo, para conseguir valores relativos entre 0 y 1.

Antes de rasterizar es necesario definir capas vectoriales que tengan todas la misma extensión, con el valor deseado en la zona de los buffers y 0 en el resto, para que a la hora de sumarlos abarquemos todo el área de estudio. Para ello hemos creado una capa con valor 0 en todos sus puntos y la hemos cortado con la capa de barrios. Después hemos unido cada uno de los buffers a dicha capa, consiguiendo las capas definitivas a rasterizar.

A continuación, tenemos que rasterizar las capas de los buffers creados según el valor de los pesos asignados para lo cual hay que recurrir a Grass. Lo primero que hacemos es crear el directorio de mapas de Grass, con un tamaño de celdas de 5 metros y después importar las capas vectoriales. Posteriormente se rasterizan para poder sumarlas.

Finalmente, se suman todas las capas raster con la calculadora de Grass para obtener el mapa con las zonas óptimas para colocar nuevas paradas según el análisis multicriterio empleado. En el apartado 5 de anejos pueden verse los mapas con las diferentes áreas de influencia como pasos intermedios.

==Resultados==

A continuación se muestra la capa final obtenida de aplicar el análisis multicriterio a la zona de estudio, sumando todas las capas de las áreas de influencia con sus respectivos pesos. La puntuación de cada punto aparece en tanto por uno.

[[Archivo:Multicriterio.jpg|800px|thumb|centre|Resultados del análisis multicriterio]]

Para decidir las zonas donde es mejor situar las nuevas estaciones, nos quedamos solo con aquellas cuya puntuación es superior a 0,5. Se puede observar que la mayoría de áreas con esa puntuación se encuentran a lo largo de la margen derecha del Manzanares, salvo en el caso del barrio de la Chopera, y otras zonas que ya quedan bastante más alejadas y desconectadas del resto en el distrito de Carabanchel.

Entre las áreas de mayor puntuación, como son las inmediaciones de la Ermita de San Isidro, comprobamos la eficacia de nuestro modelo, visualizando centros de educación pública como son el Colegio San Alberto Magno o el Colegio Público Nuestra Señora del Lucero sin accesibilidad a transportes públicos de gran capacidad.

Además hay que tener en cuenta la importancia que da nuestro modelo a la red de cercanías con el fin de hacer un intercambiador, mejorando así la accesibilidad entre ambas redes (metro y cercanías). No obstante, y como es lógico, la densidad de población juega un papel muy importante en las consideraciones llevadas a cabo, detectando zonas claras donde es necesario mejorar el transporte público de gran capacidad.

Observando los resultados del modelo y fijándonos detenidamente en la figura 1 mostrada anteriormente, se considera en primera instancia la opción de realizar paradas en las líneas existentes. Esta primera opción valorada, si bien es cierto que dando importancia exclusivamente a la parte económica era considerablemente aconsejable, no nos soluciona el problema detectado en la zona.

Para solucionar dicho problema, tenemos que incidir en las áreas claramente desatendidas y por ello se plantea la opción de una nueva línea de metro con un intercambiador, encontrando la eficacia en los puntos débiles detectados por el modelo.

Con estos resultados, procedemos a proponer el trazado de una nueva línea, que en este caso será de metro, dado que las distancias entre algunas de las estaciones no son muy grandes como puede verse en el mapa.

[[Archivo:Conclusiona.jpg|800px|thumb|centre|Propuesta de la nueva línea de metro]]

La nueva línea, a la que hemos nombrado línea 13 de metro, comienza su recorrido en el intercambiador de Príncipe Pio, donde conectaría con las líneas 6, 10 y Ramal del metro y las líneas C-1, C-7 y C-10 de cercanías. Partiendo de dicha estación, cruzaría el río Manzanares intentado esquivar las infraestructuras existentes bajo la zona, para llegar a su primera parada en las inmediaciones del Paseo de la Ermita del Santo. Posteriormente continuaría en paralelo al río hasta llegar a su intersección con la línea C-5 de cercanías, situándose aquí la estación de San Isidro, que permitiría el transbordo entre ambos modos de transporte, como era uno de los objetivos del estudio. La siguiente estación sería la de Marqués de Vadillo, estación de la línea 5 de metro ya existente, y que mejoría el mallado de la red a pesar de no ser uno de los puntos que se obtienen como resultado del estudio. Finalmente la línea tendría otra parada en el barrio de Comillas, y cruzaría el río con otra parada en el barrio de la Chopera (estación de Matadero), para dirigirse a su final en la estación de Legazpi, donde conecta con las líneas 3 y 6 del metro, siendo otro gran intercambiador de la ciudad.

==Conclusiones==

[[Archivo:Conclusionb.jpg|800px|thumb|centre|Detalle de la nueva línea 13]]

En el presente estudio hemos propuesto una solución a la falta de estaciones de metro y cercanías en la zona de Madrid Río, que deriva en una gran bolsa de inaccesibilidad, en los distritos de Latina, Carabanchel, Usera y Arganzuela.

Realizando buffers entorno a los puntos de interés hemos visto las zonas más inaccesibles y después hemos realizado operaciones raster en base al '''análisis multicriterio''' propuesto, con el fin de obtener los puntos propicios donde situar nuevas estaciones. Finalmente concluimos que la solución óptima es la creación de una nueva línea de metro entre Príncipe Pio y Legazpi por la margen derecha del río Manzanares.

Con esta nueva línea 13 que proponemos se mejora la red de transporte público de alta capacidad una de las zonas con peor cobertura de la red, conectando a su vez con grandes estaciones de gran número de viajeros en sus extremos, y con otras líneas a lo largo de su recorrido, permitiendo mejorar la intermodalidad.

La nueva línea 13, de 5,7 kilómetros de longitud, cuenta con 7 estaciones de las cuales 4 serían de nueva construcción. esta nueva infraestructura benefeciaría a 230.000 vecinos de los barrios de la Chopera, Casa de Campo, Argüelles, los Cármenes, Puerta de Toledo, Comillas, Opañel, San Isidro y Moscardó, incrementando la accesibilidad a los barrios y a sus dotaciones, mejorando la calidad de vida de la zona.

Además esta nueva línea tiene la ventaja de poder ampliarse por ambos extremos en caso de ser necesario.

En el caso del extremo norte, la línea puede ampliarse hacia la Avenida de Valladolid, zona también bastante aislada bordeada por la Casa de Campo y las vías del tren, que a pesar de todo no tienen ninguna parada en la zona. Sin embargo, según nuestro análisis no existe ningún punto de interés importante en esa zona por la falta de dotaciones, y dado que el barrio de Casa de Campo tiene una gran superficie despoblada, tampoco ha podido acumular puntuación por densidad de población. Aun así las reivindicaciones de transporte de los vecinos de la zona podrían tenerse en cuenta.

Por el extremo sur la ampliación es difícil más allá del nudo sur al no haber núcleos de población cercanos, por lo que solo se podría añadir una parada más al final de la calle Embajadores, aunque su utilidad es dudosa al no poder tampoco conectar con la línea C-5 de cercanías por la excesiva elevación de las vías en ese punto.

==Anejos==

[[Archivo:Sanidad.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros sanitarios]]

[[Archivo:Metrocercanias.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de metro y cercanías]]

[[Archivo:Educacion.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros educativos]]

[[Archivo:Densidadbarrios.jpg|800px|thumb|centre|Barrios de Madrid según su densidad de población]]

[[Archivo:Comercioturismo.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros de comercio y turismo]]

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS

2015-11-26T15:44:10Z

Sandro.andres:

{{ TrabajoSIG | ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS | Sandro Andrés Martínez

Miriam García Lorenzana

Marino Rivera Muñoz

José Manuel Torres Serrano | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

== Introducción==

En este trabajo se plantea el análisis del transporte público de mayor capacidad como son el metro y el cercanías en la zona de Madrid Río. Más concretamente, nos centramos en la margen derecha correspondiente a los distritos de Latina, Carabanchel y Usera, entre Príncipe Pío y Legazpi, en la que se detecta una bolsa de inaccesibilidad en lo relativo a estos medios de transporte.

Esta zona el transporte depende fundamentalmente del vehículo privado, ya que la falta de estaciones de metro y las bajas frecuencias de los autobuses hacen que el primero sea mucho más competitivo.

Para el estudio empleamos los datos de la Infraestructura de Datos Espaciales de la Comunidad de Madrid, donde se encuentran los datos de las estaciones, las líneas, las bocas de metro y cercanías y los diferentes distritos y barrios. Con ello, y junto con los datos estadísticos de población y otros factores de servicios e instalaciones, se pretende valorar diferentes alternativas en función de su cercanía a centros públicos, áreas con mayor densidad, zonas de ocio y otros lugares de interés. Esto nos permitirá hacer un estudio completo y eficiente.

Lo que pretendemos obtener son los lugares más propicios para situar nuevas estaciones y crear nuevas líneas que las conecten a la red existente, procurando también crear transbordos con otras líneas existentes para mejorar el mallado de la red.

[[Archivo:Intro1.jpg|400px|thumb|left|Mapa de la zona de estudio, con las zonas peor comunicadas señaladas]]

==Metodología==

Para comenzar hemos seleccionado en la capa de los barrios de Madrid solo los que son objeto de estudio y hemos añadido una columna en la tabla de atributos con los datos de población de cara a utilizarlos en el análisis. También hemos cargado la hoja 559 del MTN 50 para utilizarla como referencia de la ciudad de Madrid y de cara a una mejor presentación de los planos.

Posteriormente, hemos cargado todas las capas relativas a líneas y estaciones, centros educativos, centros de salud y lugares de interés relacionados con comercio y turismo, todas ellas descargadas de la plataforma Nomecalles. Mediante el comando de unión hemos agrupado los datos para adaptarlo al análisis multicriterio que se explica a continuación.

Dicho método consiste en tener en cuenta una serie de variables a las que se les asignarán diferentes pesos repartidos proporcionalmente a su importancia e impacto a la hora de buscar la ubicación de una nueva estación. En este caso hemos considerado 4 factores: cercanía a un punto de interés general, cercanía a líneas de ferrocarril, lejanía a estaciones de metro y densidad de población.

Para la '''cercanía a puntos de interés general''' se asigna un 35% del total, pues consideramos que es el factor más determinante a la hora generar desplazamientos. Dentro de este apartado:

:* Se le asigna un 40% a '''centros educativos''', incluyendo centros públicos y universidades, con un área de influencia distancia de 500 metros, ya que las personas que se desplazan a estos lugares son en general gente joven que puede recorrer mayores distancias.

:* A los '''centros sanitarios''' de les asigna un 35% y un área de influencia de 300 metros, ya que pensamos que la gente que se desplaza a estos lugares es gente en general con dolencias que impiden recorrer mayores distancias.

:* En cuanto a los puntos relacionados con '''comercio y turismo''', se les asigna un 15% y un 10% y unas áreas de influencia de 350 y 700 metros respectivamente, pues pensamos que cuando se va de compras no se recorren grandes distancias al ir cargando con lo comprado, mientras que en el caso del turismo si se recorren mayores distancias por motivos de ocio. En cualquier caso, estos dos últimos, salvo eventos puntuales en el tiempo, no generan tanta demanda con los dos primeros, ya que en los barrios estudiados tampoco hay zonas de gran atracción como si las hay en centro de la capital.

En cuanto a la conexión a las '''redes de transporte''' se distinguen dos casos:

:* Por un lado la conexión a la '''red de cercanías''' la consideramos positiva, ya que en la zona de estudio hay pocas estaciones de cercanías, y por tanto no estaría de más crear alguna nueva sobre líneas existentes, por ejemplo en la línea C-5, que a pesar de cruzar el Manzanares por la zona del Vicente Calderón, no tiene ninguna parada en varios kilómetros a ambos márgenes. Por ello, con el fin de crear nuevas estaciones que sirvan además de conexión con la nueva línea que plantearemos, se otorga un peso del 25% al área de influencia de 100 metros a lo largo de las líneas de cercanías para crear dicho intercambio.

:* Por otro lado, hemos decidido penalizar la cercanía a las '''estaciones de metro''', dado que lo que pretendemos es crear estaciones en lugares donde no las hay y que lo necesiten. Por eso, dentro del 20% que hemos asignado a este apartado, consideramos que el área de influencia de 200 metros de las bocas de metro no tenga ninguna puntuación, que el área entre 200 y 400 metros tengan un valor del 50%, y todo lo que esté más allá de 400 metros puntúe un 100%. Esto no quita que a la hora de proponer una nueva línea, si se cruza alguna línea de metro, no se busque la correspondencia con alguna estación existente para mejorar el mallado de la red.

Finalmente, el 20% restante del peso total se le asigna a la '''densidad de población''' de los diferentes barrios, pues en las zonas más densamente pobladas será donde seguramente tendrá mayor éxito la construcción de una nueva estación. El que se le asigne un mayor o menor porcentaje de ese 20% dependerá de la relación entre la densidad del barrio y la densidad máxima de todos los barrios, ya que lo importante es priorizar entre unas zonas y otras.

Los pesos resumidos son los siguientes:

• Cercanía a un punto de interés general (35%)
:* Educación (<500m): 0,4
:*:* Centros públicos: 0,6
:*:* Universidades: 0,4
:* Sanidad (<300m): 0,35
:*:* Hospitales: 0,6
:*:* Ambulatorios: 0,25
:*:* Centros de especialidades: 0,15
:* Comercio (<350m): 0,15 (Hipermercados, centros comerciales y grandes superficies)
:* Turismo (<700m): 0,10 (plazas de toros, museos, parques y puentes)

• Conexión con la red de cercanías (<100m) (25%)

• Lejanía a una boca de metro (20%)
:* 0-200 metros: 0
:* 200-400 metros: 0,5
:* >400 metros: 1

• Densidad de población (20%)
:* Normalización: división entre el máximo

Con dichos pesos, hemos realizado Buffers en cada uno de los elementos a la distancia o distancias consideradas con el fin de reflejar en cada uno de los puntos de interés considerados las áreas que reciben cada puntuación. Para hacer efectivos los valores hemos introducido en la tabla de atributos una nueva columna con los valores en tanto por uno. La extensión de los buffers se ha modificado recortándolos con la capa de barrios para adaptarlos a la zona de estudio.

En el caso de la densidad de población hemos utilizado los datos de población cargados anteriormente y los hemos dividido en cada barrio por su área (calculada con las opciones de la tabla de atributos), obteniendo la densidad de cada barrio en habitantes por hectárea. Para normalizar estos valores hemos adoptado el criterio de dividir por el valor máximo, para conseguir valores relativos entre 0 y 1.

Antes de rasterizar es necesario definir capas vectoriales que tengan todas la misma extensión, con el valor deseado en la zona de los buffers y 0 en el resto, para que a la hora de sumarlos abarquemos todo el área de estudio. Para ello hemos creado una capa con valor 0 en todos sus puntos y la hemos cortado con la capa de barrios. Después hemos unido cada uno de los buffers a dicha capa, consiguiendo las capas definitivas a rasterizar.

A continuación, tenemos que rasterizar las capas de los buffers creados según el valor de los pesos asignados para lo cual hay que recurrir a Grass. Lo primero que hacemos es crear el directorio de mapas de Grass, con un tamaño de celdas de 5 metros y después importar las capas vectoriales. Posteriormente se rasterizan para poder sumarlas.

Finalmente, se suman todas las capas raster con la calculadora de Grass para obtener el mapa con las zonas óptimas para colocar nuevas paradas según el análisis multicriterio empleado. En el apartado 5 de anejos pueden verse los mapas con las diferentes áreas de influencia como pasos intermedios.

==Resultados==

A continuación se muestra la capa final obtenida de aplicar el análisis multicriterio a la zona de estudio, sumando todas las capas de las áreas de influencia con sus respectivos pesos. La puntuación de cada punto aparece en tanto por uno.

[[Archivo:Multicriterio.jpg|800px|thumb|centre|Resultados del análisis multicriterio]]

Para decidir las zonas donde es mejor situar las nuevas estaciones, nos quedamos solo con aquellas cuya puntuación es superior a 0,5. Se puede observar que la mayoría de áreas con esa puntuación se encuentran a lo largo de la margen derecha del Manzanares, salvo en el caso del barrio de la Chopera, y otras zonas que ya quedan bastante más alejadas y desconectadas del resto en el distrito de Carabanchel.

Entre las áreas de mayor puntuación, como son las inmediaciones de la Ermita de San Isidro, comprobamos la eficacia de nuestro modelo, visualizando centros de educación pública como son el Colegio San Alberto Magno o el Colegio Público Nuestra Señora del Lucero sin accesibilidad a transportes públicos de gran capacidad.

Además hay que tener en cuenta la importancia que da nuestro modelo a la red de cercanías con el fin de hacer un intercambiador, mejorando así la accesibilidad entre ambas redes (metro y cercanías). No obstante, y como es lógico, la densidad de población juega un papel muy importante en las consideraciones llevadas a cabo, detectando zonas claras donde es necesario mejorar el transporte público de gran capacidad.

Observando los resultados del modelo y fijándonos detenidamente en la figura 1 mostrada anteriormente, se considera en primera instancia la opción de realizar paradas en las líneas existentes. Esta primera opción valorada, si bien es cierto que dando importancia exclusivamente a la parte económica era considerablemente aconsejable, no nos soluciona el problema detectado en la zona.

Para solucionar dicho problema, tenemos que incidir en las áreas claramente desatendidas y por ello se plantea la opción de una nueva línea de metro con un intercambiador, encontrando la eficacia en los puntos débiles detectados por el modelo.

Con estos resultados, procedemos a proponer el trazado de una nueva línea, que en este caso será de metro, dado que las distancias entre algunas de las estaciones no son muy grandes como puede verse en el mapa.

[[Archivo:Conclusiona.jpg|800px|thumb|centre|Propuesta de la nueva línea de metro]]

La nueva línea, a la que hemos nombrado línea 13 de metro, comienza su recorrido en el intercambiador de Príncipe Pio, donde conectaría con las líneas 6, 10 y Ramal del metro y las líneas C-1, C-7 y C-10 de cercanías. Partiendo de dicha estación, cruzaría el río Manzanares intentado esquivar las infraestructuras existentes bajo la zona, para llegar a su primera parada en las inmediaciones del Paseo de la Ermita del Santo. Posteriormente continuaría en paralelo al río hasta llegar a su intersección con la línea C-5 de cercanías, situándose aquí la estación de San Isidro, que permitiría el transbordo entre ambos modos de transporte, como era uno de los objetivos del estudio. La siguiente estación sería la de Marqués de Vadillo, estación de la línea 5 de metro ya existente, y que mejoría el mallado de la red a pesar de no ser uno de los puntos que se obtienen como resultado del estudio. Finalmente la línea tendría otra parada en el barrio de Comillas, y cruzaría el río con otra parada en el barrio de la Chopera, para dirigirse a su final en la estación de Legazpi, donde conecta con las líneas 3 y 6 del metro, siendo otro gran intercambiador de la ciudad.

==Conclusiones==

[[Archivo:Conclusionb.jpg|800px|thumb|centre|Detalle de la nueva línea 13]]

En el presente estudio hemos propuesto una solución a la falta de estaciones de metro y cercanías en la zona de Madrid Río, que deriva en una gran bolsa de inaccesibilidad, en los distritos de Latina, Carabanchel, Usera y Arganzuela.

Realizando buffers entorno a los puntos de interés hemos visto las zonas más inaccesibles y después hemos realizado operaciones raster en base al '''análisis multicriterio''' propuesto, con el fin de obtener los puntos propicios donde situar nuevas estaciones. Finalmente concluimos que la solución óptima es la creación de una nueva línea de metro entre Príncipe Pio y Legazpi por la margen derecha del río Manzanares.

Con esta nueva línea 13 que proponemos se mejora la red de transporte público de alta capacidad una de las zonas con peor cobertura de la red, conectando a su vez con grandes estaciones de gran número de viajeros en sus extremos, y con otras líneas a lo largo de su recorrido, permitiendo mejorar la intermodalidad.

La nueva línea 13, de 5,7 kilómetros de longitud, cuenta con 7 estaciones de las cuales 4 serían de nueva construcción. esta nueva infraestructura benefeciaría a 230.000 vecinos de los barrios de la Chopera, Casa de Campo, Argüelles, los Cármenes, Puerta de Toledo, Comillas, Opañel, San Isidro y Moscardó, incrementando la accesibilidad a los barrios y a sus dotaciones, mejorando la calidad de vida de la zona.

Además esta nueva línea tiene la ventaja de poder ampliarse por ambos extremos en caso de ser necesario.

En el caso del extremo norte, la línea puede ampliarse hacia la Avenida de Valladolid, zona también bastante aislada bordeada por la Casa de Campo y las vías del tren, que a pesar de todo no tienen ninguna parada en la zona. Sin embargo, según nuestro análisis no existe ningún punto de interés importante en esa zona por la falta de dotaciones, y dado que el barrio de Casa de Campo tiene una gran superficie despoblada, tampoco ha podido acumular puntuación por densidad de población. Aun así las reivindicaciones de transporte de los vecinos de la zona podrían tenerse en cuenta.

Por el extremo sur la ampliación es difícil más allá del nudo sur al no haber núcleos de población cercanos, por lo que solo se podría añadir una parada más al final de la calle Embajadores, aunque su utilidad es dudosa al no poder tampoco conectar con la línea C-5 de cercanías por la excesiva elevación de las vías en ese punto.

==Anejos==

[[Archivo:Sanidad.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros sanitarios]]

[[Archivo:Metrocercanias.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de metro y cercanías]]

[[Archivo:Educacion.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros educativos]]

[[Archivo:Densidadbarrios.jpg|800px|thumb|centre|Barrios de Madrid según su densidad de población]]

[[Archivo:Comercioturismo.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros de comercio y turismo]]

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS

2015-11-26T15:38:10Z

Sandro.andres:

{{ TrabajoSIG | ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS | Sandro Andrés Martínez

Miriam García Lorenzana

Marino Rivera Muñoz

José Manuel Torres Serrano | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

== Introducción==

En este trabajo se plantea el análisis del transporte público de mayor capacidad como son el metro y el cercanías en la zona de Madrid Río. Más concretamente, nos centramos en la margen derecha correspondiente a los distritos de Latina, Carabanchel y Usera, entre Príncipe Pío y Legazpi, en la que se detecta una bolsa de inaccesibilidad en lo relativo a estos medios de transporte.

Esta zona el transporte depende fundamentalmente del vehículo privado, ya que la falta de estaciones de metro y las bajas frecuencias de los autobuses hacen que el primero sea mucho más competitivo.

Para el estudio empleamos los datos de la Infraestructura de Datos Espaciales de la Comunidad de Madrid, donde se encuentran los datos de las estaciones, las líneas, las bocas de metro y cercanías y los diferentes distritos y barrios. Con ello, y junto con los datos estadísticos de población y otros factores de servicios e instalaciones, se pretende valorar diferentes alternativas en función de su cercanía a centros públicos, áreas con mayor densidad, zonas de ocio y otros lugares de interés. Esto nos permitirá hacer un estudio completo y eficiente.

Lo que pretendemos obtener son los lugares más propicios para situar nuevas estaciones y crear nuevas líneas que las conecten a la red existente, procurando también crear transbordos con otras líneas existentes para mejorar el mallado de la red.

[[Archivo:Intro1.jpg|400px|thumb|left|Mapa de la zona de estudio, con las zonas peor comunicadas señaladas]]

==Metodología==

Para comenzar hemos seleccionado en la capa de los barrios de Madrid solo los que son objeto de estudio y hemos añadido una columna en la tabla de atributos con los datos de población de cara a utilizarlos en el análisis. También hemos cargado la hoja 559 del MTN 50 para utilizarla como referencia de la ciudad de Madrid y de cara a una mejor presentación de los planos.

Posteriormente, hemos cargado todas las capas relativas a líneas y estaciones, centros educativos, centros de salud y lugares de interés relacionados con comercio y turismo, todas ellas descargadas de la plataforma Nomecalles. Mediante el comando de unión hemos agrupado los datos para adaptarlo al análisis multicriterio que se explica a continuación.

Dicho método consiste en tener en cuenta una serie de variables a las que se les asignarán diferentes pesos repartidos proporcionalmente a su importancia e impacto a la hora de buscar la ubicación de una nueva estación. En este caso hemos considerado 4 factores: cercanía a un punto de interés general, cercanía a líneas de ferrocarril, lejanía a estaciones de metro y densidad de población.

Para la '''cercanía a puntos de interés general''' se asigna un 35% del total, pues consideramos que es el factor más determinante a la hora generar desplazamientos. Dentro de este apartado:

:* Se le asigna un 40% a '''centros educativos''', incluyendo centros públicos y universidades, con un área de influencia distancia de 500 metros, ya que las personas que se desplazan a estos lugares son en general gente joven que puede recorrer mayores distancias.

:* A los '''centros sanitarios''' de les asigna un 35% y un área de influencia de 300 metros, ya que pensamos que la gente que se desplaza a estos lugares es gente en general con dolencias que impiden recorrer mayores distancias.

:* En cuanto a los puntos relacionados con '''comercio y turismo''', se les asigna un 15% y un 10% y unas áreas de influencia de 350 y 700 metros respectivamente, pues pensamos que cuando se va de compras no se recorren grandes distancias al ir cargando con lo comprado, mientras que en el caso del turismo si se recorren mayores distancias por motivos de ocio. En cualquier caso, estos dos últimos, salvo eventos puntuales en el tiempo, no generan tanta demanda con los dos primeros, ya que en los barrios estudiados tampoco hay zonas de gran atracción como si las hay en centro de la capital.

En cuanto a la conexión a las '''redes de transporte''' se distinguen dos casos:

:* Por un lado la conexión a la '''red de cercanías''' la consideramos positiva, ya que en la zona de estudio hay pocas estaciones de cercanías, y por tanto no estaría de más crear alguna nueva sobre líneas existentes, por ejemplo en la línea C-5, que a pesar de cruzar el Manzanares por la zona del Vicente Calderón, no tiene ninguna parada en varios kilómetros a ambos márgenes. Por ello, con el fin de crear nuevas estaciones que sirvan además de conexión con la nueva línea que plantearemos, se otorga un peso del 25% al área de influencia de 100 metros a lo largo de las líneas de cercanías para crear dicho intercambio.

:* Por otro lado, hemos decidido penalizar la cercanía a las '''estaciones de metro''', dado que lo que pretendemos es crear estaciones en lugares donde no las hay y que lo necesiten. Por eso, dentro del 20% que hemos asignado a este apartado, consideramos que el área de influencia de 200 metros de las bocas de metro no tenga ninguna puntuación, que el área entre 200 y 400 metros tengan un valor del 50%, y todo lo que esté más allá de 400 metros puntúe un 100%. Esto no quita que a la hora de proponer una nueva línea, si se cruza alguna línea de metro, no se busque la correspondencia con alguna estación existente para mejorar el mallado de la red.

Finalmente, el 20% restante del peso total se le asigna a la '''densidad de población''' de los diferentes barrios, pues en las zonas más densamente pobladas será donde seguramente tendrá mayor éxito la construcción de una nueva estación. El que se le asigne un mayor o menor porcentaje de ese 20% dependerá de la relación entre la densidad del barrio y la densidad máxima de todos los barrios, ya que lo importante es priorizar entre unas zonas y otras.

Los pesos resumidos son los siguientes:

• Cercanía a un punto de interés general (35%)
:* Educación (<500m): 0,4
:*:* Centros públicos: 0,6
:*:* Universidades: 0,4
:* Sanidad (<300m): 0,35
:*:* Hospitales: 0,6
:*:* Ambulatorios: 0,25
:*:* Centros de especialidades: 0,15
:* Comercio (<350m): 0,15 (Hipermercados, centros comerciales y grandes superficies)
:* Turismo (<700m): 0,10 (plazas de toros, museos, parques y puentes)

• Conexión con la red de cercanías (<100m) (25%)

• Lejanía a una boca de metro (20%)
:* 0-200 metros: 0
:* 200-400 metros: 0,5
:* >400 metros: 1

• Densidad de población (20%)
:* Normalización: división entre el máximo

Con dichos pesos, hemos realizado Buffers en cada uno de los elementos a la distancia o distancias consideradas con el fin de reflejar en cada uno de los puntos de interés considerados las áreas que reciben cada puntuación. Para hacer efectivos los valores hemos introducido en la tabla de atributos una nueva columna con los valores en tanto por uno. La extensión de los buffers se ha modificado recortándolos con la capa de barrios para adaptarlos a la zona de estudio.

En el caso de la densidad de población hemos utilizado los datos de población cargados anteriormente y los hemos dividido en cada barrio por su área (calculada con las opciones de la tabla de atributos), obteniendo la densidad de cada barrio en habitantes por hectárea. Para normalizar estos valores hemos adoptado el criterio de dividir por el valor máximo, para conseguir valores relativos entre 0 y 1.

Antes de rasterizar es necesario definir capas vectoriales que tengan todas la misma extensión, con el valor deseado en la zona de los buffers y 0 en el resto, para que a la hora de sumarlos abarquemos todo el área de estudio. Para ello hemos creado una capa con valor 0 en todos sus puntos y la hemos cortado con la capa de barrios. Después hemos unido cada uno de los buffers a dicha capa, consiguiendo las capas definitivas a rasterizar.

A continuación, tenemos que rasterizar las capas de los buffers creados según el valor de los pesos asignados para lo cual hay que recurrir a Grass. Lo primero que hacemos es crear el directorio de mapas de Grass, con un tamaño de celdas de 5 metros y después importar las capas vectoriales. Posteriormente se rasterizan para poder sumarlas.

Finalmente, se suman todas las capas raster con la calculadora de Grass para obtener el mapa con las zonas óptimas para colocar nuevas paradas según el análisis multicriterio empleado. En el apartado 5 de anejos pueden verse los mapas con las diferentes áreas de influencia como pasos intermedios.

==Resultados==

A continuación se muestra la capa final obtenida de aplicar el análisis multicriterio a la zona de estudio, sumando todas las capas de las áreas de influencia con sus respectivos pesos. La puntuación de cada punto aparece en tanto por uno.

[[Archivo:Multicriterio.jpg|800px|thumb|centre|Resultados del análisis multicriterio]]

Para decidir las zonas donde es mejor situar las nuevas estaciones, nos quedamos solo con aquellas cuya puntuación es superior a 0,5. Se puede observar que la mayoría de áreas con esa puntuación se encuentran a lo largo de la margen derecha del Manzanares, salvo en el caso del barrio de la Chopera, y otras zonas que ya quedan bastante más alejadas y desconectadas del resto en el distrito de Carabanchel.

Entre las áreas de mayor puntuación, como son las inmediaciones de la Ermita de San Isidro, comprobamos la eficacia de nuestro modelo, visualizando centros de educación pública como son el Colegio San Alberto Magno o el Colegio Público Nuestra Señora del Lucero sin accesibilidad a transportes públicos de gran capacidad.

Además hay que tener en cuenta la importancia que da nuestro modelo a la red de cercanías con el fin de hacer un intercambiador, mejorando así la accesibilidad entre ambas redes (metro y cercanías). No obstante, y como es lógico, la densidad de población juega un papel muy importante en las consideraciones llevadas a cabo, detectando zonas claras donde es necesario mejorar el transporte público de gran capacidad.

Observando los resultados del modelo y fijándonos detenidamente en la figura 1 mostrada anteriormente, se considera en primera instancia la opción de realizar paradas en las líneas existentes. Esta primera opción valorada, si bien es cierto que dando importancia exclusivamente a la parte económica era considerablemente aconsejable, no nos soluciona el problema detectado en la zona.

Para solucionar dicho problema, tenemos que incidir en las áreas claramente desatendidas y por ello se plantea la opción de una nueva línea de metro con un intercambiador, encontrando la eficacia en los puntos débiles detectados por el modelo.

Con estos resultados, procedemos a proponer el trazado de una nueva línea, que en este caso será de metro, dado que las distancias entre algunas de las estaciones no son muy grandes como puede verse en el mapa.

[[Archivo:Conclusiona.jpg|800px|thumb|centre|Propuesta de la nueva línea de metro]]

La nueva línea, a la que hemos nombrado línea 13 de metro, comienza su recorrido en el intercambiador de Príncipe Pio, donde conectaría con las líneas 6, 10 y Ramal del metro y las líneas C-1, C-7 y C-10 de cercanías. Partiendo de dicha estación, cruzaría el río Manzanares intentado esquivar las infraestructuras existentes bajo la zona, para llegar a su primera parada en las inmediaciones del Paseo de la Ermita del Santo. Posteriormente continuaría en paralelo al río hasta llegar a su intersección con la línea C-5 de cercanías, situándose aquí la estación de San Isidro, que permitiría el transbordo entre ambos modos de transporte, como era uno de los objetivos del estudio. La siguiente estación sería la de Marqués de Vadillo, estación de la línea 5 de metro ya existente, y que mejoría el mallado de la red a pesar de no ser uno de los puntos que se obtienen como resultado del estudio. Finalmente la línea tendría otra parada en el barrio de Comillas, y cruzaría el río con otra parada en el barrio de la Chopera, para dirigirse a su final en la estación de Legazpi, donde conecta con las líneas 3 y 6 del metro, siendo otro gran intercambiador de la ciudad.

==Conclusiones==

[[Archivo:Conclusionb.jpg|800px|thumb|centre|Detalle de la nueva línea 13]]

Con esta nueva línea 13 que proponemos se mejora la red de transporte público de alta capacidad una de las zonas con peor cobertura de la red, conectando a su vez con grandes estaciones de gran número de viajeros en sus extremos, y con otras líneas a lo largo de su recorrido, permitiendo mejorar la intermodalidad.

La nueva línea 13, de 5,7 kilómetros de longitud, cuenta con 7 estaciones de las cuales 4 serían de nueva construcción. esta nueva infraestructura benefeciaría a 230.000 vecinos de los barrios de la Chopera, Casa de Campo, Argüelles, los Cármenes, Puerta de Toledo, Comillas, Opañel, San Isidro y Moscardó, incrementando la accesibilidad a los barrios y a sus dotaciones, mejorando la calidad de vida de la zona.

Además esta nueva línea tiene la ventaja de poder ampliarse por ambos extremos en caso de ser necesario.

En el caso del extremo norte, la línea puede ampliarse hacia la Avenida de Valladolid, zona también bastante aislada bordeada por la Casa de Campo y las vías del tren, que a pesar de todo no tienen ninguna parada en la zona. Sin embargo, según nuestro análisis no existe ningún punto de interés importante en esa zona por la falta de dotaciones, y dado que el barrio de Casa de Campo tiene una gran superficie despoblada, tampoco ha podido acumular puntuación por densidad de población. Aun así las reivindicaciones de transporte de los vecinos de la zona podrían tenerse en cuenta.

Por el extremo sur la ampliación es difícil más allá del nudo sur al no haber núcleos de población cercanos, por lo que solo se podría añadir una parada más al final de la calle Embajadores, aunque su utilidad es dudosa al no poder tampoco conectar con la línea C-5 de cercanías por la excesiva elevación de las vías en ese punto.

==Anejos==

[[Archivo:Sanidad.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros sanitarios]]

[[Archivo:Metrocercanias.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de metro y cercanías]]

[[Archivo:Educacion.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros educativos]]

[[Archivo:Densidadbarrios.jpg|800px|thumb|centre|Barrios de Madrid según su densidad de población]]

[[Archivo:Comercioturismo.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros de comercio y turismo]]

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ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS

2015-11-26T14:43:06Z

Sandro.andres:

{{ TrabajoSIG | ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS | Sandro Andrés Martínez

Miriam García Lorenzana

Marino Rivera Muñoz

José Manuel Torres Serrano | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

== Introducción==

En este trabajo se plantea el análisis del transporte público de mayor capacidad como son el metro y el cercanías en la zona de Madrid Río. Más concretamente, nos centramos en la margen derecha correspondiente a los distritos de Latina, Carabanchel y Usera, entre Príncipe Pío y Legazpi, en la que se detecta una bolsa de inaccesibilidad en lo relativo a estos medios de transporte.

Esta zona el transporte depende fundamentalmente del vehículo privado, ya que la falta de estaciones de metro y las bajas frecuencias de los autobuses hacen que el primero sea mucho más competitivo.

Para el estudio empleamos los datos de la Infraestructura de Datos Espaciales de la Comunidad de Madrid, donde se encuentran los datos de las estaciones, las líneas, las bocas de metro y cercanías y los diferentes distritos y barrios. Con ello, y junto con los datos estadísticos de población y otros factores de servicios e instalaciones, se pretende valorar diferentes alternativas en función de su cercanía a centros públicos, áreas con mayor densidad, zonas de ocio y otros lugares de interés. Esto nos permitirá hacer un estudio completo y eficiente.

Lo que pretendemos obtener son los lugares más propicios para situar nuevas estaciones y crear nuevas líneas que las conecten a la red existente, procurando también crear transbordos con otras líneas existentes para mejorar el mallado de la red.

[[Archivo:Intro1.jpg|400px|thumb|left|Mapa de la zona de estudio, con las zonas peor comunicadas señaladas]]

==Metodología==

Para comenzar hemos seleccionado en la capa de los barrios de Madrid solo los que son objeto de estudio y hemos añadido una columna en la tabla de atributos con los datos de población de cara a utilizarlos en el análisis. También hemos cargado la hoja 559 del MTN 50 para utilizarla como referencia de la ciudad de Madrid y de cara a una mejor presentación de los planos.

Posteriormente, hemos cargado todas las capas relativas a líneas y estaciones, centros educativos, centros de salud y lugares de interés relacionados con comercio y turismo, todas ellas descargadas de la plataforma Nomecalles. Mediante el comando de unión hemos agrupado los datos para adaptarlo al análisis multicriterio que se explica a continuación.

Dicho método consiste en tener en cuenta una serie de variables a las que se les asignarán diferentes pesos repartidos proporcionalmente a su importancia e impacto a la hora de buscar la ubicación de una nueva estación. En este caso hemos considerado 4 factores: cercanía a un punto de interés general, cercanía a líneas de ferrocarril, lejanía a estaciones de metro y densidad de población.

Para la '''cercanía a puntos de interés general''' se asigna un 35% del total, pues consideramos que es el factor más determinante a la hora generar desplazamientos. Dentro de este apartado:

:* Se le asigna un 40% a '''centros educativos''', incluyendo centros públicos y universidades, con un área de influencia distancia de 500 metros, ya que las personas que se desplazan a estos lugares son en general gente joven que puede recorrer mayores distancias.

:* A los '''centros sanitarios''' de les asigna un 35% y un área de influencia de 300 metros, ya que pensamos que la gente que se desplaza a estos lugares es gente en general con dolencias que impiden recorrer mayores distancias.

:* En cuanto a los puntos relacionados con '''comercio y turismo''', se les asigna un 15% y un 10% y unas áreas de influencia de 350 y 700 metros respectivamente, pues pensamos que cuando se va de compras no se recorren grandes distancias al ir cargando con lo comprado, mientras que en el caso del turismo si se recorren mayores distancias por motivos de ocio. En cualquier caso, estos dos últimos, salvo eventos puntuales en el tiempo, no generan tanta demanda con los dos primeros, ya que en los barrios estudiados tampoco hay zonas de gran atracción como si las hay en centro de la capital.

En cuanto a la conexión a las '''redes de transporte''' se distinguen dos casos:

:* Por un lado la conexión a la '''red de cercanías''' la consideramos positiva, ya que en la zona de estudio hay pocas estaciones de cercanías, y por tanto no estaría de más crear alguna nueva sobre líneas existentes, por ejemplo en la línea C-5, que a pesar de cruzar el Manzanares por la zona del Vicente Calderón, no tiene ninguna parada en varios kilómetros a ambos márgenes. Por ello, con el fin de crear nuevas estaciones que sirvan además de conexión con la nueva línea que plantearemos, se otorga un peso del 25% al área de influencia de 100 metros a lo largo de las líneas de cercanías para crear dicho intercambio.

:* Por otro lado, hemos decidido penalizar la cercanía a las '''estaciones de metro''', dado que lo que pretendemos es crear estaciones en lugares donde no las hay y que lo necesiten. Por eso, dentro del 20% que hemos asignado a este apartado, consideramos que el área de influencia de 200 metros de las bocas de metro no tenga ninguna puntuación, que el área entre 200 y 400 metros tengan un valor del 50%, y todo lo que esté más allá de 400 metros puntúe un 100%. Esto no quita que a la hora de proponer una nueva línea, si se cruza alguna línea de metro, no se busque la correspondencia con alguna estación existente para mejorar el mallado de la red.

Finalmente, el 20% restante del peso total se le asigna a la '''densidad de población''' de los diferentes barrios, pues en las zonas más densamente pobladas será donde seguramente tendrá mayor éxito la construcción de una nueva estación. El que se le asigne un mayor o menor porcentaje de ese 20% dependerá de la relación entre la densidad del barrio y la densidad máxima de todos los barrios, ya que lo importante es priorizar entre unas zonas y otras.

Los pesos resumidos son los siguientes:

• Cercanía a un punto de interés general (35%)
:* Educación (<500m): 0,4
:*:* Centros públicos: 0,6
:*:* Universidades: 0,4
:* Sanidad (<300m): 0,35
:*:* Hospitales: 0,6
:*:* Ambulatorios: 0,25
:*:* Centros de especialidades: 0,15
:* Comercio (<350m): 0,15 (Hipermercados, centros comerciales y grandes superficies)
:* Turismo (<700m): 0,10 (plazas de toros, museos, parques y puentes)

• Conexión con la red de cercanías (<100m) (25%)

• Lejanía a una boca de metro (20%)
:* 0-200 metros: 0
:* 200-400 metros: 0,5
:* >400 metros: 1

• Densidad de población (20%)
:* Normalización: división entre el máximo

Con dichos pesos, hemos realizado Buffers en cada uno de los elementos a la distancia o distancias consideradas con el fin de reflejar en cada uno de los puntos de interés considerados las áreas que reciben cada puntuación. Para hacer efectivos los valores hemos introducido en la tabla de atributos una nueva columna con los valores en tanto por uno. La extensión de los buffers se ha modificado recortándolos con la capa de barrios para adaptarlos a la zona de estudio.

En el caso de la densidad de población hemos utilizado los datos de población cargados anteriormente y los hemos dividido en cada barrio por su área (calculada con las opciones de la tabla de atributos), obteniendo la densidad de cada barrio en habitantes por hectárea. Para normalizar estos valores hemos adoptado el criterio de dividir por el valor máximo, para conseguir valores relativos entre 0 y 1.

Antes de rasterizar es necesario definir capas vectoriales que tengan todas la misma extensión, con el valor deseado en la zona de los buffers y 0 en el resto, para que a la hora de sumarlos abarquemos todo el área de estudio. Para ello hemos creado una capa con valor 0 en todos sus puntos y la hemos cortado con la capa de barrios. Después hemos unido cada uno de los buffers a dicha capa, consiguiendo las capas definitivas a rasterizar.

A continuación, tenemos que rasterizar las capas de los buffers creados según el valor de los pesos asignados para lo cual hay que recurrir a Grass. Lo primero que hacemos es crear el directorio de mapas de Grass, con un tamaño de celdas de 5 metros y después importar las capas vectoriales. Posteriormente se rasterizan para poder sumarlas.

Finalmente, se suman todas las capas raster con la calculadora de Grass para obtener el mapa con las zonas óptimas para colocar nuevas paradas según el análisis multicriterio empleado. En el apartado 5 de anejos pueden verse los mapas con las diferentes áreas de influencia como pasos intermedios.

==Resultados==

A continuación se muestra la capa final obtenida de aplicar el análisis multicriterio a la zona de estudio, sumando todas las capas de las áreas de influencia con sus respectivos pesos. La puntuación de cada punto aparece en tanto por uno.

[[Archivo:Multicriterio.jpg|800px|thumb|centre|Resultados del análisis multicriterio]]

Para decidir las zonas donde es mejor situar las nuevas estaciones, nos quedamos solo con aquellas cuya puntuación es superior a 0,5. Se puede observar que la mayoría de áreas con esa puntuación se encuentran a lo largo de la margen derecha del Manzanares, salvo en el caso del barrio de la Chopera, y otras zonas que ya quedan bastante más alejadas y desconectadas del resto en el distrito de Carabanchel.

Entre las áreas de mayor puntuación, como son las inmediaciones de la Ermita de San Isidro, comprobamos la eficacia de nuestro modelo, visualizando centros de educación pública como son el Colegio San Alberto Magno o el Colegio Público Nuestra Señora del Lucero sin accesibilidad a transportes públicos de gran capacidad.

Además hay que tener en cuenta la importancia que da nuestro modelo a la red de cercanías con el fin de hacer un intercambiador, mejorando así la accesibilidad entre ambas redes (metro y cercanías). No obstante, y como es lógico, la densidad de población juega un papel muy importante en las consideraciones llevadas a cabo, detectando zonas claras donde es necesario mejorar el transporte público de gran capacidad.

Observando los resultados del modelo y fijándonos detenidamente en la figura 1 mostrada anteriormente, se considera en primera instancia la opción de realizar paradas en las líneas existentes. Esta primera opción valorada, si bien es cierto que dando importancia exclusivamente a la parte económica era considerablemente aconsejable, no nos soluciona el problema detectado en la zona.

Para solucionar dicho problema, tenemos que incidir en las áreas claramente desatendidas y por ello se plantea la opción de una nueva línea de metro con un intercambiador, encontrando la eficacia en los puntos débiles detectados por el modelo.

==Conclusiones==

Con estos resultados, procedemos a proponer el trazado de una nueva línea, que en este caso será de metro, dado que las distancias entre algunas de las estaciones no son muy grandes como puede verse en el mapa.

[[Archivo:Conclusiona.jpg|800px|thumb|centre|Propuesta de la nueva línea de metro]]

La nueva línea, a la que hemos nombrado línea 13 de metro, comienza su recorrido en el intercambiador de Príncipe Pio, donde conectaría con las líneas 6, 10 y Ramal del metro y las líneas C-1, C-7 y C-10 de cercanías. Partiendo de dicha estación, cruzaría el río Manzanares intentado esquivar las infraestructuras existentes bajo la zona, para llegar a su primera parada en las inmediaciones del Paseo de la Ermita del Santo. Posteriormente continuaría en paralelo al río hasta llegar a su intersección con la línea C-5 de cercanías, situándose aquí la estación de San Isidro, que permitiría el transbordo entre ambos modos de transporte, como era uno de los objetivos del estudio. La siguiente estación sería la de Marqués de Vadillo, estación de la línea 5 de metro ya existente, y que mejoría el mallado de la red a pesar de no ser uno de los puntos que se obtienen como resultado del estudio. Finalmente la línea tendría otra parada en el barrio de Comillas, y cruzaría el río con otra parada en el barrio de la Chopera, para dirigirse a su final en la estación de Legazpi, donde conecta con las líneas 3 y 6 del metro, siendo otro gran intercambiador de la ciudad.

[[Archivo:Conclusionb.jpg|800px|thumb|centre|Detalle de la nueva línea 13]]

Con esta nueva línea se mejora la red de transporte público de alta capacidad una de las zonas con peor cobertura de la red, conectando a su vez con grandes estaciones de gran número de viajeros en sus extremos, y con otras líneas a lo largo de su recorrido, permitiendo mejorar la intermodalidad.

Además esta nueva línea tiene la ventaja de poder ampliarse por ambos extremos en caso de ser necesario.

En el caso del extremo norte, la línea puede ampliarse hacia la Avenida de Valladolid, zona también bastante aislada bordeada por la Casa de Campo y las vías del tren, que a pesar de todo no tienen ninguna parada en la zona. Sin embargo, según nuestro análisis no existe ningún punto de interés importante en esa zona por la falta de dotaciones, y dado que el barrio de Casa de Campo tiene una gran superficie despoblada, tampoco ha podido acumular puntuación por densidad de población. Aun así las reivindicaciones de transporte de los vecinos de la zona podrían tenerse en cuenta.

Por el extremo sur la ampliación es difícil más allá del nudo sur al no haber núcleos de población cercanos, por lo que solo se podría añadir una parada más al final de la calle Embajadores, aunque su utilidad es dudosa al no poder tampoco conectar con la línea C-5 de cercanías por la excesiva elevación de las vías en ese punto.

==Anejos==

[[Archivo:Sanidad.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros sanitarios]]

[[Archivo:Metrocercanias.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de metro y cercanías]]

[[Archivo:Educacion.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros educativos]]

[[Archivo:Densidadbarrios.jpg|800px|thumb|centre|Barrios de Madrid según su densidad de población]]

[[Archivo:Comercioturismo.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros de comercio y turismo]]

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS

2015-11-26T14:29:47Z

Sandro.andres:

{{ TrabajoSIG | ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS | Sandro Andrés Martínez

Miriam García Lorenzana

Marino Rivera Muñoz

José Manuel Torres Serrano | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

== Introducción==

En este trabajo se plantea el análisis del transporte público de mayor capacidad como son el metro y el cercanías en la zona de Madrid Río. Más concretamente, nos centramos en la margen derecha correspondiente a los distritos de Latina, Carabanchel y Usera, entre Príncipe Pío y Legazpi, en la que se detecta una bolsa de inaccesibilidad en lo relativo a estos medios de transporte.

Esta zona el transporte depende fundamentalmente del vehículo privado, ya que la falta de estaciones de metro y las bajas frecuencias de los autobuses hacen que el primero sea mucho más competitivo.

Para el estudio empleamos los datos de la Infraestructura de Datos Espaciales de la Comunidad de Madrid, donde se encuentran los datos de las estaciones, las líneas, las bocas de metro y cercanías y los diferentes distritos y barrios. Con ello, y junto con los datos estadísticos de población y otros factores de servicios e instalaciones, se pretende valorar diferentes alternativas en función de su cercanía a centros públicos, áreas con mayor densidad, zonas de ocio y otros lugares de interés. Esto nos permitirá hacer un estudio completo y eficiente.

Lo que pretendemos obtener son los lugares más propicios para situar nuevas estaciones y crear nuevas líneas que las conecten a la red existente, procurando también crear transbordos con otras líneas existentes para mejorar el mallado de la red.

[[Archivo:Intro1.jpg|400px|thumb|left|Mapa de la zona de estudio, con las zonas peor comunicadas señaladas]]

==Metodología==

Para comenzar hemos seleccionado en la capa de los barrios de Madrid solo los que son objeto de estudio y hemos añadido una columna en la tabla de atributos con los datos de población de cara a utilizarlos en el análisis. También hemos cargado la hoja 559 del MTN 50 para utilizarla como referencia de la ciudad de Madrid y de cara a una mejor presentación de los planos.

Posteriormente, hemos cargado todas las capas relativas a líneas y estaciones, centros educativos, centros de salud y lugares de interés relacionados con comercio y turismo, todas ellas descargadas de la plataforma Nomecalles. Mediante el comando de unión hemos agrupado los datos para adaptarlo al análisis multicriterio que se explica a continuación.

Dicho método consiste en tener en cuenta una serie de variables a las que se les asignarán diferentes pesos repartidos proporcionalmente a su importancia e impacto a la hora de buscar la ubicación de una nueva estación. En este caso hemos considerado 4 factores: cercanía a un punto de interés general, cercanía a líneas de ferrocarril, lejanía a estaciones de metro y densidad de población.

Para la '''cercanía a puntos de interés general''' se asigna un 35% del total, pues consideramos que es el factor más determinante a la hora generar desplazamientos. Dentro de este apartado:

:* Se le asigna un 40% a '''centros educativos''', incluyendo centros públicos y universidades, con un área de influencia distancia de 500 metros, ya que las personas que se desplazan a estos lugares son en general gente joven que puede recorrer mayores distancias.

:* A los '''centros sanitarios''' de les asigna un 35% y un área de influencia de 300 metros, ya que pensamos que la gente que se desplaza a estos lugares es gente en general con dolencias que impiden recorrer mayores distancias.

:* En cuanto a los puntos relacionados con '''comercio y turismo''', se les asigna un 15% y un 10% y unas áreas de influencia de 350 y 700 metros respectivamente, pues pensamos que cuando se va de compras no se recorren grandes distancias al ir cargando con lo comprado, mientras que en el caso del turismo si se recorren mayores distancias por motivos de ocio. En cualquier caso, estos dos últimos, salvo eventos puntuales en el tiempo, no generan tanta demanda con los dos primeros, ya que en los barrios estudiados tampoco hay zonas de gran atracción como si las hay en centro de la capital.

En cuanto a la conexión a las '''redes de transporte''' se distinguen dos casos:

:* Por un lado la conexión a la '''red de cercanías''' la consideramos positiva, ya que en la zona de estudio hay pocas estaciones de cercanías, y por tanto no estaría de más crear alguna nueva sobre líneas existentes, por ejemplo en la línea C-5, que a pesar de cruzar el Manzanares por la zona del Vicente Calderón, no tiene ninguna parada en varios kilómetros a ambos márgenes. Por ello, con el fin de crear nuevas estaciones que sirvan además de conexión con la nueva línea que plantearemos, se otorga un peso del 25% al área de influencia de 100 metros a lo largo de las líneas de cercanías para crear dicho intercambio.

:* Por otro lado, hemos decidido penalizar la cercanía a las '''estaciones de metro''', dado que lo que pretendemos es crear estaciones en lugares donde no las hay y que lo necesiten. Por eso, dentro del 20% que hemos asignado a este apartado, consideramos que el área de influencia de 200 metros de las bocas de metro no tenga ninguna puntuación, que el área entre 200 y 400 metros tengan un valor del 50%, y todo lo que esté más allá de 400 metros puntúe un 100%. Esto no quita que a la hora de proponer una nueva línea, si se cruza alguna línea de metro, no se busque la correspondencia con alguna estación existente para mejorar el mallado de la red.

Finalmente, el 20% restante del peso total se le asigna a la '''densidad de población''' de los diferentes barrios, pues en las zonas más densamente pobladas será donde seguramente tendrá mayor éxito la construcción de una nueva estación. El que se le asigne un mayor o menor porcentaje de ese 20% dependerá de la relación entre la densidad del barrio y la densidad máxima de todos los barrios, ya que lo importante es priorizar entre unas zonas y otras.

Los pesos resumidos son los siguientes:

• Cercanía a un punto de interés general (35%)
:* Educación (<500m): 0,4
:*:* Centros públicos: 0,6
:*:* Universidades: 0,4
:* Sanidad (<300m): 0,35
:*:* Hospitales: 0,6
:*:* Ambulatorios: 0,25
:*:* Centros de especialidades: 0,15
:* Comercio (<350m): 0,15 (Hipermercados, centros comerciales y grandes superficies)
:* Turismo (<700m): 0,10 (plazas de toros, museos, parques y puentes)

• Conexión con la red de cercanías (<100m) (25%)

• Lejanía a una boca de metro (20%)
:* 0-200 metros: 0
:* 200-400 metros: 0,5
:* >400 metros: 1

• Densidad de población (20%)
:* Normalización: división entre el máximo

Con dichos pesos, hemos realizado Buffers en cada uno de los elementos a la distancia o distancias consideradas con el fin de reflejar en cada uno de los puntos de interés considerados las áreas que reciben cada puntuación. Para hacer efectivos los valores hemos introducido en la tabla de atributos una nueva columna con los valores en tanto por uno. La extensión de los buffers se ha modificado recortándolos con la capa de barrios para adaptarlos a la zona de estudio.

En el caso de la densidad de población hemos utilizado los datos de población cargados anteriormente y los hemos dividido en cada barrio por su área (calculada con las opciones de la tabla de atributos), obteniendo la densidad de cada barrio en habitantes por hectárea. Para normalizar estos valores hemos adoptado el criterio de dividir por el valor máximo, para conseguir valores relativos entre 0 y 1.

Antes de rasterizar es necesario definir capas vectoriales que tengan todas la misma extensión, con el valor deseado en la zona de los buffers y 0 en el resto, para que a la hora de sumarlos abarquemos todo el área de estudio. Para ello hemos creado una capa con valor 0 en todos sus puntos y la hemos cortado con la capa de barrios. Después hemos unido cada uno de los buffers a dicha capa, consiguiendo las capas definitivas a rasterizar.

A continuación, tenemos que rasterizar las capas de los buffers creados según el valor de los pesos asignados para lo cual hay que recurrir a Grass. Lo primero que hacemos es crear el directorio de mapas de Grass, con un tamaño de celdas de 5 metros y después importar las capas vectoriales. Posteriormente se rasterizan para poder sumarlas.

Finalmente, se suman todas las capas raster con la calculadora de Grass para obtener el mapa con las zonas óptimas para colocar nuevas paradas según el análisis multicriterio empleado. En el apartado 5 de anejos pueden verse los mapas con las diferentes áreas de influencia como pasos intermedios.

==Resultados==

A continuación se muestra la capa final obtenida de aplicar el análisis multicriterio a la zona de estudio, sumando todas las capas de las áreas de influencia con sus respectivos pesos. La puntuación de cada punto aparece en tanto por uno.

[[Archivo:Multicriterio.jpg|800px|thumb|centre|Resultados del análisis multicriterio]]

Para decidir las zonas donde es mejor situar las nuevas estaciones, nos quedamos solo con aquellas cuya puntuación es superior a 0,5. Se puede observar que la mayoría de áreas con esa puntuación se encuentran a lo largo de la margen derecha del Manzanares, salvo en el caso del barrio de la Chopera, y otras zonas que ya quedan bastante más alejadas y desconectadas del resto en el distrito de Carabanchel.

Entre las áreas de mayor puntuación, como son las inmediaciones de la Ermita de San Isidro, comprobamos la eficacia de nuestro modelo, visualizando centros de educación pública como son el Colegio San Alberto Magno o el Colegio Público Nuestra Señora del Lucero sin accesibilidad a transportes públicos de gran capacidad.

Además hay que tener en cuenta la importancia que da nuestro modelo a la red de cercanías con el fin de hacer un intercambiador, mejorando así la accesibilidad entre ambas redes (metro y cercanías). No obstante, y como es lógico, la densidad de población juega un papel muy importante en las consideraciones llevadas a cabo, detectando zonas claras donde es necesario mejorar el transporte público de gran capacidad.

Observando los resultados del modelo y fijándonos detenidamente en la figura 1 mostrada anteriormente, se considera en primera instancia la opción de realizar paradas en las líneas existentes. Esta primera opción valorada, si bien es cierto que dando importancia exclusivamente a la parte económica era considerablemente aconsejable, no nos soluciona el problema detectado en la zona.

Para solucionar dicho problema, tenemos que incidir en las áreas claramente desatendidas y por ello se plantea la opción de una nueva línea de metro con un intercambiador, encontrando la eficacia en los puntos débiles detectados por el modelo.

==Conclusiones==

Con estos resultados, procedemos a proponer el trazado de una nueva línea, que en este caso será de metro, dado que las distancias entre algunas de las estaciones no son muy grandes como puede verse en el mapa.

[[Archivo:Conclusiona.jpg|800px|thumb|centre|Propuesta de la nueva línea de metro]]

La nueva línea, a la que hemos nombrado línea 13 de metro, comienza su recorrido en el intercambiador de Príncipe Pio, donde conectaría con las líneas 6, 10 y Ramal del metro y las líneas C-1, C-7 y C-10 de cercanías. Partiendo de dicha estación, cruzaría el río Manzanares intentado esquivar las infraestructuras existentes bajo la zona, para llegar a su primera parada en las inmediaciones del Paseo de la Ermita del Santo. Posteriormente continuaría en paralelo al río hasta llegar a su intersección con la línea C-5 de cercanías, situándose aquí la estación de San Isidro, que permitiría el transbordo entre ambos modos de transporte, como era uno de los objetivos del estudio. La siguiente estación sería la de Marqués de Vadillo, estación de la línea 5 de metro ya existente, y que mejoría el mallado de la red a pesar de no ser uno de los puntos que se obtienen como resultado del estudio. Finalmente la línea tendría otra parada en el barrio de Comillas, y cruzaría el río con otra parada en el barrio de la Chopera, para dirigirse a su final en la estación de Legazpi, donde conecta con las líneas 3 y 6 del metro, siendo otro gran intercambiador de la ciudad.

[[Archivo:Conclusionb.jpg|800px|thumb|centre|Detalle de la nueva línea 13]]

Con esta nueva línea se mejora la red de transporte público de alta capacidad una de las zonas con peor cobertura de la red, conectando a su vez con grandes estaciones de gran número de viajeros en sus extremos, y con otras líneas a lo largo de su recorrido, permitiendo mejorar la intermodalidad.

Además esta nueva línea tiene la ventaja de poder ampliarse por ambos extremos en caso de ser necesario.

En el caso del extremo norte, la línea puede ampliarse hacia la Avenida de Valladolid, zona también bastante aislada bordeada por la Casa de Campo y las vías del tren, que a pesar de todo no tienen ninguna parada en la zona. Sin embargo, según nuestro análisis no existe ningún punto de interés importante en esa zona, y dado que el barrio de Casa de Campo tiene una gran superficie despoblada, tampoco ha podido acumular puntuación por densidad de población. Aun así las reivindicaciones de transporte de los vecinos de la zona podrían tenerse en cuenta.

Por el extremo sur la ampliación es difícil más allá del nudo sur al no haber núcleos de población cercanos, por lo que solo se podría añadir una parada más al final de la calle Embajadores, aunque su utilidad es dudosa al no poder tampoco conectar con la línea C-5 de cercanías por la excesiva elevación de las vías en ese punto.

==Anejos==

[[Archivo:Sanidad.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros sanitarios]]

[[Archivo:Metrocercanias.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de metro y cercanías]]

[[Archivo:Educacion.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros educativos]]

[[Archivo:Densidadbarrios.jpg|800px|thumb|centre|Barrios de Madrid según su densidad de población]]

[[Archivo:Comercioturismo.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros de comercio y turismo]]

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
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ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS

2015-11-26T14:17:58Z

Sandro.andres:

{{ TrabajoSIG | ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS | Sandro Andrés Martínez

Miriam García Lorenzana

Marino Rivera Muñoz

José Manuel Torres Serrano | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

== Introducción==

En este trabajo se plantea el análisis del transporte público de mayor capacidad como son el metro y el cercanías en la zona de Madrid Río. Más concretamente, nos centramos en la margen derecha correspondiente a los distritos de Latina, Carabanchel y Usera, entre Príncipe Pío y Legazpi, en la que se detecta una bolsa de inaccesibilidad en lo relativo a estos medios de transporte.

Esta zona el transporte depende fundamentalmente del vehículo privado, ya que la falta de estaciones de metro y las bajas frecuencias de los autobuses hacen que el primero sea mucho más competitivo.

Para el estudio empleamos los datos de la Infraestructura de Datos Espaciales de la Comunidad de Madrid, donde se encuentran los datos de las estaciones, las líneas, las bocas de metro y cercanías y los diferentes distritos y barrios. Con ello, y junto con los datos estadísticos de población y otros factores de servicios e instalaciones, se pretende valorar diferentes alternativas en función de su cercanía a centros públicos, áreas con mayor densidad, zonas de ocio y otros lugares de interés. Esto nos permitirá hacer un estudio completo y eficiente.

Lo que pretendemos obtener son los lugares más propicios para situar nuevas estaciones y crear nuevas líneas que las conecten a la red existente, procurando también crear transbordos con otras líneas existentes para mejorar el mallado de la red.

[[Archivo:Intro1.jpg|400px|thumb|left|Mapa de la zona de estudio, con las zonas peor comunicadas]]

==Metodología==

Para comenzar hemos seleccionado en la capa de los barrios de Madrid solo los que son objeto de estudio y hemos añadido una columna en la tabla de atributos con los datos de población de cara a utilizarlos en el análisis. También hemos cargado la hoja 559 del MTN 50 para utilizarla como referencia de la ciudad de Madrid y de cara a una mejor presentación de los planos.

Posteriormente, hemos cargado todas las capas relativas a líneas y estaciones, centros educativos, centros de salud y lugares de interés relacionados con comercio y turismo, todas ellas descargadas de la plataforma Nomecalles. Mediante el comando de unión hemos agrupado los datos para adaptarlo al análisis multicriterio que se explica a continuación.

Dicho método consiste en tener en cuenta una serie de variables a las que se les asignarán diferentes pesos repartidos proporcionalmente a su importancia e impacto a la hora de buscar la ubicación de una nueva estación. En este caso hemos considerado 4 factores: cercanía a un punto de interés general, cercanía a líneas de ferrocarril, lejanía a estaciones de metro y densidad de población.

Para la '''cercanía a puntos de interés general''' se asigna un 35% del total, pues consideramos que es el factor más determinante a la hora generar desplazamientos. Dentro de este apartado:

:* Se le asigna un 40% a '''centros educativos''', incluyendo centros públicos y universidades, con un área de influencia distancia de 500 metros, ya que las personas que se desplazan a estos lugares son en general gente joven que puede recorrer mayores distancias.

:* A los '''centros sanitarios''' de les asigna un 35% y un área de influencia de 300 metros, ya que pensamos que la gente que se desplaza a estos lugares es gente en general con dolencias que impiden recorrer mayores distancias.

:* En cuanto a los puntos relacionados con '''comercio y turismo''', se les asigna un 15% y un 10% y unas áreas de influencia de 350 y 700 metros respectivamente, pues pensamos que cuando se va de compras no se recorren grandes distancias al ir cargando con lo comprado, mientras que en el caso del turismo si se recorren mayores distancias por motivos de ocio. En cualquier caso, estos dos últimos, salvo eventos puntuales en el tiempo, no generan tanta demanda con los dos primeros, ya que en los barrios estudiados tampoco hay zonas de gran atracción como si las hay en centro de la capital.

En cuanto a la conexión a las '''redes de transporte''' se distinguen dos casos:

:* Por un lado la conexión a la '''red de cercanías''' la consideramos positiva, ya que en la zona de estudio hay pocas estaciones de cercanías, y por tanto no estaría de más crear alguna nueva sobre líneas existentes, por ejemplo en la línea C-5, que a pesar de cruzar el Manzanares por la zona del Vicente Calderón, no tiene ninguna parada en varios kilómetros a ambos márgenes. Por ello, con el fin de crear nuevas estaciones que sirvan además de conexión con la nueva línea que plantearemos, se otorga un peso del 25% al área de influencia de 100 metros a lo largo de las líneas de cercanías para crear dicho intercambio.

:* Por otro lado, hemos decidido penalizar la cercanía a las '''estaciones de metro''', dado que lo que pretendemos es crear estaciones en lugares donde no las hay y que lo necesiten. Por eso, dentro del 20% que hemos asignado a este apartado, consideramos que el área de influencia de 200 metros de las bocas de metro no tenga ninguna puntuación, que el área entre 200 y 400 metros tengan un valor del 50%, y todo lo que esté más allá de 400 metros puntúe un 100%. Esto no quita que a la hora de proponer una nueva línea, si se cruza alguna línea de metro, no se busque la correspondencia con alguna estación existente para mejorar el mallado de la red.

Finalmente, el 20% restante del peso total se le asigna a la '''densidad de población''' de los diferentes barrios, pues en las zonas más densamente pobladas será donde seguramente tendrá mayor éxito la construcción de una nueva estación. El que se le asigne un mayor o menor porcentaje de ese 20% dependerá de la relación entre la densidad del barrio y la densidad máxima de todos los barrios, ya que lo importante es priorizar entre unas zonas y otras.

Los pesos resumidos son los siguientes:

• Cercanía a un punto de interés general (35%)
:* Educación (<500m): 0,4
:*:* Centros públicos: 0,6
:*:* Universidades: 0,4
:* Sanidad (<300m): 0,35
:*:* Hospitales: 0,6
:*:* Ambulatorios: 0,25
:*:* Centros de especialidades: 0,15
:* Comercio (<350m): 0,15 (Hipermercados, centros comerciales y grandes superficies)
:* Turismo (<700m): 0,10 (plazas de toros, museos, parques y puentes)

• Conexión con la red de cercanías (<100m) (25%)

• Lejanía a una boca de metro (20%)
:* 0-200 metros: 0
:* 200-400 metros: 0,5
:* >400 metros: 1

• Densidad de población (20%)
:* Normalización: división entre el máximo

Con dichos pesos, hemos realizado Buffers en cada uno de los elementos a la distancia o distancias consideradas con el fin de reflejar en cada uno de los puntos de interés considerados las áreas que reciben cada puntuación. Para hacer efectivos los valores hemos introducido en la tabla de atributos una nueva columna con los valores en tanto por uno. La extensión de los buffers se ha modificado recortándolos con la capa de barrios para adaptarlos a la zona de estudio.

En el caso de la densidad de población hemos utilizado los datos de población cargados anteriormente y los hemos dividido en cada barrio por su área (calculada con las opciones de la tabla de atributos), obteniendo la densidad de cada barrio en habitantes por hectárea. Para normalizar estos valores hemos adoptado el criterio de dividir por el valor máximo, para conseguir valores relativos entre 0 y 1.

Antes de rasterizar es necesario definir capas vectoriales que tengan todas la misma extensión, con el valor deseado en la zona de los buffers y 0 en el resto, para que a la hora de sumarlos abarquemos todo el área de estudio. Para ello hemos creado una capa con valor 0 en todos sus puntos y la hemos cortado con la capa de barrios. Después hemos unido cada uno de los buffers a dicha capa, consiguiendo las capas definitivas a rasterizar.

A continuación, tenemos que rasterizar las capas de los buffers creados según el valor de los pesos asignados para lo cual hay que recurrir a Grass. Lo primero que hacemos es crear el directorio de mapas de Grass, con un tamaño de celdas de 5 metros y después importar las capas vectoriales. Posteriormente se rasterizan para poder sumarlas.

Finalmente, se suman todas las capas raster con la calculadora de Grass para obtener el mapa con las zonas óptimas para colocar nuevas paradas según el análisis multicriterio empleado. En el apartado 5 de anejos pueden verse los mapas con las diferentes áreas de influencia como pasos intermedios.

==Resultados==

A continuación se muestra la capa final obtenida de aplicar el análisis multicriterio a la zona de estudio, sumando todas las capas de las áreas de influencia con sus respectivos pesos. La puntuación de cada punto aparece en tanto por uno.

[[Archivo:Multicriterio.jpg|800px|thumb|centre|Resultados del análisis multicriterio]]

Para decidir las zonas donde es mejor situar las nuevas estaciones, nos quedamos solo con aquellas cuya puntuación es superior a 0,5. Se puede observar que la mayoría de áreas con esa puntuación se encuentran a lo largo de la margen derecha del Manzanares, salvo en el caso del barrio de la Chopera, y otras zonas que ya quedan bastante más alejadas y desconectadas del resto en el distrito de Carabanchel.

Entre las áreas de mayor puntuación, como son las inmediaciones de la Ermita de San Isidro, comprobamos la eficacia de nuestro modelo, visualizando centros de educación pública como son el Colegio San Alberto Magno o el Colegio Público Nuestra Señora del Lucero sin accesibilidad a transportes públicos de gran capacidad.

Además hay que tener en cuenta la importancia que da nuestro modelo a la red de cercanías con el fin de hacer un intercambiador, mejorando así la accesibilidad entre ambas redes (metro y cercanías). No obstante, y como es lógico, la densidad de población juega un papel muy importante en las consideraciones llevadas a cabo, detectando zonas claras donde es necesario mejorar el transporte público de gran capacidad.

Observando los resultados del modelo y fijándonos detenidamente en la figura 1 mostrada anteriormente, se considera en primera instancia la opción de realizar paradas en las líneas existentes. Esta primera opción valorada, si bien es cierto que dando importancia exclusivamente a la parte económica era considerablemente aconsejable, no nos soluciona el problema detectado en la zona.

Para solucionar dicho problema, tenemos que incidir en las áreas claramente desatendidas y por ello se plantea la opción de una nueva línea de metro con un intercambiador, encontrando la eficacia en los puntos débiles detectados por el modelo.

==Conclusiones==

Con estos resultados, procedemos a proponer el trazado de una nueva línea, que en este caso será de metro, dado que las distancias entre algunas de las estaciones no son muy grandes como puede verse en el mapa.

[[Archivo:Conclusiona.jpg|800px|thumb|centre|Propuesta de la nueva línea de metro]]

La nueva línea, a la que hemos nombrado línea 13 de metro, comienza su recorrido en el intercambiador de Príncipe Pio, donde conectaría con las líneas 6, 10 y Ramal del metro y las líneas C-1, C-7 y C-10 de cercanías. Partiendo de dicha estación, cruzaría el río Manzanares intentado esquivar las infraestructuras existentes bajo la zona, para llegar a su primera parada en las inmediaciones del Paseo de la Ermita del Santo. Posteriormente continuaría en paralelo al río hasta llegar a su intersección con la línea C-5 de cercanías, situándose aquí la estación de San Isidro, que permitiría el transbordo entre ambos modos de transporte, como era uno de los objetivos del estudio. La siguiente estación sería la de Marqués de Vadillo, estación de la línea 5 de metro ya existente, y que mejoría el mallado de la red a pesar de no ser uno de los puntos que se obtienen como resultado del estudio. Finalmente la línea tendría otra parada en el barrio de Comillas, y cruzaría el río con otra parada en el barrio de la Chopera, para dirigirse a su final en la estación de Legazpi, donde conecta con las líneas 3 y 6 del metro, siendo otro gran intercambiador de la ciudad.

[[Archivo:Conclusionb.jpg|800px|thumb|centre|Detalle de la nueva línea 13]]

Con esta nueva línea se mejora la red de transporte público de alta capacidad una de las zonas con peor cobertura de la red, conectando a su vez con grandes estaciones de gran número de viajeros en sus extremos, y con otras líneas a lo largo de su recorrido, permitiendo mejorar la intermodalidad.

Además esta nueva línea tiene la ventaja de poder ampliarse por ambos extremos en caso de ser necesario. En el caso del extremo norte, la línea puede ampliarse hacia la avenida de Valladolid, zona también bastante aislada

==Anejos==

[[Archivo:Sanidad.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros sanitarios]]

[[Archivo:Metrocercanias.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de metro y cercanías]]

[[Archivo:Educacion.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros educativos]]

[[Archivo:Densidadbarrios.jpg|800px|thumb|centre|Barrios de Madrid según su densidad de población]]

[[Archivo:Comercioturismo.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros de comercio y turismo]]

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Archivo:Intro1.jpg

2015-11-26T14:14:32Z

Sandro.andres:

ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS

2015-11-26T14:12:48Z

Sandro.andres:

{{ TrabajoSIG | ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS | Sandro Andrés Martínez

Miriam García Lorenzana

Marino Rivera Muñoz

José Manuel Torres Serrano | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

== Introducción==

En este trabajo se plantea el análisis del transporte público de mayor capacidad como son el metro y el cercanías en la zona de Madrid Río. Más concretamente, nos centramos en la margen derecha correspondiente a los distritos de Latina, Carabanchel y Usera, entre Príncipe Pío y Legazpi, en la que se detecta una bolsa de inaccesibilidad en lo relativo a estos medios de transporte.

Esta zona el transporte depende fundamentalmente del vehículo privado, ya que la falta de estaciones de metro y las bajas frecuencias de los autobuses hacen que el primero sea mucho más competitivo.

Para el estudio empleamos los datos de la Infraestructura de Datos Espaciales de la Comunidad de Madrid, donde se encuentran los datos de las estaciones, las líneas, las bocas de metro y cercanías y los diferentes distritos y barrios. Con ello, y junto con los datos estadísticos de población y otros factores de servicios e instalaciones, se pretende valorar diferentes alternativas en función de su cercanía a centros públicos, áreas con mayor densidad, zonas de ocio y otros lugares de interés. Esto nos permitirá hacer un estudio completo y eficiente.

Lo que pretendemos obtener son los lugares más propicios para situar nuevas estaciones y crear nuevas líneas que las conecten a la red existente, procurando también crear transbordos con otras líneas existentes para mejorar el mallado de la red.

==Metodología==

Para comenzar hemos seleccionado en la capa de los barrios de Madrid solo los que son objeto de estudio y hemos añadido una columna en la tabla de atributos con los datos de población de cara a utilizarlos en el análisis. También hemos cargado la hoja 559 del MTN 50 para utilizarla como referencia de la ciudad de Madrid y de cara a una mejor presentación de los planos.

Posteriormente, hemos cargado todas las capas relativas a líneas y estaciones, centros educativos, centros de salud y lugares de interés relacionados con comercio y turismo, todas ellas descargadas de la plataforma Nomecalles. Mediante el comando de unión hemos agrupado los datos para adaptarlo al análisis multicriterio que se explica a continuación.

Dicho método consiste en tener en cuenta una serie de variables a las que se les asignarán diferentes pesos repartidos proporcionalmente a su importancia e impacto a la hora de buscar la ubicación de una nueva estación. En este caso hemos considerado 4 factores: cercanía a un punto de interés general, cercanía a líneas de ferrocarril, lejanía a estaciones de metro y densidad de población.

Para la '''cercanía a puntos de interés general''' se asigna un 35% del total, pues consideramos que es el factor más determinante a la hora generar desplazamientos. Dentro de este apartado:

:* Se le asigna un 40% a '''centros educativos''', incluyendo centros públicos y universidades, con un área de influencia distancia de 500 metros, ya que las personas que se desplazan a estos lugares son en general gente joven que puede recorrer mayores distancias.

:* A los '''centros sanitarios''' de les asigna un 35% y un área de influencia de 300 metros, ya que pensamos que la gente que se desplaza a estos lugares es gente en general con dolencias que impiden recorrer mayores distancias.

:* En cuanto a los puntos relacionados con '''comercio y turismo''', se les asigna un 15% y un 10% y unas áreas de influencia de 350 y 700 metros respectivamente, pues pensamos que cuando se va de compras no se recorren grandes distancias al ir cargando con lo comprado, mientras que en el caso del turismo si se recorren mayores distancias por motivos de ocio. En cualquier caso, estos dos últimos, salvo eventos puntuales en el tiempo, no generan tanta demanda con los dos primeros, ya que en los barrios estudiados tampoco hay zonas de gran atracción como si las hay en centro de la capital.

En cuanto a la conexión a las '''redes de transporte''' se distinguen dos casos:

:* Por un lado la conexión a la '''red de cercanías''' la consideramos positiva, ya que en la zona de estudio hay pocas estaciones de cercanías, y por tanto no estaría de más crear alguna nueva sobre líneas existentes, por ejemplo en la línea C-5, que a pesar de cruzar el Manzanares por la zona del Vicente Calderón, no tiene ninguna parada en varios kilómetros a ambos márgenes. Por ello, con el fin de crear nuevas estaciones que sirvan además de conexión con la nueva línea que plantearemos, se otorga un peso del 25% al área de influencia de 100 metros a lo largo de las líneas de cercanías para crear dicho intercambio.

:* Por otro lado, hemos decidido penalizar la cercanía a las '''estaciones de metro''', dado que lo que pretendemos es crear estaciones en lugares donde no las hay y que lo necesiten. Por eso, dentro del 20% que hemos asignado a este apartado, consideramos que el área de influencia de 200 metros de las bocas de metro no tenga ninguna puntuación, que el área entre 200 y 400 metros tengan un valor del 50%, y todo lo que esté más allá de 400 metros puntúe un 100%. Esto no quita que a la hora de proponer una nueva línea, si se cruza alguna línea de metro, no se busque la correspondencia con alguna estación existente para mejorar el mallado de la red.

Finalmente, el 20% restante del peso total se le asigna a la '''densidad de población''' de los diferentes barrios, pues en las zonas más densamente pobladas será donde seguramente tendrá mayor éxito la construcción de una nueva estación. El que se le asigne un mayor o menor porcentaje de ese 20% dependerá de la relación entre la densidad del barrio y la densidad máxima de todos los barrios, ya que lo importante es priorizar entre unas zonas y otras.

Los pesos resumidos son los siguientes:

• Cercanía a un punto de interés general (35%)
:* Educación (<500m): 0,4
:*:* Centros públicos: 0,6
:*:* Universidades: 0,4
:* Sanidad (<300m): 0,35
:*:* Hospitales: 0,6
:*:* Ambulatorios: 0,25
:*:* Centros de especialidades: 0,15
:* Comercio (<350m): 0,15 (Hipermercados, centros comerciales y grandes superficies)
:* Turismo (<700m): 0,10 (plazas de toros, museos, parques y puentes)

• Conexión con la red de cercanías (<100m) (25%)

• Lejanía a una boca de metro (20%)
:* 0-200 metros: 0
:* 200-400 metros: 0,5
:* >400 metros: 1

• Densidad de población (20%)
:* Normalización: división entre el máximo

Con dichos pesos, hemos realizado Buffers en cada uno de los elementos a la distancia o distancias consideradas con el fin de reflejar en cada uno de los puntos de interés considerados las áreas que reciben cada puntuación. Para hacer efectivos los valores hemos introducido en la tabla de atributos una nueva columna con los valores en tanto por uno. La extensión de los buffers se ha modificado recortándolos con la capa de barrios para adaptarlos a la zona de estudio.

En el caso de la densidad de población hemos utilizado los datos de población cargados anteriormente y los hemos dividido en cada barrio por su área (calculada con las opciones de la tabla de atributos), obteniendo la densidad de cada barrio en habitantes por hectárea. Para normalizar estos valores hemos adoptado el criterio de dividir por el valor máximo, para conseguir valores relativos entre 0 y 1.

Antes de rasterizar es necesario definir capas vectoriales que tengan todas la misma extensión, con el valor deseado en la zona de los buffers y 0 en el resto, para que a la hora de sumarlos abarquemos todo el área de estudio. Para ello hemos creado una capa con valor 0 en todos sus puntos y la hemos cortado con la capa de barrios. Después hemos unido cada uno de los buffers a dicha capa, consiguiendo las capas definitivas a rasterizar.

A continuación, tenemos que rasterizar las capas de los buffers creados según el valor de los pesos asignados para lo cual hay que recurrir a Grass. Lo primero que hacemos es crear el directorio de mapas de Grass, con un tamaño de celdas de 5 metros y después importar las capas vectoriales. Posteriormente se rasterizan para poder sumarlas.

Finalmente, se suman todas las capas raster con la calculadora de Grass para obtener el mapa con las zonas óptimas para colocar nuevas paradas según el análisis multicriterio empleado. En el apartado 5 de anejos pueden verse los mapas con las diferentes áreas de influencia como pasos intermedios.

==Resultados==

A continuación se muestra la capa final obtenida de aplicar el análisis multicriterio a la zona de estudio, sumando todas las capas de las áreas de influencia con sus respectivos pesos. La puntuación de cada punto aparece en tanto por uno.

[[Archivo:Multicriterio.jpg|800px|thumb|centre|Resultados del análisis multicriterio]]

Para decidir las zonas donde es mejor situar las nuevas estaciones, nos quedamos solo con aquellas cuya puntuación es superior a 0,5. Se puede observar que la mayoría de áreas con esa puntuación se encuentran a lo largo de la margen derecha del Manzanares, salvo en el caso del barrio de la Chopera, y otras zonas que ya quedan bastante más alejadas y desconectadas del resto en el distrito de Carabanchel.

Entre las áreas de mayor puntuación, como son las inmediaciones de la Ermita de San Isidro, comprobamos la eficacia de nuestro modelo, visualizando centros de educación pública como son el Colegio San Alberto Magno o el Colegio Público Nuestra Señora del Lucero sin accesibilidad a transportes públicos de gran capacidad.

Además hay que tener en cuenta la importancia que da nuestro modelo a la red de cercanías con el fin de hacer un intercambiador, mejorando así la accesibilidad entre ambas redes (metro y cercanías). No obstante, y como es lógico, la densidad de población juega un papel muy importante en las consideraciones llevadas a cabo, detectando zonas claras donde es necesario mejorar el transporte público de gran capacidad.

Observando los resultados del modelo y fijándonos detenidamente en la figura 1 mostrada anteriormente, se considera en primera instancia la opción de realizar paradas en las líneas existentes. Esta primera opción valorada, si bien es cierto que dando importancia exclusivamente a la parte económica era considerablemente aconsejable, no nos soluciona el problema detectado en la zona.

Para solucionar dicho problema, tenemos que incidir en las áreas claramente desatendidas y por ello se plantea la opción de una nueva línea de metro con un intercambiador, encontrando la eficacia en los puntos débiles detectados por el modelo.

==Conclusiones==

Con estos resultados, procedemos a proponer el trazado de una nueva línea, que en este caso será de metro, dado que las distancias entre algunas de las estaciones no son muy grandes como puede verse en el mapa.

[[Archivo:Conclusiona.jpg|800px|thumb|centre|Propuesta de la nueva línea de metro]]

La nueva línea, a la que hemos nombrado línea 13 de metro, comienza su recorrido en el intercambiador de Príncipe Pio, donde conectaría con las líneas 6, 10 y Ramal del metro y las líneas C-1, C-7 y C-10 de cercanías. Partiendo de dicha estación, cruzaría el río Manzanares intentado esquivar las infraestructuras existentes bajo la zona, para llegar a su primera parada en las inmediaciones del Paseo de la Ermita del Santo. Posteriormente continuaría en paralelo al río hasta llegar a su intersección con la línea C-5 de cercanías, situándose aquí la estación de San Isidro, que permitiría el transbordo entre ambos modos de transporte, como era uno de los objetivos del estudio. La siguiente estación sería la de Marqués de Vadillo, estación de la línea 5 de metro ya existente, y que mejoría el mallado de la red a pesar de no ser uno de los puntos que se obtienen como resultado del estudio. Finalmente la línea tendría otra parada en el barrio de Comillas, y cruzaría el río con otra parada en el barrio de la Chopera, para dirigirse a su final en la estación de Legazpi, donde conecta con las líneas 3 y 6 del metro, siendo otro gran intercambiador de la ciudad.

[[Archivo:Conclusionb.jpg|800px|thumb|centre|Detalle de la nueva línea 13]]

Con esta nueva línea se mejora la red de transporte público de alta capacidad una de las zonas con peor cobertura de la red, conectando a su vez con grandes estaciones de gran número de viajeros en sus extremos, y con otras líneas a lo largo de su recorrido, permitiendo mejorar la intermodalidad.

Además esta nueva línea tiene la ventaja de poder ampliarse por ambos extremos en caso de ser necesario. En el caso del extremo norte, la línea puede ampliarse hacia la avenida de Valladolid, zona también bastante aislada

==Anejos==

[[Archivo:Sanidad.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros sanitarios]]

[[Archivo:Metrocercanias.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de metro y cercanías]]

[[Archivo:Educacion.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros educativos]]

[[Archivo:Densidadbarrios.jpg|800px|thumb|centre|Barrios de Madrid según su densidad de población]]

[[Archivo:Comercioturismo.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros de comercio y turismo]]

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ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS

2015-11-26T14:01:53Z

Sandro.andres:

{{ TrabajoSIG | ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS | Sandro Andrés Martínez

Miriam García Lorenzana

Marino Rivera Muñoz

José Manuel Torres Serrano | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

== Introducción==

En este trabajo se plantea el análisis del transporte público de mayor capacidad como son el metro y el cercanías en la zona de Madrid Río. Más concretamente, nos centramos en la margen derecha correspondiente a los distritos de Latina, Carabanchel y Usera, entre Príncipe Pío y Legazpi, en la que se detecta una bolsa de inaccesibilidad en lo relativo a estos medios de transporte.

Esta zona el transporte depende fundamentalmente del vehículo privado, ya que la falta de estaciones de metro y las bajas frecuencias de los autobuses hacen que el primero sea mucho más competitivo.

Para el estudio empleamos los datos de la Infraestructura de Datos Espaciales de la Comunidad de Madrid, donde se encuentran los datos de las estaciones, las líneas, las bocas de metro y cercanías y los diferentes distritos y barrios. Con ello, y junto con los datos estadísticos de población y otros factores de servicios e instalaciones, se pretende valorar diferentes alternativas en función de su cercanía a centros públicos, áreas con mayor densidad, zonas de ocio y otros lugares de interés. Esto nos permitirá hacer un estudio completo y eficiente.

Lo que pretendemos obtener son los lugares más propicios para situar nuevas estaciones y crear nuevas líneas que las conecten a la red existente, procurando también crear transbordos con otras líneas existentes para mejorar el mallado de la red.

==Metodología==

Para comenzar hemos seleccionado en la capa de los barrios de Madrid solo los que son objeto de estudio y hemos añadido una columna en la tabla de atributos con los datos de población de cara a utilizarlos en el análisis. También hemos cargado la hoja 559 del MTN 50 para utilizarla como referencia de la ciudad de Madrid y de cara a una mejor presentación de los planos.

Posteriormente, hemos cargado todas las capas relativas a líneas y estaciones, centros educativos, centros de salud y lugares de interés relacionados con comercio y turismo, todas ellas descargadas de la plataforma Nomecalles. Mediante el comando de unión hemos agrupado los datos para adaptarlo al análisis multicriterio que se explica a continuación.

Dicho método consiste en tener en cuenta una serie de variables a las que se les asignarán diferentes pesos repartidos proporcionalmente a su importancia e impacto a la hora de buscar la ubicación de una nueva estación. En este caso hemos considerado 4 factores: cercanía a un punto de interés general, cercanía a líneas de ferrocarril, lejanía a estaciones de metro y densidad de población.

Para la cercanía a puntos de interés general se asigna un 35% del total, pues consideramos que es el factor más determinante a la hora generar desplazamientos. Dentro de este apartado:

:* Se le asigna un 40% a centros educativos, incluyendo centros públicos y universidades, con un área de influencia distancia de 500 metros, ya que las personas que se desplazan a estos lugares son en general gente joven que puede recorrer mayores distancias.

:* A los centros sanitarios de les asigna un 35% y un área de influencia de 300 metros, ya que pensamos que la gente que se desplaza a estos lugares es gente en general con dolencias que impiden recorrer mayores distancias.

:* En cuanto a los puntos relacionados con comercio y turismo, se les asigna un 15% y un 10% y unas áreas de influencia de 350 y 700 metros respectivamente, pues pensamos que cuando se va de compras no se recorren grandes distancias al ir cargando con lo comprado, mientras que en el caso del turismo si se recorren mayores distancias por motivos de ocio. En cualquier caso, estos dos últimos, salvo eventos puntuales en el tiempo, no generan tanta demanda con los dos primeros, ya que en los barrios estudiados tampoco hay zonas de gran atracción como si las hay en centro de la capital.

En cuanto a la conexión a las redes de transporte se distinguen dos casos:

:* Por un lado la conexión a la red de cercanías la consideramos positiva, ya que en la zona de estudio hay pocas estaciones de cercanías, y por tanto no estaría de más crear alguna nueva sobre líneas existentes, por ejemplo en la línea C-5, que a pesar de cruzar el Manzanares por la zona del Vicente Calderón, no tiene ninguna parada en varios kilómetros a ambos márgenes. Por ello, con el fin de crear nuevas estaciones que sirvan además de conexión con la nueva línea que plantearemos, se otorga un peso del 25% al área de influencia de 100 metros a lo largo de las líneas de cercanías para crear dicho intercambio.

:* Por otro lado, hemos decidido penalizar la cercanía a las estaciones de metro, dado que lo que pretendemos es crear estaciones en lugares donde no las hay y que lo necesiten. Por eso, dentro del 20% que hemos asignado a este apartado, consideramos que el área de influencia de 200 metros de las bocas de metro no tenga ninguna puntuación, que el área entre 200 y 400 metros tengan un valor del 50%, y todo lo que esté más allá de 400 metros puntúe un 100%. Esto no quita que a la hora de proponer una nueva línea, si se cruza alguna línea de metro, no se busque la correspondencia con alguna estación existente para mejorar el mallado de la red.

Finalmente, el 20% restante del peso total se le asigna a la densidad de población de los diferentes barrios, pues en las zonas más densamente pobladas será donde seguramente tendrá mayor éxito la construcción de una nueva estación. El que se le asigne un mayor o menor porcentaje de ese 20% dependerá de la relación entre la densidad del barrio y la densidad máxima de todos los barrios, ya que lo importante es priorizar entre unas zonas y otras.

Los pesos resumidos son los siguientes:

• Cercanía a un punto de interés general (35%)
:* Educación (<500m): 0,4
:*:* Centros públicos: 0,6
:*:* Universidades: 0,4
:* Sanidad (<300m): 0,35
:*:* Hospitales: 0,6
:*:* Ambulatorios: 0,25
:*:* Centros de especialidades: 0,15
:* Comercio (<350m): 0,15 (Hipermercados, centros comerciales y grandes superficies)
:* Turismo (<700m): 0,10 (plazas de toros, museos, parques y puentes)

• Conexión con la red de cercanías (<100m) (25%)

• Lejanía a una boca de metro (20%)
:* 0-200 metros: 0
:* 200-400 metros: 0,5
:* >400 metros: 1

• Densidad de población (20%)
:* Normalización: división entre el máximo

Con dichos pesos, hemos realizado Buffers en cada uno de los elementos a la distancia o distancias consideradas con el fin de reflejar en cada uno de los puntos de interés considerados las áreas que reciben cada puntuación. Para hacer efectivos los valores hemos introducido en la tabla de atributos una nueva columna con los valores en tanto por uno. La extensión de los buffers se ha modificado recortándolos con la capa de barrios para adaptarlos a la zona de estudio.

En el caso de la densidad de población hemos utilizado los datos de población cargados anteriormente y los hemos dividido en cada barrio por su área (calculada con las opciones de la tabla de atributos), obteniendo la densidad de cada barrio en habitantes por hectárea. Para normalizar estos valores hemos adoptado el criterio de dividir por el valor máximo, para conseguir valores relativos entre 0 y 1.

Antes de rasterizar es necesario definir capas vectoriales que tengan todas la misma extensión, con el valor deseado en la zona de los buffers y 0 en el resto, para que a la hora de sumarlos abarquemos todo el área de estudio. Para ello hemos creado una capa con valor 0 en todos sus puntos y la hemos cortado con la capa de barrios. Después hemos unido cada uno de los buffers a dicha capa, consiguiendo las capas definitivas a rasterizar.

A continuación, tenemos que rasterizar las capas de los buffers creados según el valor de los pesos asignados para lo cual hay que recurrir a Grass. Lo primero que hacemos es crear el directorio de mapas de Grass, con un tamaño de celdas de 5 metros y después importar las capas vectoriales. Posteriormente se rasterizan para poder sumarlas.

Finalmente, se suman todas las capas raster con la calculadora de Grass para obtener el mapa con las zonas óptimas para colocar nuevas paradas según el análisis multicriterio empleado. En el apartado 5 de anejos pueden verse los mapas con las diferentes áreas de influencia como pasos intermedios.

==Resultados==

A continuación se muestra la capa final obtenida de aplicar el análisis multicriterio a la zona de estudio, sumando todas las capas de las áreas de influencia con sus respectivos pesos. La puntuación de cada punto aparece en tanto por uno.

[[Archivo:Multicriterio.jpg|800px|thumb|centre|Resultados del análisis multicriterio]]

Para decidir las zonas donde es mejor situar las nuevas estaciones, nos quedamos solo con aquellas cuya puntuación es superior a 0,5. Se puede observar que la mayoría de áreas con esa puntuación se encuentran a lo largo de la margen derecha del Manzanares, salvo en el caso del barrio de la Chopera, y otras zonas que ya quedan bastante más alejadas y desconectadas del resto en el distrito de Carabanchel.

==Conclusiones==

Con estos resultados, procedemos a proponer el trazado de una nueva línea, que en este caso será de metro, dado que las distancias entre algunas de las estaciones no son muy grandes como puede verse en el mapa.

[[Archivo:Conclusiona.jpg|800px|thumb|centre|Propuesta de la nueva línea de metro]]

La nueva línea, a la que hemos nombrado línea 13 de metro, comienza su recorrido en el intercambiador de Príncipe Pio, donde conectaría con las líneas 6, 10 y Ramal del metro y las líneas C-1, C-7 y C-10 de cercanías. Partiendo de dicha estación, cruzaría el río Manzanares intentado esquivar las infraestructuras existentes bajo la zona, para llegar a su primera parada en las inmediaciones del Paseo de la Ermita del Santo. Posteriormente continuaría en paralelo al río hasta llegar a su intersección con la línea C-5 de cercanías, situándose aquí la estación de San Isidro, que permitiría el transbordo entre ambos modos de transporte, como era uno de los objetivos del estudio. La siguiente estación sería la de Marqués de Vadillo, estación de la línea 5 de metro ya existente, y que mejoría el mallado de la red a pesar de no ser uno de los puntos que se obtienen como resultado del estudio. Finalmente la línea tendría otra parada en el barrio de Comillas, y cruzaría el río con otra parada en el barrio de la Chopera, para dirigirse a su final en la estación de Legazpi, donde conecta con las líneas 3 y 6 del metro, siendo otro gran intercambiador de la ciudad.

[[Archivo:Conclusionb.jpg|800px|thumb|centre|Detalle de la nueva línea 13]]

Con esta nueva línea se mejora la red de transporte público de alta capacidad una de las zonas con peor cobertura de la red, conectando a su vez con grandes estaciones de gran número de viajeros en sus extremos, y con otras líneas a lo largo de su recorrido, permitiendo mejorar la intermodalidad.

==Anejos==

[[Archivo:Sanidad.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros sanitarios]]

[[Archivo:Metrocercanias.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de metro y cercanías]]

[[Archivo:Educacion.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros educativos]]

[[Archivo:Densidadbarrios.jpg|800px|thumb|centre|Barrios de Madrid según su densidad de población]]

[[Archivo:Comercioturismo.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros de comercio y turismo]]

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS

2015-11-26T11:44:49Z

Sandro.andres:

{{ TrabajoSIG | ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS | Sandro Andrés Martínez

Miriam García Lorenzana

Marino Rivera Muñoz

José Manuel Torres Serrano | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

== Introducción==

En este trabajo se plantea el análisis del transporte público de mayor capacidad como son el metro y el cercanías en la zona de Madrid Río. Más concretamente, nos centramos en la margen derecha correspondiente a los distritos de Latina, Carabanchel y Usera, entre Príncipe Pío y Legazpi, en la que se detecta una bolsa de inaccesibilidad en lo relativo a estos medios de transporte.

Esta zona el transporte depende fundamentalmente del vehículo privado, ya que la falta de estaciones de metro y las bajas frecuencias de los autobuses hacen que el primero sea mucho más competitivo.

Para el estudio empleamos los datos de la Infraestructura de Datos Espaciales de la Comunidad de Madrid, donde se encuentran los datos de las estaciones, las líneas, las bocas de metro y cercanías y los diferentes distritos y barrios. Con ello, y junto con los datos estadísticos de población y otros factores de servicios e instalaciones, se pretende valorar diferentes alternativas en función de su cercanía a centros públicos, áreas con mayor densidad, zonas de ocio y otros lugares de interés.

Lo que pretendemos obtener son los lugares más propicios para situar nuevas estaciones y crear nuevas líneas que las conecten a la red existente.

==Metodología==

Para comenzar hemos seleccionado en la capa de los barrios de Madrid solo los que son objeto de estudio y hemos añadido una columna en la tabla de atributos con los datos de población de cara a utilizarlos en el análisis. También hemos cargado la hoja 559 del MTN 50 para utilizarla como referencia de la ciudad de Madrid y de cara a una mejor presentación de los planos.

Posteriormente, hemos cargado todas las capas relativas a líneas y estaciones, centros educativos, centros de salud y lugares de interés relacionados con comercio y turismo, todas ellas descargadas de la plataforma Nomecalles. Mediante el comando de unión hemos agrupado los datos para adaptarlo al análisis multicriterio que se explica a continuación.

Dicho método consiste en tener en cuenta una serie de variables a las que se les asignarán diferentes pesos repartidos proporcionalmente a su importancia e impacto a la hora de buscar la ubicación de una nueva estación. En este caso hemos considerado 4 factores: cercanía a un punto de interés general, cercanía a líneas de ferrocarril, lejanía a estaciones de metro y densidad de población.

Para la cercanía a puntos de interés general se asigna un 35% del total, pues consideramos que es el factor más determinante a la hora generar desplazamientos. Dentro de este apartado:

:* Se le asigna un 40% a centros educativos, incluyendo centros públicos y universidades, con un área de influencia distancia de 500 metros, ya que las personas que se desplazan a estos lugares son en general gente joven que puede recorrer mayores distancias.

:* A los centros sanitarios de les asigna un 35% y un área de influencia de 300 metros, ya que pensamos que la gente que se desplaza a estos lugares es gente en general con dolencias que impiden recorrer mayores distancias.

:* En cuanto a los puntos relacionados con comercio y turismo, se les asigna un 15% y un 10% y unas áreas de influencia de 350 y 700 metros respectivamente, pues pensamos que cuando se va de compras no se recorren grandes distancias al ir cargando con lo comprado, mientras que en el caso del turismo si se recorren mayores distancias por motivos de ocio. En cualquier caso, estos dos últimos, salvo eventos puntuales en el tiempo, no generan tanta demanda con los dos primeros, ya que en los barrios estudiados tampoco hay zonas de gran atracción como si las hay en centro de la capital.

En cuanto a la conexión a las redes de transporte se distinguen dos casos:

:* Por un lado la conexión a la red de cercanías la consideramos positiva, ya que en la zona de estudio hay pocas estaciones de cercanías, y por tanto no estaría de más crear alguna nueva sobre líneas existentes, por ejemplo en la línea C-5, que a pesar de cruzar el Manzanares por la zona del Vicente Calderón, no tiene ninguna parada en varios kilómetros a ambos márgenes. Por ello, con el fin de crear nuevas estaciones que sirvan además de conexión con la nueva línea que plantearemos, se otorga un peso del 25% al área de influencia de 100 metros a lo largo de las líneas de cercanías para crear dicho intercambio.

:* Por otro lado, hemos decidido penalizar la cercanía a las estaciones de metro, dado que lo que pretendemos es crear estaciones en lugares donde no las hay y que lo necesiten. Por eso, dentro del 20% que hemos asignado a este apartado, consideramos que el área de influencia de 200 metros de las bocas de metro no tenga ninguna puntuación, que el área entre 200 y 400 metros tengan un valor del 50%, y todo lo que esté más allá de 400 metros puntúe un 100%. Esto no quita que a la hora de proponer una nueva línea, si se cruza alguna línea de metro, no se busque la correspondencia con alguna estación existente para mejorar el mallado de la red.

Finalmente, el 20% restante del peso total se le asigna a la densidad de población de los diferentes barrios, pues en las zonas más densamente pobladas será donde seguramente tendrá mayor éxito la construcción de una nueva estación. El que se le asigne un mayor o menor porcentaje de ese 20% dependerá de la relación entre la densidad del barrio y la densidad máxima de todos los barrios, ya que lo importante es priorizar entre unas zonas y otras.

Los pesos resumidos son los siguientes:

• Cercanía a un punto de interés general (35%)
:* Educación (<500m): 0,4
:*:* Centros públicos: 0,6
:*:* Universidades: 0,4
:* Sanidad (<300m): 0,35
:*:* Hospitales: 0,6
:*:* Ambulatorios: 0,25
:*:* Centros de especialidades: 0,15
:* Comercio (<350m): 0,15 (Hipermercados, centros comerciales y grandes superficies)
:* Turismo (<700m): 0,10 (plazas de toros, museos, parques y puentes)

• Conexión con la red de cercanías (<100m) (25%)

• Lejanía a una boca de metro (20%)
:* 0-200 metros: 0
:* 200-400 metros: 0,5
:* >400 metros: 1

• Densidad de población (20%)
:* Normalización: división entre el máximo

Con dichos pesos, hemos realizado Buffers en cada uno de los elementos a la distancia o distancias consideradas con el fin de reflejar en cada uno de los puntos de interés considerados las áreas que reciben cada puntuación. Para hacer efectivos los valores hemos introducido en la tabla de atributos una nueva columna con los valores en tanto por uno. La extensión de los buffers se ha modificado recortándolos con la capa de barrios para adaptarlos a la zona de estudio.

En el caso de la densidad de población hemos utilizado los datos de población cargados anteriormente y los hemos dividido en cada barrio por su área (calculada con las opciones de la tabla de atributos), obteniendo la densidad de cada barrio en habitantes por hectárea. Para normalizar estos valores hemos adoptado el criterio de dividir por el valor máximo, para conseguir valores relativos entre 0 y 1.

Antes de rasterizar es necesario definir capas vectoriales que tengan todas la misma extensión, con el valor deseado en la zona de los buffers y 0 en el resto, para que a la hora de sumarlos abarquemos todo el área de estudio. Para ello hemos creado una capa con valor 0 en todos sus puntos y la hemos cortado con la capa de barrios. Después hemos unido cada uno de los buffers a dicha capa, consiguiendo las capas definitivas a rasterizar.

A continuación, tenemos que rasterizar las capas de los buffers creados según el valor de los pesos asignados para lo cual hay que recurrir a Grass. Lo primero que hacemos es crear el directorio de mapas de Grass, con un tamaño de celdas de 5 metros y después importar las capas vectoriales. Posteriormente se rasterizan para poder sumarlas.

Finalmente, se suman todas las capas raster con la calculadora de Grass para obtener el mapa con las zonas óptimas para colocar nuevas paradas según el análisis multicriterio empleado. En el apartado 5 de anejos pueden verse los mapas con las diferentes áreas de influencia como pasos intermedios.

==Resultados==

A continuación se muestra la capa final obtenida de aplicar el análisis multicriterio a la zona de estudio, sumando todas las capas de las áreas de influencia con sus respectivos pesos. La puntuación de cada punto aparece en tanto por uno.

[[Archivo:Multicriterio.jpg|800px|thumb|centre|Resultados del análisis multicriterio]]

Para decidir las zonas donde es mejor situar las nuevas estaciones, nos quedamos solo con aquellas cuya puntuación es superior a 0,5. Se puede observar que la mayoría de áreas con esa puntuación se encuentran a lo largo de la margen derecha del Manzanares, salvo en el caso del barrio de la Chopera, y otras zonas que ya quedan bastante más alejadas y desconectadas del resto en el distrito de Carabanchel.

==Conclusiones==

Con estos resultados, procedemos a proponer el trazado de una nueva línea, que en este caso será de metro, dado que las distancias entre algunas de las estaciones no son muy grandes como puede verse en el mapa.

[[Archivo:Conclusiona.jpg|800px|thumb|centre|Propuesta de la nueva línea de metro]]

La nueva línea, a la que hemos nombrado línea 13 de metro, comienza su recorrido en el intercambiador de Príncipe Pio, donde conectaría con las líneas 6, 10 y Ramal del metro y las líneas C-1, C-7 y C-10 de cercanías. Partiendo de dicha estación, cruzaría el río Manzanares intentado esquivar las infraestructuras existentes bajo la zona, para llegar a su primera parada en las inmediaciones del Paseo de la Ermita del Santo. Posteriormente continuaría en paralelo al río hasta llegar a su intersección con la línea C-5 de cercanías, situándose aquí la estación de San Isidro, que permitiría el transbordo entre ambos modos de transporte, como era uno de los objetivos del estudio. La siguiente estación sería la de Marqués de Vadillo, estación de la línea 5 de metro ya existente, y que mejoría el mallado de la red a pesar de no ser uno de los puntos que se obtienen como resultado del estudio. Finalmente la línea tendría otra parada en el barrio de Comillas, y cruzaría el río con otra parada en el barrio de la Chopera, para dirigirse a su final en la estación de Legazpi, donde conecta con las líneas 3 y 6 del metro, siendo otro gran intercambiador de la ciudad.

[[Archivo:Conclusionb.jpg|800px|thumb|centre|Detalle de la nueva línea 13]]

Con esta nueva línea se mejora la red de transporte público de alta capacidad una de las zonas con peor cobertura de la red, conectando a su vez con grandes estaciones de gran número de viajeros en sus extremos, y con otras líneas a lo largo de su recorrido, permitiendo mejorar la intermodalidad.

==Anejos==

[[Archivo:Sanidad.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros sanitarios]]

[[Archivo:Metrocercanias.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de metro y cercanías]]

[[Archivo:Educacion.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros educativos]]

[[Archivo:Densidadbarrios.jpg|800px|thumb|centre|Barrios de Madrid según su densidad de población]]

[[Archivo:Comercioturismo.jpg|800px|thumb|centre|Áreas de influencia de centros de comercio y turismo]]

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS

2015-11-26T11:39:17Z

Sandro.andres:

{{ TrabajoSIG | ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS | Sandro Andrés Martínez

Miriam García Lorenzana

Marino Rivera Muñoz

José Manuel Torres Serrano | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

== Introducción==

En este trabajo se plantea el análisis del transporte público de mayor capacidad como son el metro y el cercanías en la zona de Madrid Río. Más concretamente, nos centramos en la margen derecha correspondiente a los distritos de Latina, Carabanchel y Usera, entre Príncipe Pío y Legazpi, en la que se detecta una bolsa de inaccesibilidad en lo relativo a estos medios de transporte.

Esta zona el transporte depende fundamentalmente del vehículo privado, ya que la falta de estaciones de metro y las bajas frecuencias de los autobuses hacen que el primero sea mucho más competitivo.

Para el estudio empleamos los datos de la Infraestructura de Datos Espaciales de la Comunidad de Madrid, donde se encuentran los datos de las estaciones, las líneas, las bocas de metro y cercanías y los diferentes distritos y barrios. Con ello, y junto con los datos estadísticos de población y otros factores de servicios e instalaciones, se pretende valorar diferentes alternativas en función de su cercanía a centros públicos, áreas con mayor densidad, zonas de ocio y otros lugares de interés.

Lo que pretendemos obtener son los lugares más propicios para situar nuevas estaciones y crear nuevas líneas que las conecten a la red existente.

==Metodología==

Para comenzar hemos seleccionado en la capa de los barrios de Madrid solo los que son objeto de estudio y hemos añadido una columna en la tabla de atributos con los datos de población de cara a utilizarlos en el análisis. También hemos cargado la hoja 559 del MTN 50 para utilizarla como referencia de la ciudad de Madrid y de cara a una mejor presentación de los planos.

Posteriormente, hemos cargado todas las capas relativas a líneas y estaciones, centros educativos, centros de salud y lugares de interés relacionados con comercio y turismo, todas ellas descargadas de la plataforma Nomecalles. Mediante el comando de unión hemos agrupado los datos para adaptarlo al análisis multicriterio que se explica a continuación.

Dicho método consiste en tener en cuenta una serie de variables a las que se les asignarán diferentes pesos repartidos proporcionalmente a su importancia e impacto a la hora de buscar la ubicación de una nueva estación. En este caso hemos considerado 4 factores: cercanía a un punto de interés general, cercanía a líneas de ferrocarril, lejanía a estaciones de metro y densidad de población.

Para la cercanía a puntos de interés general se asigna un 35% del total, pues consideramos que es el factor más determinante a la hora generar desplazamientos. Dentro de este apartado:

:* Se le asigna un 40% a centros educativos, incluyendo centros públicos y universidades, con un área de influencia distancia de 500 metros, ya que las personas que se desplazan a estos lugares son en general gente joven que puede recorrer mayores distancias.

:* A los centros sanitarios de les asigna un 35% y un área de influencia de 300 metros, ya que pensamos que la gente que se desplaza a estos lugares es gente en general con dolencias que impiden recorrer mayores distancias.

:* En cuanto a los puntos relacionados con comercio y turismo, se les asigna un 15% y un 10% y unas áreas de influencia de 350 y 700 metros respectivamente, pues pensamos que cuando se va de compras no se recorren grandes distancias al ir cargando con lo comprado, mientras que en el caso del turismo si se recorren mayores distancias por motivos de ocio. En cualquier caso, estos dos últimos, salvo eventos puntuales en el tiempo, no generan tanta demanda con los dos primeros, ya que en los barrios estudiados tampoco hay zonas de gran atracción como si las hay en centro de la capital.

En cuanto a la conexión a las redes de transporte se distinguen dos casos:

:* Por un lado la conexión a la red de cercanías la consideramos positiva, ya que en la zona de estudio hay pocas estaciones de cercanías, y por tanto no estaría de más crear alguna nueva sobre líneas existentes, por ejemplo en la línea C-5, que a pesar de cruzar el Manzanares por la zona del Vicente Calderón, no tiene ninguna parada en varios kilómetros a ambos márgenes. Por ello, con el fin de crear nuevas estaciones que sirvan además de conexión con la nueva línea que plantearemos, se otorga un peso del 25% al área de influencia de 100 metros a lo largo de las líneas de cercanías para crear dicho intercambio.

:* Por otro lado, hemos decidido penalizar la cercanía a las estaciones de metro, dado que lo que pretendemos es crear estaciones en lugares donde no las hay y que lo necesiten. Por eso, dentro del 20% que hemos asignado a este apartado, consideramos que el área de influencia de 200 metros de las bocas de metro no tenga ninguna puntuación, que el área entre 200 y 400 metros tengan un valor del 50%, y todo lo que esté más allá de 400 metros puntúe un 100%. Esto no quita que a la hora de proponer una nueva línea, si se cruza alguna línea de metro, no se busque la correspondencia con alguna estación existente para mejorar el mallado de la red.

Finalmente, el 20% restante del peso total se le asigna a la densidad de población de los diferentes barrios, pues en las zonas más densamente pobladas será donde seguramente tendrá mayor éxito la construcción de una nueva estación. El que se le asigne un mayor o menor porcentaje de ese 20% dependerá de la relación entre la densidad del barrio y la densidad máxima de todos los barrios, ya que lo importante es priorizar entre unas zonas y otras.

Los pesos resumidos son los siguientes:

• Cercanía a un punto de interés general (35%)
:* Educación (<500m): 0,4
:*:* Centros públicos: 0,6
:*:* Universidades: 0,4
:* Sanidad (<300m): 0,35
:*:* Hospitales: 0,6
:*:* Ambulatorios: 0,25
:*:* Centros de especialidades: 0,15
:* Comercio (<350m): 0,15 (Hipermercados, centros comerciales y grandes superficies)
:* Turismo (<700m): 0,10 (plazas de toros, museos, parques y puentes)

• Conexión con la red de cercanías (<100m) (25%)

• Lejanía a una boca de metro (20%)
:* 0-200 metros: 0
:* 200-400 metros: 0,5
:* >400 metros: 1

• Densidad de población (20%)
:* Normalización: división entre el máximo

Con dichos pesos, hemos realizado Buffers en cada uno de los elementos a la distancia o distancias consideradas con el fin de reflejar en cada uno de los puntos de interés considerados las áreas que reciben cada puntuación. Para hacer efectivos los valores hemos introducido en la tabla de atributos una nueva columna con los valores en tanto por uno. La extensión de los buffers se ha modificado recortándolos con la capa de barrios para adaptarlos a la zona de estudio.

En el caso de la densidad de población hemos utilizado los datos de población cargados anteriormente y los hemos dividido en cada barrio por su área (calculada con las opciones de la tabla de atributos), obteniendo la densidad de cada barrio en habitantes por hectárea. Para normalizar estos valores hemos adoptado el criterio de dividir por el valor máximo, para conseguir valores relativos entre 0 y 1.

Antes de rasterizar es necesario definir capas vectoriales que tengan todas la misma extensión, con el valor deseado en la zona de los buffers y 0 en el resto, para que a la hora de sumarlos abarquemos todo el área de estudio. Para ello hemos creado una capa con valor 0 en todos sus puntos y la hemos cortado con la capa de barrios. Después hemos unido cada uno de los buffers a dicha capa, consiguiendo las capas definitivas a rasterizar.

A continuación, tenemos que rasterizar las capas de los buffers creados según el valor de los pesos asignados para lo cual hay que recurrir a Grass. Lo primero que hacemos es crear el directorio de mapas de Grass, con un tamaño de celdas de 5 metros y después importar las capas vectoriales. Posteriormente se rasterizan para poder sumarlas.

Finalmente, se suman todas las capas raster con la calculadora de Grass para obtener el mapa con las zonas óptimas para colocar nuevas paradas según el análisis multicriterio empleado. En el apartado 5 de anejos pueden verse los mapas con las diferentes áreas de influencia como pasos intermedios.

==Resultados==

A continuación se muestra la capa final obtenida de aplicar el análisis multicriterio a la zona de estudio, sumando todas las capas de las áreas de influencia con sus respectivos pesos. La puntuación de cada punto aparece en tanto por uno.

[[Archivo:Multicriterio.jpg|400px|thumb|left|Resultados del análisis multicriterio]]

Para decidir las zonas donde es mejor situar las nuevas estaciones, nos quedamos solo con aquellas cuya puntuación es superior a 0,5. Se puede observar que la mayoría de áreas con esa puntuación se encuentran a lo largo de la margen derecha del Manzanares, salvo en el caso del barrio de la Chopera, y otras zonas que ya quedan bastante más alejadas y desconectadas del resto en el distrito de Carabanchel.

==Conclusiones==

Con estos resultados, procedemos a proponer el trazado de una nueva línea, que en este caso será de metro, dado que las distancias entre algunas de las estaciones no son muy grandes como puede verse en el mapa.

[[Archivo:Conclusiona.jpg|400px|thumb|left|Propuesta de la nueva línea de metro]]

La nueva línea, a la que hemos nombrado línea 13 de metro, comienza su recorrido en el intercambiador de Príncipe Pio, donde conectaría con las líneas 6, 10 y Ramal del metro y las líneas C-1, C-7 y C-10 de cercanías. Partiendo de dicha estación, cruzaría el río Manzanares intentado esquivar las infraestructuras existentes bajo la zona, para llegar a su primera parada en las inmediaciones del Paseo de la Ermita del Santo. Posteriormente continuaría en paralelo al río hasta llegar a su intersección con la línea C-5 de cercanías, situándose aquí la estación de San Isidro, que permitiría el transbordo entre ambos modos de transporte, como era uno de los objetivos del estudio. La siguiente estación sería la de Marqués de Vadillo, estación de la línea 5 de metro ya existente, y que mejoría el mallado de la red a pesar de no ser uno de los puntos que se obtienen como resultado del estudio. Finalmente la línea tendría otra parada en el barrio de Comillas, y cruzaría el río con otra parada en el barrio de la Chopera, para dirigirse a su final en la estación de Legazpi, donde conecta con las líneas 3 y 6 del metro, siendo otro gran intercambiador de la ciudad.

[[Archivo:Conclusionb.jpg|400px|thumb|left|Detalle de la nueva línea 13]]

Con esta nueva línea se mejora la red de transporte público de alta capacidad una de las zonas con peor cobertura de la red, conectando a su vez con grandes estaciones de gran número de viajeros en sus extremos, y con otras líneas a lo largo de su recorrido, permitiendo mejorar la intermodalidad.

==Anejos==

[[Archivo:Sanidad.jpg|400px|thumb|left|Áreas de influencia de centros sanitarios]]

[[Archivo:Metrocercanias.jpg|400px|thumb|left|Áreas de influencia de metro y cercanías]]

[[Archivo:Educacion.jpg|400px|thumb|left|Áreas de influencia de centros educativos]]

[[Archivo:Densidadbarrios.jpg|400px|thumb|left|Barrios de Madrid según su densidad de población]]

[[Archivo:Comercioturismo.jpg|400px|thumb|left|Áreas de influencia de centros de comercio y turismo]]

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
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ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS

2015-11-26T11:21:59Z

Sandro.andres: Página creada con «{{ TrabajoSIG | ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS | Sandro Andrés Martínez Miriam García Lorenzana Marino Rivera Muñoz José Manuel Torr...»

{{ TrabajoSIG | ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE EN MADRID RIO: METRO Y CERCANÍAS | Sandro Andrés Martínez

Miriam García Lorenzana

Marino Rivera Muñoz

José Manuel Torres Serrano | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

== Introducción==

En este trabajo se plantea el análisis del transporte público de mayor capacidad como son el metro y el cercanías en la zona de Madrid Río. Más concretamente, nos centramos en la margen derecha correspondiente a los distritos de Latina, Carabanchel y Usera, entre Príncipe Pío y Legazpi, en la que se detecta una bolsa de inaccesibilidad en lo relativo a estos medios de transporte.

Esta zona el transporte depende fundamentalmente del vehículo privado, ya que la falta de estaciones de metro y las bajas frecuencias de los autobuses hacen que el primero sea mucho más competitivo.

Para el estudio empleamos los datos de la Infraestructura de Datos Espaciales de la Comunidad de Madrid, donde se encuentran los datos de las estaciones, las líneas, las bocas de metro y cercanías y los diferentes distritos y barrios. Con ello, y junto con los datos estadísticos de población y otros factores de servicios e instalaciones, se pretende valorar diferentes alternativas en función de su cercanía a centros públicos, áreas con mayor densidad, zonas de ocio y otros lugares de interés.

Lo que pretendemos obtener son los lugares más propicios para situar nuevas estaciones y crear nuevas líneas que las conecten a la red existente.

==Metodología==

Para comenzar hemos seleccionado en la capa de los barrios de Madrid solo los que son objeto de estudio y hemos añadido una columna en la tabla de atributos con los datos de población de cara a utilizarlos en el análisis. También hemos cargado la hoja 559 del MTN 50 para utilizarla como referencia de la ciudad de Madrid y de cara a una mejor presentación de los planos.

Posteriormente, hemos cargado todas las capas relativas a líneas y estaciones, centros educativos, centros de salud y lugares de interés relacionados con comercio y turismo, todas ellas descargadas de la plataforma Nomecalles. Mediante el comando de unión hemos agrupado los datos para adaptarlo al análisis multicriterio que se explica a continuación.

Dicho método consiste en tener en cuenta una serie de variables a las que se les asignarán diferentes pesos repartidos proporcionalmente a su importancia e impacto a la hora de buscar la ubicación de una nueva estación. En este caso hemos considerado 4 factores: cercanía a un punto de interés general, cercanía a líneas de ferrocarril, lejanía a estaciones de metro y densidad de población.

Para la cercanía a puntos de interés general se asigna un 35% del total, pues consideramos que es el factor más determinante a la hora generar desplazamientos. Dentro de este apartado:

:* Se le asigna un 40% a centros educativos, incluyendo centros públicos y universidades, con un área de influencia distancia de 500 metros, ya que las personas que se desplazan a estos lugares son en general gente joven que puede recorrer mayores distancias.

:* A los centros sanitarios de les asigna un 35% y un área de influencia de 300 metros, ya que pensamos que la gente que se desplaza a estos lugares es gente en general con dolencias que impiden recorrer mayores distancias.

:* En cuanto a los puntos relacionados con comercio y turismo, se les asigna un 15% y un 10% y unas áreas de influencia de 350 y 700 metros respectivamente, pues pensamos que cuando se va de compras no se recorren grandes distancias al ir cargando con lo comprado, mientras que en el caso del turismo si se recorren mayores distancias por motivos de ocio. En cualquier caso, estos dos últimos, salvo eventos puntuales en el tiempo, no generan tanta demanda con los dos primeros, ya que en los barrios estudiados tampoco hay zonas de gran atracción como si las hay en centro de la capital.

En cuanto a la conexión a las redes de transporte se distinguen dos casos:

:* Por un lado la conexión a la red de cercanías la consideramos positiva, ya que en la zona de estudio hay pocas estaciones de cercanías, y por tanto no estaría de más crear alguna nueva sobre líneas existentes, por ejemplo en la línea C-5, que a pesar de cruzar el Manzanares por la zona del Vicente Calderón, no tiene ninguna parada en varios kilómetros a ambos márgenes. Por ello, con el fin de crear nuevas estaciones que sirvan además de conexión con la nueva línea que plantearemos, se otorga un peso del 25% al área de influencia de 100 metros a lo largo de las líneas de cercanías para crear dicho intercambio.

:* Por otro lado, hemos decidido penalizar la cercanía a las estaciones de metro, dado que lo que pretendemos es crear estaciones en lugares donde no las hay y que lo necesiten. Por eso, dentro del 20% que hemos asignado a este apartado, consideramos que el área de influencia de 200 metros de las bocas de metro no tenga ninguna puntuación, que el área entre 200 y 400 metros tengan un valor del 50%, y todo lo que esté más allá de 400 metros puntúe un 100%. Esto no quita que a la hora de proponer una nueva línea, si se cruza alguna línea de metro, no se busque la correspondencia con alguna estación existente para mejorar el mallado de la red.

Finalmente, el 20% restante del peso total se le asigna a la densidad de población de los diferentes barrios, pues en las zonas más densamente pobladas será donde seguramente tendrá mayor éxito la construcción de una nueva estación. El que se le asigne un mayor o menor porcentaje de ese 20% dependerá de la relación entre la densidad del barrio y la densidad máxima de todos los barrios, ya que lo importante es priorizar entre unas zonas y otras.

Los pesos resumidos son los siguientes:

• Cercanía a un punto de interés general (35%)
:* Educación (<500m): 0,4
:*:* Centros públicos: 0,6
:*:* Universidades: 0,4
:* Sanidad (<300m): 0,35
:*:* Hospitales: 0,6
:*:* Ambulatorios: 0,25
:*:* Centros de especialidades: 0,15
:* Comercio (<350m): 0,15 (Hipermercados, centros comerciales y grandes superficies)
:* Turismo (<700m): 0,10 (plazas de toros, museos, parques y puentes)

• Conexión con la red de cercanías (<100m) (25%)

• Lejanía a una boca de metro (20%)
:* 0-200 metros: 0
:* 200-400 metros: 0,5
:* >400 metros: 1

• Densidad de población (20%)
:* Normalización: división entre el máximo

Con dichos pesos, hemos realizado Buffers en cada uno de los elementos a la distancia o distancias consideradas con el fin de reflejar en cada uno de los puntos de interés considerados las áreas que reciben cada puntuación. Para hacer efectivos los valores hemos introducido en la tabla de atributos una nueva columna con los valores en tanto por uno. La extensión de los buffers se ha modificado recortándolos con la capa de barrios para adaptarlos a la zona de estudio.

En el caso de la densidad de población hemos utilizado los datos de población cargados anteriormente y los hemos dividido en cada barrio por su área (calculada con las opciones de la tabla de atributos), obteniendo la densidad de cada barrio en habitantes por hectárea. Para normalizar estos valores hemos adoptado el criterio de dividir por el valor máximo, para conseguir valores relativos entre 0 y 1.

Antes de rasterizar es necesario definir capas vectoriales que tengan todas la misma extensión, con el valor deseado en la zona de los buffers y 0 en el resto, para que a la hora de sumarlos abarquemos todo el área de estudio. Para ello hemos creado una capa con valor 0 en todos sus puntos y la hemos cortado con la capa de barrios. Después hemos unido cada uno de los buffers a dicha capa, consiguiendo las capas definitivas a rasterizar.

A continuación, tenemos que rasterizar las capas de los buffers creados según el valor de los pesos asignados para lo cual hay que recurrir a Grass. Lo primero que hacemos es crear el directorio de mapas de Grass, con un tamaño de celdas de 5 metros y después importar las capas vectoriales. Posteriormente se rasterizan para poder sumarlas.

Finalmente, se suman todas las capas raster con la calculadora de Grass para obtener el mapa con las zonas óptimas para colocar nuevas paradas según el análisis multicriterio empleado. En el apartado 5 de anejos pueden verse los mapas con las diferentes áreas de influencia como pasos intermedios.

==Resultados==

A continuación se muestra la capa final obtenida de aplicar el análisis multicriterio a la zona de estudio, sumando todas las capas de las áreas de influencia con sus respectivos pesos. La puntuación de cada punto aparece en tanto por uno.

[[Archivo:Multicriterio.jpg|400px|thumb|left|Resultados del análisis multicriterio]]

Para decidir las zonas donde es mejor situar las nuevas estaciones, nos quedamos solo con aquellas cuya puntuación es superior a 0,5. Se puede observar que la mayoría de áreas con esa puntuación se encuentran a lo largo de la margen derecha del Manzanares, salvo en el caso del barrio de la Chopera, y otras zonas que ya quedan bastante más alejadas y desconectadas del resto en el distrito de Carabanchel.

==Conclusiones==

Con estos resultados, procedemos a proponer el trazado de una nueva línea, que en este caso será de metro, dado que las distancias entre algunas de las estaciones no son muy grandes como puede verse en el mapa.

[[Archivo:Conclusiona.jpg|400px|thumb|left|Propuesta de la nueva línea de metro]]

La nueva línea, a la que hemos nombrado línea 13 de metro, comienza su recorrido en el intercambiador de Príncipe Pio, donde conectaría con las líneas 6, 10 y Ramal del metro y las líneas C-1, C-7 y C-10 de cercanías. Partiendo de dicha estación, cruzaría el río Manzanares intentado esquivar las infraestructuras existentes bajo la zona, para llegar a su primera parada en las inmediaciones del Paseo de la Ermita del Santo. Posteriormente continuaría en paralelo al río hasta llegar a su intersección con la línea C-5 de cercanías, situándose aquí la estación de San Isidro, que permitiría el transbordo entre ambos modos de transporte, como era uno de los objetivos del estudio. La siguiente estación sería la de Marqués de Vadillo, estación de la línea 5 de metro ya existente, y que mejoría el mallado de la red a pesar de no ser uno de los puntos que se obtienen como resultado del estudio. Finalmente la línea tendría otra parada en el barrio de Comillas, y cruzaría el río con otra parada en el barrio de la Chopera, para dirigirse a su final en la estación de Legazpi, donde conecta con las líneas 3 y 6 del metro, siendo otro gran intercambiador de la ciudad.

[[Archivo:Conclusionb.jpg|400px|thumb|left|Detalle de la nueva línea 13]]

Con esta nueva línea se mejora la red de transporte público de alta capacidad una de las zonas con peor cobertura de la red, conectando a su vez con grandes estaciones de gran número de viajeros en sus extremos, y con otras líneas a lo largo de su recorrido, permitiendo mejorar la intermodalidad.

==Anejos==

[[Archivo:Sanidad.jpg|400px|thumb|left|Áreas de influencia de centros sanitarios]]

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[[Archivo:Educación.jpg|400px|thumb|left|Áreas de influencia de centros educativos]]

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[[Archivo:Comercioturismo.jpg|400px|thumb|left|Áreas de influencia de centros de comercio y turismo]]

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Archivo:Comercioturismo.jpg

2015-11-24T10:02:07Z

Sandro.andres:

Archivo:Conclusiona.jpg

2015-11-24T10:01:20Z

Sandro.andres:

Archivo:Conclusionb.jpg

2015-11-24T10:00:04Z

Sandro.andres:

Archivo:Densidadbarrios.jpg

2015-11-24T09:58:45Z

Sandro.andres:

Archivo:Educacion.jpg

2015-11-24T09:57:31Z

Sandro.andres:

Archivo:Metrocercanias.jpg

2015-11-24T09:56:27Z

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Archivo:Multicriterio.jpg

2015-11-24T09:50:20Z

Sandro.andres:

Archivo:Dif7.jpg

2014-05-20T15:42:04Z

Sandro.andres:

Heat equation (Grupo 1B)

2014-05-19T07:41:47Z

Sandro.andres:

{{ TrabajoED |Heat equation. Grupo 1-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Sandro Andrés Martínez

David Ayala Díez

Claudia Cózar Coarasa

Lorena de la Fuente Sanz

Marino Rivera Muñoz

José Manuel Torres Serrano }}

In this work we have studied the modeling of the heat equation, according to Fourier's law discovered in the nineteenth century.

= Well proposed problem =

[[Archivo:Nueva imagen.png|thumb|300px|left| Thin rod of length L]]

We will raise the system of equations that satisfies <math>u(x,t)</math> assuming that the temperature of the rod <math>u(x,t)</math> satisfies the heat equation <math>u_t-u_{xx}=0</math>. First, we have a thin, homogeneous and thermally isolated by its lateral surface rod of length <math>L=3</math>. At its left end the rod is in contact with a material whose temperature is maintained at 0°C, while the right is in contact with the material at 10°C. We also know that at the initial moment, the temperature distribution follows the <math>u(x,0)=u_0(x)</math> function specified below. Assuming a standard <math>c=\rho=k=1</math> parameters and there are no heat sources or sinks along the rod, the problem we have to solve is:

<math>
(P)
\begin{cases}
u_t-u_{xx}=0, \qquad x\epsilon(0,3), t>0\\
u(0,t)=0, u(3,t)=10, \qquad t>0\\
u(x,0)=u_0(x), \qquad x\epsilon[0,3]
\end{cases}
</math>
:
<math>
u_0(x)=
\begin{cases}
10x/3 & \mbox{si} & x \in \mbox{(0,1)}\cup\mbox{(2,3)} \\
100 & \mbox{si} & x \in \mbox{(1,2)}
\end{cases}
</math>

Then we will define what is a well proposed problem is one that meets the following:

• Existence: problem <math>(P)</math> admits a solution <math>u(x,t)</math>.

• Uniqueness: if there is a solution <math>(P)</math> it has to be unique.

• Stability with respect to initial data:
We consider the problem:
<math>
(P_1)
\begin{cases}
u_t-u_{xx}=0, \qquad x\epsilon(0,3), t>0\\
u(0,t)=0, u(3,t)=10, \qquad t>0\\
u(x,0)=h(x), \qquad x\epsilon[0,3]
\end{cases}
</math>

Be <math>u(x,t)</math> and <math>u_1(x,t)</math> <math>(P)</math> and <math>(P_1)</math> solutions respectively. We say that the <math>(P)</math> problem is stable with respect to initial data if we prove the inequality of type <math>sup_{(x,t)\in [0,3]x[0,\infty]}\left|u(x,t)-u_1(x,t)\right|\leq Csup_{(x,t)\in [0,3]x[0,\infty]}\left|u_0(x)-h(x)\right|</math> with <math>C</math> absolute, constant independent of the <math>(P)</math> and <math>(P_1)</math> problems.

That <math> (P) </math> is stable with respect to initial data tells us that if <math> h (x) </math> is close to <math> u_0 (x) </math> in the sense that <math> sup_ {(x, t) \ in [0,3] x [0, \infty]} \left | u_0 (x)-h (x) \right | </math> is small, then the <math> u (x, t) </math> and <math> u_1 (x, t) </math> solutions are also nearby.

==Resolution establishing finite difference method==

Then the MATLAB code that numerically solves the heat equation posed exposed. It has been solved by the finite difference method with <math> \Delta x = 0.1 </math> and we have used the method of taking time trapeze <math> \Delta t = \Delta x </math>. The number of subintervals in which we divide the rod length is <math> Nx = 30 </math> and time to which we have taken to represent <math> 2 </math>.

{{matlab|codigo=
clear all
%solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% u(0,t)=0 u(l,t)=10 u(x,0)=the piecewise title
L=3;T=2;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
%method of trapezoids
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx-1)+(ht/2)*K)\(uu+ht*(-K*uu+F+F)/2);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
m=U(:,16);
figure(1)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('temperature')
figure(2)
plot(t,m)
xlabel('time')
ylabel('temperature')

}}

In this graph we have shown the 3D surface of the solution of the heat equation posed. As shown, although the trapezoidal method is an implicit method, not well approximated by the points of discontinuity of the initial condition and require less in the discretization step to remove these "peaks" that appear on the surface.

{|
|-
| [[Archivo: untitled11.jpg|thumb|750px|left|Solution of the heat equation]]
|}

In the graph shown below the temperature behavior is shown in the middle of the rod with time. This is also obtained from the upper MATLAB code. Comparing the two graphs shows that the latter is a cut <math> x = 1.5 </math> of the above.

{|
|-
| [[Archivo: gráfica3a.jpg|thumb|750px|left| u(t) ]]
|}

= Resolution with different methods =

We will solve the problem initially posed by the implicit and explicit methods by Euler and Runge-Kutta of order 4, following the same steps as with the method of the Trapezium.

==Implicit Euler==

{{matlab|codigo=

clear all
%solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% u(0,t)=0 u(l,t)=10 u(x,0)=the piecewise title
L=3;T=2;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
%implicit Euler method
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx-1)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
m=U(:,16);
figure(1)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('temperature')
figure(2)
plot(t,m)

}}

{|
|-
|[[Archivo: untitled00010.jpg|thumb|750px|left|Surface with the implicit Euler method]]

|}

{|
|-
|[[Archivo: Grafica_Euler_impl%C3%ADcito.jpg |thumb|750px|left|<math> x = 1.5 </math> Graph with the implicit Euler method]]

|}

==Explicit Euler==

{{matlab|codigo=

clear all
% Explicit Euler method
L=3;T=2;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=(hx^2)/2;% must do so, if not it does not work
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
for n=1:(length(t)-1)
uu=uu+ht*(-K*uu+F);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
m=U(:,16);
figure(3)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('Temperature')
figure(4)
plot(t,m)

}}

{|
|-
|[[Archivo: untitled9.jpg|thumb|750px|left|Surface with explicit Euler method ]]

|}

{|
|-
|[[Archivo: Euler1.3.jpg |thumb|750px|left|Graph in <math>x=1.5</math> with explicit Euler method]]

|}

==Runge-Kutta==

{{matlab|codigo=

clear all
% Runge Kutta method
L=3;T=2;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=(hx^2)/2;% if we do not add ht it does not work
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
for n=1:(length(t)-1)
k1=-K*uu+F;
k2=-K*(uu+k1*ht/2)+F;
k3=-K*(uu+k2*ht/2)+F;
k4=-K*(uu+k3*ht)+F;
uu=uu+(ht/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
m=U(:,16);
figure(5)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('Temperature')
figure(6)
plot(t,m)

}}

{|
|-
|[[Archivo: untitled8.jpg|thumb|750px|left|Surface with Runge Kutta method]]

|}

{|
|-
|[[Archivo: Grafica_Runge_Kutta.jpeg|thumb|750px|left|Graph in <math>x=1.5</math> Runge Kutta method]]

|}

We can see that the method that works best is the implicit Euler, whereas explicit Euler and Runge-Kutta, being explicit methods require a rodent control into smaller intervals, and still not a good approximation is achieved as can be seen in the graph of the explicit Euler method. Therefore, for what follows, we use implicit Euler method.

=Stationary state=

It is said that a physical system is in stationary state when its characteristics do not vary with time. In this section we address this stationary state, which consists of neglecting the time and see what happens to our problem without taking into account the time variable.

<math>u_t(x,t)\approx 0; \ u_{xx}=0; \ u_x=c_1(t) \ u=c_1(t)x+c_2(t)</math>

Substituting the boundary conditions:

<math>u(0)=0; \ c_2(t)=0; \ u(3)=10; \ c_1(t)=\frac{10}{3}</math>

Thus the stationary solution is <math>u(x,t)=\frac{10x}{3}</math>, which is related to the initial condition. It seems logical that once the temperature in the center of the rod has dissipated, the ends having this constant temperature varies linearly between the two.

{{matlab|codigo=

clear all
%solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% u(0,t)=0 u(l,t)=10 u(x,0)=the piecewise title
L=3;T=10;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
%método de Euler implícito
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx-1)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
%solución estacionaria u(x)=10/3*x
V=10*xx/3;
figure(1)
hold on
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('Temperature')
h1=surf(xx,tt,V),set(h1,'FaceColor','magenta','FaceAlpha',0.5,'EdgeColor','w')
hold off
t0=U(1,:);t1=U(1/ht+1,:);t2=U(2/ht+1,:);t10=U(10/ht+1,:);
figure(2)
subplot(2,2,1)
hold on
plot(X,t0)
plot(X,V(1,:),'r')
xlabel('x')
ylabel('temperature with t=0')
hold off
subplot(2,2,2)
hold on
plot(X,t1)
plot(X,V(1+1/ht,:),'r')
xlabel('x')
ylabel('temperature with t=1')
hold off
subplot(2,2,3)
hold on
plot(X,t2)
plot(X,V(1+2/ht,:),'r')
xlabel('x')
ylabel('temperature with t=2')
hold off
subplot(2,2,4)
hold on
plot(X,t10)
plot(X,V(1+10/ht,:),'r')
xlabel('x')
ylabel('temperature with t=10')
hold off
figure(3)
subplot(2,2,1)
e1=abs(t0-V(1,:));me1=max(e1);...
sprintf('The maximum difference with the stationary solution in t=0 is %d .',me1)
plot(X,e1,'g'),xlabel('x'),...
ylabel('Difference with the stationary solution in t=0')
subplot(2,2,2)
e2=abs(t1-V(1+1/ht,:));me2=max(e2);...
sprintf('The maximum difference with the stationary solution in t=1 is %d .',me2)
plot(X,e2,'g'),xlabel('x'),...
ylabel('Difference with the stationary solution t=1')
subplot(2,2,3)
e3=abs(t2-V(1+2/ht,:));me3=max(e3);...
sprintf('The maximum difference with the stationary solution in t=2 is %d .',me3)
plot(X,e3,'g'),xlabel('x'),...
ylabel('Difference with the stationary solution in t=2')
subplot(2,2,4)
e4=abs(t10-V(1+10/ht,:));me4=max(e4);...
sprintf('The maximum difference with the stationary solution in t=10 is %d .',me4)
plot(X,e4,'g'),xlabel('x'),ylabel('Difference with the stationary solution in t=10')

}}

{|
|-
|[[Archivo: untitled7.jpg|thumb|750px|left|Real surfaces and the stationary solution (in pink)]]

|}

This second graph shows as as we move in time (t older) solving our heat equation (blue) is more assimilated to the (red) stationary solution.

{|
|-
|[[Archivo: untitled5.jpg|thumb|750px|left|Comparing solutions in <math>t=0,1,2,10</math>]]

|}

We now show the difference between the previous two solutions stationary real and represented throughout the rod for different values of time. We see how to increasingly large time difference between the two is narrowing, observing the order of magnitude in the ordinate.

{|
|-
|[[Archivo: untitled6.jpg|thumb|750px|left|Differences with the stationary solution <math>t=0,1,2,10</math> order]]

|}

= Neumann type boundary condition=

Now let's consider a different boundary condition at the right end. Instead of assuming a constant temperature at that end as above, we will place on it an insulating piece. This isolate causes no loss of heat at the right end, that is, the flow temperature is null. This condition is of Neumann type, unlike the previous ones were Dirichlet. So, we keep the condition at the left end and apply the new on the far right, which is

<center><math>-ku_x(3,t)=0 \rightarrow </math> $\boxed{u_x(3,t)=0}$</center>

In this situation, the temperature of the rod is given by the following problem

<center><math>
\begin{cases}
u_t-u_{xx}=0, \qquad x\epsilon(0,3), t>0\\
u(0,t)=0, u_x(3,t)=0, \qquad t>0\\
u(x,0)=u_0(x), \qquad x\epsilon[0,3]
\end{cases}
</math></center>

So far in the stationary state for large times the function <math>u(x,t)</math> that models the temperature of the rod is solution of the following boundary value problem (we call it that because the differential equation depends only <math> x </math> in the stationary state)

<center><math>
\begin{cases}
u_{xx}=0, \qquad x\epsilon(0,3), t>0\\
u(0,t)=0, u_x(3,t)=0, \qquad t>0
\end{cases}
</math></center>

We solve the differential equation to obtain the same result as above

<center><math>u_{xx}=0 \rightarrow u(x,t)=C_1(t)x+C_2(t)</math></center>

Applying the boundary conditions

<center><math>C_1(t)=C_2(t)=0 \rightarrow </math> $\boxed{u(x,t)=0}$</center>

This result shows that after a large enough time to consider a steady state in the rod, it acquires a uniform zero temperature. The behavior of the rod is consistent with the boundary conditions, as its final temperature matches that remains constant in the far left.

==Finite difference method==

The following image shows an approximation of the problem is shown by the method of finite differences. It can be seen as a high value of the temperature in the rod can be considered constant and uniform throughout, reaching the stationary value <math> u (x, t) = 0 </math>.

{|
|-
|[[Archivo:AP6a.png|thumb|750px|left|Solution of the problem with Neumann type boundary condition]]

|}

Specifically, from a time <math> t = 26.4</math> we can consider that the temperature reaches stationary value with an error of 0.05, that is, at that moment the difference between the calculated and the thermal distribution stationary takes that value.

Below is reflected Matlab code which approximates the temperature of the rod by using the finite difference method as the implicit Euler that provides a better approximation with a step size <math> h = 0.1 </math> in time and space, and <math>t \in \mbox{[0,30]}</math>. Furthermore, in the instant code approximation value differs 0.05 steady in all parts of the rod is calculated.

{{matlab|codigo=
clear all
%Sixth paragraph of labor
%solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% U (0, t) = 0 ux (L, t) = 0 u (x, 0) = the function piecewise title
L=3;T=30;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=2*hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx))-diag(ones(1,Nx-1),1)-diag(ones(1,Nx-1),-1));
K(Nx,Nx-1)=-2;K=K/(hx^2);
x=hx:hx:L;
F=zeros(Nx,1);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0];
%metoodo de Euler implicito
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[0 uu'];
end
p=0.05*ones(1,length(x)+1);
for i=1:length(t)
if min(U(i,:)<=p)==1
break
end
end
SOL=t(i)
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
surf(xx,tt,U)
title('Solution of the problem with Neumann type boundary condition')
xlabel('Space')
ylabel('Time')
zlabel('Temperature')
p=U(:,Nx+1);
}}

==Fourier Method==

We propose now the same problem using the Fourier method. Thus, we seek solutions <math>u(x,t)=\varphi(x)T(t)</math> form, where <math>\varphi(x)</math> must satisfy the following problem eigenvalue

<center><math>
\begin{cases}
\varphi’’(x)+\lambda\varphi(x)=0\\
\varphi(0)=0, \varphi’(3)=0
\end{cases}
</math></center>

The solution of the differential equation is <math>\varphi(x)=a\cos(\sqrt{\lambda}x)+b\sin(\sqrt{\lambda}x)</math>

Applying the boundary conditions we obtain the eigenvalues <math>\mu_k</math> and eigenfunctions <math>\varphi_k(x)</math> of the problem
<center><math>\varphi(0)=0 \rightarrow a=0</math>;</center>
<center><math>\varphi’(3)=0 \rightarrow \sqrt{\lambda}\,b\cos(\sqrt{\lambda}\,3)=0 \rightarrow \sqrt{\lambda}\,3=(k-{1\over2})\,\pi \rightarrow </math> $\boxed{\lambda=\mu_k=(k-{1\over2})^2{\pi^2\over9}}$;</center>

<center>Así $\boxed{\varphi_k(x)=\sin(k-{1\over2}){\pi\over3}x}$, <math> \qquad k=1,2,3…N</math></center>

If we apply that <math>u_k(x,t)=\varphi_k(x)T_k(t)</math> satisfies the differential equation <math> u_t-u_{xx}=0</math>, we obtain the differential equation determines <math>T_k(t)</math> <center> <math>u_t-u{xx}=0 \rightarrow \varphi_k(x)T_k’(t)-\varphi_k’’(x)T_k(t)=\varphi_k(x)T_k’(t)-(-\mu_k)\varphi_k(x)T_k(t)=0 \rightarrow</math> $\boxed{T_k’(t)+\mu_kT_k(t)=0}$</center>

The solution of this differential equation $\boxed{T_k(t)=C_ke^{-\mu_kt}= C_ke^{-(k-{1\over2})^2{\pi^2\over9}t}}$ and therefore <math>u_k(x,t)= \varphi_k(x)T_k(t)=C_ke^{-(k-{1\over2})^2{\pi^2\over9}t}\sin(k-{1\over2}){\pi\over3}x</math>

If we express the solution of the problem as $\boxed{u (x, t) = \sum_ {k = 1} ^ Nu_k (x, t) = \sum_ {k = 1} ^ N ^ C_ke {- (k-{1 \over2}) ^ 2 {\pi ^ 2 \over9} t} \sin (k-{1 \over2}) {\pi \over3} x}$ and make satisfying the initial condition we obtain <math>u(x,0)=\sum_{k=1}^NC_k\sin(k-{1\over2}){\pi\over3}x</math>. Thus, by uniqueness of the Fourier coefficients, the coefficients <math> C_K </math> match those of the Fourier series with respect to the eigenfunctions <math> \varphi_k (x) </math> Function apart that determines the initial condition (expressed at the beginning of the article).

The problem is thus limited to the calculation of these coefficients according to the expression

<center>$\boxed{C_k={\int_{0}^{3}u(x,0)\varphi_k(x)dx\over\int_{0}^{3}\varphi_k^2(x)dx}}$</center>

The degree of accuracy of the approximation with this method depends on the number of elements in the Fourier series, ie, the value of <math> N </math>. We study the temperature of the rod taking <math> N = 1,3,5,10,20 </math> values, as you can see in the picture below. It can be seen, especially in the initial condition, that as the value of <math> N </math> is the approximate increase function is closer to the real.
{|
|-
|[[Archivo:Untitled4.jpg|thumb|750px|left|Solutions with different number of terms of the Fourier series]]

|}

These results can be better taking a compare <math> t = 0.5 </math> fixed instant, and representing each function it in the same graph, as we see below. For this case we also added the approximation with 2 terms of the Fourier series to reflect that up to 3 terms approaches can be distinguished, but once this number of elements in the series approximations are virtually indistinguishable when compared on the same graph.

{|
|-
| [[Archivo:Untitled3.jpg|thumb|750px|left|Graph of temperature in t=0.5 with N terms of the Fourier series]]

|}

The following Matlab code which approximates the temperature of the rod by the Fourier method, with N = 1,3,5,10,20 terms of the series, and step size is reflected <math>h=0,1</math> in time and space, and <math>t \in \mbox{[0,10]}</math>

{{matlab|codigo=
clear all
%Seventh section of the paper
% solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% U (0, t) = 0 ux (L, t) = 0 u (x, 0) = the function piecewise title
% Resolution with fourier
L=3;T=10;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
x=0:hx:L;t=0:ht:T;
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
q=[1,2,3,5,10,20];
a=[1,3,5,10,20];
f=10*x/3;f(11:21)=100;
i=0;
for Q=q
u=0;
for k=1:Q
p=sin((k-1/2)*(pi/3)*x);
c=trapz(x,f.*p)/trapz(x,p.*p);
u=u+c*exp(-((k-1/2)^2)*((pi/3)^2)*tt).*sin((k-1/2)*(pi/3)*xx);
end
b=find(Q==a);
if b<6
i=i+1;
figure(1)
subplot(2,3,i)
ca=num2str(Q);r=strcat(['Solution with ',ca,' terms of the Fourier series']);
if Q==1
r=strcat(['Solution with ',ca,' term of the Fourier series']);
end
surf(xx,tt,u),xlabel('Space'),ylabel('Time'),zlabel('Temperature'),title(r)
end
d(find(q==Q),:)=u(0.5/ht+1,:);
end
figure(2)
hold on
title('Temperature in t=0.5 with N terms of the Fourier series')
plot(x,d(1:6,:))
xlabel('Space'),ylabel('Time')
legend('N=1','N=2','N=3','N=5','N=10','N=20','Location','best')
hold off
}}

=Losses along the rod=

Now we will study the case where there are heat sources or sinks along the rod. Specifically, if there is heat loss through the air having a constant temperature of 16 degrees. With the boundary conditions that we had initially keeping the left and right at 0 and 10 degrees respectively ends, the problem would be:

<math>
\begin{cases}
u_t-u_{xx}+u-16=0,\ x \in \mbox{[0,3]} & t>0 \\
u(0,t)=0; u(3,t)=10; & u(x,0)=g(x) ;
\end{cases}
</math>

Where <math>g(x)</math> is defined as in the first problem:

<math>
u_0=
\begin{cases}
10x/3 & \mbox{si} & x \in \mbox{(0,1)} \cup \mbox{(2,3)} \\
100 & \mbox{si} & x \in \mbox{(1,2)}
\end{cases}
</math>

To solve the problem by finite differences with a term in <math> u (x, t) </math> need to rethink the discretization in space:

<math>
\begin{cases}
u’_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)-u_{n+1}(t)}{h^2}+u_n(t)=16&n=1,2,…,N&t>0 \\
u_0(t)=0 \\
u_N(t)=10 \\
u_n(0)=g(x)
\end{cases}
</math>

Thus, the resulting matrices are as follows

<math>
K=
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 & 0 & … &0 & 0 \\
… & … & … & … & … & … & … \\
0 & 0 & 0 & 0 & … & -1 & 2
\end{pmatrix}
\frac{1}{h^2}+
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & … &0 & 0 \\
… & … & … & … & … & … & … \\
0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>; <math>
F=
\begin{pmatrix}
16+\frac{0}{h^2} \\
16 \\
… \\
16+\frac{10}{h^2} \\
\end{pmatrix}
</math>; <math>
U=
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
… \\
u_{N-1} \\
\end{pmatrix}
</math>; <math>
U^0=
\begin{pmatrix}
g(x_1) \\
g(x_2) \\
… \\
g(x_{N-1})
\end{pmatrix}
</math>

With this we can move to numerically solve the problem, but we must recalculate the steady state of the despising rod <math>u_t(x,t)</math>.

<math>u_t(x,t)\approx 0; \ u_{xx}-u+16=0; \ u(0)=0 \ u(3)=10</math>

This is nothing more than an ordinary differential equation of 2nd order with constant coefficients, whose solution is:

<math>a(t)e^x+b(t)e^{-x}+16</math>

Where <math> a (t) </math> and <math> b (t) </math> are constants to be obtained to replace and solve the system with the boundary conditions, which in our case have let him Matlab resolved (see lines 22 and 23 of the code).
Now, we turn to numerically solve the problem, with <math>h=0,1</math> and <math>t \in \mbox{[0,10]}</math>:

{{matlab|codigo=
clear all
%solve the heat equation ut-uxx + u-16 = 0 with
% U (0, t) = 0 u (l, t) = 10 u (x, 0) = the function to set pieces
L=3;T=10;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
K=K+eye(Nx-1);
x=hx:hx:L-hx;
F=16*ones(Nx-1,1);F(Nx-1)=16+10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
%metoodo de Euler implicito
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx-1)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
a=[1 1;exp(3) exp(-3)];b=[-16;-6];d=a\b;
V=d(1)*exp(xx)+d(2)*exp(-xx)+16*ones(T/ht+1,Nx+1);
figure(1)
hold on
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('temperature')
h1=surf(xx,tt,V),set(h1,'FaceColor','red','FaceAlpha',0.5,'EdgeColor','w')
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('temperature')
E=abs(U-V);
e1=E(46:101,Nx/6+1);
e2=E(46:101,Nx/3+1);
e3=E(46:101,Nx/2+1);
e4=E(46:101,2*Nx/3+1);
e5=E(46:101,5*Nx/6+1);
figure(3)
hold on
plot(t(46:101),e1)
plot(t(46:101),e2,'r')
plot(t(46:101),e3,'k')
plot(t(46:101),e4,'m')
plot(t(46:101),e5,'c'),legend('Difference in x=0.5','Difference in x=1',...
'Difference in x=1.5','Difference in x=2','Difference in x=2.5')
plot(t(46:101),0.001*ones(1,length(t)-45),'g'),xlabel('time'),...
ylabel('Difference with the stationary solution')
hold off

}}

{|
|-
|[[Archivo:Untitled002.jpg|thumb|750px|left|Graph of <math>u(x,t)</math> in <math>x \in \mbox{[0,3]};t \in \mbox{[0,10]}</math>. In pink is the stationary solution. ]]

|}

As shown in the graph, the actual solution and stationary are virtually identical for <math> t> 2 </math>. Furthermore we see that near <math> t = 5 </math> the stationary solution is above the real solution. This is best seen in the following graph in which are represented the difference between the actual solution and the stationary for different values of <math> x </math>, namely <math>x = 0.5,1,1.5,2,2.5 </math>.

{|
|-
|[[Archivo:Untitled01.jpg|thumb|750px|left|Graph with the difference between the real and the stationary solution for<math>t \in \mbox{[4.5,10]}</math> ]]

|}

At that point cut the difference between the two is minimal, below <math> 10 ^ {-3 } </math>, while from there this difference increases slightly and remained constant when time is increasing. This was expected, since for large times the solution of the equation is stationary, and therefore effects of time we have is the difference between two constants. The existing small difference between the two may be because logically, does not disclose exact thing but we are solving the equation numerically.

== Changing the boundary conditions==

Suppose now that we change the boundary conditions, so that now the left end of the rod to be in contact with a material whose temperature varies according to the function <math> 10sen (t) </math>, and by the end right there is a flow of constant heat input <math> 1 </math>. These conditions translate as <math> u (0, t) = 10sen (t) </math> and <math> u_x (3, t) = 1 </math>.

As the second condition of Neumann type, size of the matrices increases one unit, to be known <math> u_n </math> term. Also <math> K </math> and <math> F </math> change their terms, becoming

<math>
K=
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 & 0 & … &0 & 0 \\
… & … & … & … & … & … & … \\
0 & 0 & 0 & 0 & … & -2 & 2
\end{pmatrix}
\frac{1}{h^2}+
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & … &0 & 0 \\
… & … & … & … & … & … & … \\
0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>; <math>
F=
\begin{pmatrix}
16+\frac{10sen(t_n)}{h^2} \\
16 \\
… \\
16+\frac{2}{h} \\
\end{pmatrix}
</math>

We solve the implicit Euler method with <math>h=0,1</math> and <math>t \in \mbox{[0,10]}</math>:

{{matlab|codigo=
clear all
%solve the heat equation ut-uxx + u-16 = 0 with
% U (0, t) = 10 * sin (t) ux (L, t) = 1 u (x, 0) = the function piecewise title
L=3;T=10;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx))-diag(ones(1,Nx-1),1)-diag(ones(1,Nx-1),-1));K(Nx,Nx-1)=-2;K=K/(hx^2);
K=K+eye(Nx);
x=hx:hx:L;
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
g=10*sin(t);
U(1,:)=[g(1) u0];
%implicit Euler method
for n=1:(length(t)-1)
F=16*ones(Nx,1);F(Nx)=16+2/hx;F(1)=16+g(n)/(hx^2);
uu=(eye(Nx)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[g(n+1) uu'];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
figure(1)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('Temperature')

}}

{|
|-
|[[Archivo:untitled.jpg|thumb|750px|left|Graph of <math>u(x,t)</math> in <math>x \in \mbox{[0,3]};t \in \mbox{[0,10]}</math> ]]

|}

In view of the graph we can conclude that as previously when we had a Neumann type condition, the heat "escapes" from the left end at a variable temperature with time while entering from the right. This can be seen if the program is run on the graph by observing the slight slope that the surface of temperatures has at the left side.

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Heat equation (Grupo 1B)

2014-05-19T07:40:21Z

Sandro.andres:

{{ TrabajoED |Heat equation. Grupo 1-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Sandro Andrés Martínez

David Ayala Díez

Claudia Cózar Coarasa

Lorena de la Fuente Sanz

Marino Rivera Muñoz

José Manuel Torres Serrano }}

In this work we have studied the modeling of the heat equation, according to Fourier's law discovered in the nineteenth century.

= Well proposed problem =

[[Archivo:Nueva imagen.png|thumb|300px|left| Thin rod of length L]]

We will raise the system of equations that satisfies <math>u(x,t)</math> assuming that the temperature of the rod <math>u(x,t)</math> satisfies the heat equation <math>u_t-u_{xx}=0</math>. First, we have a thin, homogeneous and thermally isolated by its lateral surface rod of length <math>L=3</math>. At its left end the rod is in contact with a material whose temperature is maintained at 0°C, while the right is in contact with the material at 10°C. We also know that at the initial moment, the temperature distribution follows the <math>u(x,0)=u_0(x)</math> function specified below. Assuming a standard <math>c=\rho=k=1</math> parameters and there are no heat sources or sinks along the rod, the problem we have to solve is:

<math>
(P)
\begin{cases}
u_t-u_{xx}=0, \qquad x\epsilon(0,3), t>0\\
u(0,t)=0, u(3,t)=10, \qquad t>0\\
u(x,0)=u_0(x), \qquad x\epsilon[0,3]
\end{cases}
</math>
:
<math>
u_0(x)=
\begin{cases}
10x/3 & \mbox{si} & x \in \mbox{(0,1)}\cup\mbox{(2,3)} \\
100 & \mbox{si} & x \in \mbox{(1,2)}
\end{cases}
</math>

Then we will define what is a well proposed problem is one that meets the following:

• Existence: problem <math>(P)</math> admits a solution <math>u(x,t)</math>.

• Uniqueness: if there is a solution <math>(P)</math> it has to be unique.

• Stability with respect to initial data:
We consider the problem:
<math>
(P_1)
\begin{cases}
u_t-u_{xx}=0, \qquad x\epsilon(0,3), t>0\\
u(0,t)=0, u(3,t)=10, \qquad t>0\\
u(x,0)=h(x), \qquad x\epsilon[0,3]
\end{cases}
</math>

Be <math>u(x,t)</math> and <math>u_1(x,t)</math> <math>(P)</math> and <math>(P_1)</math> solutions respectively. We say that the <math>(P)</math> problem is stable with respect to initial data if we prove the inequality of type <math>sup_{(x,t)\in [0,3]x[0,\infty]}\left|u(x,t)-u_1(x,t)\right|\leq Csup_{(x,t)\in [0,3]x[0,\infty]}\left|u_0(x)-h(x)\right|</math> with <math>C</math> absolute, constant independent of the <math>(P)</math> and <math>(P_1)</math> problems.

That <math> (P) </math> is stable with respect to initial data tells us that if <math> h (x) </math> is close to <math> u_0 (x) </math> in the sense that <math> sup_ {(x, t) \ in [0,3] x [0, \infty]} \left | u_0 (x)-h (x) \right | </math> is small, then the <math> u (x, t) </math> and <math> u_1 (x, t) </math> solutions are also nearby.

==Resolution establishing finite difference method==

Then the MATLAB code that numerically solves the heat equation posed exposed. It has been solved by the finite difference method with <math> \Delta x = 0.1 </math> and we have used the method of taking time trapeze <math> \Delta t = \Delta x </math>. The number of subintervals in which we divide the rod length is <math> Nx = 30 </math> and time to which we have taken to represent <math> 2 </math>.

{{matlab|codigo=
clear all
%solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% u(0,t)=0 u(l,t)=10 u(x,0)=the piecewise title
L=3;T=2;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
%method of trapezoids
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx-1)+(ht/2)*K)\(uu+ht*(-K*uu+F+F)/2);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
m=U(:,16);
figure(1)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('temperature')
figure(2)
plot(t,m)
xlabel('time')
ylabel('temperature')

}}

In this graph we have shown the 3D surface of the solution of the heat equation posed. As shown, although the trapezoidal method is an implicit method, not well approximated by the points of discontinuity of the initial condition and require less in the discretization step to remove these "peaks" that appear on the surface.

{|
|-
| [[Archivo: untitled11.jpg|thumb|750px|left|Solution of the heat equation]]
|}

In the graph shown below the temperature behavior is shown in the middle of the rod with time. This is also obtained from the upper MATLAB code. Comparing the two graphs shows that the latter is a cut <math> x = 1.5 </math> of the above.

{|
|-
| [[Archivo: gráfica3a.jpg|thumb|750px|left| u(t) ]]
|}

= Resolution with different methods =

We will solve the problem initially posed by the implicit and explicit methods by Euler and Runge-Kutta of order 4, following the same steps as with the method of the Trapezium.

==Implicit Euler==

{{matlab|codigo=

clear all
%solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% u(0,t)=0 u(l,t)=10 u(x,0)=the piecewise title
L=3;T=2;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
%implicit Euler method
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx-1)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
m=U(:,16);
figure(1)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('temperature')
figure(2)
plot(t,m)

}}

{|
|-
|[[Archivo: untitled00010.jpg|thumb|750px|left|Surface with the implicit Euler method]]

|}

{|
|-
|[[Archivo: Grafica_Euler_impl%C3%ADcito.jpg |thumb|750px|left|<math> x = 1.5 </math> Graph with the implicit Euler method]]

|}

==Explicit Euler==

{{matlab|codigo=

clear all
% Explicit Euler method
L=3;T=2;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=(hx^2)/2;% must do so, if not it does not work
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
for n=1:(length(t)-1)
uu=uu+ht*(-K*uu+F);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
m=U(:,16);
figure(3)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('Temperature')
figure(4)
plot(t,m)

}}

{|
|-
|[[Archivo: untitled9.jpg|thumb|750px|left|Surface with explicit Euler method ]]

|}

{|
|-
|[[Archivo: Euler1.3.jpg |thumb|750px|left|Graph in <math>x=1.5</math> with explicit Euler method]]

|}

==Runge-Kutta==

{{matlab|codigo=

clear all
% Runge Kutta method
L=3;T=2;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=(hx^2)/2;% if we do not add ht it does not work
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
for n=1:(length(t)-1)
k1=-K*uu+F;
k2=-K*(uu+k1*ht/2)+F;
k3=-K*(uu+k2*ht/2)+F;
k4=-K*(uu+k3*ht)+F;
uu=uu+(ht/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
m=U(:,16);
figure(5)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('Temperature')
figure(6)
plot(t,m)

}}

{|
|-
|[[Archivo: untitled8.jpg|thumb|750px|left|Surface with Runge Kutta method]]

|}

{|
|-
|[[Archivo: Grafica_Runge_Kutta.jpeg|thumb|750px|left|Graph in <math>x=1.5</math> Runge Kutta method]]

|}

We can see that the method that works best is the implicit Euler, whereas explicit Euler and Runge-Kutta, being explicit methods require a rodent control into smaller intervals, and still not a good approximation is achieved as can be seen in the graph of the explicit Euler method. Therefore, for what follows, we use implicit Euler method.

=Stationary state=

It is said that a physical system is in stationary state when its characteristics do not vary with time. In this section we address this stationary state, which consists of neglecting the time and see what happens to our problem without taking into account the time variable.

<math>u_t(x,t)\approx 0; \ u_{xx}=0; \ u_x=c_1(t) \ u=c_1(t)x+c_2(t)</math>

Substituting the boundary conditions:

<math>u(0)=0; \ c_2(t)=0; \ u(3)=10; \ c_1(t)=\frac{10}{3}</math>

Thus the stationary solution is <math>u(x,t)=\frac{10x}{3}</math>, which is related to the initial condition. It seems logical that once the temperature in the center of the rod has dissipated, the ends having this constant temperature varies linearly between the two.

{{matlab|codigo=

clear all
%solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% u(0,t)=0 u(l,t)=10 u(x,0)=the piecewise title
L=3;T=10;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
%método de Euler implícito
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx-1)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
%solución estacionaria u(x)=10/3*x
V=10*xx/3;
figure(1)
hold on
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('Temperature')
h1=surf(xx,tt,V),set(h1,'FaceColor','magenta','FaceAlpha',0.5,'EdgeColor','w')
hold off
t0=U(1,:);t1=U(1/ht+1,:);t2=U(2/ht+1,:);t10=U(10/ht+1,:);
figure(2)
subplot(2,2,1)
hold on
plot(X,t0)
plot(X,V(1,:),'r')
xlabel('x')
ylabel('temperature with t=0')
hold off
subplot(2,2,2)
hold on
plot(X,t1)
plot(X,V(1+1/ht,:),'r')
xlabel('x')
ylabel('temperature with t=1')
hold off
subplot(2,2,3)
hold on
plot(X,t2)
plot(X,V(1+2/ht,:),'r')
xlabel('x')
ylabel('temperature with t=2')
hold off
subplot(2,2,4)
hold on
plot(X,t10)
plot(X,V(1+10/ht,:),'r')
xlabel('x')
ylabel('temperature with t=10')
hold off
figure(3)
subplot(2,2,1)
e1=abs(t0-V(1,:));me1=max(e1);...
sprintf('The maximum difference with the stationary solution in t=0 is %d .',me1)
plot(X,e1,'g'),xlabel('x'),...
ylabel('Difference with the stationary solution in t=0')
subplot(2,2,2)
e2=abs(t1-V(1+1/ht,:));me2=max(e2);...
sprintf('The maximum difference with the stationary solution in t=1 is %d .',me2)
plot(X,e2,'g'),xlabel('x'),...
ylabel('Difference with the stationary solution t=1')
subplot(2,2,3)
e3=abs(t2-V(1+2/ht,:));me3=max(e3);...
sprintf('The maximum difference with the stationary solution in t=2 is %d .',me3)
plot(X,e3,'g'),xlabel('x'),...
ylabel('Difference with the stationary solution in t=2')
subplot(2,2,4)
e4=abs(t10-V(1+10/ht,:));me4=max(e4);...
sprintf('The maximum difference with the stationary solution in t=10 is %d .',me4)
plot(X,e4,'g'),xlabel('x'),ylabel('Difference with the stationary solution in t=10')

}}

{|
|-
|[[Archivo: untitled7.jpg|thumb|750px|left|Real surfaces and the stationary solution (in pink)]]

|}

This second graph shows as as we move in time (t older) solving our heat equation (blue) is more assimilated to the (red) stationary solution.

{|
|-
|[[Archivo: untitled5.jpg|thumb|750px|left|Comparing solutions in <math>t=0,1,2,10</math>]]

|}

We now show the difference between the previous two solutions stationary real and represented throughout the rod for different values of time. We see how to increasingly large time difference between the two is narrowing, observing the order of magnitude in the ordinate.

{|
|-
|[[Archivo: untitled6.jpg|thumb|750px|left|Differences with the stationary solution <math>t=0,1,2,10</math> order]]

|}

= Neumann type boundary condition=

Now let's consider a different boundary condition at the right end. Instead of assuming a constant temperature at that end as above, we will place on it an insulating piece. This isolate causes no loss of heat at the right end, that is, the flow temperature is null. This condition is of Neumann type, unlike the previous ones were Dirichlet. So, we keep the condition at the left end and apply the new on the far right, which is

<center><math>-ku_x(3,t)=0 \rightarrow </math> $\boxed{u_x(3,t)=0}$</center>

In this situation, the temperature of the rod is given by the following problem

<center><math>
\begin{cases}
u_t-u_{xx}=0, \qquad x\epsilon(0,3), t>0\\
u(0,t)=0, u_x(3,t)=0, \qquad t>0\\
u(x,0)=u_0(x), \qquad x\epsilon[0,3]
\end{cases}
</math></center>

So far in the stationary state for large times the function <math>u(x,t)</math> that models the temperature of the rod is solution of the following boundary value problem (we call it that because the differential equation depends only <math> x </math> in the stationary state)

<center><math>
\begin{cases}
u_{xx}=0, \qquad x\epsilon(0,3), t>0\\
u(0,t)=0, u_x(3,t)=0, \qquad t>0
\end{cases}
</math></center>

We solve the differential equation to obtain the same result as above

<center><math>u_{xx}=0 \rightarrow u(x,t)=C_1(t)x+C_2(t)</math></center>

Applying the boundary conditions

<center><math>C_1(t)=C_2(t)=0 \rightarrow </math> $\boxed{u(x,t)=0}$</center>

This result shows that after a large enough time to consider a steady state in the rod, it acquires a uniform zero temperature. The behavior of the rod is consistent with the boundary conditions, as its final temperature matches that remains constant in the far left.

==Finite difference method==

The following image shows an approximation of the problem is shown by the method of finite differences. It can be seen as a high value of the temperature in the rod can be considered constant and uniform throughout, reaching the stationary value <math> u (x, t) = 0 </math>.

{|
|-
|[[Archivo:AP6a.png|thumb|750px|left|Solution of the problem with Neumann type boundary condition]]

|}

Specifically, from a time <math> t = 26.4</math> we can consider that the temperature reaches stationary value with an error of 0.05, that is, at that moment the difference between the calculated and the thermal distribution stationary takes that value.

Below is reflected Matlab code which approximates the temperature of the rod by using the finite difference method as the implicit Euler that provides a better approximation with a step size <math> h = 0.1 </math> in time and space, and <math>t \in \mbox{[0,30]}</math>. Furthermore, in the instant code approximation value differs 0.05 steady in all parts of the rod is calculated.

{{matlab|codigo=
clear all
%Sixth paragraph of labor
%solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% U (0, t) = 0 ux (L, t) = 0 u (x, 0) = the function piecewise title
L=3;T=30;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=2*hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx))-diag(ones(1,Nx-1),1)-diag(ones(1,Nx-1),-1));
K(Nx,Nx-1)=-2;K=K/(hx^2);
x=hx:hx:L;
F=zeros(Nx,1);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0];
%metoodo de Euler implicito
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[0 uu'];
end
p=0.05*ones(1,length(x)+1);
for i=1:length(t)
if min(U(i,:)<=p)==1
break
end
end
SOL=t(i)
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
surf(xx,tt,U)
title('Solution of the problem with Neumann type boundary condition')
xlabel('Space')
ylabel('Time')
zlabel('Temperature')
p=U(:,Nx+1);
}}

==Fourier Method==

We propose now the same problem using the Fourier method. Thus, we seek solutions <math>u(x,t)=\varphi(x)T(t)</math> form, where <math>\varphi(x)</math> must satisfy the following problem eigenvalue

<center><math>
\begin{cases}
\varphi’’(x)+\lambda\varphi(x)=0\\
\varphi(0)=0, \varphi’(3)=0
\end{cases}
</math></center>

The solution of the differential equation is <math>\varphi(x)=a\cos(\sqrt{\lambda}x)+b\sin(\sqrt{\lambda}x)</math>

Applying the boundary conditions we obtain the eigenvalues <math>\mu_k</math> and eigenfunctions <math>\varphi_k(x)</math> of the problem
<center><math>\varphi(0)=0 \rightarrow a=0</math>;</center>
<center><math>\varphi’(3)=0 \rightarrow \sqrt{\lambda}\,b\cos(\sqrt{\lambda}\,3)=0 \rightarrow \sqrt{\lambda}\,3=(k-{1\over2})\,\pi \rightarrow </math> $\boxed{\lambda=\mu_k=(k-{1\over2})^2{\pi^2\over9}}$;</center>

<center>Así $\boxed{\varphi_k(x)=\sin(k-{1\over2}){\pi\over3}x}$, <math> \qquad k=1,2,3…N</math></center>

If we apply that <math>u_k(x,t)=\varphi_k(x)T_k(t)</math> satisfies the differential equation <math> u_t-u{xx}=0</math>, we obtain the differential equation determines <math>T_k(t)</math> <center> <math>u_t-u{xx}=0 \rightarrow \varphi_k(x)T_k’(t)-\varphi_k’’(x)T_k(t)=\varphi_k(x)T_k’(t)-(-\mu_k)\varphi_k(x)T_k(t)=0 \rightarrow</math> $\boxed{T_k’(t)+\mu_kT_k(t)=0}$</center>

The solution of this differential equation $\boxed{T_k(t)=C_ke^{-\mu_kt}= C_ke^{-(k-{1\over2})^2{\pi^2\over9}t}}$ and therefore <math>u_k(x,t)= \varphi_k(x)T_k(t)=C_ke^{-(k-{1\over2})^2{\pi^2\over9}t}\sin(k-{1\over2}){\pi\over3}x</math>

If we express the solution of the problem as $\boxed{u (x, t) = \sum_ {k = 1} ^ Nu_k (x, t) = \sum_ {k = 1} ^ N ^ C_ke {- (k-{1 \over2}) ^ 2 {\pi ^ 2 \over9} t} \sin (k-{1 \over2}) {\pi \over3} x}$ and make satisfying the initial condition we obtain <math>u(x,0)=\sum_{k=1}^NC_k\sin(k-{1\over2}){\pi\over3}x</math>. Thus, by uniqueness of the Fourier coefficients, the coefficients <math> C_K </math> match those of the Fourier series with respect to the eigenfunctions <math> \varphi_k (x) </math> Function apart that determines the initial condition (expressed at the beginning of the article).

The problem is thus limited to the calculation of these coefficients according to the expression

<center>$\boxed{C_k={\int_{0}^{3}u(x,0)\varphi_k(x)dx\over\int_{0}^{3}\varphi_k^2(x)dx}}$</center>

The degree of accuracy of the approximation with this method depends on the number of elements in the Fourier series, ie, the value of <math> N </math>. We study the temperature of the rod taking <math> N = 1,3,5,10,20 </math> values, as you can see in the picture below. It can be seen, especially in the initial condition, that as the value of <math> N </math> is the approximate increase function is closer to the real.
{|
|-
|[[Archivo:Untitled4.jpg|thumb|750px|left|Solutions with different number of terms of the Fourier series]]

|}

These results can be better taking a compare <math> t = 0.5 </math> fixed instant, and representing each function it in the same graph, as we see below. For this case we also added the approximation with 2 terms of the Fourier series to reflect that up to 3 terms approaches can be distinguished, but once this number of elements in the series approximations are virtually indistinguishable when compared on the same graph.

{|
|-
| [[Archivo:Untitled3.jpg|thumb|750px|left|Graph of temperature in t=0.5 with N terms of the Fourier series]]

|}

The following Matlab code which approximates the temperature of the rod by the Fourier method, with N = 1,3,5,10,20 terms of the series, and step size is reflected <math>h=0,1</math> in time and space, and <math>t \in \mbox{[0,10]}</math>

{{matlab|codigo=
clear all
%Seventh section of the paper
% solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% U (0, t) = 0 ux (L, t) = 0 u (x, 0) = the function piecewise title
% Resolution with fourier
L=3;T=10;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
x=0:hx:L;t=0:ht:T;
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
q=[1,2,3,5,10,20];
a=[1,3,5,10,20];
f=10*x/3;f(11:21)=100;
i=0;
for Q=q
u=0;
for k=1:Q
p=sin((k-1/2)*(pi/3)*x);
c=trapz(x,f.*p)/trapz(x,p.*p);
u=u+c*exp(-((k-1/2)^2)*((pi/3)^2)*tt).*sin((k-1/2)*(pi/3)*xx);
end
b=find(Q==a);
if b<6
i=i+1;
figure(1)
subplot(2,3,i)
ca=num2str(Q);r=strcat(['Solution with ',ca,' terms of the Fourier series']);
if Q==1
r=strcat(['Solution with ',ca,' term of the Fourier series']);
end
surf(xx,tt,u),xlabel('Space'),ylabel('Time'),zlabel('Temperature'),title(r)
end
d(find(q==Q),:)=u(0.5/ht+1,:);
end
figure(2)
hold on
title('Temperature in t=0.5 with N terms of the Fourier series')
plot(x,d(1:6,:))
xlabel('Space'),ylabel('Time')
legend('N=1','N=2','N=3','N=5','N=10','N=20','Location','best')
hold off
}}

=Losses along the rod=

Now we will study the case where there are heat sources or sinks along the rod. Specifically, if there is heat loss through the air having a constant temperature of 16 degrees. With the boundary conditions that we had initially keeping the left and right at 0 and 10 degrees respectively ends, the problem would be:

<math>
\begin{cases}
u_t-u_{xx}+u-16=0,\ x \in \mbox{[0,3]} & t>0 \\
u(0,t)=0; u(3,t)=10; & u(x,0)=g(x) ;
\end{cases}
</math>

Where <math>g(x)</math> is defined as in the first problem:

<math>
u_0=
\begin{cases}
10x/3 & \mbox{si} & x \in \mbox{(0,1)} \cup \mbox{(2,3)} \\
100 & \mbox{si} & x \in \mbox{(1,2)}
\end{cases}
</math>

To solve the problem by finite differences with a term in <math> u (x, t) </math> need to rethink the discretization in space:

<math>
\begin{cases}
u’_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)-u_{n+1}(t)}{h^2}+u_n(t)=16&n=1,2,…,N&t>0 \\
u_0(t)=0 \\
u_N(t)=10 \\
u_n(0)=g(x)
\end{cases}
</math>

Thus, the resulting matrices are as follows

<math>
K=
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 & 0 & … &0 & 0 \\
… & … & … & … & … & … & … \\
0 & 0 & 0 & 0 & … & -1 & 2
\end{pmatrix}
\frac{1}{h^2}+
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & … &0 & 0 \\
… & … & … & … & … & … & … \\
0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>; <math>
F=
\begin{pmatrix}
16+\frac{0}{h^2} \\
16 \\
… \\
16+\frac{10}{h^2} \\
\end{pmatrix}
</math>; <math>
U=
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
… \\
u_{N-1} \\
\end{pmatrix}
</math>; <math>
U^0=
\begin{pmatrix}
g(x_1) \\
g(x_2) \\
… \\
g(x_{N-1})
\end{pmatrix}
</math>

With this we can move to numerically solve the problem, but we must recalculate the steady state of the despising rod <math>u_t(x,t)</math>.

<math>u_t(x,t)\approx 0; \ u_{xx}-u+16=0; \ u(0)=0 \ u(3)=10</math>

This is nothing more than an ordinary differential equation of 2nd order with constant coefficients, whose solution is:

<math>a(t)e^x+b(t)e^{-x}+16</math>

Where <math> a (t) </math> and <math> b (t) </math> are constants to be obtained to replace and solve the system with the boundary conditions, which in our case have let him Matlab resolved (see lines 22 and 23 of the code).
Now, we turn to numerically solve the problem, with <math>h=0,1</math> and <math>t \in \mbox{[0,10]}</math>:

{{matlab|codigo=
clear all
%solve the heat equation ut-uxx + u-16 = 0 with
% U (0, t) = 0 u (l, t) = 10 u (x, 0) = the function to set pieces
L=3;T=10;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
K=K+eye(Nx-1);
x=hx:hx:L-hx;
F=16*ones(Nx-1,1);F(Nx-1)=16+10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
%metoodo de Euler implicito
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx-1)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
a=[1 1;exp(3) exp(-3)];b=[-16;-6];d=a\b;
V=d(1)*exp(xx)+d(2)*exp(-xx)+16*ones(T/ht+1,Nx+1);
figure(1)
hold on
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('temperature')
h1=surf(xx,tt,V),set(h1,'FaceColor','red','FaceAlpha',0.5,'EdgeColor','w')
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('temperature')
E=abs(U-V);
e1=E(46:101,Nx/6+1);
e2=E(46:101,Nx/3+1);
e3=E(46:101,Nx/2+1);
e4=E(46:101,2*Nx/3+1);
e5=E(46:101,5*Nx/6+1);
figure(3)
hold on
plot(t(46:101),e1)
plot(t(46:101),e2,'r')
plot(t(46:101),e3,'k')
plot(t(46:101),e4,'m')
plot(t(46:101),e5,'c'),legend('Difference in x=0.5','Difference in x=1',...
'Difference in x=1.5','Difference in x=2','Difference in x=2.5')
plot(t(46:101),0.001*ones(1,length(t)-45),'g'),xlabel('time'),...
ylabel('Difference with the stationary solution')
hold off

}}

{|
|-
|[[Archivo:Untitled002.jpg|thumb|750px|left|Graph of <math>u(x,t)</math> in <math>x \in \mbox{[0,3]};t \in \mbox{[0,10]}</math>. In pink is the stationary solution. ]]

|}

As shown in the graph, the actual solution and stationary are virtually identical for <math> t> 2 </math>. Furthermore we see that near <math> t = 5 </math> the stationary solution is above the real solution. This is best seen in the following graph in which are represented the difference between the actual solution and the stationary for different values of <math> x </math>, namely <math>x = 0.5,1,1.5,2,2.5 </math>.

{|
|-
|[[Archivo:Untitled01.jpg|thumb|750px|left|Graph with the difference between the real and the stationary solution for<math>t \in \mbox{[4.5,10]}</math> ]]

|}

At that point cut the difference between the two is minimal, below <math> 10 ^ {-3 } </math>, while from there this difference increases slightly and remained constant when time is increasing. This was expected, since for large times the solution of the equation is stationary, and therefore effects of time we have is the difference between two constants. The existing small difference between the two may be because logically, does not disclose exact thing but we are solving the equation numerically.

== Changing the boundary conditions==

Suppose now that we change the boundary conditions, so that now the left end of the rod to be in contact with a material whose temperature varies according to the function <math> 10sen (t) </math>, and by the end right there is a flow of constant heat input <math> 1 </math>. These conditions translate as <math> u (0, t) = 10sen (t) </math> and <math> u_x (3, t) = 1 </math>.

As the second condition of Neumann type, size of the matrices increases one unit, to be known <math> u_n </math> term. Also <math> K </math> and <math> F </math> change their terms, becoming

<math>
K=
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 & 0 & … &0 & 0 \\
… & … & … & … & … & … & … \\
0 & 0 & 0 & 0 & … & -2 & 2
\end{pmatrix}
\frac{1}{h^2}+
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & … &0 & 0 \\
… & … & … & … & … & … & … \\
0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>; <math>
F=
\begin{pmatrix}
16+\frac{10sen(t_n)}{h^2} \\
16 \\
… \\
16+\frac{2}{h} \\
\end{pmatrix}
</math>

We solve the implicit Euler method with <math>h=0,1</math> and <math>t \in \mbox{[0,10]}</math>:

{{matlab|codigo=
clear all
%solve the heat equation ut-uxx + u-16 = 0 with
% U (0, t) = 10 * sin (t) ux (L, t) = 1 u (x, 0) = the function piecewise title
L=3;T=10;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx))-diag(ones(1,Nx-1),1)-diag(ones(1,Nx-1),-1));K(Nx,Nx-1)=-2;K=K/(hx^2);
K=K+eye(Nx);
x=hx:hx:L;
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
g=10*sin(t);
U(1,:)=[g(1) u0];
%implicit Euler method
for n=1:(length(t)-1)
F=16*ones(Nx,1);F(Nx)=16+2/hx;F(1)=16+g(n)/(hx^2);
uu=(eye(Nx)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[g(n+1) uu'];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
figure(1)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('Temperature')

}}

{|
|-
|[[Archivo:untitled.jpg|thumb|750px|left|Graph of <math>u(x,t)</math> in <math>x \in \mbox{[0,3]};t \in \mbox{[0,10]}</math> ]]

|}

In view of the graph we can conclude that as previously when we had a Neumann type condition, the heat "escapes" from the left end at a variable temperature with time while entering from the right. This can be seen if the program is run on the graph by observing the slight slope that the surface of temperatures has at the left side.

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Heat equation (Grupo 1B)

2014-05-18T17:42:45Z

Sandro.andres:

{{ TrabajoED |Heat equation. Grupo 1-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Sandro Andrés Martínez

David Ayala Díez

Claudia Cózar Coarasa

Lorena de la Fuente Sanz

Marino Rivera Muñoz

José Manuel Torres Serrano }}

In this work we have studied the modeling of the heat equation, according to Fourier's law discovered in the nineteenth century.

= Well proposed problem =

[[Archivo:Nueva imagen.png|thumb|300px|left| Thin rod of length L]]

We will raise the system of equations that satisfies <math>u(x,t)</math> assuming that the temperature of the rod <math>u(x,t)</math> satisfies the heat equation <math>u_t-u_{xx}=0</math>. First, we have a thin, homogeneous and thermally isolated by its lateral surface rod of length <math>L=3</math>. At its left end the rod is in contact with a material whose temperature is maintained at 0°C, while the right is in contact with the material at 10°C. We also know that at the initial moment, the temperature distribution follows the <math>u(x,0)=u_0(x)</math> function specified below. Assuming a standard <math>c=\rho=k=1</math> parameters and there are no heat sources or sinks along the rod, the problem we have to solve is:

<math>
(P)
\begin{cases}
u_t-u_{xx}=0, \qquad x\epsilon(0,3), t>0\\
u(0,t)=0, u(3,t)=10, \qquad t>0\\
u(x,0)=u_0(x), \qquad x\epsilon[0,3]
\end{cases}
</math>
:
<math>
u_0(x)=
\begin{cases}
10x/3 & \mbox{si} & x \in \mbox{(0,1)}\cup\mbox{(2,3)} \\
100 & \mbox{si} & x \in \mbox{(1,2)}
\end{cases}
</math>

Then we will define what is a well proposed problem is one that meets the following:

• Existence: problem <math>(P)</math> admits a solution <math>u(x,t)</math>.

• Uniqueness: if there is a solution <math>(P)</math> it has to be unique.

• Stability with respect to initial data:
We consider the problem:
<math>
(P_1)
\begin{cases}
u_t-u_{xx}=0, \qquad x\epsilon(0,3), t>0\\
u(0,t)=0, u(3,t)=10, \qquad t>0\\
u(x,0)=h(x), \qquad x\epsilon[0,3]
\end{cases}
</math>

Be <math>u(x,t)</math> and <math>u_1(x,t)</math> <math>(P)</math> and <math>(P_1)</math> solutions respectively. We say that the <math>(P)</math> problem is stable with respect to initial data if we prove the inequality of type <math>sup_{(x,t)\in [0,3]x[0,\infty]}\left|u(x,t)-u_1(x,t)\right|\leq Csup_{(x,t)\in [0,3]x[0,\infty]}\left|u_0(x)-h(x)\right|</math> with <math>C</math> absolute, constant independent of the <math>(P)</math> and <math>(P_1)</math> problems.

That <math> (P) </math> is stable with respect to initial data tells us that if <math> h (x) </math> is close to <math> u_0 (x) </math> in the sense that <math> sup_ {(x, t) \ in [0,3] x [0, \infty]} \left | u_0 (x)-h (x) \right | </math> is small, then the <math> u (x, t) </math> and <math> u_1 (x, t) </math> solutions are also nearby.

==Resolution establishing finite difference method==

Then the MATLAB code that numerically solves the heat equation posed exposed. It has been solved by the finite difference method with <math> \Delta x = 0.1 </math> and we have used the method of taking time trapeze <math> \Delta t = \Delta x </math>. The number of subintervals in which we divide the rod length is <math> Nx = 30 </math> and time to which we have taken to represent <math> 2 </math>.

{{matlab|codigo=
clear all
%solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% u(0,t)=0 u(l,t)=10 u(x,0)=the piecewise title
L=3;T=2;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
%method of trapezoids
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx-1)+(ht/2)*K)\(uu+ht*(-K*uu+F+F)/2);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
m=U(:,16);
figure(1)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('temperature')
figure(2)
plot(t,m)
xlabel('time')
ylabel('temperature')

}}

In this graph we have shown the 3D surface of the solution of the heat equation posed. As shown, although the trapezoidal method is an implicit method, not well approximated by the points of discontinuity of the initial condition and require less in the discretization step to remove these "peaks" that appear on the surface.

{|
|-
| [[Archivo: untitled11.jpg|thumb|750px|left|Solution of the heat equation]]
|}

In the graph shown below the temperature behavior is shown in the middle of the rod with time. This is also obtained from the upper MATLAB code. Comparing the two graphs shows that the latter is a cut <math> x = 1.5 </math> of the above.

{|
|-
| [[Archivo: gráfica3a.jpg|thumb|750px|left| u(t) ]]
|}

= Resolution with different methods =

We will solve the problem initially posed by the implicit and explicit methods by Euler and Runge-Kutta of order 4, following the same steps as with the method of the Trapezium.

==Implicit Euler==

{{matlab|codigo=

clear all
%solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% u(0,t)=0 u(l,t)=10 u(x,0)=the piecewise title
L=3;T=2;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
%implicit Euler method
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx-1)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
m=U(:,16);
figure(1)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('temperature')
figure(2)
plot(t,m)

}}

{|
|-
|[[Archivo: untitled00010.jpg|thumb|750px|left|Surface with the implicit Euler method]]

|}

{|
|-
|[[Archivo: Grafica_Euler_impl%C3%ADcito.jpg |thumb|750px|left|<math> x = 1.5 </math> Graph with the implicit Euler method]]

|}

==Explicit Euler==

{{matlab|codigo=

clear all
% Explicit Euler method
L=3;T=2;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=(hx^2)/2;% must do so, if not it does not work
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
for n=1:(length(t)-1)
uu=uu+ht*(-K*uu+F);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
m=U(:,16);
figure(3)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('Temperature')
figure(4)
plot(t,m)

}}

{|
|-
|[[Archivo: untitled9.jpg|thumb|750px|left|Surface with explicit Euler method ]]

|}

{|
|-
|[[Archivo: Euler1.3.jpg |thumb|750px|left|Graph in <math>x=1.5</math> with explicit Euler method]]

|}

==Runge-Kutta==

{{matlab|codigo=

clear all
% Runge Kutta method
L=3;T=2;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=(hx^2)/2;% if we do not add ht it does not work
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
for n=1:(length(t)-1)
k1=-K*uu+F;
k2=-K*(uu+k1*ht/2)+F;
k3=-K*(uu+k2*ht/2)+F;
k4=-K*(uu+k3*ht)+F;
uu=uu+(ht/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
m=U(:,16);
figure(5)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('Temperature')
figure(6)
plot(t,m)

}}

{|
|-
|[[Archivo: untitled8.jpg|thumb|750px|left|Surface with Runge Kutta method]]

|}

{|
|-
|[[Archivo: Grafica_Runge_Kutta.jpeg|thumb|750px|left|Graph in <math>x=1.5</math> Runge Kutta method]]

|}

We can see that the method that works best is the implicit Euler, whereas explicit Euler and Runge-Kutta, being explicit methods require a rodent control into smaller intervals, and still not a good approximation is achieved as can be seen in the graph of the explicit Euler method. Therefore, for what follows, we use implicit Euler method.

=Stationary state=

It is said that a physical system is in stationary state when its characteristics do not vary with time. In this section we address this stationary state, which consists of neglecting the time and see what happens to our problem without taking into account the time variable.

<math>u_t(x,t)\approx 0; \ u_{xx}=0; \ u_x=c_1(t) \ u=c_1(t)x+c_2(t)</math>

Substituting the boundary conditions:

<math>u(0)=0; \ c_2(t)=0; \ u(3)=10; \ c_1(t)=\frac{10}{3}</math>

Thus the stationary solution is <math>u(x,t)=\frac{10x}{3}</math>, which is related to the initial condition. It seems logical that once the temperature in the center of the rod has dissipated, the ends having this constant temperature varies linearly between the two.

{{matlab|codigo=

clear all
%solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% u(0,t)=0 u(l,t)=10 u(x,0)=the piecewise title
L=3;T=10;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
%método de Euler implícito
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx-1)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
%solución estacionaria u(x)=10/3*x
V=10*xx/3;
figure(1)
hold on
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('Temperature')
h1=surf(xx,tt,V),set(h1,'FaceColor','magenta','FaceAlpha',0.5,'EdgeColor','w')
hold off
t0=U(1,:);t1=U(1/ht+1,:);t2=U(2/ht+1,:);t10=U(10/ht+1,:);
figure(2)
subplot(2,2,1)
hold on
plot(X,t0)
plot(X,V(1,:),'r')
xlabel('x')
ylabel('temperature with t=0')
hold off
subplot(2,2,2)
hold on
plot(X,t1)
plot(X,V(1+1/ht,:),'r')
xlabel('x')
ylabel('temperature with t=1')
hold off
subplot(2,2,3)
hold on
plot(X,t2)
plot(X,V(1+2/ht,:),'r')
xlabel('x')
ylabel('temperature with t=2')
hold off
subplot(2,2,4)
hold on
plot(X,t10)
plot(X,V(1+10/ht,:),'r')
xlabel('x')
ylabel('temperature with t=10')
hold off
figure(3)
subplot(2,2,1)
e1=abs(t0-V(1,:));me1=max(e1);...
sprintf('The maximum difference with the stationary solution in t=0 is %d .',me1)
plot(X,e1,'g'),xlabel('x'),...
ylabel('Difference with the stationary solution in t=0')
subplot(2,2,2)
e2=abs(t1-V(1+1/ht,:));me2=max(e2);...
sprintf('The maximum difference with the stationary solution in t=1 is %d .',me2)
plot(X,e2,'g'),xlabel('x'),...
ylabel('Difference with the stationary solution t=1')
subplot(2,2,3)
e3=abs(t2-V(1+2/ht,:));me3=max(e3);...
sprintf('The maximum difference with the stationary solution in t=2 is %d .',me3)
plot(X,e3,'g'),xlabel('x'),...
ylabel('Difference with the stationary solution in t=2')
subplot(2,2,4)
e4=abs(t10-V(1+10/ht,:));me4=max(e4);...
sprintf('The maximum difference with the stationary solution in t=10 is %d .',me4)
plot(X,e4,'g'),xlabel('x'),ylabel('Difference with the stationary solution in t=10')

}}

{|
|-
|[[Archivo: untitled7.jpg|thumb|750px|left|Real surfaces and the stationary solution (in pink)]]

|}

This second graph shows as as we move in time (t older) solving our heat equation (blue) is more assimilated to the (red) stationary solution.

{|
|-
|[[Archivo: untitled5.jpg|thumb|750px|left|Comparing solutions in <math>t=0,1,2,10</math>]]

|}

We now show the difference between the previous two solutions stationary real and represented throughout the rod for different values of time. We see how to increasingly large time difference between the two is narrowing, observing the order of magnitude in the ordinate.

{|
|-
|[[Archivo: untitled6.jpg|thumb|750px|left|Differences with the stationary solution <math>t=0,1,2,10</math> order]]

|}

= Neumann type boundary condition=

Now let's consider a different boundary condition at the right end. Instead of assuming a constant temperature at that end as above, we will place on it an insulating piece. This isolate causes no loss of heat at the right end, that is, the flow temperature is null. This condition is of Neumann type, unlike the previous ones were Dirichlet. So, we keep the condition at the left end and apply the new on the far right, which is

<center><math>-ku_x(3,t)=0 \rightarrow </math> $\boxed{u_x(3,t)=0}$</center>

In this situation, the temperature of the rod is given by the following problem

<center><math>
\begin{cases}
u_t-u_{xx}=0, \qquad x\epsilon(0,3), t>0\\
u(0,t)=0, u_x(3,t)=0, \qquad t>0\\
u(x,0)=u_0(x), \qquad x\epsilon[0,3]
\end{cases}
</math></center>

So far in the stationary state for large times the function <math>u(x,t)</math> that models the temperature of the rod is solution of the following boundary value problem (we call it that because the differential equation depends only <math> x </math> in the stationary state)

<center><math>
\begin{cases}
u_{xx}=0, \qquad x\epsilon(0,3), t>0\\
u(0,t)=0, u_x(3,t)=0, \qquad t>0
\end{cases}
</math></center>

We solve the differential equation to obtain the same result as above

<center><math>u_{xx}=0 \rightarrow u(x,t)=C_1(t)x+C_2(t)</math></center>

Applying the boundary conditions

<center><math>C_1(t)=C_2(t)=0 \rightarrow </math> $\boxed{u(x,t)=0}$</center>

This result shows that after a large enough time to consider a steady state in the rod, it acquires a uniform zero temperature. The behavior of the rod is consistent with the boundary conditions, as its final temperature matches that remains constant in the far left.

==Finite difference method==

The following image shows an approximation of the problem is shown by the method of finite differences. It can be seen as a high value of the temperature in the rod can be considered constant and uniform throughout, reaching the stationary value <math> u (x, t) = 0 </math>.

{|
|-
|[[Archivo:AP6a.png|thumb|750px|left|Solution of the problem with Neumann type boundary condition]]

|}

Specifically, from a time <math> t = 26.4</math> we can consider that the temperature reaches stationary value with an error of 0.05, that is, at that moment the difference between the calculated and the thermal distribution stationary takes that value.

Below is reflected Matlab code which approximates the temperature of the rod by using the finite difference method as the implicit Euler that provides a better approximation with a step size <math> h = 0.1 </math> in time and space, and <math>t \in \mbox{[0,30]}</math>. Furthermore, in the instant code approximation value differs 0.05 steady in all parts of the rod is calculated.

{{matlab|codigo=
clear all
%Sixth paragraph of labor
%solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% U (0, t) = 0 ux (L, t) = 0 u (x, 0) = the function piecewise title
L=3;T=30;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=2*hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx))-diag(ones(1,Nx-1),1)-diag(ones(1,Nx-1),-1));
K(Nx,Nx-1)=-2;K=K/(hx^2);
x=hx:hx:L;
F=zeros(Nx,1);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0];
%metoodo de Euler implicito
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[0 uu'];
end
p=0.05*ones(1,length(x)+1);
for i=1:length(t)
if min(U(i,:)<=p)==1
break
end
end
SOL=t(i)
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
surf(xx,tt,U)
title('Solution of the problem with Neumann type boundary condition')
xlabel('Space')
ylabel('Time')
zlabel('Temperature')
p=U(:,Nx+1);
}}

==Fourier Method==

We propose now the same problem using the Fourier method. Thus, we seek solutions <math>u(x,t)=\varphi(x)T(t)</math> form, where <math>\varphi(x)</math> must satisfy the following problem eigenvalue

<center><math>
\begin{cases}
\varphi’’(x)+\lambda\varphi(x)=0\\
\varphi(0)=0, \varphi’(3)=0
\end{cases}
</math></center>

The solution of the differential equation is <math>\varphi(x)=a\cos(\sqrt{\lambda}x)+b\sin(\sqrt{\lambda}x)</math>

Applying the boundary conditions we obtain the eigenvalues <math>\mu_k</math> and eigenfunctions <math>\varphi_k(x)</math> of the problem
<center><math>\varphi(0)=0 \rightarrow a=0</math>;</center>
<center><math>\varphi’(3)=0 \rightarrow \sqrt{\lambda}\,b\cos(\sqrt{\lambda}\,3)=0 \rightarrow \sqrt{\lambda}\,3=(k-{1\over2})\,\pi \rightarrow </math> $\boxed{\lambda=\mu_k=(k-{1\over2})^2{\pi^2\over9}}$;</center>

<center>Así $\boxed{\varphi_k(x)=\sin(k-{1\over2}){\pi\over3}x}$, <math> \qquad k=1,2,3…N</math></center>

If we apply that <math> u_k (x, t) = \ varphi_k (x) T_k (t) </ math> satisfies the differential equation<math> u_t-u {xx} = 0 </ math>, we obtain the differential equation determines <math>T_k(t)</math><center><math>u_t-u{xx}=0 \rightarrow \varphi_k(x)T_k’(t)-\varphi_k’’(x)T_k(t)=\varphi_k(x)T_k’(t)-(-\mu_k)\varphi_k(x)T_k(t)=0 \rightarrow </math> $\boxed{T_k’(t)+\mu_kT_k(t)=0}$</center>

The solution of this differential equation $\boxed{T_k(t)=C_ke^{-\mu_kt}= C_ke^{-(k-{1\over2})^2{\pi^2\over9}t}}$ and therefore <math>u_k(x,t)= \varphi_k(x)T_k(t)=C_ke^{-(k-{1\over2})^2{\pi^2\over9}t}\sin(k-{1\over2}){\pi\over3}x</math>

If we express the solution of the problem as $ \ boxed {u (x, t) = \sum_ {k = 1} ^ Nu_k (x, t) = \sum_ {k = 1} ^ N ^ C_ke {- (k-{1 \over2}) ^ 2 {\pi ^ 2 \over9} t} \sin (k-{1 \over2}) {\pi \over3} x} $ and make satisfying the initial condition we obtain <math>u(x,0)=\sum_{k=1}^NC_k\sin(k-{1\over2}){\pi\over3}x</math>. Thus, by uniqueness of the Fourier coefficients, the coefficients <math> C_K </math> match those of the Fourier series with respect to the eigenfunctions <math> \varphi_k (x) </math> Function apart that determines the initial condition (expressed at the beginning of the article).

The problem is thus limited to the calculation of these coefficients according to the expression

<center>$\boxed{C_k={\int_{0}^{3}u(x,0)\varphi_k(x)dx\over\int_{0}^{3}\varphi_k^2(x)dx}}$</center>

The degree of accuracy of the approximation with this method depends on the number of elements in the Fourier series, ie, the value of <math> N </math>. We study the temperature of the rod taking <math> N = 1,3,5,10,20 </math> values, as you can see in the picture below. It can be seen, especially in the initial condition, that as the value of <math> N </math> is the approximate increase function is closer to the real.
{|
|-
|[[Archivo:Untitled4.jpg|thumb|750px|left|Solutions with different number of terms of the Fourier series]]

|}

These results can be better taking a compare <math> t = 0.5 </math> fixed instant, and representing each function it in the same graph, as we see below. For this case we also added the approximation with 2 terms of the Fourier series to reflect that up to 3 terms approaches can be distinguished, but once this number of elements in the series approximations are virtually indistinguishable when compared on the same graph.

{|
|-
| [[Archivo:Untitled3.jpg|thumb|750px|left|Graph of temperature in t=0.5 with N terms of the Fourier series]]

|}

The following Matlab code which approximates the temperature of the rod by the Fourier method, with N = 1,3,5,10,20 terms of the series, and step size is reflected <math>h=0,1</math> in time and space, and <math>t \in \mbox{[0,10]}</math>

{{matlab|codigo=
clear all
%Seventh section of the paper
% solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% U (0, t) = 0 ux (L, t) = 0 u (x, 0) = the function piecewise title
% Resolution with fourier
L=3;T=10;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
x=0:hx:L;t=0:ht:T;
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
q=[1,2,3,5,10,20];
a=[1,3,5,10,20];
f=10*x/3;f(11:21)=100;
i=0;
for Q=q
u=0;
for k=1:Q
p=sin((k-1/2)*(pi/3)*x);
c=trapz(x,f.*p)/trapz(x,p.*p);
u=u+c*exp(-((k-1/2)^2)*((pi/3)^2)*tt).*sin((k-1/2)*(pi/3)*xx);
end
b=find(Q==a);
if b<6
i=i+1;
figure(1)
subplot(2,3,i)
ca=num2str(Q);r=strcat(['Solution with ',ca,' terms of the Fourier series']);
if Q==1
r=strcat(['Solution with ',ca,' term of the Fourier series']);
end
surf(xx,tt,u),xlabel('Space'),ylabel('Time'),zlabel('Temperature'),title(r)
end
d(find(q==Q),:)=u(0.5/ht+1,:);
end
figure(2)
hold on
title('Temperature in t=0.5 with N terms of the Fourier series')
plot(x,d(1:6,:))
xlabel('Space'),ylabel('Time')
legend('N=1','N=2','N=3','N=5','N=10','N=20','Location','best')
hold off
}}

=Losses along the rod=

Now we will study the case where there are heat sources or sinks along the rod. Specifically, if there is heat loss through the air having a constant temperature of 16 degrees. With the boundary conditions that we had initially keeping the left and right at 0 and 10 degrees respectively ends, the problem would be:

<math>
\begin{cases}
u_t-u_{xx}+u-16=0,\ x \in \mbox{[0,3]} & t>0 \\
u(0,t)=0; u(3,t)=10; & u(x,0)=g(x) ;
\end{cases}
</math>

Where <math>g(x)</math> is defined as in the first problem:

<math>
u_0=
\begin{cases}
10x/3 & \mbox{si} & x \in \mbox{(0,1)} \cup \mbox{(2,3)} \\
100 & \mbox{si} & x \in \mbox{(1,2)}
\end{cases}
</math>

To solve the problem by finite differences with a term in <math> u (x, t) </math> need to rethink the discretization in space:

<math>
\begin{cases}
u’_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)-u_{n+1}(t)}{h^2}+u_n(t)=16&n=1,2,…,N&t>0 \\
u_0(t)=0 \\
u_N(t)=10 \\
u_n(0)=g(x)
\end{cases}
</math>

Thus, the resulting matrices are as follows

<math>
K=
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 & 0 & … &0 & 0 \\
… & … & … & … & … & … & … \\
0 & 0 & 0 & 0 & … & -1 & 2
\end{pmatrix}
\frac{1}{h^2}+
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & … &0 & 0 \\
… & … & … & … & … & … & … \\
0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>; <math>
F=
\begin{pmatrix}
16+\frac{0}{h^2} \\
16 \\
… \\
16+\frac{10}{h^2} \\
\end{pmatrix}
</math>; <math>
U=
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
… \\
u_{N-1} \\
\end{pmatrix}
</math>; <math>
U^0=
\begin{pmatrix}
g(x_1) \\
g(x_2) \\
… \\
g(x_{N-1})
\end{pmatrix}
</math>

With this we can move to numerically solve the problem, but we must recalculate the steady state of the despising rod <math>u_t(x,t)</math>.

<math>u_t(x,t)\approx 0; \ u_{xx}-u+16=0; \ u(0)=0 \ u(3)=10</math>

This is nothing more than an ordinary differential equation of 2nd order with constant coefficients, whose solution is:

<math>a(t)e^x+b(t)e^{-x}+16</math>

Where <math> a (t) </math> and <math> b (t) </math> are constants to be obtained to replace and solve the system with the boundary conditions, which in our case have let him Matlab resolved (see lines 22 and 23 of the code).
Now, we turn to numerically solve the problem, with <math>h=0,1</math> and <math>t \in \mbox{[0,10]}</math>:

{{matlab|codigo=
clear all
%solve the heat equation ut-uxx + u-16 = 0 with
% U (0, t) = 0 u (l, t) = 10 u (x, 0) = the function to set pieces
L=3;T=10;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
K=K+eye(Nx-1);
x=hx:hx:L-hx;
F=16*ones(Nx-1,1);F(Nx-1)=16+10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
%metoodo de Euler implicito
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx-1)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
a=[1 1;exp(3) exp(-3)];b=[-16;-6];d=a\b;
V=d(1)*exp(xx)+d(2)*exp(-xx)+16*ones(T/ht+1,Nx+1);
figure(1)
hold on
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('temperature')
h1=surf(xx,tt,V),set(h1,'FaceColor','red','FaceAlpha',0.5,'EdgeColor','w')
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('temperature')
E=abs(U-V);
e1=E(46:101,Nx/6+1);
e2=E(46:101,Nx/3+1);
e3=E(46:101,Nx/2+1);
e4=E(46:101,2*Nx/3+1);
e5=E(46:101,5*Nx/6+1);
figure(3)
hold on
plot(t(46:101),e1)
plot(t(46:101),e2,'r')
plot(t(46:101),e3,'k')
plot(t(46:101),e4,'m')
plot(t(46:101),e5,'c'),legend('Difference in x=0.5','Difference in x=1',...
'Difference in x=1.5','Difference in x=2','Difference in x=2.5')
plot(t(46:101),0.001*ones(1,length(t)-45),'g'),xlabel('time'),...
ylabel('Difference with the stationary solution')
hold off

}}

{|
|-
|[[Archivo:Untitled002.jpg|thumb|750px|left|Graph of <math>u(x,t)</math> in <math>x \in \mbox{[0,3]};t \in \mbox{[0,10]}</math>. In pink is the stationary solution. ]]

|}

As shown in the graph, the actual solution and stationary are virtually identical for <math> t> 2 </math>. Furthermore we see that near <math> t = 5 </math> the stationary solution is above the real solution. This is best seen in the following graph in which are represented the difference between the actual solution and the stationary for different values of <math> x </math>, namely <math>x = 0.5,1,1.5,2,2.5 </math>.

{|
|-
|[[Archivo:Untitled01.jpg|thumb|750px|left|Graph with the difference between the real and the stationary solution for<math>t \in \mbox{[4.5,10]}</math> ]]

|}

At that point cut the difference between the two is minimal, below <math> 10 ^ {-3 } </math>, while from there this difference increases slightly and remained constant when time is increasing. This was expected, since for large times the solution of the equation is stationary, and therefore effects of time we have is the difference between two constants. The existing small difference between the two may be because logically, does not disclose exact thing but we are solving the equation numerically.

== Changing the boundary conditions==

Suppose now that we change the boundary conditions, so that now the left end of the rod to be in contact with a material whose temperature varies according to the function <math> 10sen (t) </math>, and by the end right there is a flow of constant heat input <math> 1 </math>. These conditions translate as <math> u (0, t) = 10sen (t) </math> and <math> u_x (3, t) = 1 </math>.

As the second condition of Neumann type, size of the matrices increases one unit, to be known <math> u_n </math> term. Also <math> K </math> and <math> F </math> change their terms, becoming

<math>
K=
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 & 0 & … &0 & 0 \\
… & … & … & … & … & … & … \\
0 & 0 & 0 & 0 & … & -2 & 2
\end{pmatrix}
\frac{1}{h^2}+
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & … &0 & 0 \\
… & … & … & … & … & … & … \\
0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>; <math>
F=
\begin{pmatrix}
16+\frac{10sen(t_n)}{h^2} \\
16 \\
… \\
16+\frac{2}{h} \\
\end{pmatrix}
</math>

We solve the implicit Euler method with <math>h=0,1</math> and <math>t \in \mbox{[0,10]}</math>:

{{matlab|codigo=
clear all
%solve the heat equation ut-uxx + u-16 = 0 with
% U (0, t) = 10 * sin (t) ux (L, t) = 1 u (x, 0) = the function piecewise title
L=3;T=10;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx))-diag(ones(1,Nx-1),1)-diag(ones(1,Nx-1),-1));K(Nx,Nx-1)=-2;K=K/(hx^2);
K=K+eye(Nx);
x=hx:hx:L;
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
g=10*sin(t);
U(1,:)=[g(1) u0];
%implicit Euler method
for n=1:(length(t)-1)
F=16*ones(Nx,1);F(Nx)=16+2/hx;F(1)=16+g(n)/(hx^2);
uu=(eye(Nx)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[g(n+1) uu'];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
figure(1)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('Temperature')

}}

{|
|-
|[[Archivo:untitled.jpg|thumb|750px|left|Graph of <math>u(x,t)</math> in <math>x \in \mbox{[0,3]};t \in \mbox{[0,10]}</math> ]]

|}

In view of the graph we can conclude that as previously when we had a Neumann type condition, the heat "escapes" from the left end at a variable temperature with time while entering from the right. This can be seen if the program is run on the graph by observing the slight slope that the surface of temperatures has at the left side.

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Heat equation (Grupo 1B)

2014-05-18T17:38:53Z

Sandro.andres:

{{ TrabajoED |Heat equation. Grupo 1-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Sandro Andrés Martínez

David Ayala Díez

Claudia Cózar Coarasa

Lorena de la Fuente Sanz

Marino Rivera Muñoz

José Manuel Torres Serrano }}

In this work we have studied the modeling of the heat equation, according to Fourier's law discovered in the nineteenth century.

= Well proposed problem =

[[Archivo:Nueva imagen.png|thumb|300px|left| Thin rod of length L]]

We will raise the system of equations that satisfies <math>u(x,t)</math> assuming that the temperature of the rod <math>u(x,t)</math> satisfies the heat equation <math>u_t-u_{xx}=0</math>. First, we have a thin, homogeneous and thermally isolated by its lateral surface rod of length <math>L=3</math>. At its left end the rod is in contact with a material whose temperature is maintained at 0°C, while the right is in contact with the material at 10°C. We also know that at the initial moment, the temperature distribution follows the <math>u(x,0)=u_0(x)</math> function specified below. Assuming a standard <math>c=\rho=k=1</math> parameters and there are no heat sources or sinks along the rod, the problem we have to solve is:

<math>
(P)
\begin{cases}
u_t-u_{xx}=0, \qquad x\epsilon(0,3), t>0\\
u(0,t)=0, u(3,t)=10, \qquad t>0\\
u(x,0)=u_0(x), \qquad x\epsilon[0,3]
\end{cases}
</math>
:
<math>
u_0(x)=
\begin{cases}
10x/3 & \mbox{si} & x \in \mbox{(0,1)}\cup\mbox{(2,3)} \\
100 & \mbox{si} & x \in \mbox{(1,2)}
\end{cases}
</math>

Then we will define what is a well proposed problem is one that meets the following:

• Existence: problem <math>(P)</math> admits a solution <math>u(x,t)</math>.

• Uniqueness: if there is a solution <math>(P)</math> it has to be unique.

• Stability with respect to initial data:
We consider the problem:
<math>
(P_1)
\begin{cases}
u_t-u_{xx}=0, \qquad x\epsilon(0,3), t>0\\
u(0,t)=0, u(3,t)=10, \qquad t>0\\
u(x,0)=h(x), \qquad x\epsilon[0,3]
\end{cases}
</math>

Be <math>u(x,t)</math> and <math>u_1(x,t)</math> <math>(P)</math> and <math>(P_1)</math> solutions respectively. We say that the <math>(P)</math> problem is stable with respect to initial data if we prove the inequality of type <math>sup_{(x,t)\in [0,3]x[0,\infty]}\left|u(x,t)-u_1(x,t)\right|\leq Csup_{(x,t)\in [0,3]x[0,\infty]}\left|u_0(x)-h(x)\right|</math> with <math>C</math> absolute, constant independent of the <math>(P)</math> and <math>(P_1)</math> problems.

That <math> (P) </math> is stable with respect to initial data tells us that if <math> h (x) </math> is close to <math> u_0 (x) </math> in the sense that <math> sup_ {(x, t) \ in [0,3] x [0, \infty]} \left | u_0 (x)-h (x) \right | </math> is small, then the <math> u (x, t) </math> and <math> u_1 (x, t) </math> solutions are also nearby.

==Resolution establishing finite difference method==

Then the MATLAB code that numerically solves the heat equation posed exposed. It has been solved by the finite difference method with <math> \Delta x = 0.1 </math> and we have used the method of taking time trapeze <math> \Delta t = \Delta x </math>. The number of subintervals in which we divide the rod length is <math> Nx = 30 </math> and time to which we have taken to represent <math> 2 </math>.

{{matlab|codigo=
clear all
%solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% u(0,t)=0 u(l,t)=10 u(x,0)=the piecewise title
L=3;T=2;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
%method of trapezoids
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx-1)+(ht/2)*K)\(uu+ht*(-K*uu+F+F)/2);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
m=U(:,16);
figure(1)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('temperature')
figure(2)
plot(t,m)
xlabel('time')
ylabel('temperature')

}}

In this graph we have shown the 3D surface of the solution of the heat equation posed. As shown, although the trapezoidal method is an implicit method, not well approximated by the points of discontinuity of the initial condition and require less in the discretization step to remove these "peaks" that appear on the surface.

{|
|-
| [[Archivo: untitled11.jpg|thumb|750px|left|Solution of the heat equation]]
|}

In the graph shown below the temperature behavior is shown in the middle of the rod with time. This is also obtained from the upper MATLAB code. Comparing the two graphs shows that the latter is a cut <math> x = 1.5 </math> of the above.

{|
|-
| [[Archivo: gráfica3a.jpg|thumb|750px|left| u(t) ]]
|}

= Resolution with different methods =

We will solve the problem initially posed by the implicit and explicit methods by Euler and Runge-Kutta of order 4, following the same steps as with the method of the Trapezium.

==Implicit Euler==

{{matlab|codigo=

clear all
%solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% u(0,t)=0 u(l,t)=10 u(x,0)=the piecewise title
L=3;T=2;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
%implicit Euler method
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx-1)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
m=U(:,16);
figure(1)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('temperature')
figure(2)
plot(t,m)

}}

{|
|-
|[[Archivo: untitled00010.jpg|thumb|750px|left|Surface with the implicit Euler method]]

|}

{|
|-
|[[Archivo: Grafica_Euler_impl%C3%ADcito.jpg |thumb|750px|left|<math> x = 1.5 </math> Graph with the implicit Euler method]]

|}

==Explicit Euler==

{{matlab|codigo=

clear all
% Explicit Euler method
L=3;T=2;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=(hx^2)/2;% must do so, if not it does not work
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
for n=1:(length(t)-1)
uu=uu+ht*(-K*uu+F);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
m=U(:,16);
figure(3)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('Temperature')
figure(4)
plot(t,m)

}}

{|
|-
|[[Archivo: untitled9.jpg|thumb|750px|left|Surface with explicit Euler method ]]

|}

{|
|-
|[[Archivo: Euler1.3.jpg |thumb|750px|left|Graph in <math>x=1.5</math> with explicit Euler method]]

|}

==Runge-Kutta==

{{matlab|codigo=

clear all
% Runge Kutta method
L=3;T=2;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=(hx^2)/2;% if we do not add ht it does not work
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
for n=1:(length(t)-1)
k1=-K*uu+F;
k2=-K*(uu+k1*ht/2)+F;
k3=-K*(uu+k2*ht/2)+F;
k4=-K*(uu+k3*ht)+F;
uu=uu+(ht/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
m=U(:,16);
figure(5)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('Temperature')
figure(6)
plot(t,m)

}}

{|
|-
|[[Archivo: untitled8.jpg|thumb|750px|left|Surface with Runge Kutta method]]

|}

{|
|-
|[[Archivo: Grafica_Runge_Kutta.jpeg|thumb|750px|left|Graph in <math>x=1.5</math> Runge Kutta method]]

|}

We can see that the method that works best is the implicit Euler, whereas explicit Euler and Runge-Kutta, being explicit methods require a rodent control into smaller intervals, and still not a good approximation is achieved as can be seen in the graph of the explicit Euler method. Therefore, for what follows, we use implicit Euler method.

=Stationary state=

It is said that a physical system is in stationary state when its characteristics do not vary with time. In this section we address this stationary state, which consists of neglecting the time and see what happens to our problem without taking into account the time variable.

<math>u_t(x,t)\approx 0; \ u_{xx}=0; \ u_x=c_1(t) \ u=c_1(t)x+c_2(t)</math>

Substituting the boundary conditions:

<math>u(0)=0; \ c_2(t)=0; \ u(3)=10; \ c_1(t)=\frac{10}{3}</math>

Thus the stationary solution is <math>u(x,t)=\frac{10x}{3}</math>, which is related to the initial condition. It seems logical that once the temperature in the center of the rod has dissipated, the ends having this constant temperature varies linearly between the two.

{{matlab|codigo=

clear all
%solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% u(0,t)=0 u(l,t)=10 u(x,0)=the piecewise title
L=3;T=10;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
x=hx:hx:L-hx;
F=zeros(Nx-1,1);F(Nx-1)=10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
%método de Euler implícito
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx-1)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
%solución estacionaria u(x)=10/3*x
V=10*xx/3;
figure(1)
hold on
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('Temperature')
h1=surf(xx,tt,V),set(h1,'FaceColor','magenta','FaceAlpha',0.5,'EdgeColor','w')
hold off
t0=U(1,:);t1=U(1/ht+1,:);t2=U(2/ht+1,:);t10=U(10/ht+1,:);
figure(2)
subplot(2,2,1)
hold on
plot(X,t0)
plot(X,V(1,:),'r')
xlabel('x')
ylabel('temperature with t=0')
hold off
subplot(2,2,2)
hold on
plot(X,t1)
plot(X,V(1+1/ht,:),'r')
xlabel('x')
ylabel('temperature with t=1')
hold off
subplot(2,2,3)
hold on
plot(X,t2)
plot(X,V(1+2/ht,:),'r')
xlabel('x')
ylabel('temperature with t=2')
hold off
subplot(2,2,4)
hold on
plot(X,t10)
plot(X,V(1+10/ht,:),'r')
xlabel('x')
ylabel('temperature with t=10')
hold off
figure(3)
subplot(2,2,1)
e1=abs(t0-V(1,:));me1=max(e1);...
sprintf('The maximum difference with the stationary solution in t=0 is %d .',me1)
plot(X,e1,'g'),xlabel('x'),...
ylabel('Difference with the stationary solution in t=0')
subplot(2,2,2)
e2=abs(t1-V(1+1/ht,:));me2=max(e2);...
sprintf('The maximum difference with the stationary solution in t=1 is %d .',me2)
plot(X,e2,'g'),xlabel('x'),...
ylabel('Difference with the stationary solution t=1')
subplot(2,2,3)
e3=abs(t2-V(1+2/ht,:));me3=max(e3);...
sprintf('The maximum difference with the stationary solution in t=2 is %d .',me3)
plot(X,e3,'g'),xlabel('x'),...
ylabel('Difference with the stationary solution in t=2')
subplot(2,2,4)
e4=abs(t10-V(1+10/ht,:));me4=max(e4);...
sprintf('The maximum difference with the stationary solution in t=10 is %d .',me4)
plot(X,e4,'g'),xlabel('x'),ylabel('Difference with the stationary solution in t=10')

}}

{|
|-
|[[Archivo: untitled7.jpg|thumb|750px|left|Real surfaces and the stationary solution (in pink)]]

|}

This second graph shows as as we move in time (t older) solving our heat equation (blue) is more assimilated to the (red) stationary solution.

{|
|-
|[[Archivo: untitled5.jpg|thumb|750px|left|Comparing solutions in <math>t=0,1,2,10</math>]]

|}

We now show the difference between the previous two solutions stationary real and represented throughout the rod for different values of time. We see how to increasingly large time difference between the two is narrowing, observing the order of magnitude in the ordinate.

{|
|-
|[[Archivo: untitled6.jpg|thumb|750px|left|Differences with the stationary solution <math>t=0,1,2,10</math> order]]

|}

= Neumann type boundary condition=

Now let's consider a different boundary condition at the right end. Instead of assuming a constant temperature at that end as above, we will place on it an insulating piece. This isolate causes no loss of heat at the right end, that is, the flow temperature is null. This condition is of Neumann type, unlike the previous ones were Dirichlet. So, we keep the condition at the left end and apply the new on the far right, which is

<center><math>-ku_x(3,t)=0 \rightarrow </math> $\boxed{u_x(3,t)=0}$</center>

In this situation, the temperature of the rod is given by the following problem

<center><math>
\begin{cases}
u_t-u_{xx}=0, \qquad x\epsilon(0,3), t>0\\
u(0,t)=0, u_x(3,t)=0, \qquad t>0\\
u(x,0)=u_0(x), \qquad x\epsilon[0,3]
\end{cases}
</math></center>

So far in the stationary state for large times the <math> function u (x, t) </math> that models the temperature of the rod is solution of the following boundary value problem (we call it that because the differential equation depends only <math> x </math> in the stationary state)

<center><math>
\begin{cases}
u_{xx}=0, \qquad x\epsilon(0,3), t>0\\
u(0,t)=0, u_x(3,t)=0, \qquad t>0
\end{cases}
</math></center>

We solve the differential equation to obtain the same result as above

<center><math>u_{xx}=0 \rightarrow u(x,t)=C_1(t)x+C_2(t)</math></center>

Applying the boundary conditions

<center><math>C_1(t)=C_2(t)=0 \rightarrow </math> $\boxed{u(x,t)=0}$</center>

This result shows that after a large enough time to consider a steady state in the rod, it acquires a uniform zero temperature. The behavior of the rod is consistent with the boundary conditions, as its final temperature matches that remains constant in the far left.

==Finite difference method==

The following image shows an approximation of the problem is shown by the method of finite differences. It can be seen as a high value of the temperature in the rod can be considered constant and uniform throughout, reaching the stationary value <math> u (x, t) = 0 </math>.

{|
|-
|[[Archivo:AP6a.png|thumb|750px|left|Solution of the problem with Neumann type boundary condition]]

|}

Specifically, from a time <math> t = 26.4</math> we can consider that the temperature reaches stationary value with an error of 0.05, that is, at that moment the difference between the calculated and the thermal distribution stationary takes that value.

Below is reflected Matlab code which approximates the temperature of the rod by using the finite difference method as the implicit Euler that provides a better approximation with a step size <math> h = 0.1 </math> in time and space, and <math>t \in \mbox{[0,30]}</math>. Furthermore, in the instant code approximation value differs 0.05 steady in all parts of the rod is calculated.

{{matlab|codigo=
clear all
%Sixth paragraph of labor
%solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% U (0, t) = 0 ux (L, t) = 0 u (x, 0) = the function piecewise title
L=3;T=30;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=2*hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx))-diag(ones(1,Nx-1),1)-diag(ones(1,Nx-1),-1));
K(Nx,Nx-1)=-2;K=K/(hx^2);
x=hx:hx:L;
F=zeros(Nx,1);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0];
%metoodo de Euler implicito
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[0 uu'];
end
p=0.05*ones(1,length(x)+1);
for i=1:length(t)
if min(U(i,:)<=p)==1
break
end
end
SOL=t(i)
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
surf(xx,tt,U)
title('Solution of the problem with Neumann type boundary condition')
xlabel('Space')
ylabel('Time')
zlabel('Temperature')
p=U(:,Nx+1);
}}

==Fourier Method==

We propose now the same problem using the Fourier method. Thus, we seek solutions <math> u (x, t) = \ varphi (x) T (t) </math> form, where <math> \ varphi (x) </math> must satisfy the following problem eigenvalue

<center><math>
\begin{cases}
\varphi’’(x)+\lambda\varphi(x)=0\\
\varphi(0)=0, \varphi’(3)=0
\end{cases}
</math></center>

The solution of the differential equation is <math>\varphi(x)=a\cos(\sqrt{\lambda}x)+b\sin(\sqrt{\lambda}x)</math>

Applying the boundary conditions we obtain the eigenvalues <math>\mu_k</math> and eigenfunctions <math>\varphi_k(x)</math> of the problem
<center><math>\varphi(0)=0 \rightarrow a=0</math>;</center>
<center><math>\varphi’(3)=0 \rightarrow \sqrt{\lambda}\,b\cos(\sqrt{\lambda}\,3)=0 \rightarrow \sqrt{\lambda}\,3=(k-{1\over2})\,\pi \rightarrow </math> $\boxed{\lambda=\mu_k=(k-{1\over2})^2{\pi^2\over9}}$;</center>

<center>Así $\boxed{\varphi_k(x)=\sin(k-{1\over2}){\pi\over3}x}$, <math> \qquad k=1,2,3…N</math></center>

If we apply that <math> u_k (x, t) = \ varphi_k (x) T_k (t) </ math> satisfies the differential equation<math> u_t-u {xx} = 0 </ math>, we obtain the differential equation determines <math>T_k(t)</math><center><math>u_t-u{xx}=0 \rightarrow \varphi_k(x)T_k’(t)-\varphi_k’’(x)T_k(t)=\varphi_k(x)T_k’(t)-(-\mu_k)\varphi_k(x)T_k(t)=0 \rightarrow </math> $\boxed{T_k’(t)+\mu_kT_k(t)=0}$</center>

The solution of this differential equation $\boxed{T_k(t)=C_ke^{-\mu_kt}= C_ke^{-(k-{1\over2})^2{\pi^2\over9}t}}$ and therefore <math>u_k(x,t)= \varphi_k(x)T_k(t)=C_ke^{-(k-{1\over2})^2{\pi^2\over9}t}\sin(k-{1\over2}){\pi\over3}x</math>

If we express the solution of the problem as $ \ boxed {u (x, t) = \sum_ {k = 1} ^ Nu_k (x, t) = \sum_ {k = 1} ^ N ^ C_ke {- (k-{1 \over2}) ^ 2 {\pi ^ 2 \over9} t} \sin (k-{1 \over2}) {\pi \over3} x} $ and make satisfying the initial condition we obtain <math>u(x,0)=\sum_{k=1}^NC_k\sin(k-{1\over2}){\pi\over3}x</math>. Thus, by uniqueness of the Fourier coefficients, the coefficients <math> C_K </math> match those of the Fourier series with respect to the eigenfunctions <math> \varphi_k (x) </math> Function apart that determines the initial condition (expressed at the beginning of the article).

The problem is thus limited to the calculation of these coefficients according to the expression

<center>$\boxed{C_k={\int_{0}^{3}u(x,0)\varphi_k(x)dx\over\int_{0}^{3}\varphi_k^2(x)dx}}$</center>

The degree of accuracy of the approximation with this method depends on the number of elements in the Fourier series, ie, the value of <math> N </math>. We study the temperature of the rod taking <math> N = 1,3,5,10,20 </math> values, as you can see in the picture below. It can be seen, especially in the initial condition, that as the value of <math> N </math> is the approximate increase function is closer to the real.
{|
|-
|[[Archivo:Untitled4.jpg|thumb|750px|left|Solutions with different number of terms of the Fourier series]]

|}

These results can be better taking a compare <math> t = 0.5 </math> fixed instant, and representing each function it in the same graph, as we see below. For this case we also added the approximation with 2 terms of the Fourier series to reflect that up to 3 terms approaches can be distinguished, but once this number of elements in the series approximations are virtually indistinguishable when compared on the same graph.

{|
|-
| [[Archivo:Untitled3.jpg|thumb|750px|left|Graph of temperature in t=0.5 with N terms of the Fourier series]]

|}

The following Matlab code which approximates the temperature of the rod by the Fourier method, with N = 1,3,5,10,20 terms of the series, and step size is reflected <math>h=0,1</math> in time and space, and <math>t \in \mbox{[0,10]}</math>

{{matlab|codigo=
clear all
%Seventh section of the paper
% solve the heat equation ut-uxx = 0 with
% U (0, t) = 0 ux (L, t) = 0 u (x, 0) = the function piecewise title
% Resolution with fourier
L=3;T=10;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
x=0:hx:L;t=0:ht:T;
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
q=[1,2,3,5,10,20];
a=[1,3,5,10,20];
f=10*x/3;f(11:21)=100;
i=0;
for Q=q
u=0;
for k=1:Q
p=sin((k-1/2)*(pi/3)*x);
c=trapz(x,f.*p)/trapz(x,p.*p);
u=u+c*exp(-((k-1/2)^2)*((pi/3)^2)*tt).*sin((k-1/2)*(pi/3)*xx);
end
b=find(Q==a);
if b<6
i=i+1;
figure(1)
subplot(2,3,i)
ca=num2str(Q);r=strcat(['Solution with ',ca,' terms of the Fourier series']);
if Q==1
r=strcat(['Solution with ',ca,' term of the Fourier series']);
end
surf(xx,tt,u),xlabel('Space'),ylabel('Time'),zlabel('Temperature'),title(r)
end
d(find(q==Q),:)=u(0.5/ht+1,:);
end
figure(2)
hold on
title('Temperature in t=0.5 with N terms of the Fourier series')
plot(x,d(1:6,:))
xlabel('Space'),ylabel('Time')
legend('N=1','N=2','N=3','N=5','N=10','N=20','Location','best')
hold off
}}

=Losses along the rod=

Now we will study the case where there are heat sources or sinks along the rod. Specifically, if there is heat loss through the air having a constant temperature of 16 degrees. With the boundary conditions that we had initially keeping the left and right at 0 and 10 degrees respectively ends, the problem would be:

<math>
\begin{cases}
u_t-u_{xx}+u-16=0,\ x \in \mbox{[0,3]} & t>0 \\
u(0,t)=0; u(3,t)=10; & u(x,0)=g(x) ;
\end{cases}
</math>

Where <math>g(x)</math> is defined as in the first problem:

<math>
u_0=
\begin{cases}
10x/3 & \mbox{si} & x \in \mbox{(0,1)} \cup \mbox{(2,3)} \\
100 & \mbox{si} & x \in \mbox{(1,2)}
\end{cases}
</math>

To solve the problem by finite differences with a term in <math> u (x, t) </math> need to rethink the discretization in space:

<math>
\begin{cases}
u’_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)-u_{n+1}(t)}{h^2}+u_n(t)=16&n=1,2,…,N&t>0 \\
u_0(t)=0 \\
u_N(t)=10 \\
u_n(0)=g(x)
\end{cases}
</math>

Thus, the resulting matrices are as follows

<math>
K=
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 & 0 & … &0 & 0 \\
… & … & … & … & … & … & … \\
0 & 0 & 0 & 0 & … & -1 & 2
\end{pmatrix}
\frac{1}{h^2}+
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & … &0 & 0 \\
… & … & … & … & … & … & … \\
0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>; <math>
F=
\begin{pmatrix}
16+\frac{0}{h^2} \\
16 \\
… \\
16+\frac{10}{h^2} \\
\end{pmatrix}
</math>; <math>
U=
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
… \\
u_{N-1} \\
\end{pmatrix}
</math>; <math>
U^0=
\begin{pmatrix}
g(x_1) \\
g(x_2) \\
… \\
g(x_{N-1})
\end{pmatrix}
</math>

With this we can move to numerically solve the problem, but we must recalculate the steady state of the despising rod <math>u_t(x,t)</math>.

<math>u_t(x,t)\approx 0; \ u_{xx}-u+16=0; \ u(0)=0 \ u(3)=10</math>

This is nothing more than an ordinary differential equation of 2nd order with constant coefficients, whose solution is:

<math>a(t)e^x+b(t)e^{-x}+16</math>

Where <math> a (t) </math> and <math> b (t) </math> are constants to be obtained to replace and solve the system with the boundary conditions, which in our case have let him Matlab resolved (see lines 22 and 23 of the code).
Now, we turn to numerically solve the problem, with <math>h=0,1</math> and <math>t \in \mbox{[0,10]}</math>:

{{matlab|codigo=
clear all
%solve the heat equation ut-uxx + u-16 = 0 with
% U (0, t) = 0 u (l, t) = 10 u (x, 0) = the function to set pieces
L=3;T=10;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx-1))-diag(ones(1,Nx-2),1)-diag(ones(1,Nx-2),-1))/(hx^2);
K=K+eye(Nx-1);
x=hx:hx:L-hx;
F=16*ones(Nx-1,1);F(Nx-1)=16+10/(hx^2);
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
U(1,:)=[0 u0 10];
%metoodo de Euler implicito
for n=1:(length(t)-1)
uu=(eye(Nx-1)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[0 uu' 10];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
a=[1 1;exp(3) exp(-3)];b=[-16;-6];d=a\b;
V=d(1)*exp(xx)+d(2)*exp(-xx)+16*ones(T/ht+1,Nx+1);
figure(1)
hold on
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('temperature')
h1=surf(xx,tt,V),set(h1,'FaceColor','red','FaceAlpha',0.5,'EdgeColor','w')
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('temperature')
E=abs(U-V);
e1=E(46:101,Nx/6+1);
e2=E(46:101,Nx/3+1);
e3=E(46:101,Nx/2+1);
e4=E(46:101,2*Nx/3+1);
e5=E(46:101,5*Nx/6+1);
figure(3)
hold on
plot(t(46:101),e1)
plot(t(46:101),e2,'r')
plot(t(46:101),e3,'k')
plot(t(46:101),e4,'m')
plot(t(46:101),e5,'c'),legend('Difference in x=0.5','Difference in x=1',...
'Difference in x=1.5','Difference in x=2','Difference in x=2.5')
plot(t(46:101),0.001*ones(1,length(t)-45),'g'),xlabel('time'),...
ylabel('Difference with the stationary solution')
hold off

}}

{|
|-
|[[Archivo:Untitled002.jpg|thumb|750px|left|Graph of <math>u(x,t)</math> in <math>x \in \mbox{[0,3]};t \in \mbox{[0,10]}</math>. In pink is the stationary solution. ]]

|}

As shown in the graph, the actual solution and stationary are virtually identical for <math> t> 2 </math>. Furthermore we see that near <math> t = 5 </math> the stationary solution is above the real solution. This is best seen in the following graph in which are represented the difference between the actual solution and the stationary for different values of <math> x </math>, namely <math>x = 0.5,1,1.5,2,2.5 </math>.

{|
|-
|[[Archivo:Untitled01.jpg|thumb|750px|left|Graph with the difference between the real and the stationary solution for<math>t \in \mbox{[4.5,10]}</math> ]]

|}

At that point cut the difference between the two is minimal, below <math> 10 ^ {-3 } </math>, while from there this difference increases slightly and remained constant when time is increasing. This was expected, since for large times the solution of the equation is stationary, and therefore effects of time we have is the difference between two constants. The existing small difference between the two may be because logically, does not disclose exact thing but we are solving the equation numerically.

== Changing the boundary conditions==

Suppose now that we change the boundary conditions, so that now the left end of the rod to be in contact with a material whose temperature varies according to the function <math> 10sen (t) </math>, and by the end right there is a flow of constant heat input <math> 1 </math>. These conditions translate as <math> u (0, t) = 10sen (t) </math> and <math> u_x (3, t) = 1 </math>.

As the second condition of Neumann type, size of the matrices increases one unit, to be known <math> u_n </math> term. Also <math> K </math> and <math> F </math> change their terms, becoming

<math>
K=
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 & 0 & … &0 & 0 \\
… & … & … & … & … & … & … \\
0 & 0 & 0 & 0 & … & -2 & 2
\end{pmatrix}
\frac{1}{h^2}+
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & … &0 & 0 \\
… & … & … & … & … & … & … \\
0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>; <math>
F=
\begin{pmatrix}
16+\frac{10sen(t_n)}{h^2} \\
16 \\
… \\
16+\frac{2}{h} \\
\end{pmatrix}
</math>

We solve the implicit Euler method with <math>h=0,1</math> and <math>t \in \mbox{[0,10]}</math>:

{{matlab|codigo=
clear all
%solve the heat equation ut-uxx + u-16 = 0 with
% U (0, t) = 10 * sin (t) ux (L, t) = 1 u (x, 0) = the function piecewise title
L=3;T=10;
Nx=30;hx=L/Nx;
ht=hx;
K=(2*diag(ones(1,Nx))-diag(ones(1,Nx-1),1)-diag(ones(1,Nx-1),-1));K(Nx,Nx-1)=-2;K=K/(hx^2);
K=K+eye(Nx);
x=hx:hx:L;
t=0:ht:T;
u0=10*x/3;u0(10:20)=100;
uu=u0';
g=10*sin(t);
U(1,:)=[g(1) u0];
%implicit Euler method
for n=1:(length(t)-1)
F=16*ones(Nx,1);F(Nx)=16+2/hx;F(1)=16+g(n)/(hx^2);
uu=(eye(Nx)+(ht)*K)\(uu+ht*F);
U(n+1,:)=[g(n+1) uu'];
end
X=0:hx:L;
[xx,tt]=meshgrid(X,t);
figure(1)
surf(xx,tt,U)
xlabel('space')
ylabel('time')
zlabel('Temperature')

}}

{|
|-
|[[Archivo:untitled.jpg|thumb|750px|left|Graph of <math>u(x,t)</math> in <math>x \in \mbox{[0,3]};t \in \mbox{[0,10]}</math> ]]

|}

In view of the graph we can conclude that as previously when we had a Neumann type condition, the heat "escapes" from the left end at a variable temperature with time while entering from the right. This can be seen if the program is run on the graph by observing the slight slope that the surface of temperatures has at the left side.

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Archivo:Aparta5.jpg

2014-05-13T08:18:47Z

Sandro.andres:

Archivo:Calor5.jpg

2014-05-13T08:18:24Z

Sandro.andres:

Archivo:Error82.jpg

2014-05-08T20:27:40Z

Sandro.andres:

Archivo:Error8.jpg

2014-05-08T20:23:57Z

Sandro.andres:

Archivo:Calor8.jpg

2014-05-08T20:23:38Z

Sandro.andres:

Archivo:Calor9.jpg

2014-05-01T09:55:21Z

Sandro.andres:

Boundary layer in laminar fluids (Grupo 1B)

2014-03-03T20:11:13Z

Sandro.andres:

{{ TrabajoED |Boundary layer in laminar fluids. Grupo 1-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Sandro Andrés Martínez

David Ayala Díez

Claudia Cózar Coarasa

Lorena de la Fuente Sanz

Marino Rivera Muñoz

José Manuel Torres Serrano }}

In this numerical project we have studied what happens when we introduce a flat plate in a laminar fluid whose speed and viscosity are constant.

= Blasius equation =

First, we must assume that the fluid velocity before reaching the plate is constant, as in remote areas after passing the plate.

In our case we take this constant as <math>2</math>, such that

<math>\overrightarrow{u} = u_0\cdot\overrightarrow{i}, u_0 = 2 </math>
[[Archivo:Flujo.png|thumb|200px|left|Laminar fluid with velocity <math> u_0 </math>]]

Then, we must define the fluid stream function

<math>\psi(x,y) = \sqrt[]{ \nu \cdot\ u_0 \cdot x} f(\eta)</math>

Where we take the viscosity <math> \nu </math> as a unit value and

<math>\eta = y \sqrt[]{ \frac{u_0}{\nu x}}</math>

<math> f(\nu) </math> Satisfies the Blasius equation, and therefore we will raise the initial value problem associated with this equation with the following initial conditions

<math>
\begin{cases}
f’’’(\eta)+\frac{1}{2}f(\eta)f’’(\eta)=0 ; \\
f(\eta)=f’(\eta)=0, \lim_{\eta \to \infty}f’(\eta)= 1 ;
\end{cases}
</math>

However, on time of programming we cannot introduce a conditional limit, so we have to replace them by the condition <math> f’’(\eta)=k </math>, and vary the values of k to find the one that satisfies the limit.

We cannot solve the differential equation like such, to apply the numerical methods, we need to pass it to a system of equations:

<math>
f(\eta)=y_1,f’(\eta)=y_2,f’’(\eta)=y_3\\
\begin{cases}
y_1’=y_2;\\
y_2’=y_3;\\
y_3’=-\frac{1}{2}y_1y_3;\\
y_1(0)=y_2(0)=0; y_3(0)=k
\end{cases}
</math>

Once the system has been formulated , we start to solve it.

== Resolution with the modified Euler method ==
Then is exposed the Matlab code that numerically that solves the Blasius equation for different values of <math>k</math> , with <math> k \in \mbox{(0,1;1)}</math> and <math>dk=0,01</math> ,with <math> \eta \in \mbox{(0,20)}</math> and with <math>h=0,05</math> .

{{matlab|codigo=
%Resolution of Blasius equation(with modified Euler)
clear all
%Initial conditions
t0=0;
tN=20;
h=0.05;
N=(tN-t0)/h;
F2=zeros(91,401);%We create the matrix F2 where we will store the different
%solutions of f2 for each value of k
for k=0.1:0.01:1
y=[0;0;k];
y1=y(1);
y2=y(2);
y3=y(3);
for n=1:N
A=[0 1 0;0 0 1;(-y(3)/2) 0 0]; %To simplify and solve using matrices, we create
%the matrix A in the loop with different values of f3
z=y+h*A*y;
y=y+(h/2)*(A*y+A*z);
y1(n+1)=y(1);
y2(n+1)=y(2);
y3(n+1)=y(3);1
end
t=[t0:h:tN];
num=int8(100*(k-0.1+0.01));
%F2 has as rows approximations of y2 for the different values of k
F2(num,:)=y2;
end
k1=[0.1:0.01:1]; %Vector to represent the values of f2 in 20
f20=F2(:,401);
f20=f20';
o=ones(1,91);%We represented f = 1 for better viewing
figure(1)
hold on
plot(k1,f20,'+')
plot(k1,o,'r')
xlabel('k')
ylabel('f´(20)')
legend('f´(20)','y=1')
hold off

}}

{|
|-
|[[Archivo:Graficaf'(20)M.jpg|thumb|500px|left|Graph of <math>f’(20)</math> for each <math>k</math> ]]

|}
As noted in the graph the value for which the function is closer to <math>1</math> is <math>k=0,33</math>.

==Resolution with 4th order Runge-Kutta method==
Then is exposed the Matlab code that numerically that solves the Blasius equation for different values of <math>k</math> , with <math> k \in \mbox{(0,1;1)}</math> and <math>dk=0,01</math> ,with <math> \eta \in \mbox{(0,20)}</math> and with <math>h=0,05</math> .

{{matlab|codigo=
% Resolution of Blasius equation(with Runge-Kutta)
clear all
t0=0;
tN=20;
h=0.05;
N=(tN-t0)/h;
F2=zeros(91,401);
for k=0.1:0.01:1
y=[0;0;k];
y1=y(1);
y2=y(2);
y3=y(3);
for n=1:N
A=[0 1 0;0 0 1;(-y(3)/2) 0 0];
k1=A*y;
k2=A*(y+(h/2)*k1);
k3=A*(y+(h/2)*k2);
k4=A*(y+h*k3);
y=y+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
y1(n+1)=y(1);
y2(n+1)=y(2);
y3(n+1)=y(3);
end
t=[t0:h:tN];
num=int8(100*(k-0.1+0.01));
%F2 has as rows approximations of y2 for the different values of k
F2(num,:)=y2;
end
t=[t0:h:tN];
k1=[0.1:0.01:1];
f20=F2(:,401);
f20=f20';
o=ones(1,91);
figure(1)
hold on
plot(k1,f20,'+')
plot(k1,o,'r')
xlabel('k')
ylabel('f´(20)')
legend('f´(20)','y=1')
hold off

}}
{|
|-
| [[Archivo: Graficaf'(20)RK.jpg|thumb|500px|left|Graph of <math>f’(20)</math> for each <math>k</math>]]
|}

==Resolution with Euler method==
Then is exposed the Matlab code that numerically that solves the Blasius equation for different values of <math>k</math> , with <math> k \in \mbox{(0,1;1)}</math> and <math>dk=0,01</math> ,with <math> \eta \in \mbox{(0,20)}</math> and with <math>h=0,05</math> .

{{matlab|codigo=
%Resolution of Blasius equation(with Euler)

clear all
t0=0;
tN=20;
h=0.05;
N=(tN-t0)/h;
F2=zeros(91,401);
for k=0.1:0.01:1
y=[0;0;k];
y1=y(1);
y2=y(2);
y3=y(3);
for n=1:N
A=[0 1 0;0 0 1;(-y(3)/2) 0 0];
y=y+h*A*y;
y1(n+1)=y(1);
y2(n+1)=y(2);
y3(n+1)=y(3);
end
t=[t0:h:tN];
num=int8(100*(k-0.1+0.01));
%F2 has as rows approximations of y2 for the different values of k
F2(num,:)=y2;
end
t=[t0:h:tN];
k1=[0.1:0.01:1];
f20=F2(:,401);
f20=f20';
o=ones(1,91);
figure(1)
hold on
plot(k1,f20,'+')
plot(k1,o,'r')
xlabel('k')
ylabel('f´(20)')
legend('f´(20)','y=1')
hold off

}}
{|
|-
| [[Archivo: Graficaf'(20).jpg|thumb|500px|left|Graph of <math>f’(20)</math> for each <math>k</math>]]
|}
== Conclusion==
Comparing the graphs, we see that the difference between modified Euler and 4th order Runge Kutta methods is minimal and the value for each parameter is <math>k=0,33</math> , on the other hand, by using the Euler method (less accurate than the above) the value of the parameter is <math>k=0,32</math>, although graphically this difference is hardly seen.

==Graph of <math>f´(\eta)</math>==

The graph of <math>f'(\eta)</math>has been realized in <math>\eta \in \mbox {(0,20)}</math> for the value of parameter <math>k</math> obtained in the modified Euler method, ie <math>k=0.33</math>.

To get this graph we add into the modified Euler method, the following MATLAB code:

{{matlab|codigo=

%We plot f2 for k = 0.33 which is in row 24 of the matrix
f2=F2(24,:);
figure(2)
plot(t,f2,'*')
xlabel('\eta')
ylabel('f´(\eta)')
}}

{|

|-

| [[Archivo: Graficaf'eta.jpg|thumb|800px|left|Graph of <math>f´(\eta)</math> for <math>k=0,33</math> ]]

|}

As can be seen, if we run the full program and see the vector <math>f2</math> the value of <math>\eta_0</math> for which <math>\ \vert f'(\eta)-1 \vert < 0,01</math> , if <math>\eta>\eta _0</math>, is <math>\eta_0\ge5,95</math> for <math> \eta \in \mbox{(0,20)}</math>.

=Horizontal velocity of the fluid=
Once we have numerically calculated the <math>f( \eta)</math> we proceed to calculate the horizontal component of the fluid velocity <math> u_1 </math>:

<math>\vec{u}=(u_1,u_2)=(\frac{\partial \psi}{\partial y},-\frac{\partial \psi}{\partial x})</math> Thus, as defined above:

<math>u_1=\frac{\partial \psi}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(\sqrt[]{\nu u_0 x} f(\eta))= \sqrt[]{\nu u_0 x} \frac{\partial f(\eta)}{\partial y}=\sqrt[]{\nu u_0 x} \frac{\partial f(\eta)}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial y}=\sqrt[]{\nu u_0 x} \sqrt[]{\frac{u_0}{\nu x}} f’(\eta)=u_0 f’(\eta)</math>

To translate this result graphically we calculate <math>u_1(x_k,y)</math> with the Modified Euler method where <math>x_k=0.05,0.2,0.4,0.6,0.8</math> and <math>y \in \mbox{(0,3)}</math> with <math>h=0.01</math>.

{{matlab|codigo=
%We calculate u1 with the different values of xk(with modified Euler)
clear all
xk=[0.05,0.2,0.4,0.6,0.8];
nu=1; u0=2;
y0=0; yN=3; hy=0.01;
N=(yN-y0)/hy;
y=y0:hy:yN;
for m=1:5
%We define eta ('t') for each value of xk, each one
%corresponding to a row, and with 'y' in (0,3)
t(m,:)=sqrt(u0/(nu*xk(m)))*y;
h=sqrt(u0/(nu*xk(m)))*0.01;
f0=[0;0;0.33];
f=[f0(1);f0(2);f0(3)];
for n=1:N
A=[0 1 0;0 0 1;(-f0(3)/2) 0 0];
z=f0+h*A*f0;
f0=f0+(h/2)*(A*f0+A*z);
f(:,n+1)=[f0(1);f0(2);f0(3)];
end
Y(m,:)=f(2,:);
end
F=u0*Y;
hold on
plot(y,F(1,:),'k')
plot(y,F(2,:))
plot(y,F(3,:),'r')
plot(y,F(4,:),'m')
plot(y,F(5,:),'g')
legend('u_{1} for x_{k}=0.05','u_{1} for x_{k}=0.2','u_{1} for x_{k}=0.4','u_{1} for x_{k}=0.6','u_{1} for x_{k}=0.8','location','best')
xlabel('y')
ylabel('u_{1}')
hold off
}}

[[Archivo:Ap4a.png|thumb|800px|centre|In this picture are shown <math>5</math> graphs, each one corresponds to a different value of <math>k</math>. ]]

According to this graph we can appreciate that the fluid, when is moving along the <math>x</math> axis, has to achieve higher height to get limit velocity <math>u_0</math>, i.e., when the fluid moves, it must be getting over the plate to offset the perturbation that the plate provokes to it ( to a higher value of <math>y</math> is greater the transition zone between zero velocity of the plate and the limit velocity <math>u_0</math> with which the fluid initially starts).

= Laminar boundary layer of the fluid =

According to the above findings, it can be deduced that there is for each value of <math>x</math> a limit value <math>y</math> from which the fluid velocity becomes constant speed again, with the same value that it had initially before reaching the area of the plate.
Obviously the value of the boundary layer will be related to the value <math>\eta_0</math>, calculated above, for which the function <math>f’(\eta)</math> will become almost constant. The relationship is expressed as follows:
<math>\eta = y \sqrt[]{ \frac{u_0}{\nu x}}</math>

If <math>\eta=\eta_0</math>, then

<center><math>\eta_0=y \sqrt[]{ \frac{2}{x}}; y=\frac{\eta_0\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{2}}=g(x);</math></center>

Therefore we can interpret this function <math>g(x)</math> as the fluid boundary layer. Simple Matlab code is exposed for its representation:

{{matlab|codigo=
%plot function g(x)
x=[0:0.05:10];
eta0=5.95;
y=eta0*(x/2).^(1/2);
plot(x,y,'r')
xlabel('x')
ylabel('g(x)')
legend('g(x), interpreted as boundary layer','location','best')

}}

{|
|-
| [[Archivo: Figureg(x).jpg|thumb|500px|left|Graph of <math>g(x)</math> ]]
|}

In view of the graph, the findings are similar to previous ones. As the value <math>x</math> increases, you need a higher value of <math>y</math> for the fluid velocity stabilizes and becomes the speed that we had initially.

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Boundary layer in laminar fluids (Grupo 1B)

2014-03-03T08:36:25Z

Sandro.andres:

Boundary layer in laminar fluids (Grupo 1B)

2014-03-02T18:14:51Z

Sandro.andres:

Boundary layer in laminar fluids (Grupo 1B)

2014-03-02T18:14:17Z

Sandro.andres: Página creada con «{{ TrabajoED |Boundary layer in laminar fluids. Grupo 1-B | Ecuaciones Diferenciales|Curso 2013-14 | Sandro...»

{{ TrabajoED |Boundary layer in laminar fluids. Grupo 1-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Sandro Andrés Martínez

David Ayala Díez

Claudia Cózar Coarasa

Lorena de la Fuente Sanz

Marino Rivera Muñoz

José Manuel Torres Serrano }}

In this numerical project we have studied what happens when we introduce a flat plate in a laminar fluid whose speed and viscosity are constant.

= Blasius equation =

First, we must assume that the fluid velocity before reaching the plate is constant, as in remote areas after passing the plate.

In our case we take this constant as <math>2</math>, such that

<math>\overrightarrow{u} = u_0\cdot\overrightarrow{i}, u_0 = 2 </math>
[[Archivo:Flujo.png|thumb|200px|left|Laminar fluid with velocity <math> u_0 </math>]]

Then, we must define the fluid stream function

<math>\psi(x,y) = \sqrt[]{ \nu \cdot\ u_0 \cdot x} f(\eta)</math>

Where we take the viscosity <math> \nu </math> as a unit value and

<math>\eta = y \sqrt[]{ \frac{u_0}{\nu x}}</math>

<math> f(\nu) </math> Satisfies the Blasius equation, and therefore we will raise the initial value problem associated with this equation with the following initial conditions

<math>
\begin{cases}
f’’’(\eta)+\frac{1}{2}f(\eta)f’’(\eta)=0 ; \\
f(\eta)=f’(\eta)=0, \lim_{\eta \to \infty}f’(\eta)= 1 ;
\end{cases}
</math>

However, on time of programming we cannot introduce a conditional limit, so we have to replace them by the condition <math> f’’(\eta)=k </math>, and vary the values of k to find the one that satisfies the limit.

We cannot solve the differential equation like such, to apply the numerical methods, we need to pass it to a system of equations:

<math>
f(\eta)=y_1,f’(\eta)=y_2,f’’(\eta)=y_3\\
\begin{cases}
y_1’=y_2;\\
y_2’=y_3;\\
y_3’=-\frac{1}{2}y_1y_3;\\
y_1(0)=y_2(0)=0; y_3(0)=k
\end{cases}
</math>

Once the system has been formulated , we start to solve it.

== Resolution with the modified Euler method ==
Then is exposed the Matlab code that numerically that solves the Blasius equation for different values of <math>k</math> , with <math> k \in \mbox{(0,1;1)}</math> and <math>dk=0,01</math> ,with <math> \eta \in \mbox{(0,20)}</math> and with <math>h=0,05</math> .

{{matlab|codigo=
%Resolution of Blasius equation(with modified Euler)
clear all
%Initial conditions
t0=0;
tN=20;
h=0.05;
N=(tN-t0)/h;
F2=zeros(91,401);%We create the matrix F2 where we will store the different
%solutions of f2 for each value of k
for k=0.1:0.01:1
y=[0;0;k];
y1=y(1);
y2=y(2);
y3=y(3);
for n=1:N
A=[0 1 0;0 0 1;(-y(3)/2) 0 0]; %To simplify and solve using matrices, we create
%the matrix A in the loop with different values of f3
z=y+h*A*y;
y=y+(h/2)*(A*y+A*z);
y1(n+1)=y(1);
y2(n+1)=y(2);
y3(n+1)=y(3);1
end
t=[t0:h:tN];
num=int8(100*(k-0.1+0.01));
%F2 has as rows approximations of y2 for the different values of k
F2(num,:)=y2;
end
k1=[0.1:0.01:1]; %Vector to represent the values of f2 in 20
f20=F2(:,401);
f20=f20';
o=ones(1,91);%We represented f = 1 for better viewing
figure(1)
hold on
plot(k1,f20,'+')
plot(k1,o,'r')
xlabel('k')
ylabel('f´(20)')
legend('f´(20)','y=1')
hold off

}}

{|
|-
|[[Archivo:Graficaf'(20)M.jpg|thumb|500px|left|Graph of <math>f’(20)</math> for each <math>k</math> ]]

|}
As noted in the graph the value for which the function is closer to <math>1</math> is <math>k=0,33</math>.

==Resolution with 4th order Runge-Kutta method==
Then is exposed the Matlab code that numerically that solves the Blasius equation for different values of <math>k</math> , with <math> k \in \mbox{(0,1;1)}</math> and <math>dk=0,01</math> ,with <math> \eta \in \mbox{(0,20)}</math> and with <math>h=0,05</math> .

{{matlab|codigo=
% Resolution of Blasius equation(with Runge-Kutta)
clear all
t0=0;
tN=20;
h=0.05;
N=(tN-t0)/h;
F2=zeros(91,401);
for k=0.1:0.01:1
y=[0;0;k];
y1=y(1);
y2=y(2);
y3=y(3);
for n=1:N
A=[0 1 0;0 0 1;(-y(3)/2) 0 0];
k1=A*y;
k2=A*(y+(h/2)*k1);
k3=A*(y+(h/2)*k2);
k4=A*(y+h*k3);
y=y+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
y1(n+1)=y(1);
y2(n+1)=y(2);
y3(n+1)=y(3);
end
t=[t0:h:tN];
num=int8(100*(k-0.1+0.01));
%F2 has as rows approximations of y2 for the different values of k
F2(num,:)=y2;
end
t=[t0:h:tN];
k1=[0.1:0.01:1];
f20=F2(:,401);
f20=f20';
o=ones(1,91);
figure(1)
hold on
plot(k1,f20,'+')
plot(k1,o,'r')
xlabel('k')
ylabel('f´(20)')
legend('f´(20)','y=1')
hold off

}}
{|
|-
| [[Archivo: Graficaf'(20)RK.jpg|thumb|500px|left|Graph of <math>f’(20)</math> for each <math>k</math>]]
|}

==Resolution with Euler method==
Then is exposed the Matlab code that numerically that solves the Blasius equation for different values of <math>k</math> , with <math> k \in \mbox{(0,1;1)}</math> and <math>dk=0,01</math> ,with <math> \eta \in \mbox{(0,20)}</math> and with <math>h=0,05</math> .

{{matlab|codigo=
%Resolution of Blasius equation(with Euler)

clear all
t0=0;
tN=20;
h=0.05;
N=(tN-t0)/h;
F2=zeros(91,401);
for k=0.1:0.01:1
y=[0;0;k];
y1=y(1);
y2=y(2);
y3=y(3);
for n=1:N
A=[0 1 0;0 0 1;(-y(3)/2) 0 0];
y=y+h*A*y;
y1(n+1)=y(1);
y2(n+1)=y(2);
y3(n+1)=y(3);
end
t=[t0:h:tN];
num=int8(100*(k-0.1+0.01));
%F2 has as rows approximations of y2 for the different values of k
F2(num,:)=y2;
end
t=[t0:h:tN];
k1=[0.1:0.01:1];
f20=F2(:,401);
f20=f20';
o=ones(1,91);
figure(1)
hold on
plot(k1,f20,'+')
plot(k1,o,'r')
xlabel('k')
ylabel('f´(20)')
legend('f´(20)','y=1')
hold off

}}
{|
|-
| [[Archivo: Graficaf'(20).jpg|thumb|500px|left|Graph of <math>f’(20)</math> for each <math>k</math>]]
|}
== Conclusion==
Comparing the graphs, we see that the difference between modified Euler and 4th order Runge Kutta methods is minimal and the value for each parameter is <math>k=0,33</math> , on the other hand, by using the Euler method (less accurate than the above) the value of the parameter is <math>k=0,32</math>, although graphically this difference is hardly seen.

==Graph of <math>f´(\eta)</math>==

The graph of <math>f'(\eta)</math>has been realized in <math>\eta \in \mbox {(0,20)}</math> for the value of parameter <math>k</math> obtained in the modified Euler method, ie <math>k=0.33</math>.

To get this graph we add into the modified Euler method, the following MATLAB code:

{{matlab|codigo=

%We plot f2 for k = 0.33 which is in row 24 of the matrix
f2=F2(24,:);
figure(2)
plot(t,f2,'*')
xlabel('\eta')
ylabel('f´(\eta)')
}}

{|

|-

| [[Archivo: Graficaf'eta.jpg|thumb|800px|left|Graph of <math>f´(\eta)</math> for <math>k=0,33</math> ]]

|}

As can be seen, if we run the full program and see the vector <math>f2</math> the value of <math>\eta_0</math> for which <math>\ \vert f'(\eta)-1 \vert < 0,01</math> , if <math>\eta>\eta _0</math>, is <math>\eta_0\ge5,95</math> for <math> \eta \in \mbox{(0,20)}</math>.

=Horizontal velocity of the fluid=
Once we have numerically calculated the <math>f( \eta)</math> we proceed to calculate the horizontal component of the fluid velocity <math> u_1 </math>:

<math>\vec{u}=(u_1,u_2)=(\frac{\partial \psi}{\partial y},-\frac{\partial \psi}{\partial x})</math> Thus, as defined above:

<math>u_1=\frac{\partial \psi}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(\sqrt[]{\nu u_0 x} f(\eta))= \sqrt[]{\nu u_0 x} \frac{\partial f(\eta)}{\partial y}=\sqrt[]{\nu u_0 x} \frac{\partial f(\eta)}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial y}=\sqrt[]{\nu u_0 x} \sqrt[]{\frac{u_0}{\nu x}} f’(\eta)=u_0 f’(\eta)</math>

To translate this result graphically we calculate <math>u_1(x_k,y)</math> with the Modified Euler method where <math>x_k=0.05,0.2,0.4,0.6,0.8</math> and <math>y \in \mbox{(0,3)}</math> with <math>h=0.01</math>.

{{matlab|codigo=
%We calculate u1 with the different values of xk(with modified Euler)
clear all
xk=[0.05,0.2,0.4,0.6,0.8];
nu=1; u0=2;
y0=0; yN=3; hy=0.01;
N=(yN-y0)/hy;
y=y0:hy:yN;
for m=1:5
%We define eta ('t') for each value of xk, each one
%corresponding to a row, and with 'y' in (0,3)
t(m,:)=sqrt(u0/(nu*xk(m)))*y;
h=sqrt(u0/(nu*xk(m)))*0.01;
f0=[0;0;0.33];
f=[f0(1);f0(2);f0(3)];
for n=1:N
A=[0 1 0;0 0 1;(-f0(3)/2) 0 0];
z=f0+h*A*f0;
f0=f0+(h/2)*(A*f0+A*z);
f(:,n+1)=[f0(1);f0(2);f0(3)];
end
Y(m,:)=f(2,:);
end
F=u0*Y;
hold on
plot(y,F(1,:),'k')
plot(y,F(2,:))
plot(y,F(3,:),'r')
plot(y,F(4,:),'m')
plot(y,F(5,:),'g')
legend('u_{1} for x_{k}=0.05','u_{1} for x_{k}=0.2','u_{1} for x_{k}=0.4','u_{1} for x_{k}=0.6','u_{1} for x_{k}=0.8','location','best')
xlabel('y')
ylabel('u_{1}')
hold off
}}

[[Archivo:Ap4a.png|thumb|800px|centre|In this picture are shown <math>5</math> graphs, each one corresponds to a different value of <math>k</math>. ]]

According to this graph we can appreciate that the fluid, when is moving along the <math>x</math> axis, has to achieve higher height to get limit velocity <math>u_0</math>, i.e., when the fluid moves, it must be getting over the plate to offset the perturbation that the plate provokes to it ( to a higher value of <math>y</math> is greater the transition zone between zero velocity of the plate and the limit velocity <math>u_0</math> with which the fluid initially starts).

= Laminar boundary layer of the fluid =

According to the above findings, it can be deduced that there is for each value of <math>x</math> a limit value <math>y</math> from which the fluid velocity becomes constant speed again, with the same value that it had initially before reaching the area of the plate.
Obviously the value of the boundary layer will be related to the value <math>\eta_0</math>, calculated above, for which the function <math>f’(\eta)</math> will become almost constant. The relationship is expressed as follows:
<math>\eta = y \sqrt[]{ \frac{u_0}{\nu x}}</math>

If <math>\eta=\eta_0</math>, then

<center><math>\eta_0=y \sqrt[]{ \frac{2}{x}}; y=\frac{\eta_0\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{2}}=g(x);</math></center>

Therefore we can interpret this function <math>g(x)</math> as the fluid boundary layer. Simple Matlab code is exposed for its representation:

{{matlab|codigo=
%plot function g(x)
x=[0:0.05:10];
eta0=5.95;
y=eta0*(x/2).^(1/2);
plot(x,y,'r')
xlabel('x')
ylabel('g(x)')
legend('g(x), interpreted as boundary layer','location','best')

}}

{|
|-
| [[Archivo: Figureg(x).jpg|thumb|500px|left|Graph of <math>g(x)</math> ]]
|}

In view of the graph, the findings are similar to previous ones. As the value <math>x</ math> increases, you need a higher value of <math>y</ math> for the fluid velocity stabilizes and becomes the speed that we had initially.

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Archivo:Graficaf'eta.jpg

2014-03-02T17:43:35Z

Sandro.andres:

Archivo:Capalimite2.jpg

2014-02-27T20:49:45Z

Sandro.andres:

Archivo:Capalimite.jpg

2014-02-27T09:31:31Z

Sandro.andres:

Archivo:Flujo.png

2014-02-24T10:36:57Z

Sandro.andres: