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Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T20:43:02Z

Sandra Poza Diez: /* Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas \vec F */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho = \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}</math>

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = \frac{sin(\theta)}{5 \rho} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (sin(vv)./(5.*uu));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Ehro);
hold off
}}

[[Archivo:Circulin11.PNG]]

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Esta tension nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, y por ende por qué punto se producirá la rotura. En nuestro caso podemos ver que esta se producirá en el punto (0,2) es decir justo por la mitad y la parte exterior del semi anillo.
[[Archivo:VonMises.PNG|right]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacar la gráfica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

<math>\vec F = - \nabla \cdot \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)\end{pmatrix} </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

Resultando en :

<math>F1 = -1/\rho\cdot [\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta))+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot( \frac{sin(\theta)}{5 \rho})+\frac{\partial }{\partial z}\cdot( 0)] = -\frac{2 cos(\theta)}{5\rho} </math>

<math>F2= -1/\rho\cdot[\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\frac{sin(\theta)}{5 \rho})+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta))+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(0)] = 3\frac{\rho -1}{5 \rho^2} \cdot sin(\theta) </math>

<math>F3= 0</math>

Como podemos ver la fuerza dependerá tanto de ρ como de θ , en nuestro caso las fuerzas tendrán un sentido interior por los costados mientras que parecen salir por la parte superior.
[[Archivo:Circulin12.PNG|right]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
[uu,vv]=meshgrid(u,v)

wx=(-2.*cos(vv))./(5.*uu)
wy=(3.*(uu-1).*sin(vv))./(5.*uu.^2)
figure(12)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,wx,wy,1.5,'k'); %campo vectorial F(uu,vv)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T20:25:14Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de la tensión tangencial a \vec e_\theta */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho = \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}</math>

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = \frac{sin(\theta)}{5 \rho} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (sin(vv)./(5.*uu));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Ehro);
hold off
}}

[[Archivo:Circulin11.PNG]]

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Esta tension nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, y por ende por qué punto se producirá la rotura. En nuestro caso podemos ver que esta se producirá en el punto (0,2) es decir justo por la mitad y la parte exterior del semi anillo.
[[Archivo:VonMises.PNG|right]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacar la gráfica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

<math>\vec F = - \nabla \cdot \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)\end{pmatrix} </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

Resultando en :

<math>F1 = -1/\rho\cdot [\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta))+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot( \frac{sin(\theta)}{5 \rho})+\frac{\partial }{\partial z}\cdot( 0)] = -\frac{2 cos(\theta)}{5\rho} </math>

<math>F2= -1/\rho\cdot[\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\frac{sin(\theta)}{5 \rho})+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta))+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(0)] = 3\frac{\rho -1}{5 \rho^2} \cdot sin(\theta) </math>

<math>F3= 0</math>
[[Archivo:Circulin12.PNG|right]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
[uu,vv]=meshgrid(u,v)

wx=(-2.*cos(vv))./(5.*uu)
wy=(3.*(uu-1).*sin(vv))./(5.*uu.^2)
figure(12)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,wx,wy,1.5,'k'); %campo vectorial F(uu,vv)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T20:24:36Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de la tensión tangencial a \vec e_\theta */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho = \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}</math>

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = \frac{sin(\theta)}{5 \rho} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (sin(vv)./(5.*uu));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Ehro);
hold off
}}

[[Archivo:Ciculin11.PNG]]

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Esta tension nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, y por ende por qué punto se producirá la rotura. En nuestro caso podemos ver que esta se producirá en el punto (0,2) es decir justo por la mitad y la parte exterior del semi anillo.
[[Archivo:VonMises.PNG|right]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacar la gráfica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

<math>\vec F = - \nabla \cdot \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)\end{pmatrix} </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

Resultando en :

<math>F1 = -1/\rho\cdot [\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta))+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot( \frac{sin(\theta)}{5 \rho})+\frac{\partial }{\partial z}\cdot( 0)] = -\frac{2 cos(\theta)}{5\rho} </math>

<math>F2= -1/\rho\cdot[\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\frac{sin(\theta)}{5 \rho})+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta))+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(0)] = 3\frac{\rho -1}{5 \rho^2} \cdot sin(\theta) </math>

<math>F3= 0</math>
[[Archivo:Circulin12.PNG|right]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
[uu,vv]=meshgrid(u,v)

wx=(-2.*cos(vv))./(5.*uu)
wy=(3.*(uu-1).*sin(vv))./(5.*uu.^2)
figure(12)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,wx,wy,1.5,'k'); %campo vectorial F(uu,vv)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Archivo:Circulin11.PNG

2021-12-10T20:23:08Z

Sandra Poza Diez:

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T20:05:40Z

Sandra Poza Diez: /* Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas \vec F */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho = \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}</math>

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = \frac{sin(\theta)}{5 \rho} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

[[Archivo:]]

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Esta tension nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, y por ende por qué punto se producirá la rotura. En nuestro caso podemos ver que esta se producirá en el punto (0,2) es decir justo por la mitad y la parte exterior del semi anillo.
[[Archivo:VonMises.PNG|right]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacar la gráfica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

<math>\vec F = - \nabla \cdot \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)\end{pmatrix} </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

Resultando en :

<math>F1 = -1/\rho\cdot [\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta))+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot( \frac{sin(\theta)}{5 \rho})+\frac{\partial }{\partial z}\cdot( 0)] = -\frac{2 cos(\theta)}{5\rho} </math>

<math>F2= -1/\rho\cdot[\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\frac{sin(\theta)}{5 \rho})+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta))+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(0)] = 3\frac{\rho -1}{5 \rho^2} \cdot sin(\theta) </math>

<math>F3= 0</math>
[[Archivo:Circulin12.PNG|right]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
[uu,vv]=meshgrid(u,v)

wx=(-2.*cos(vv))./(5.*uu)
wy=(3.*(uu-1).*sin(vv))./(5.*uu.^2)
figure(12)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,wx,wy,1.5,'k'); %campo vectorial F(uu,vv)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Archivo:Circulin12.PNG

2021-12-10T20:05:32Z

Sandra Poza Diez:

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T19:59:44Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de la tensión tangencial a \vec e_\theta */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho = \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}</math>

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = \frac{sin(\theta)}{5 \rho} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

[[Archivo:]]

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Esta tension nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, y por ende por qué punto se producirá la rotura. En nuestro caso podemos ver que esta se producirá en el punto (0,2) es decir justo por la mitad y la parte exterior del semi anillo.
[[Archivo:VonMises.PNG|right]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacar la gráfica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

<math>\vec F = - \nabla \cdot \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)\end{pmatrix} </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

Resultando en :

<math>F1 = -1/\rho\cdot [\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta))+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot( \frac{sin(\theta)}{5 \rho})+\frac{\partial }{\partial z}\cdot( 0)] = -\frac{2 cos(\theta)}{5\rho} </math>

<math>F2= -1/\rho\cdot[\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\frac{sin(\theta)}{5 \rho})+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta))+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(0)] = 3\frac{\rho -1}{5 \rho^2} \cdot sin(\theta) </math>

<math>F3= 0</math>

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T19:49:03Z

Sandra Poza Diez: /* Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas \vec F */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho = \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}</math>

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = \frac{sin(\theta)}{5 \rho} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Esta tension nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, y por ende por qué punto se producirá la rotura. En nuestro caso podemos ver que esta se producirá en el punto (0,2) es decir justo por la mitad y la parte exterior del semi anillo.
[[Archivo:VonMises.PNG|right]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacar la gráfica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

<math>\vec F = - \nabla \cdot \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)\end{pmatrix} </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

Resultando en :

<math>F1 = -1/\rho\cdot [\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta))+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot( \frac{sin(\theta)}{5 \rho})+\frac{\partial }{\partial z}\cdot( 0)] = -\frac{2 cos(\theta)}{5\rho} </math>

<math>F2= -1/\rho\cdot[\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\frac{sin(\theta)}{5 \rho})+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta))+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(0)] = 3\frac{\rho -1}{5 \rho^2} \cdot sin(\theta) </math>

<math>F3= 0</math>

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T19:47:46Z

Sandra Poza Diez: /* Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas \vec F */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
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view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho = \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}</math>

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = \frac{sin(\theta)}{5 \rho} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Esta tension nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, y por ende por qué punto se producirá la rotura. En nuestro caso podemos ver que esta se producirá en el punto (0,2) es decir justo por la mitad y la parte exterior del semi anillo.
[[Archivo:VonMises.PNG|right]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacar la gráfica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

<math>\vec F = - \nabla \cdot \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)\end{pmatrix} </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

Resultando en :

<math>F1 = -1/\rho\cdot [\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta))+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot( \frac{sin(\theta)}{5 \rho})+\frac{\partial }{\partial z}\cdot( 0)] = -\frac{2 cos(\theta)}{5\rho} </math>

<math>F2= -1/\rho\cdot[\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\frac{sin(\theta)}{5 \rho})+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta))+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(0)] = 3\frac{\rho -1}{5 \rho^2} \cdot cos(\theta) </math>

<math>F3= 0</math>

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T19:41:50Z

Sandra Poza Diez: /* Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas \vec F */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho = \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}</math>

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = \frac{sin(\theta)}{5 \rho} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Esta tension nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, y por ende por qué punto se producirá la rotura. En nuestro caso podemos ver que esta se producirá en el punto (0,2) es decir justo por la mitad y la parte exterior del semi anillo.
[[Archivo:VonMises.PNG|right]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacar la gráfica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

<math>\vec F = - \nabla \cdot \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)\end{pmatrix} </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

Resultando en :

<math>F1 = 1/\rho\cdot [\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta))+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot( \frac{sin(\theta)}{5 \rho})+\frac{\partial }{\partial z}\cdot( 0)] = </math>

<math>F2= 1/\rho\cdot[\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\frac{sin(\theta)}{5 \rho})+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta))+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(0)] = \frac{sin(\theta)}{5 \rho^3} - 3\frac{\rho -1}{5 \rho^2} \cdot cos(\theta) </math>

<math>F3= 0</math>

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T19:34:54Z

Sandra Poza Diez: /* Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas \vec F */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho = \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}</math>

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = \frac{sin(\theta)}{5 \rho} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Esta tension nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, y por ende por qué punto se producirá la rotura. En nuestro caso podemos ver que esta se producirá en el punto (0,2) es decir justo por la mitad y la parte exterior del semi anillo.
[[Archivo:VonMises.PNG|right]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacar la gráfica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

<math>\vec F = - \nabla \cdot \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)\end{pmatrix} </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

Resultando en :
<math>F1 = 1/\rho\cdot[\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta))+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec \frac{sin(\theta)}{5 \rho})+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho 0)] = </math>

<math>F2= 1/\rho\cdot[\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\frac{sin(\theta)}{5 \rho})+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta))+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(0)] =</math>
<math>F3= 0</math>

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T19:29:55Z

Sandra Poza Diez: /* Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas \vec F */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho = \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}</math>

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = \frac{sin(\theta)}{5 \rho} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Esta tension nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, y por ende por qué punto se producirá la rotura. En nuestro caso podemos ver que esta se producirá en el punto (0,2) es decir justo por la mitad y la parte exterior del semi anillo.
[[Archivo:VonMises.PNG|right]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacar la gráfica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

<math>\vec F = - \nabla \cdot \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

Resultando en :
<math>F1 = </math>
<math>F2= </math>
<math>F3= 0</math>

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T19:21:06Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de la tensión tangencial a \vec e_\theta */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho = \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}</math>

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = \frac{sin(\theta)}{5 \rho} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Esta tension nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, y por ende por qué punto se producirá la rotura. En nuestro caso podemos ver que esta se producirá en el punto (0,2) es decir justo por la mitad y la parte exterior del semi anillo.
[[Archivo:VonMises.PNG|right]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T19:17:45Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de la tensión tangencial a \vec e_\theta */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho = \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho=\begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = \frac{sin(\theta)}{5 \rho} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Esta tension nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, y por ende por qué punto se producirá la rotura. En nuestro caso podemos ver que esta se producirá en el punto (0,2) es decir justo por la mitad y la parte exterior del semi anillo.
[[Archivo:VonMises.PNG|right]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T19:17:17Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de la tensión tangencial a \vec e_\theta */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho = \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho=\begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = frac{sin(\theta)}{5 \rho} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Esta tension nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, y por ende por qué punto se producirá la rotura. En nuestro caso podemos ver que esta se producirá en el punto (0,2) es decir justo por la mitad y la parte exterior del semi anillo.
[[Archivo:VonMises.PNG|right]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T19:16:18Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de la tensión tangencial a \vec e_\theta */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho = \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho=\begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = frac{sin(\theta)}{5 \rho} <\math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Esta tension nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, y por ende por qué punto se producirá la rotura. En nuestro caso podemos ver que esta se producirá en el punto (0,2) es decir justo por la mitad y la parte exterior del semi anillo.
[[Archivo:VonMises.PNG|right]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T19:11:57Z

Sandra Poza Diez: /* Representación y cálculo de la tensión de Von Miles */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho = \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}</math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Esta tension nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, y por ende por qué punto se producirá la rotura. En nuestro caso podemos ver que esta se producirá en el punto (0,2) es decir justo por la mitad y la parte exterior del semi anillo.
[[Archivo:VonMises.PNG|right]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Archivo:VonMises.PNG

2021-12-10T19:10:33Z

Sandra Poza Diez:

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T19:05:13Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de la tensión tangencial a \vec e_\theta */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho = \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}</math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T19:01:40Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de la tensión tangencial a \vec e_\theta */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot \e_\rho = \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}</math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T19:00:41Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de la tensión tangencial a \vec e_\theta */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho ªcdot \sigma \cdot \e_rho = \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}</math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T18:58:14Z

Sandra Poza Diez: /* Tensiones normales en el eje \vec e_\rho */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\rho </math> ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T18:57:36Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de las tensiones */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\rho ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T18:57:02Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de las tensiones */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = \begin{pmatrix}\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\ \frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 3\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\rho ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T18:53:30Z

Sandra Poza Diez: /* Tensiones normales en el eje \vec e_z = */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\rho ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_z </math> ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:Ten3.PNG]]

{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin82.PNG]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Archivo:Ten3.PNG

2021-12-10T18:53:04Z

Sandra Poza Diez:

Archivo:Tension3.PNG

2021-12-10T18:50:02Z

Sandra Poza Diez:

Archivo:Circulin82.PNG

2021-12-10T18:48:41Z

Sandra Poza Diez:

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T18:46:42Z

Sandra Poza Diez:

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\rho ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_z ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Circulin8.png]]

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T18:45:38Z

Sandra Poza Diez: /* Tensiones normales en el eje \vec e_\theta = */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\rho ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje <math>\vec e_\theta </math> ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math> Siendo este el componente (2,2) de nuetra matriz solución
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_z ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Archivo:Circulin8.png

2021-12-10T18:24:24Z

Sandra Poza Diez:

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T17:00:07Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de la tensión tangencial a \vec e_\theta */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\rho ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\theta ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math>
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_z ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
Erho=abs (((2.*uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv));
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(xx,yy,Erho)
hold off

subplot(1,2,2)
hold on
mesh(xx,yy,Rot);
hold off
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T16:59:16Z

Sandra Poza Diez: /* Representación y cálculo de la tensión de Von Miles */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\rho ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\theta ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math>
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_z ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(10)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T16:58:40Z

Sandra Poza Diez: /* Representación y cálculo de la tensión de Von Miles */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\rho ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\theta ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math>
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_z ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:pi;
figure(11)
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

val=zeros(32,11);

for i=1:32*11
uum=uu(i);
vvm=vv(i);
a=((uum-1).*cos(vvm)./(5.*uum));
b=-(sin(vvm))./5;
c=(a./(uum)).*(1+1./uum);
mat=[a,b,0;b,c,0;0,0,a];
[v,d]=eig(mat);
val(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);
end

xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
surf(xx,yy,val)
colorbar
view(2)

}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T16:50:45Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de las tensiones */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\rho ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\theta ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math>
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
%dibujamos Tgtht
subplot(1,3,2)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgtht);
title('proyección de la tension direccion etht')
colorbar
hold off
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_z ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
{{matlab|codigo=
subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,zz);%me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgz);
title('proyección de la tension direccion ez')
colorbar
hold off
}}

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T16:48:38Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de las tensiones */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
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view(2)
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xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=(sin(vv)./(5.*uu);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a e rho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a e tht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a e z) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\rho ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Como vemos eso será el componente (1,1) de la matriz solución.

{{matlab:
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\theta ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math>
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

== Tensiones normales en el eje \vec e_z ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T16:42:35Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de las tensiones */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{sin(\theta)}{5} & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=((uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a grho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a gtht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a gz) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\rho ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab:
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\theta ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math>
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

== Tensiones normales en el eje \vec e_z ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T16:37:35Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de las tensiones */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
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xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{sin(\theta)}{5 \rho} & 0 \\\frac{\rho -1}{5} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{sin(\theta)}{5} & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=((uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a grho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a gtht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a gz) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\rho ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab:
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\theta ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math>
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

== Tensiones normales en el eje \vec e_z ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T16:35:25Z

Sandra Poza Diez: /* Tensiones normales en el eje \vec e_\rho */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{\rho -1}{5} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{\rho -1}{5} \cdot sin(\theta) & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=((uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a grho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a gtht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a gz) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\rho ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab:
%dibujamos Tgrho
figure (8)
subplot(1,3,1)
hold on
surf(xx,yy,zz); %me crea la figura
mesh(xx,yy,Tgrho);
quiver(xx,yy,t1,t2)
title('proyección de la tension direccion erho ')
colorbar
hold off

}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\theta ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math>
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

== Tensiones normales en el eje \vec e_z ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T16:28:26Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de las tensiones */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math> y multiplicandolo con la matriz Identidad será :
<math>\begin{pmatrix}\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} \end{pmatrix} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{\rho -1}{5} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{\rho -1}{5} \cdot sin(\theta) & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=((uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a grho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a gtht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a gz) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\rho ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

== Tensiones normales en el eje \vec e_\theta ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math>
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

== Tensiones normales en el eje \vec e_z ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T16:20:56Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de las tensiones */

{{ TrabajoED | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez
Jaime Santi Alonso }}

En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano <math>y\le 0 </math> y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math>

Y un campo dado : <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>

=Mallado=
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes <math>(x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3]</math> con un paso de muestro <math>h=1/10</math>. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
[[Archivo:Circulin1.png|thumb|right|Mallado del anillo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v

xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;

figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
}}

=Lineas de nivel de la temperatura=
La temperatura nos viene dada por el campo <math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)</math> que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en <math>T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)</math>

Nosotros hemos optado por la primera opción.
Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.

[[Archivo:Circulin2.PNG|Lineas de nivel]]
{{matlab|codigo=
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
}}

=Cálculo del gradiente de la Temperatura=
REVISAR
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
<math>T(x,y)=log((x-3)^2 +2)= log(x^2 -6x+11)</math>

<math>\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot\vec j = \frac{2x-6}{x^2 +11 -6x} \vec i + 0 \vec j</math>
{{matlab|codigo=
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
}}
[[Archivo:Circulin3.PNG|Lineas de nivel]]

=Dibujo del campo de Vectores=
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:

<math>\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow </math>
[[Archivo:Ciculin4.PNG|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
}}

=Solido antes y despues del desplazamiento=
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá el desplazamiento ilustrado más abajo. Como podemos observar tiene una leve deformación en el centro, pero esta pasa casi desapercibida.

{{matlab|codigo=
figure(5)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
title('Antes del desplazamiento')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
x1=xx+ux; %escribimos los desplazamientos
x2=yy+uy;
subplot(1,2,2)
mesh(x1,x2,0*x1); %mallado del sólido desplazado
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Después del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Circulin5.PNG]]

=Representación de la divergencia=
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.

<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> [[Archivo:Circulin6.PNG|right|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
DIV=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
figure(6)
surf(xx,yy,DIV) %Representación de la divergencia
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2)
colorbar
title('Divergencia')
maxdivergencia=max(max(DIV));
mindivergencia=min(min(DIV));
}}

=Cálculo de determinante del rotacional=
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional

<math>\nabla×\vec u(\rho,\theta) = \frac{1}{\rho} \begin{pmatrix} \vec e_ρ & \rho\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_ρ & \rho · u_θ & u_z \end{pmatrix} = {\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) \vec e_z </math>

Los puntos que sufren mayor rotacional como podemos ver en la imagen son los situados alrededor de (0,2) o en coordenadas cilindricas <math> \rho =2 y \theta = \pi / 2</math>

Esto ocurre para los puntos definidos por <math>{\frac{sin \theta}{5
\rho}} \cdot (2 \rho - 1) </math> ya que así el coseno es máximo y el polinomio dependiente de ρ también. Así se puede apreciar en la imagen que cuanto más nos acercamos a esos valores (más amarillo) más rotados han sido los puntos.

[[Archivo:Circulin7Bien.PNG|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
rot=sin(vv).*(2.*uu-1)./(uu.*5);
figure(7)
surf(xx,yy,rot);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
colorbar
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Rotacional')
}}

=Cálculo de las tensiones=
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e(\vec u)</math>
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente <math>\nabla\cdot u=\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5} </math>

Dado que estamos en coordenadas cilindricas y queremos calcular el gradiente en un campo vectorial tendremos que usar los simbolos de Christoffel tal que:
[[Archivo:Christof1.PNG]]

Queremos hallar las componentes de la matriz de la derivada covariante:

[[Archivo:Christof2.PNG]]

Haciendo su traspuesta tenemos : <math>\nabla u + \nabla u^t = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\\frac{\rho -1}{5} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & \frac{rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & 0 \\ -\frac{\rho -1}{5 \rho} \cdot sin(\theta) & \frac{\rho -1}{5} \cdot cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

y finalmente obtenemos la tensión:
<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u \cdot I +2\mu e = </math>

{{matlab|codigo=
%A B son componentes de la matriz del tensor de tensiones
A=((uu-1)./(5.*uu)).*cos(vv);
B=((uu-1)./(5.*uu)).*sin(vv);

Tgrho=(A); %el vector (tensor aplicado a grho) proyectado a la direccion wrho
Tgtht=(A+2*A); %el vector (tensor aplicado a gtht) proyectado a la direccion wtht
Tgz=(A); %el vector (tensor aplicado a gz) proyectado a la dirección wz

t1=Tgrho.*cos(vv);
t2=Tgrho.*sin(vv);
}}

== Tensiones normales en el eje \vec e_\rho ==
Tal que <math> \vec e_\rho \cdot \sigma \cdot \vec e_\rho </math>

Siendo <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

== Tensiones normales en el eje \vec e_\theta ===
<math> \vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \vec e_\theta </math>
Con <math> \vec e_ \theta = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

== Tensiones normales en el eje \vec e_z ===
<math> \vec e_z \cdot \sigma \cdot \vec e_z </math>
Con <math> \vec e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>=
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
}}

=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_VM = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>

Siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 y \sigma3</math> autovalores de la tensión previamente calculada.

{{matlab|codigo=
}}

=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>=
Queremos sacra la grafica del campo de fuerzas <math>\vec F = - \nabla \cdot \sigma </math>

De esta forma tomaremos las filas de <math> \sigma</math> para poder aplicar la divergencia y así obtener el campo vectorial buscado.

{{matlab|codigo=
}}

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[[Categoría:TC21/22]]

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T16:08:56Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de las tensiones */

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T16:08:17Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de las tensiones */

Archivo:Christof2.PNG

2021-12-10T16:03:38Z

Sandra Poza Diez:

Archivo:Christof1.PNG

2021-12-10T16:00:30Z

Sandra Poza Diez:

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T15:53:58Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de determinante del rotacional */

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T15:37:24Z

Sandra Poza Diez: /* Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas \vec F */

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T15:34:07Z

Sandra Poza Diez: /* Representación y cálculo de la tensión de Von Miles */

Deformaciones de un anillo circular

2021-12-10T15:29:13Z

Sandra Poza Diez: /* Cálculo de determinante del rotacional */

Archivo:Circulin7Bien.PNG

2021-12-10T15:27:20Z

Sandra Poza Diez: