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Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T19:27:45Z

SReig: /* Variación de la velocidad y la presión. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = (2-\frac{8}{ρ^2})cosθ\vec{g^ρ} - (2ρ + \frac{8}{ρ}) sen θ \vec{g^θ}</math>
→ '''despreciamos los cocientes:'''
<math>\frac{8}{ρ^2}</math>
<math>\frac{8}{ρ}</math>
→
2cosθ<math>\vec{g^ρ} - 2ρsen θ \vec{g^ρ}</math>

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} } </math> → <math>f(θ)= 2 { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → f'(θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ f(0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fv=inline('((2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2))^2+(-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2))^2)^(1/2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fv(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fp=inline('15-((2+(8*(y.^2)-8*
(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2))^2+(-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2))^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fp(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])}}

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T19:27:21Z

SReig: /* Variación de la velocidad y la presión. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = (2-\frac{8}{ρ^2})cosθ\vec{g^ρ} - (2ρ + \frac{8}{ρ}) sen θ \vec{g^θ}</math>
→ '''despreciamos los cocientes:'''
<math>\frac{8}{ρ^2}</math>
<math>\frac{8}{ρ}</math>
→
2cosθ<math>\vec{g^ρ} - 2ρsen θ \vec{g^ρ}</math>

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} } </math> → <math>f(θ)= 2 { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → f'(θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ f(0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

{{matlab|codigo=
MODULO VELOCIDADES
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fv=inline('((2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2))^2+(-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2))^2)^(1/2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fv(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

PRESIONES
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fp=inline('15-((2+(8*(y.^2)-8*
(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2))^2+(-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2))^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fp(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])}}

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:52:17Z

SReig: /* Rotacional y divergencia. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = (2-\frac{8}{ρ^2})cosθ\vec{g^ρ} - (2ρ + \frac{8}{ρ}) sen θ \vec{g^θ}</math>
→ '''despreciamos los cocientes:'''
<math>\frac{8}{ρ^2}</math>
<math>\frac{8}{ρ}</math>
→
2cosθ<math>\vec{g^ρ} - 2ρsen θ \vec{g^ρ}</math>

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:51:07Z

SReig: /* Rotacional y divergencia. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = (2-\frac{8}{ρ^2})cosθ\vec{g^ρ} - (2ρ + \frac{8}{ρ}) sen θ \vec{g^θ}</math>
→ '''despreciamos los cocientes: <math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' →
2cosθ<math>\vec{g^ρ} - 2ρsen θ \vec{g^ρ}</math>

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:49:42Z

SReig: /* Rotacional y divergencia. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = (2-\frac{8}{ρ^2})cosθ\vec{g^ρ} - (2ρ + \frac{8}{ρ}) sen θ \vec{g^θ}</math> → '''despreciamos los cocientes\frac{8}{ρ^2}) y (\frac{8}{ρ})''' → = 2cosθ<math>\vec{g^ρ} - 2ρsen θ \vec{g^ρ}</math>

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:48:13Z

SReig: /* Rotacional y divergencia. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = (2-\frac{8}{ρ^2})cosθ\vec{g^ρ} - (2ρ + \frac{8}{ρ}) sen θ \vec{g^θ}\ → '''despreciamos los cocientes\frac{8}{ρ^2}) y (\frac{8}{ρ})''' → = 2cosθ\vec{g^ρ} - 2ρsen θ \vec{g^ρ}</math>

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:47:08Z

SReig: /* Rotacional y divergencia. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = (2-\frac{8}{ρ^2})cosθ\vec{g^ρ} - (2ρ + \frac{8}{ρ}) sen θ \vec{g^θ}\ → '''despreciamos los cocientes\frac{8}{ρ^2}\) y (\frac{8}{ρ}\)''' → = 2cosθ\vec{g^ρ} - 2ρsen θ \vec{g^ρ}</math>

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:44:39Z

SReig: /* Rotacional y divergencia. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = (2-\frac{8}{ρ^2})cosθ\vec{g^ρ} - (2ρ + \frac{8}{ρ}) sen θ \vec{g^θ}\ → '''despreciamos los cocientes\frac{8}{ρ^2}\) y (\frac{8}{ρ}\)''' → = </math>

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:37:21Z

SReig: /* Rotacional y divergencia. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = (2-\frac{8}{ρ^2})cosθ\vec{g^ρ} - (2ρ + \frac{8}{ρ}) sen θ \vec{g^θ}</math> → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:36:49Z

SReig: /* Rotacional y divergencia. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\\vec{u} = (2-\frac{8}{ρ^2})cosθ\vec{g^ρ} - (2ρ + \frac{8}{ρ}) sen θ \vec{g^θ}</math> → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:30:42Z

SReig: /* Rotacional y divergencia. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = \nablaφ=\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}\=(2cosθ-\frac{8}{ρ^2}\cosθ)\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-\frac{8}{ρ}\senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:30:04Z

SReig: /* Rotacional y divergencia. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = \nablaφ=\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}=\(2cosθ-\frac{8}{ρ^2}\cosθ)\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-\frac{8}{ρ}\senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:27:55Z

SReig: /* Rotacional y divergencia. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ))\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = \nablaφ=\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}=\(2cosθ-\frac{8}{ρ^2}\cosθ)\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-\frac{8}{ρ}\senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:25:59Z

SReig: /* Rotacional y divergencia. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = \nablaφ=\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}=\(2cosθ-\frac{8}{ρ^2}\cosθ)\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-\frac{8}{ρ}\senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:24:25Z

SReig: /* Rotacional y divergencia. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = \nablaφ=\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}=\(2cosθ-\frac{8}{ρ^2}\cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-\frac{8}{ρ}\senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:23:54Z

SReig: /* Rotacional y divergencia. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = \nablaφ=\frac{δφ}{δρ}\+\frac{δφ}{δθ}\=\(2cosθ\-\frac{8}{ρ^2}\cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-\frac{8}{ρ}\senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:22:07Z

SReig: /* Rotacional y divergencia. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = \nablaφ=\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}=\(2cosθ\-\frac{8}{ρ^2}\cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-\frac{8}{ρ}\senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:20:53Z

SReig: /* Rotacional y divergencia. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = \nablaφ=\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}=\(\2cosθ\-\frac{8}{ρ^2}\cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-\frac{8}{ρ}\senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:19:34Z

SReig: /* Rotacional y divergencia. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = \nablaφ=\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}=\(2cosθ-\frac{8}{ρ^2}\cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-\frac{8}{ρ}\senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:17:37Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = \nablaφ\=\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}\=(2cosθ-\frac{8}{ρ^2}\cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:16:13Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = \nablaφ</math>=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:14:24Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = \nabla</math>•φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:13:59Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:

<math>\vec{u} = \nabla</math>•φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:12:42Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:
<math>\vec{u} = \nabla</math>•φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:12:11Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:
<math>\vec{u} = \nabla</math>•φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:10:55Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:
<math>\vec{u}=\nabla</math>•φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T18:09:52Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:
<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{36})^2 cos^2θ + (6+\frac{4}{6})^2 \frac{1}{36} sen^2θ} } </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))-4*(((1+(4./(U.^3))).^2).*((sin(V)).^2));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
P=15-4*(((1-4./(u.^2)).^2).*((cos(v)).^2)+((1./(u.^4)).*(((u+4./u)).^2).*((sin(v)).^2)));

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Green''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ'(2π)- φ'(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:40:58Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:
<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-4./(U.^2)).^2).*((cos(V)).^2)+((1./(U.^4)).*(((U+4./U)).^2).*((sin(V)).^2)));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-4./(U.^2)).^2).*((cos(V)).^2)+((1./(U.^4)).*(((U+4./U)).^2).*((sin(V)).^2)));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:40:02Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:
<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-4./(U.^2)).^2).*((cos(V)).^2)+((1./(U.^4)).*(((U+4./U)).^2).*((sin(V)).^2)));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|350px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-4./(U.^2)).^2).*((cos(V)).^2)+((1./(U.^4)).*(((U+4./U)).^2).*((sin(V)).^2)));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:39:31Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:
<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-4./(U.^2)).^2).*((cos(V)).^2)+((1./(U.^4)).*(((U+4./U)).^2).*((sin(V)).^2)));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:11campos14.png|450px|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4*(((1-4./(U.^2)).^2).*((cos(V)).^2)+((1./(U.^4)).*(((U+4./U)).^2).*((sin(V)).^2)));
contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:35:50Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:
<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-4./(U.^2)).^2).*((cos(V)).^2)+((1./(U.^4)).*(((U+4./U)).^2).*((sin(V)).^2)));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:35:09Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:
<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|450px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-4./(U.^2)).^2).*((cos(V)).^2)+((1./(U.^4)).*(((U+4./U)).^2).*((sin(V)).^2)));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:82.png|600px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:27:52Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:
<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))→'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:81.png|500px|right|Dibujo en 2D de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-4./(U.^2)).^2).*((cos(V)).^2)+((1./(U.^4)).*(((U+4./U)).^2).*((sin(V)).^2)));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima y mínima son los siguientes: Pmáx=15 y Pmín=11'004.
[[Archivo:81.png|500px|center|Dibujo en 3D de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:25:17Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:
<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>u^ρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>u^θ))=

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-4./(U.^2)).^2).*((cos(V)).^2)+((1./(U.^4)).*(((U+4./U)).^2).*((sin(V)).^2)));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:23:13Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:
<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=1/<math>\sqrt{g}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>u^ρ))+<math>\frac{1}{<math>\sqrt{g}</math>}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>u^θ))=

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4*(((1-4./(U.^2)).^2).*((cos(V)).^2)+((1./(U.^4)).*(((U+4./U)).^2).*((sin(V)).^2)));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:20:45Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:
<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=1/<math>\sqrt{g}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>u^ρ))+1/<math>\sqrt{g}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>u^θ))=

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido.

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:18:54Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:
<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=1/sqrt { g }(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(sqrt{g}u^ρ))+1/sqrt{g}(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(sqrt{g}u^θ))

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|500px|right|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido.

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:14:27Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:
<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}=\frac{1}{sqrt { g }}</math>=

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|400px|rigth|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:13:46Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:
<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{nabla}\vec{u}=\frac{1}{sqrt { g }}</math>=

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|400px|rigth|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:08:20Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:
<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\nabla\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|400px|rigth|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:07:39Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

==== Rotacional y divergencia. ====
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\nabla\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|400px|rigth|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:07:16Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

==== Rotacional y divergencia. ====
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:

<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\nabla\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|400px|rigth|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:06:50Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

==== Rotacional y divergencia. ====
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:

<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\) → '''despreciamos los cocientes (<math>\frac{8}{ρ^2}</math>) y (<math>\frac{8}{ρ}</math>)''' → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\nabla\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|400px|rigth|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:05:43Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

==== Rotacional y divergencia. ====
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:

<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>'''=(2cosθ-'''<math>\frac{8}{ρ^2}</math>'''cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-'''<math>\frac{8}{ρ}</math>'''senθ)\(\vec{g^θ}\) → despreciamos los cocientes ('''<math>\frac{8}{ρ^2}</math>''') y ('''<math>\frac{8}{ρ}</math>''') → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)'''

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\nabla\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|400px|rigth|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:04:43Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

==== Rotacional y divergencia. ====
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:

<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>'''=(2cosθ-'''<math>\frac{8}{ρ^2}</math>'''cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-'''<math>\frac{8}{ρ}</math>'''senθ)\(\vec{g^θ}\) → despreciamos los cocientes ('''<math>\frac{8}{ρ^2}</math>''') y ('''<math>\frac{8}{ρ}</math>''') → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)'''

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\nabla\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|400px|rigth|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:03:39Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

==== Rotacional y divergencia. ====
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:

<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>'''=(2cosθ-'''<math>\frac{8}{ρ^2}</math>'''cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-'''<math>\frac{8}{ρ}</math>'''senθ)\(\vec{g^θ}\) → despreciamos los cocientes ('''<math>\frac{8}{ρ^2}</math>''') y ('''<math>\frac{8}{ρ}</math>''') → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)'''

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\nabla\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|400px|rigth|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:02:34Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

==== Rotacional y divergencia. ====
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:

<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>'''=(2cosθ-'''<math>\frac{8}{ρ^2}</math>'''cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-'''<math>\frac{8}{ρ}</math>'''senθ)\(\vec{g^θ}\) → despreciamos los cocientes ('''<math>\frac{8}{ρ^2}</math>''') y ('''<math>\frac{8}{ρ}</math>''') → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)'''

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\nabla\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\=\(\vec{0}\

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|400px|rigth|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T11:02:02Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

==== Rotacional y divergencia. ====
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:

<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>'''=(2cosθ-'''<math>\frac{8}{ρ^2}</math>'''cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-'''<math>\frac{8}{ρ}</math>'''senθ)\(\vec{g^θ}\) → despreciamos los cocientes ('''<math>\frac{8}{ρ^2}</math>''') y ('''<math>\frac{8}{ρ}</math>''') → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)'''

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\nabla\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\=\(\vec{0}\

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|400px|rigth|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T10:59:49Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

==== Rotacional y divergencia. ====
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:

<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>'''=(2cosθ-'''<math>\frac{8}{ρ^2}</math>'''cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-'''<math>\frac{8}{ρ}</math>'''senθ)\(\vec{g^θ}\) → despreciamos los cocientes ('''<math>\frac{8}{ρ^2}</math>''') y ('''<math>\frac{8}{ρ}</math>''') → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)'''

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\nabla\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|400px|rigth|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2014-12-05T10:59:25Z

SReig:

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Saínz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Mallafluido1.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])
}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|300px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:Doscamposjuntosm.jpg|1000px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

==== Rotacional y divergencia. ====
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo

Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable. En este caso:

<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=<math>\frac{δφ}{δρ}+\frac{δφ}{δθ}</math>'''=(2cosθ-'''<math>\frac{8}{ρ^2}</math>'''cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-'''<math>\frac{8}{ρ}</math>'''senθ)\(\vec{g^θ}\) → despreciamos los cocientes ('''<math>\frac{8}{ρ^2}</math>''') y ('''<math>\frac{8}{ρ}</math>''') → = 2cosθ\(\vec{g^ρ}\)-2ρsenθ\(\vec{g^θ}\)'''

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\nabla\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math> Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math> Uρ)\(\vec{g_z}\)=

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66.png|400px|rigth|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{v}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,50)
axis([-5,5,-5,5])

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{v}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo es invariante a la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(2,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ y\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(6,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 con\ |\vec u|(6,0)=0 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=0 \\ Velocidad\ máxima\ → |\vec u|'(6,θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} con\ |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=4 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

==== Curvas de nivel. ====
==== Presión media. ====
==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de las líneas de corriente \(\vec{v}\), la presión P y el módulo de la velocidad. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

♦ Observando la gráfica de la velocidad podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de la presión se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

De igual modo que la velocidad tiende a minimizar en la mayoría de los puntos de igual zona, la presión tenderá al máximo en los mismos puntos, viéndose reducidos por tanto aquellos en los que se maximiza la velocidad y reduce al mínimo la presión. Es decir vemos como una partícula con velocidad pequeña o reducida al mínimo tiene una gran presión, pero si ésta se acerca al 'extremo norte' o 'extremo sur' del obstáculo (ρ=2) o a los 'extremos este y oeste de la frontera exterior de ρ=6.

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar ψ', pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''

<math>\(\boxed [ l=ρvΓ \])</math>

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.