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Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-14T07:58:36Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log[(x-3)^2+2]}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
<center><math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{(2ρ-1)sen(θ)}{5-ρ}</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Ahora hallaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
<center><math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math></center>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido a las propiedades del material), calculamos las tensiones en las direcciones de los ejes y las representamos en el dibujo.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por:
<center><math>|σ(\vec e_{ρ})-((\vec e_{ρ})σ(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|; </math> siendo esto igual a 0.</center>

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar
en qué punto se alcanza el mayor valor.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==
Sobre nuestra placa actúa un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, que equivale aproximadamente a la ecuación de elasticidad, lo que produce un desplazamiento, como podemos observar en la gráfica.
Definimos este campo de fuerzas como <math>\vec{F}=-▽σ</math>.
Siendo σ los vectores que componen las filas de la matriz sigma.

{{matlab|codigo=
%Creamos los intervalos de las variables
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%hacemos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%Definimos las funciones x e y del campo F
mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
%dibujamos la gráfica de vectores
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Archivo:ej12.png|550px|miniaturadeimagen|centro|Campo de fuerzas]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-12T15:38:18Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log[(x-3)^2+2]}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
<center><math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{(2ρ-1)sen(θ)}{5-ρ}</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Ahora hallaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
<center><math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math></center>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido a las propiedades del material), calculamos las tensiones en las direcciones de los ejes y las representamos en el dibujo.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por:
<center><math>|σ(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})σ(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|; </math> siendo esto igual a 0.</center>

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar
en qué punto se alcanza el mayor valor.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==
Sobre nuestra placa actúa un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, que equivale aproximadamente a la ecuación de elasticidad, lo que produce un desplazamiento, como podemos observar en la gráfica.
Definimos este campo de fuerzas como <math>\vec{F}=-▽σ</math>.
Siendo σ los vectores que componen las filas de la matriz sigma.

{{matlab|codigo=
%Creamos los intervalos de las variables
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%hacemos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%Definimos las funciones x e y del campo F
mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
%dibujamos la gráfica de vectores
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Archivo:ej12.png|550px|miniaturadeimagen|centro|Campo de fuerzas]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T22:06:02Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
<center><math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{(2ρ-1)sen(θ)}{5-ρ}</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Ahora hallaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
<center><math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math></center>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido a las propiedades del material), calculamos las tensiones en las direcciones de los ejes y las representamos en el dibujo.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por:
<center><math>|σ(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})σ(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|; </math> siendo esto igual a 0.</center>

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar
en qué punto se alcanza el mayor valor.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==
Sobre nuestra placa actúa un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, que equivale aproximadamente a la ecuación de elasticidad, lo que produce un desplazamiento, como podemos observar en la gráfica.
Definimos este campo de fuerzas como <math>\vec{F}=-▽σ</math>.
Siendo σ los vectores que componen las filas de la matriz sigma.

{{matlab|codigo=
%Creamos los intervalos de las variables
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%hacemos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%Definimos las funciones x e y del campo F
mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
%dibujamos la gráfica de vectores
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Archivo:ej12.png|550px|miniaturadeimagen|centro|Campo de fuerzas]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T22:00:42Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
<center><math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{(2ρ-1)sen(θ)}{5-ρ}</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Ahora hallaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
<center><math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math></center>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido a las propiedades del material), calculamos las tensiones en las direcciones de los ejes y las representamos en el dibujo.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por:
<center><math>|σ(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})σ(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|; </math> siendo esto igual a 0.</center>

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar
en qué punto se alcanza el mayor valor.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==
Sobre nuestra placa actúa un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, que equivale aproximadamente a la ecuación de elasticidad, lo que produce un desplazamiento, como podemos observar en la gráfica.
Definimos este campo de fuerzas como <math>\vec{F}=-▽σ</math>.
Siendo σ los vectores que componen las filas de la matriz sigma.

{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%hacemos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%Campo F
mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Archivo:ej12.png|550px|miniaturadeimagen|centro|Campo de fuerzas]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T22:00:00Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
<center><math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{(2ρ-1)sen(θ)}{5-ρ}</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Ahora hallaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
<center><math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math></center>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido a las propiedades del material), calculamos las tensiones en las direcciones de los ejes y las representamos en el dibujo.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por:
<center><math>|σ(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})σ(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|; </math> siendo esto igual a 0.</center>

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar
en qué punto se alcanza el mayor valor.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==
Sobre nuestra placa actúa un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, que equivale aproximadamente a la ecuación de elasticidad, lo que produce un desplazamiento, como podemos observar en la gráfica.
Definimos este campo de fuerzas como <math>\vec{F}=-▽σ</math>
Siendo σ los vectores que componen las filas de la matriz sigma.

{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%hacemos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%Campo F
mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Archivo:ej12.png|550px|miniaturadeimagen|centro|Campo de fuerzas]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Archivo:Ej12.png

2021-12-09T21:39:43Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T21:39:18Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
<center><math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{(2ρ-1)sen(θ)}{5-ρ}</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Ahora hallaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
<center><math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math></center>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido a las propiedades del material), calculamos las tensiones en las direcciones de los ejes y las representamos en el dibujo.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por:
<center><math>|σ(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})σ(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|; </math> siendo esto igual a 0.</center>

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar
en qué punto se alcanza el mayor valor.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%hacemos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%Campo F
mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Archivo:ej12.png|550px|miniaturadeimagen|centro|Campo de fuerzas]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T20:42:25Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Tensión de Von Mises. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
<center><math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{(2ρ-1)sen(θ)}{5-ρ}</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Ahora hallaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
<center><math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math></center>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido a las propiedades del material), calculamos las tensiones en las direcciones de los ejes y las representamos en el dibujo.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por:
<center><math>|σ(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})σ(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|; </math> siendo esto igual a 0.</center>

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar
en qué punto se alcanza el mayor valor.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%hacemos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%Campo F
mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T20:41:10Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
<center><math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{(2ρ-1)sen(θ)}{5-ρ}</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Ahora hallaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
<center><math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math></center>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido a las propiedades del material), calculamos las tensiones en las direcciones de los ejes y las representamos en el dibujo.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por:
<center><math>|σ(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})σ(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|; </math> siendo esto igual a 0.</center>

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%hacemos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%Campo F
mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T20:40:52Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
<center><math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{(2ρ-1)sen(θ)}{5-ρ}</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Ahora hallaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
<center><math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math></center>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido a las propiedades del material), calculamos las tensiones en las direcciones de los ejes y las representamos en el dibujo.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por:
<center><math>|σ(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})σ(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|; </math>siendo esto igual a 0.</center>

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%hacemos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%Campo F
mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T20:40:38Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
<center><math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{(2ρ-1)sen(θ)}{5-ρ}</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Ahora hallaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
<center><math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math></center>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido a las propiedades del material), calculamos las tensiones en las direcciones de los ejes y las representamos en el dibujo.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por:
<center><math>|σ(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})σ(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|. </math>siendo esto igual a 0.</center>

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%hacemos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%Campo F
mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T20:40:15Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
<center><math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{(2ρ-1)sen(θ)}{5-ρ}</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Ahora hallaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
<center><math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math></center>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido a las propiedades del material), calculamos las tensiones en las direcciones de los ejes y las representamos en el dibujo.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por:
<center><math>|σ(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})σ(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|, siendo esto igual a 0. </math></center>

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%hacemos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%Campo F
mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T20:39:46Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
<center><math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{(2ρ-1)sen(θ)}{5-ρ}</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Ahora hallaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
<center><math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math></center>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido a las propiedades del material), calculamos las tensiones en las direcciones de los ejes y las representamos en el dibujo.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por:
<center><math>|σ(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})σ(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})| </math></center>

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%hacemos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%Campo F
mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T20:38:54Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
<center><math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{(2ρ-1)sen(θ)}{5-ρ}</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Ahora hallaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
<center><math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math></center>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido a las propiedades del material), calculamos las tensiones en las direcciones de los ejes y las representamos en el dibujo.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<center><math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})| </math></center>

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%hacemos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%Campo F
mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T19:06:53Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Curvas de nivel de la temperatura. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
<center><math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{(2ρ-1)sen(θ)}{5-ρ}</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Ahora hallaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
<center><math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math></center>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido a las propiedades del material), calculamos las tensiones en las direcciones de los ejes y las representamos en el dibujo.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%hacemos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%Campo F
mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T15:23:21Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Tensor de tensiones. Tensiones normales. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
<center><math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{(2ρ-1)sen(θ)}{5-ρ}</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Ahora hallaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
<center><math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math></center>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido a las propiedades del material), calculamos las tensiones en las direcciones de los ejes y las representamos en el dibujo.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%hacemos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%Campo F
mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T15:21:36Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Tensor de tensiones. Tensiones normales. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
<center><math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{(2ρ-1)sen(θ)}{5-ρ}</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
<center><math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math></center>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%hacemos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%Campo F
mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T15:17:27Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Rotacional . */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
<center><math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{(2ρ-1)sen(θ)}{5-ρ}</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%hacemos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%Campo F
mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-09T15:16:43Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Cálculo y dibujo del rotacional */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|520px|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|450px|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|650px|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec ρe_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>
Como podemos observar los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo, estos tendrán una mayor capacidad de giro ya que el rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado.
[[File:modrot8.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.
===Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones===
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial ρ} +(\frac{1}{5})cosθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial ρ}=</math>
 
:::<math>=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{1}{5})cosθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}=(\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial θ} +(\frac{ρ}{5})senθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial θ}=</math>
 
:::<math>=(-\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ (-\frac{ρ}{10})senθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=(\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial z} +(\frac{ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial z}=</math>
 
:::<math>=0 </math>.
 
 
Calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (-\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{5})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (\frac{1}{5})cosθ & 0 \\ (-\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
Sabemos que <math>λ</math> y <math>μ</math> toman valor uno, sabiendo que la divergencia es cero, la ecuación se reduce a dos veces el tensor de deformaciones que a su vez está multiplicado por un medio por tanto el dos que multiplica se anula con el que divide y el resultado del tensor de tensiones sería:
::* <math>e(\vec σ(ρ,θ,z))= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{5})senθ & (\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{5})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 

[[File:tenero3d.jpg|350px|left]]
[[File:tenero2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

[[File:teneteta3d.jpg|350px|left]]
[[File:teneteta2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|320px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22|2021-22]]

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-09T15:16:02Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Cálculo y dibujo del rotacional */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|520px|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|450px|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|650px|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec ρe_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{(2ρ-1)sen(θ)}{5-ρ}</math>.
Como podemos observar los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo, estos tendrán una mayor capacidad de giro ya que el rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado.
[[File:modrot8.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.
===Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones===
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial ρ} +(\frac{1}{5})cosθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial ρ}=</math>
 
:::<math>=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{1}{5})cosθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}=(\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial θ} +(\frac{ρ}{5})senθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial θ}=</math>
 
:::<math>=(-\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ (-\frac{ρ}{10})senθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=(\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial z} +(\frac{ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial z}=</math>
 
:::<math>=0 </math>.
 
 
Calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (-\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{5})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (\frac{1}{5})cosθ & 0 \\ (-\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
Sabemos que <math>λ</math> y <math>μ</math> toman valor uno, sabiendo que la divergencia es cero, la ecuación se reduce a dos veces el tensor de deformaciones que a su vez está multiplicado por un medio por tanto el dos que multiplica se anula con el que divide y el resultado del tensor de tensiones sería:
::* <math>e(\vec σ(ρ,θ,z))= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{5})senθ & (\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{5})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 

[[File:tenero3d.jpg|350px|left]]
[[File:tenero2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

[[File:teneteta3d.jpg|350px|left]]
[[File:teneteta2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|320px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22|2021-22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T14:41:30Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%hacemos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%Campo F
mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T14:39:56Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Campo de fuerzas. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==

%Campo F
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);

mx=((-R+3)./(5.*R)).*cos(T);
my=(((-4.*R)+4)./(5.*R)).*sin(T)-((R-1)./(5.*(R.^2))).*sin(T);
quiver(X,Y,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T14:23:13Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Divergencia campo vectorial sobre placa. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}</math></center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T14:21:56Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:
<center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}<\math><\center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T14:18:58Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como: <center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}<\math><\center>

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T14:16:54Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como: <center><math>Divergencia(T)={\frac{dTx}{dX}+\frac{dTy}{dY}+\frac{dTz}{dz}}

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T14:09:32Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Sólido previo y posterior a los desplazamientos. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. En la gráfica representaremos las placas antes y después de la deformación además de compararlas, haciendo uso del comando subplot y el comenaod hold on
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T14:07:01Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.
Observando la gráfica, podemos comprobar que la temperatura máxima se alcanza en el punto (-2,0) con un valor de 3.1416 ºC.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]

== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY. en la gráfica representamos las placas antes y después de la deformación además de compararlas.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2D, nos muestra el incremento de área.
La divergencia se define como:

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T10:56:18Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)</math>.
Calcularemos las coordenadas de X y de Y, y a su vez, las coordenadas después de la deformación a las que llamaremos UX y UY, para representar el sólido antes y después de la deformación y poder comparar ambos dibujos.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]

== Campo de fuerzas. ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T10:47:37Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Gradiente de la temperatura. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{2(x-3)}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T10:46:08Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Visualización campo de vectores. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{(x-3)*2}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T10:45:29Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Visualización campo de vectores. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{(x-3)*2}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j}))</math></center>
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T10:44:41Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{(x-3)*2}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
A continuación se dibujará el campo <math>\vec{u}(ρ,θ)</math> sobre los puntos del mallado del sólido. Siendo el campo vectorial:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)(-sen(\vec{i})+cos(\vec{j})</math></center>
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]
== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T10:36:22Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Gradiente de la temperatura. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{(x-3)*2}{log(x-3)^2}}</math>; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]
== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T10:34:55Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA: /* Gradiente de la temperatura. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{(x-3)*2}{log(x-3)^2}}</math> <center><math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]

== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]
== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T10:34:16Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{(x-3)*2}{log(x-3)^2}}</math> ; <center><math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]
== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]
== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T10:33:14Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{(x-3)*2}{log(x-3)^2}}</math> ; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]
== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]
== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T10:32:09Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:

<math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{(x-3)*2}{log(x-3)^2}}</math> ; <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]
== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]
== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T10:31:05Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:
<math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{(x-3)*2}{log(x-3)^2}}</math> <math>{\frac{dT}{dY}}=0</math>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]
== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]
== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T10:29:52Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:
<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{(x-3)*2}{log(x-3)^2}}</math></center>
<center><math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]
== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no ha sido realizado debido a que en los datos ya nos dan el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math> con lo que no es necesario calcularlo de nuevo.

== Visualización campo de vectores. ==
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]
== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T10:25:08Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:
<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{(x-3)*2}{log(x-3)^2}}</math></center>
<center><math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]
== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no lo hemos realizado debido a que ya nos dan en los datos el campo vectorial u

== Visualización campo de vectores. ==
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]
== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T10:23:38Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:
<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{(X-3)*2}{log(X-3)^2}}</math></center>
<center><math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]
== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no lo hemos realizado debido a que ya nos dan en los datos el campo vectorial u

== Visualización campo de vectores. ==
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]
== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T10:23:00Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:
<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{X-3*2}{logX-3^2}}</math></center>
<center><math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]
== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no lo hemos realizado debido a que ya nos dan en los datos el campo vectorial u

== Visualización campo de vectores. ==
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]
== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T10:21:22Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:
<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{{X-3}*2}{log{{X-3}^2}}</math></center>
<center><math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]
== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no lo hemos realizado debido a que ya nos dan en los datos el campo vectorial u

== Visualización campo de vectores. ==
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]
== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T10:19:26Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dY}}</math></center>
Calculamos las deriavdas parciales obteniendo:
<center><math>{\frac{dT}{dX}}={\frac{(X-3)*2}{log((X-3)^2)}</math></center>
<center><math>{\frac{dT}{dY}}=0</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]
== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no lo hemos realizado debido a que ya nos dan en los datos el campo vectorial u

== Visualización campo de vectores. ==
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]
== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T10:13:30Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior. El gradiente es la suma de las derivadas parciales: <center><math>Gradiente(T)={\frac{dT}{dX}+\frac{dT}{dX}}</math></center>
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]
== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no lo hemos realizado debido a que ya nos dan en los datos el campo vectorial u

== Visualización campo de vectores. ==
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]
== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T01:05:19Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Una vez definida la temperatura,
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
dibujamos con el comando "contour" sus curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]
== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no lo hemos realizado debido a que ya nos dan en los datos el campo vectorial u

== Visualización campo de vectores. ==
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]
== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T00:59:29Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3].
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Analizamos como la siguiente función T(x, y) = log((x − 3)2 + 2) de temperatura actúa sobre el sólido dibujando para ello las curvas de nivel; y se deducirá el punto en el que esta es máxima.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]
== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no lo hemos realizado debido a que ya nos dan en los datos el campo vectorial u

== Visualización campo de vectores. ==
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]
== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T00:58:46Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado, siendo el resultado un semianillo. Tomar los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−3; 3] × [−1; 3]
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Analizamos como la siguiente función T(x, y) = log((x − 3)2 + 2) de temperatura actúa sobre el sólido dibujando para ello las curvas de nivel; y se deducirá el punto en el que esta es máxima.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]
== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no lo hemos realizado debido a que ya nos dan en los datos el campo vectorial u

== Visualización campo de vectores. ==
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]
== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo- grupo B4

2021-12-09T00:55:36Z

SANDRA GONZÁLEZ DE MENDOZA:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre un semianillo-Grupo 4 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] |
Sandra González De Mendoza 3471,
Gema González Esteban 3472,
Lucia Monge Mansilla 3539 }}
En este artículo veremos cómo distintos campos escalares y vectoriales afectan a una placa plana con forma de semianillo. Dicha placa ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥0.
En ella tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de un campo ya conocido en nuestro caso:
<center><math>\vec{u}(ρ,θ)=\frac{ρ-1}{5}sen(θ)\vec{e_{θ}}</math></center>
De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<center><math>\vec{r}(x,y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Analizaremos las curvas de nivel de la temperatura, las deformaciones provocadas por el campo de desplazamientos, las tensiones causadas por un tensor de deformaciones, etc. Para poder realizar todo lo comentado anteriormente, debemos llevar a cabo diferentes cálculos respecto al campo vectorial <math>\vec{u}(x, y)</math> previamente definido; como gradientes, rotacionales y divergencias.

== Mallado. Visualización de la placa. ==
Representaremos los puntos del interior del sólido con un mallado. El mallado obtenido es un semianillo.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:jkhig.png|650px|miniaturadeimagen|centro|mallado]]
== Curvas de nivel de la temperatura. ==
Analizamos como la siguiente función T(x, y) = log((x − 3)2 + 2) de temperatura actúa sobre el sólido dibujando para ello las curvas de nivel; y se deducirá el punto en el que esta es máxima.
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
r=1:0.1:2;
t=0:pi/50:pi;
%Creamos el mallado
[R,T]=meshgrid(r,t);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
%Definimos la función de temperatura
f=log10((X-3).^2+2);
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,f,30)
colorbar
axis([-3,3,-1,3])
}}
[[Archivo:ej2.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|temperatura]]
== Gradiente de la temperatura. ==
Calculamos el gradiente de la función de temperatura y observamos donde crece más rápido. Dibujaremos el gradiente como campo vectorial, obteniendo un campo perpendicular a las curvas de nivel del apartado anterior.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%creamos mallado y gráfica
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
axis([-3,3,-1,3])
%Campo vectorial (gradiente): 2(x-3)ln10 * ((x-3)2+2)
%introducimos el código de la función
f=log10((X-3).^2+2);
%derivadas parciales de la función
Tx=((X-3).*2)./(log(10)*(((X-3).^2)+2));
Ty=0;
%dibujamos la gráfica
contour(X,Y,f,30);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
hold on
%representamos el campo vectorial
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
hold off
}}
[[Archivo:ej3.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|gradiente]]
== Campo de desplazamientos en los puntos del sólido. ==
Este apartado no lo hemos realizado debido a que ya nos dan en los datos el campo vectorial u

== Visualización campo de vectores. ==
En este apartado representaremos los vectores de la nueva función vectorial de desplazamiento: u(р,θ) = (( р-1)/5)* sen(θ)*(-sen(i)+cos(j))
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=((-U+1)./5).*(sin(V).^2);
FY=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%mostramos los vectores en la gráfica
quiver(X,Y,FX,FY)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de desplazamientos sobre la placa')
}}
[[Archivo:ej5.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|campo vectorial]]
== Sólido previo y posterior a los desplazamientos. ==
Ahora observaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial y sobre ella
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%función
Ux=(-(U+1)./5).*(sin(V).^2);
Uy=((U-1)./5).*sin(V).*cos(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=x+Ux;
UY=y+Uy;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('placa después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot3(x,y,x*0);
plot3(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('comparación');
hold off
}}
[[Archivo:ej6.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|desplazamientos]]

== Divergencia campo vectorial sobre placa. ==
La divergencia define la diferencia de volumen debido al desplazamiento, en nuestro caso, al estar trabajando en 2-D, nos muestra el incremento de área
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%divergencia
DIVu=(1./U).*(((U-1)./5).*cos(V));
%gráfica
surf(x,y,DIVu)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
%divergencias máximas y mínimas
DIVuMAX=max(DIVu);
DIVuMIN=min(DIVu);
title('Divergencia del campo vectorial')
}}
[[Archivo:ej7.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|divergencia]]

== Rotacional . ==
El operador rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a inducir rotación de un punto sobre un vector. Como en dos dimensiones no se aprecia este cambio, hemos decidido realizarlo también en 3-D.
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
h=50;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(0,pi,h);
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%añadimos el rot
ROTu=abs((sin(V)./(5-U)).*(2*U-1));
%gráfica en 2-D
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('rotacional en 2-D');
%gráfica en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('rotacional en 3-D');
Maximo=max(max(ROTu));
}}
[[Archivo:ej8.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|rotacional]]

== Tensor de tensiones. Tensiones normales. ==
Calcularemos a continuación las tensiones normales ejercidas sobre la placa por la parte simétrica del tensor gradiente del campo vectorial u.
{{matlab|codigo=
%Definimos las variables
u=1:0.1:2;
v=0:pi/50:pi;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=zeros(size(X));
clf
%calculamos las componentes de la matriz sigma
a=(((U-1).*cos(V))./(5.*U)); %Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
b=((((U-1)./5.*U)+((2.*U-2)./5)).*cos(V)); %Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
c=((U-1).*cos(V))./(5.*U); %Elemento (3,3,3) de la matriz sigma
subplot(1,3,1);
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}
[[Archivo:ej9.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|tensiones normales]]

== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal X=0 ==
Nuestro resultado en este ejercicio es cero, ya que [[Archivo:ej10_f.png|200px|miniaturadeimagen|centro]] =0

== Tensión de Von Mises. ==
Conociendo que la tensión de Von Mises se define como:
[[Archivo:VM.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión Von Mises]]
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ
como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico, dibujaremos dicha tensión en nuestro sólido
{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=[1:h:2];
v=[0:h:pi];
[U,V]=meshgrid(U,V);
%Creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%Creamos la matriz de von mises
vm=zeros(32,11); %Tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
UU=U(i)';
VV=V(i)';
s(1,1)=(((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU));
s(1,2)=(((-UU+2)./5).*sin(VV));
s(2,1)=s(1,2);
s(2,2)=((((UU-1)./(5.*UU))+((2.*UU-2)./5)).*cos(VV));
s(3,3)=((UU-1).*cos(VV))./(5.*UU);
[v,d]=eig(s);
vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1)).^2)/2);
endfor
xx=U.*cos(V);
yy=U.*sin(V);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)
}}
[[Archivo:ej11.png|650px|miniaturadeimagen|centro|Tensión VM en placa]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]