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Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-12-11T10:03:45Z

Rubén Maleno Ayala: /* Comprobación de ortonormalidad */

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|450px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 = aq \cos \psi \\
x_2 = bq \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

Para calcular los diferentes campos de velocidad derivaremos la parametrización calculada anteriormente respecto a cada variable $q, \psi$ y $z$.

Cálculo de $\gamma_q' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial q},
\frac{\partial x_2}{\partial q},
\frac{\partial x_3}{\partial q}
\right) = \left( 2 \cos \psi, 3 \sin \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_\psi' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial \psi},
\frac{\partial x_2}{\partial \psi},
\frac{\partial x_3}{\partial \psi}
\right) = \left( -2q \sin \psi, 3q \cos \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_z' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial z},
\frac{\partial x_2}{\partial z},
\frac{\partial x_3}{\partial z}
\right) = \left( 0, 0, 1 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_z = \vec{k}}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad $\gamma'_q, \gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$.

Para calcular $|\gamma'_q| \Longrightarrow$
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \Rightarrow \boxed{h_q = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}
</math>

Para calcular $|\gamma'_\psi| \Longrightarrow$
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi} \Rightarrow \boxed{h_\psi = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
</math>

Para calcular $|\gamma'_z| \Longrightarrow$
<math>
\boxed{h_z = 1}
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como $ \vec{t} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} $, aunque cambiaremos la notación.

Para $\vec{e}_q\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q} = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}
</math>

Para $\vec{e}_\psi\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi} = \frac{(-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
</math>

Para $\vec{e}_z\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \vec{k}
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

Para que la base $\{\vec{e}_q, \vec{e}_\psi, \vec{e}_z\}$ sea ortonormal, tienen que ser ortogonales entre sí. Comprobaremos si son ortogonales.

Cálculo de $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}=0 \Rightarrow\ \psi = n \frac{\pi}{2}, \; n \in \mathbb{Z}

</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

Cálculo de $\vec{e}_z \cdot \vec{e}_\psi$ y $\vec{e}_z \cdot \vec{e}_q\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:Grupo7121.jpg|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Vectores para generar líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

% Línea γ_q: ψ = ψ0, q variable
x1_q = a * q * cos(psi0);
x2_q = b * q * sin(psi0);

% Línea γ_ψ: q = q0, ψ variable
x1_psi = a * q0 * cos(psi);
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (parcial respecto a q con ψ fijo)
tangente_q = [a*cos(psi0); b*sin(psi0)];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q);

% Tangente a γ_ψ (parcial respecto a ψ con q fijo)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi);

% Rango para centrar el punto en la gráfica
x_range = 1.5;
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside');
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]);
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]);
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada (con t∈R3) y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|400px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==
=== Curvatura ===
Teniendo la parametrización de la curva:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>
cuyas componentes son $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula:
<math>
\kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}
</math>

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

<math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>

[[Archivo:Curvaturafin.jpg|450px|thumb|right|Figura 4: Curvatura k(t).]]

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}

=== Puntos de mayor y menor curvatura ===
Analizando la función <math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>
podemos identificar que la curvatura de la función depende de $cos^2(t)$, el cual varía entre 0 y 1:

Cuando $cos^2(t) = 1$, $k(t)$ es mínima. Esto ocurre en $ t = 0,π,2π$

Cuando $cos^2(t) = 0$, $k(t)$ es máxima. Esto ocurre en $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

Como resultado tenemos:

Los puntos de menor curvatura de $k(t)$ son $ t = 0,π,2π$

Los puntos de mayor curvatura de $k(t)$ son $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==
La osculatriz (también conocida como circulo osculador) de una curva en un punto dado de esta, es una circunferencia, cuyo centro pertenece a la recta normal a la curva en dicho punto y tiene la misma curvatura y es tangente a la curva en ese punto.

* El centro y radio de la circunferencia osculatriz se les conoce como: centro de curvatura y radio de curvatura respectivamente.
* El plano que contiene a la circunferencia es el plano osculador.

En el caso de nuestra curva, esta tiene múltiples puntos donde su curvatura es máxima, por lo que utilizaremos uno cualquiera como el punto P[0,3] (que sucede cuando t=π/2), en donde la curvatura es máxima.

[[Archivo:Elipse 7.jpg|500px|thumb|right|miniaturadeimagen|Circunferencua Osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%Definimos la parametrización
t=linspace(0,2*pi,70);
x=2*cos(t);
y=3*sin(t);
%Definimos el punto de curvatura máxima
P=[0,3];
%Calculamos el vector normal
n=[0,-1];
%Curvatura y el radio de curvatura
curv=0.75;
R=1/curv;
disp(R)
%Centro de curvatura
Q=P+R*n;
disp(Q)
%Parametrización de la circunferencia osculatriz
tt=linspace(0,2*pi,70);
xx=R*cos(tt)+Q(1);
yy=R*sin(tt)+Q(2);
%Graficas
figure
hold on
plot(x,y,'b','linewidth',2);%Curva
plot(xx,yy,'r','linewidth',3);%Circunferencia osculatriz
plot(P(1),P(2),'og','linewidth',5);%Punto
axis equal
grid on
xlabel('X')
ylabel('Y')
hold off
title('Circunferencia osculatriz')
}}

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

Las superficies regladas son aquellas que pueden formarse arrastrando una línea recta a través del espacio, manteniéndola siempre sobre la superficie. Ejemplos clásicos son los planos, los cilindros o los conos, que pueden visualizarse como el desplazamiento de una recta generatriz.

En ingeniería, las superficies regladas se utilizan por su simplicidad geométrica y facilidad de fabricación. Por ejemplo, en el diseño de cascos de barcos, alas de aviones, o cubiertas de puentes, las superficies regladas permiten modelar formas con propiedades aerodinámicas u óptimas en cuanto a la resistencia de materiales, reduciendo la complejidad de la construcción y el análisis estructural.

== La elipse y su uso en la ingeniería ==
La elipse es una curva plana y cerrada que representa el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

En la ingeniería, y más concretamente en la ingeniería civil, se utiliza por sus propiedades geométricas y estructurales únicas. Por ejemplo, debido a su buena resistencia y su capacidad para distribuir cargas, muchos puentes, arcos y bóvedas tienen forma de elipse. Esto se debe a que su curvatura minimiza las tensiones concentradas y mejora la estabilidad estructural.
[[Archivo:Puente santa trinita.jpg|miniaturadeimagen|Puente Santa Trinita]]

* Esta forma también resulta útil en los túneles, los cuales están sometidos a presiones heterogéneas por la forma desigual del terreno.
* La forma elipsoidal permite optimizar el flujo de fluidos ya que reduce la resistencia y mejora la eficiencia, por eso es común su uso en tuberías, puertos y presas.
* Además, la elipse es una forma que optimiza el espacio, maximizando el área utilizable en lugares con espacio limitado, como en túneles ferroviarios.
* Las propiedades geométricas de la elipse facilitan en gran cantidad el análisis estructural y la predicción del comportamiento bajo carga.
* Sin embargo, su uso más conocido está relacionado con la estética. La elipse es una forma agradable y poco agresiva para la vista. Combinada con otras formas, puede crear conjuntos visualmente atractivos, siendo habitual su utilización en fachadas de iglesias o como elemento decorativo en puentes.

En conclusión, la elipse se ha convertido en una forma esencial en la ingeniería civil, gracias a su combinación de funcionalidad, capacidad para optimizar estructuras y por su estética agradable para la vista.
[[Archivo:Tunel de chamartin.jpg|400px|thumb|left||Túnel de Chamartín]]
[[Archivo:Iglesia de San Carlo alle Quattro Fontane.jpg|350px|thumb|right|Iglesia de San Carlo alle Quattro Fontane]]
[[Archivo:Presa eliptica.jpg|miniaturadeimagen|400px|thumb|center|Presa de gravedad con forma elíptica]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-12-11T09:09:17Z

Rubén Maleno Ayala: /* Superficies de nivel de campos escalares */

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|450px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 = aq \cos \psi \\
x_2 = bq \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

Para calcular los diferentes campos de velocidad derivaremos la parametrización calculada anteriormente respecto a cada variable $q, \psi$ y $z$.

Cálculo de $\gamma_q' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial q},
\frac{\partial x_2}{\partial q},
\frac{\partial x_3}{\partial q}
\right) = \left( 2 \cos \psi, 3 \sin \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_\psi' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial \psi},
\frac{\partial x_2}{\partial \psi},
\frac{\partial x_3}{\partial \psi}
\right) = \left( -2q \sin \psi, 3q \cos \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_z' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial z},
\frac{\partial x_2}{\partial z},
\frac{\partial x_3}{\partial z}
\right) = \left( 0, 0, 1 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_z = \vec{k}}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad $\gamma'_q, \gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$.

Para calcular $|\gamma'_q| \Longrightarrow$
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \Rightarrow \boxed{h_q = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}
</math>

Para calcular $|\gamma'_\psi| \Longrightarrow$
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi} \Rightarrow \boxed{h_\psi = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
</math>

Para calcular $|\gamma'_z| \Longrightarrow$
<math>
\boxed{h_z = 1}
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como $ \vec{t} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} $, aunque cambiaremos la notación.

Para $\vec{e}_q\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q} = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}
</math>

Para $\vec{e}_\psi\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi} = \frac{(-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
</math>

Para $\vec{e}_z\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \vec{k}
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

Para que la base $\{\vec{e}_q, \vec{e}_\psi, \vec{e}_z\}$ sea ortonormal, sus módulos deben ser igual a 1 y que sean ortogonales entre sí. Hemos calculado antes que el único módulo unitario es $\vec{e}_z $, por lo tanto no cumple la primera propiedad, aún así, comprobaremos si son ortognales.

Cálculo de $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}=0 \Rightarrow\ \psi = n \frac{\pi}{2}, \; n \in \mathbb{Z}

</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

Cálculo de $\vec{e}_z \cdot \vec{e}_\psi$ y $\vec{e}_z \cdot \vec{e}_q\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:Grupo7121.jpg|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Vectores para generar líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

% Línea γ_q: ψ = ψ0, q variable
x1_q = a * q * cos(psi0);
x2_q = b * q * sin(psi0);

% Línea γ_ψ: q = q0, ψ variable
x1_psi = a * q0 * cos(psi);
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (parcial respecto a q con ψ fijo)
tangente_q = [a*cos(psi0); b*sin(psi0)];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q);

% Tangente a γ_ψ (parcial respecto a ψ con q fijo)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi);

% Rango para centrar el punto en la gráfica
x_range = 1.5;
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside');
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]);
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]);
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada (con t∈R3) y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|400px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==
=== Curvatura ===
Teniendo la parametrización de la curva:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>
cuyas componentes son $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula:
<math>
\kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}
</math>

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

<math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>

[[Archivo:Curvaturafin.jpg|450px|thumb|right|Figura 4: Curvatura k(t).]]

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}

=== Puntos de mayor y menor curvatura ===
Analizando la función <math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>
podemos identificar que la curvatura de la función depende de $cos^2(t)$, el cual varía entre 0 y 1:

Cuando $cos^2(t) = 1$, $k(t)$ es mínima. Esto ocurre en $ t = 0,π,2π$

Cuando $cos^2(t) = 0$, $k(t)$ es máxima. Esto ocurre en $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

Como resultado tenemos:

Los puntos de menor curvatura de $k(t)$ son $ t = 0,π,2π$

Los puntos de mayor curvatura de $k(t)$ son $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==
La osculatriz (también conocida como circulo osculador) de una curva en un punto dado de esta, es una circunferencia, cuyo centro pertenece a la recta normal a la curva en dicho punto y tiene la misma curvatura y es tangente a la curva en ese punto.

* El centro y radio de la circunferencia osculatriz se les conoce como: centro de curvatura y radio de curvatura respectivamente.
* El plano que contiene a la circunferencia es el plano osculador.

En el caso de nuestra curva, esta tiene múltiples puntos donde su curvatura es máxima, por lo que utilizaremos uno cualquiera como el punto P[0,3] (que sucede cuando t=π/2), en donde la curvatura es máxima.

[[Archivo:Elipse 7.jpg|500px|thumb|right|miniaturadeimagen|Circunferencua Osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%Definimos la parametrización
t=linspace(0,2*pi,70);
x=2*cos(t);
y=3*sin(t);
%Definimos el punto de curvatura máxima
P=[0,3];
%Calculamos el vector normal
n=[0,-1];
%Curvatura y el radio de curvatura
curv=0.75;
R=1/curv;
disp(R)
%Centro de curvatura
Q=P+R*n;
disp(Q)
%Parametrización de la circunferencia osculatriz
tt=linspace(0,2*pi,70);
xx=R*cos(tt)+Q(1);
yy=R*sin(tt)+Q(2);
%Graficas
figure
hold on
plot(x,y,'b','linewidth',2);%Curva
plot(xx,yy,'r','linewidth',3);%Circunferencia osculatriz
plot(P(1),P(2),'og','linewidth',5);%Punto
axis equal
grid on
xlabel('X')
ylabel('Y')
hold off
title('Circunferencia osculatriz')
}}

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

Las superficies regladas son aquellas que pueden formarse arrastrando una línea recta a través del espacio, manteniéndola siempre sobre la superficie. Ejemplos clásicos son los planos, los cilindros o los conos, que pueden visualizarse como el desplazamiento de una recta generatriz.

En ingeniería, las superficies regladas se utilizan por su simplicidad geométrica y facilidad de fabricación. Por ejemplo, en el diseño de cascos de barcos, alas de aviones, o cubiertas de puentes, las superficies regladas permiten modelar formas con propiedades aerodinámicas u óptimas en cuanto a la resistencia de materiales, reduciendo la complejidad de la construcción y el análisis estructural.

== La elipse y su uso en la ingeniería ==
La elipse es una curva plana y cerrada que representa el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

En la ingeniería, y más concretamente en la ingeniería civil, se utiliza por sus propiedades geométricas y estructurales únicas. Por ejemplo, debido a su buena resistencia y su capacidad para distribuir cargas, muchos puentes, arcos y bóvedas tienen forma de elipse. Esto se debe a que su curvatura minimiza las tensiones concentradas y mejora la estabilidad estructural.
[[Archivo:Puente santa trinita.jpg|miniaturadeimagen|Puente Santa Trinita]]

* Esta forma también resulta útil en los túneles, los cuales están sometidos a presiones heterogéneas por la forma desigual del terreno.
* La forma elipsoidal permite optimizar el flujo de fluidos ya que reduce la resistencia y mejora la eficiencia, por eso es común su uso en tuberías, puertos y presas.
* Además, la elipse es una forma que optimiza el espacio, maximizando el área utilizable en lugares con espacio limitado, como en túneles ferroviarios.
* Las propiedades geométricas de la elipse facilitan en gran cantidad el análisis estructural y la predicción del comportamiento bajo carga.
* Sin embargo, su uso más conocido está relacionado con la estética. La elipse es una forma agradable y poco agresiva para la vista. Combinada con otras formas, puede crear conjuntos visualmente atractivos, siendo habitual su utilización en fachadas de iglesias o como elemento decorativo en puentes.

En conclusión, la elipse se ha convertido en una forma esencial en la ingeniería civil, gracias a su combinación de funcionalidad, capacidad para optimizar estructuras y por su estética agradable para la vista.
[[Archivo:Tunel de chamartin.jpg|400px|thumb|left||Túnel de Chamartín]]
[[Archivo:Iglesia de San Carlo alle Quattro Fontane.jpg|350px|thumb|right|Iglesia de San Carlo alle Quattro Fontane]]
[[Archivo:Presa eliptica.jpg|miniaturadeimagen|400px|thumb|center|Presa de gravedad con forma elíptica]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-12-11T07:59:34Z

Rubén Maleno Ayala: /* Código y gráfica */

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|450px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 = aq \cos \psi \\
x_2 = bq \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

Para calcular los diferentes campos de velocidad derivaremos la parametrización calculada anteriormente respecto a cada variable $q, \psi$ y $z$.

Cálculo de $\gamma_q' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial q},
\frac{\partial x_2}{\partial q},
\frac{\partial x_3}{\partial q}
\right) = \left( 2 \cos \psi, 3 \sin \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_\psi' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial \psi},
\frac{\partial x_2}{\partial \psi},
\frac{\partial x_3}{\partial \psi}
\right) = \left( -2q \sin \psi, 3q \cos \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_z' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial z},
\frac{\partial x_2}{\partial z},
\frac{\partial x_3}{\partial z}
\right) = \left( 0, 0, 1 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_z = \vec{k}}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad $\gamma'_q, \gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$.

Para calcular $|\gamma'_q| \Longrightarrow$
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \Rightarrow \boxed{h_q = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}
</math>

Para calcular $|\gamma'_\psi| \Longrightarrow$
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi} \Rightarrow \boxed{h_\psi = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
</math>

Para calcular $|\gamma'_z| \Longrightarrow$
<math>
\boxed{h_z = 1}
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como $ \vec{t} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} $, aunque cambiaremos la notación.

Para $\vec{e}_q\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q} = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}
</math>

Para $\vec{e}_\psi\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi} = \frac{(-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
</math>

Para $\vec{e}_z\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \vec{k}
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

Para que la base $\{\vec{e}_q, \vec{e}_\psi, \vec{e}_z\}$ sea ortonormal, sus módulos deben ser igual a 1 y que sean ortogonales entre sí. Hemos calculado antes que el único módulo unitario es $\vec{e}_z $, por lo tanto no cumple la primera propiedad, aún así, comprobaremos si son ortognales.

Cálculo de $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}=0 \Rightarrow\ \psi = n \frac{\pi}{2}, \; n \in \mathbb{Z}

</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

Cálculo de $\vec{e}_z \cdot \vec{e}_\psi$ y $\vec{e}_z \cdot \vec{e}_q\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:Grupo7121.jpg|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Vectores para generar líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

% Línea γ_q: ψ = ψ0, q variable
x1_q = a * q * cos(psi0);
x2_q = b * q * sin(psi0);

% Línea γ_ψ: q = q0, ψ variable
x1_psi = a * q0 * cos(psi);
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (parcial respecto a q con ψ fijo)
tangente_q = [a*cos(psi0); b*sin(psi0)];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q);

% Tangente a γ_ψ (parcial respecto a ψ con q fijo)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi);

% Rango para centrar el punto en la gráfica
x_range = 1.5;
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside');
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]);
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]);
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada (con t∈R3) y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|400px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==
=== Curvatura ===
Teniendo la parametrización de la curva:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>
cuyas componentes son $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula:
<math>
\kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}
</math>

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

<math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>

[[Archivo:Curvaturafin.jpg|450px|thumb|right|Figura 4: Curvatura k(t).]]

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}

=== Puntos de mayor y menor curvatura ===
Analizando la función <math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>
podemos identificar que la curvatura de la función depende de $cos^2(t)$, el cual varía entre 0 y 1:

Cuando $cos^2(t) = 1$, $k(t)$ es mínima. Esto ocurre en $ t = 0,π,2π$

Cuando $cos^2(t) = 0$, $k(t)$ es máxima. Esto ocurre en $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

Como resultado tenemos:

Los puntos de menor curvatura de $k(t)$ son $ t = 0,π,2π$

Los puntos de mayor curvatura de $k(t)$ son $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==
La osculatriz (también conocida como circulo osculador) de una curva en un punto dado de esta, es una circunferencia, cuyo centro pertenece a la recta normal a la curva en dicho punto y tiene la misma curvatura y es tangente a la curva en ese punto.

* El centro y radio de la circunferencia osculatriz se les conoce como: centro de curvatura y radio de curvatura respectivamente.
* El plano que contiene a la circunferencia es el plano osculador.

En el caso de nuestra curva, esta tiene múltiples puntos donde su curvatura es máxima, por lo que utilizaremos uno cualquiera como el punto P[0,3] (que sucede cuando t=π/2), en donde la curvatura es máxima.

[[Archivo:Elipse 7.jpg|500px|thumb|right|miniaturadeimagen|Circunferencua Osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%Definimos la parametrización
t=linspace(0,2*pi,70);
x=2*cos(t);
y=3*sin(t);
%Definimos el punto de curvatura máxima
P=[0,3];
%Calculamos el vector normal
n=[0,-1];
%Curvatura y el radio de curvatura
curv=0.75;
R=1/curv;
disp(R)
%Centro de curvatura
Q=P+R*n;
disp(Q)
%Parametrización de la circunferencia osculatriz
tt=linspace(0,2*pi,70);
xx=R*cos(tt)+Q(1);
yy=R*sin(tt)+Q(2);
%Graficas
figure
hold on
plot(x,y,'b','linewidth',2);%Curva
plot(xx,yy,'r','linewidth',3);%Circunferencia osculatriz
plot(P(1),P(2),'og','linewidth',5);%Punto
axis equal
grid on
xlabel('X')
ylabel('Y')
hold off
title('Circunferencia osculatriz')
}}

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

== La elipse y su uso en la ingeniería ==
La elipse es una curva plana y cerrada que representa el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

En la ingeniería, y más concretamente en la ingeniería civil, se utiliza por sus propiedades geométricas y estructurales únicas. Por ejemplo, debido a su buena resistencia y su capacidad para distribuir cargas, muchos puentes, arcos y bóvedas tienen forma de elipse. Esto se debe a que su curvatura minimiza las tensiones concentradas y mejora la estabilidad estructural.
[[Archivo:Puente santa trinita.jpg|miniaturadeimagen|Puente Santa Trinita]]

* Esta forma también resulta útil en los túneles, los cuales están sometidos a presiones heterogéneas por la forma desigual del terreno.
* La forma elipsoidal permite optimizar el flujo de fluidos ya que reduce la resistencia y mejora la eficiencia, por eso es común su uso en tuberías, puertos y presas.
* Además, la elipse es una forma que optimiza el espacio, maximizando el área utilizable en lugares con espacio limitado, como en túneles ferroviarios.
* Las propiedades geométricas de la elipse facilitan en gran cantidad el análisis estructural y la predicción del comportamiento bajo carga.
* Sin embargo, su uso más conocido está relacionado con la estética. La elipse es una forma agradable y poco agresiva para la vista. Combinada con otras formas, puede crear conjuntos visualmente atractivos, siendo habitual su utilización en fachadas de iglesias o como elemento decorativo en puentes.

En conclusión, la elipse se ha convertido en una forma esencial en la ingeniería civil, gracias a su combinación de funcionalidad, capacidad para optimizar estructuras y por su estética agradable para la vista.
[[Archivo:Tunel de chamartin.jpg|400px|thumb|left||Túnel de Chamartín]]
[[Archivo:Iglesia de San Carlo alle Quattro Fontane.jpg|350px|thumb|right|Iglesia de San Carlo alle Quattro Fontane]]
[[Archivo:Presa eliptica.jpg|miniaturadeimagen|400px|thumb|center|Presa de gravedad con forma elíptica]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:Grupo7121.jpg

2024-12-11T07:59:11Z

Rubén Maleno Ayala:

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-12-07T15:22:09Z

Rubén Maleno Ayala:

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|450px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 = aq \cos \psi \\
x_2 = bq \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

Para calcular los diferentes campos de velocidad derivaremos la parametrización calculada anteriormente respecto a cada variable $q, \psi$ y $z$.

Cálculo de $\gamma_q' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial q},
\frac{\partial x_2}{\partial q},
\frac{\partial x_3}{\partial q}
\right) = \left( 2 \cos \psi, 3 \sin \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_\psi' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial \psi},
\frac{\partial x_2}{\partial \psi},
\frac{\partial x_3}{\partial \psi}
\right) = \left( -2q \sin \psi, 3q \cos \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_z' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial z},
\frac{\partial x_2}{\partial z},
\frac{\partial x_3}{\partial z}
\right) = \left( 0, 0, 1 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_z = \vec{k}}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad $\gamma'_q, \gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$.

Para calcular $|\gamma'_q| \Longrightarrow$
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \Rightarrow \boxed{h_q = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}
</math>

Para calcular $|\gamma'_\psi| \Longrightarrow$
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi} \Rightarrow \boxed{h_\psi = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
</math>

Para calcular $|\gamma'_z| \Longrightarrow$
<math>
\boxed{h_z = 1}
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como $ \vec{t} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} $, aunque cambiaremos la notación.

Para $\vec{e}_q\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q} = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}
</math>

Para $\vec{e}_\psi\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi} = \frac{(-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
</math>

Para $\vec{e}_z\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \vec{k}
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

Para que la base $\{\vec{e}_q, \vec{e}_\psi, \vec{e}_z\}$ sea ortonormal, sus módulos deben ser igual a 1 y que sean ortogonales entre sí. Hemos calculado antes que el único módulo unitario es $\vec{e}_z $, por lo tanto no cumple la primera propiedad, aún así, comprobaremos si son ortognales.

Cálculo de $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}=0 \Rightarrow\ \psi = n \frac{\pi}{2}, \; n \in \mathbb{Z}

</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

Cálculo de $\vec{e}_z \cdot \vec{e}_\psi$ y $\vec{e}_z \cdot \vec{e}_q\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:TrabajoCCE.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

x1_q = a * q; % Línea γ_q (q variable, ψ fijo)
x2_q = b * q * sin(psi0); % x2 es constante para ψ fijo

x1_psi = a * q0 * cos(psi); % Línea γ_ψ (ψ variable, q fijo)
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (paralela a eje q)
tangente_q = [a; 0];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q); % Normalización

% Tangente a γ_ψ (paralela a eje ψ)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi); % Normalización

% Rango para centrar el punto
x_range = 1.5; % Valor para tamaño deseado del rango
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto de arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside'); % Leyenda
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]); % Centrar x_1 en el punto
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]); % Centrar x_2 en el punto
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada (con t∈R3) y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|400px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==
=== Curvatura ===
Teniendo la parametrización de la curva:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>
cuyas componentes son $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula:
<math>
\kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}
</math>

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

<math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>

[[Archivo:Curvaturafin.jpg|450px|thumb|right|Figura 4: Curvatura k(t).]]

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}

=== Puntos de mayor y menor curvatura ===
Analizando la función <math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>
podemos identificar que la curvatura de la función depende de $cos^2(t)$, el cual varía entre 0 y 1:

Cuando $cos^2(t) = 1$, $k(t)$ es mínima. Esto ocurre en $ t = 0,π,2π$

Cuando $cos^2(t) = 0$, $k(t)$ es máxima. Esto ocurre en $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

Como resultado tenemos:

Los puntos de menor curvatura de $k(t)$ son $ t = 0,π,2π$

Los puntos de mayor curvatura de $k(t)$ son $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==
La osculatriz (también conocida como circulo osculador) de una curva en un punto dado de esta, es una circunferencia, cuyo centro pertenece a la recta normal a la curva en dicho punto y tiene la misma curvatura y es tangente a la curva en ese punto.

* El centro y radio de la circunferencia osculatriz se les conoce como: centro de curvatura y radio de curvatura respectivamente.
* El plano que contiene a la circunferencia es el plano osculador.

En el caso de nuestra curva, esta tiene múltiples puntos donde su curvatura es máxima, por lo que utilizaremos uno cualquiera como el punto P[0,3], en donde la curvatura es maxima.

[[Archivo:Elipse 7.jpg|500px|thumb|right|miniaturadeimagen|Circunferencua Osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%Definimos la parametrización
t=linspace(0,2*pi,70);
x=2*cos(t);
y=3*sin(t);
%Definimos el punto de curvatura máxima
P=[0,3];
%Calculamos el vector normal
n=[0,-1];
%Curvatura y el radio de curvatura
curv=0.75;
R=1/curv;
disp(R)
%Centro de curvatura
Q=P+R*n;
disp(Q)
%Parametrización de la circunferencia osculatriz
tt=linspace(0,2*pi,70);
xx=R*cos(tt)+Q(1);
yy=R*sin(tt)+Q(2);
%Graficas
figure
hold on
plot(x,y,'b','linewidth',2);%Curva
plot(xx,yy,'r','linewidth',3);%Circunferencia osculatriz
plot(P(1),P(2),'og','linewidth',5);%Punto
axis equal
grid on
xlabel('X')
ylabel('Y')
hold off
title('Circunferencia osculatriz')
}}

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

== La elipse y su uso en la ingeniería ==
La elipse es una curva plana y cerrada que representa el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

En la ingeniería, y más concretamente en la ingeniería civil, se utiliza por sus propiedades geométricas y estructurales únicas. Por ejemplo, debido a su buena resistencia y su capacidad para distribuir cargas, muchos puentes, arcos y bóvedas tienen forma de elipse. Esto se debe a que su curvatura minimiza las tensiones concentradas y mejora la estabilidad estructural.
[[Archivo:Puente santa trinita.jpg|miniaturadeimagen|Puente Santa Trinila]]

* Esta forma también resulta útil en los túneles, los cuales están sometidos a presiones heterogéneas por la forma desigual del terreno.
* La forma elipsoidal permite optimizar el flujo de fluidos ya que reduce la resistencia y mejora la eficiencia, por eso es común su uso en tuberías, puertos y presas.
* Además, la elipse es una forma que optimiza el espacio, maximizando el área utilizable en lugares con espacio limitado, como en túneles ferroviarios.
* Las propiedades geométricas de la elipse facilitan en gran cantidad el análisis estructural y la predicción del comportamiento bajo carga.
* Sin embargo, su uso más conocido está relacionado con la estética. La elipse es una forma agradable y poco agresiva para la vista. Combinada con otras formas, puede crear conjuntos visualmente atractivos, siendo habitual su utilización en fachadas de iglesias o como elemento decorativo en puentes.

En conclusión, la elipse se ha convertido en una forma esencial en la ingeniería civil, gracias a su combinación de funcionalidad, capacidad para optimizar estructuras y por su estética agradable para la vista.
[[Archivo:Tunel de chamartin.jpg|400px|thumb|left||Túnel de Chamartín]]
[[Archivo:Mezquita-Cordoba-1.jpg|400px|thumb|right|Mezquita de Cordoba]]
[[Archivo:Presa eliptica.jpg|miniaturadeimagen|400px|thumb|center|Presa de gravedad con forma elíptica]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-12-06T18:21:45Z

Rubén Maleno Ayala: /* Comprobación de ortonormalidad */

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|450px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 = aq \cos \psi \\
x_2 = bq \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

Para calcular los diferentes campos de velocidad derivaremos la parametrización calculada anteriormente respecto a cada variable $q, \psi$ y $z$.

Cálculo de $\gamma_q' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial q},
\frac{\partial x_2}{\partial q},
\frac{\partial x_3}{\partial q}
\right) = \left( 2 \cos \psi, 3 \sin \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_\psi' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial \psi},
\frac{\partial x_2}{\partial \psi},
\frac{\partial x_3}{\partial \psi}
\right) = \left( -2q \sin \psi, 3q \cos \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_z' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial z},
\frac{\partial x_2}{\partial z},
\frac{\partial x_3}{\partial z}
\right) = \left( 0, 0, 1 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_z = \vec{k}}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad $\gamma'_q, \gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$.

Para calcular $|\gamma'_q| \Longrightarrow$
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \Rightarrow \boxed{h_q = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}
</math>

Para calcular $|\gamma'_\psi| \Longrightarrow$
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi} \Rightarrow \boxed{h_\psi = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
</math>

Para calcular $|\gamma'_z| \Longrightarrow$
<math>
\boxed{h_z = 1}
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como $ \vec{t} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} $, aunque cambiaremos la notación.

Para $\vec{e}_q\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q} = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}
</math>

Para $\vec{e}_\psi\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi} = \frac{(-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
</math>

Para $\vec{e}_z\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \vec{k}
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

Para que la base $\{\vec{e}_q, \vec{e}_\psi, \vec{e}_z\}$ sea ortonormal, sus módulos deben ser igual a 1 y que sean ortogonales entre sí. Hemos calculado antes que el único módulo unitario es $\vec{e}_z $, por lo tanto no cumple la primera propiedad, aún así, comprobaremos si son ortognales.

Cálculo de $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}=0 \Rightarrow\ \psi = n \frac{\pi}{2}, \; n \in \mathbb{Z}

</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

Cálculo de $\vec{e}_z \cdot \vec{e}_\psi$ y $\vec{e}_z \cdot \vec{e}_q\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:TrabajoCCE.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

x1_q = a * q; % Línea γ_q (q variable, ψ fijo)
x2_q = b * q * sin(psi0); % x2 es constante para ψ fijo

x1_psi = a * q0 * cos(psi); % Línea γ_ψ (ψ variable, q fijo)
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (paralela a eje q)
tangente_q = [a; 0];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q); % Normalización

% Tangente a γ_ψ (paralela a eje ψ)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi); % Normalización

% Rango para centrar el punto
x_range = 1.5; % Valor para tamaño deseado del rango
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto de arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside'); % Leyenda
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]); % Centrar x_1 en el punto
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]); % Centrar x_2 en el punto
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada (con t∈R3) y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|400px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==
=== Curvatura ===
Teniendo la parametrización de la curva:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>
cuyas componentes son $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula:
<math>
\kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}
</math>

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

<math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>

[[Archivo:Curvaturafin.jpg|450px|thumb|right|Figura 4: Curvatura k(t).]]

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}

=== Puntos de mayor y menor curvatura ===
Analizando la función <math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>
podemos identificar que la curvatura de la función depende de $cos^2(t)$, el cual varía entre 0 y 1:

Cuando $cos^2(t) = 1$, $k(t)$ es mínima. Esto ocurre en $ t = 0,π,2π$

Cuando $cos^2(t) = 0$, $k(t)$ es máxima. Esto ocurre en $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

Como resultado tenemos:

Los puntos de menor curvatura de $k(t)$ son $ t = 0,π,2π$

Los puntos de mayor curvatura de $k(t)$ son $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==
La osculatriz (también conocida como circulo osculador) de una curva en un punto dado de esta, es una circunferencia, cuyo centro pertenece a la recta normal a la curva en dicho punto y tiene la misma curvatura y es tangente a la curva en ese punto.

* El centro y radio de la circunferencia osculatriz se les conoce como: centro de curvatura y radio de curvatura respectivamente.
* El plano que contiene a la circunferencia es el plano osculador.

En el caso de nuestra curva, esta tiene múltiples puntos donde su curvatura es máxima, por lo que utilizaremos uno cualquiera como el punto P[0,3], en donde la curvatura es maxima.

[[Archivo:Elipse 7.jpg|500px|thumb|right|miniaturadeimagen|Circunferencua Osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%Definimos la parametrización
t=linspace(0,2*pi,70);
x=2*cos(t);
y=3*sin(t);
%Definimos el punto de curvatura máxima
P=[0,3];
%Calculamos el vector normal
n=[0,-1];
%Curvatura y el radio de curvatura
curv=0.75;
R=1/curv;
disp(R)
%Centro de curvatura
Q=P+R*n;
disp(Q)
%Parametrización de la circunferencia osculatriz
tt=linspace(0,2*pi,70);
xx=R*cos(tt)+Q(1);
yy=R*sin(tt)+Q(2);
%Graficas
figure
hold on
plot(x,y,'b','linewidth',2);%Curva
plot(xx,yy,'r','linewidth',3);%Circunferencia osculatriz
plot(P(1),P(2),'og','linewidth',5);%Punto
axis equal
grid on
xlabel('X')
ylabel('Y')
hold off
title('Circunferencia osculatriz')
}}

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

== La elipse y su uso en la ingeniería ==
La elipse es una curva plana y cerrada que representa el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

En la ingeniería, y más concretamente en la ingeniería civil, se utiliza por sus propiedades geométricas y estructurales únicas. Por ejemplo, debido a su buena resistencia y su capacidad para distribuir cargas, muchos puentes, arcos y bóvedas tienen forma de elipse. Esto se debe a que su curvatura minimiza las tensiones concentradas y mejora la estabilidad estructural.
[[Archivo:Puente santa trinita.jpg|miniaturadeimagen|Puente Santa Trinila]]

* Esta forma también resulta útil en los túneles, los cuales están sometidos a presiones heterogéneas por la forma desigual del terreno.
* La forma elipsoidal permite optimizar el flujo de fluidos ya que reduce la resistencia y mejora la eficiencia, por eso es común su uso en tuberías, puertos y presas.
* Además, la elipse es una forma que optimiza el espacio, maximizando el área utilizable en lugares con espacio limitado, como en túneles ferroviarios.
* Las propiedades geométricas de la elipse facilitan en gran cantidad el análisis estructural y la predicción del comportamiento bajo carga.
* Sin embargo, su uso más conocido está relacionado con la estética. La elipse es una forma agradable y poco agresiva para la vista. Combinada con otras formas, puede crear conjuntos visualmente atractivos, siendo habitual su utilización en fachadas de iglesias o como elemento decorativo en puentes.

En conclusión, la elipse se ha convertido en una forma esencial en la ingeniería civil, gracias a su combinación de funcionalidad, capacidad para optimizar estructuras y por su estética agradable para la vista.
[[Archivo:Tunel de chamartin.jpg|400px|thumb|left||Túnel de Chamartín]]
[[Archivo:Mezquita-Cordoba-1.jpg|400px|thumb|right|Mezquita de Cordoba]]
[[Archivo:Presa eliptica.jpg|miniaturadeimagen|400px|thumb|center|Presa de gravedad con forma elíptica]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-12-06T18:21:29Z

Rubén Maleno Ayala: /* Comprobación de ortonormalidad */

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|450px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 = aq \cos \psi \\
x_2 = bq \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

Para calcular los diferentes campos de velocidad derivaremos la parametrización calculada anteriormente respecto a cada variable $q, \psi$ y $z$.

Cálculo de $\gamma_q' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial q},
\frac{\partial x_2}{\partial q},
\frac{\partial x_3}{\partial q}
\right) = \left( 2 \cos \psi, 3 \sin \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_\psi' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial \psi},
\frac{\partial x_2}{\partial \psi},
\frac{\partial x_3}{\partial \psi}
\right) = \left( -2q \sin \psi, 3q \cos \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_z' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial z},
\frac{\partial x_2}{\partial z},
\frac{\partial x_3}{\partial z}
\right) = \left( 0, 0, 1 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_z = \vec{k}}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad $\gamma'_q, \gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$.

Para calcular $|\gamma'_q| \Longrightarrow$
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \Rightarrow \boxed{h_q = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}
</math>

Para calcular $|\gamma'_\psi| \Longrightarrow$
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi} \Rightarrow \boxed{h_\psi = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
</math>

Para calcular $|\gamma'_z| \Longrightarrow$
<math>
\boxed{h_z = 1}
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como $ \vec{t} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} $, aunque cambiaremos la notación.

Para $\vec{e}_q\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q} = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}
</math>

Para $\vec{e}_\psi\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi} = \frac{(-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
</math>

Para $\vec{e}_z\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \vec{k}
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

Para que la base $\{\vec{e}_q, \vec{e}_\psi, \vec{e}_z\}$ sea ortogonal, sus módulos deben ser igual a 1 y que sean ortogonales entre sí. Hemos calculado antes que el único módulo unitario es $\vec{e}_z $, por lo tanto no cumple la primera propiedad, aún así, comprobaremos si son ortognales.

Cálculo de $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}=0 \Rightarrow\ \psi = n \frac{\pi}{2}, \; n \in \mathbb{Z}

</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

Cálculo de $\vec{e}_z \cdot \vec{e}_\psi$ y $\vec{e}_z \cdot \vec{e}_q\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:TrabajoCCE.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

x1_q = a * q; % Línea γ_q (q variable, ψ fijo)
x2_q = b * q * sin(psi0); % x2 es constante para ψ fijo

x1_psi = a * q0 * cos(psi); % Línea γ_ψ (ψ variable, q fijo)
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (paralela a eje q)
tangente_q = [a; 0];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q); % Normalización

% Tangente a γ_ψ (paralela a eje ψ)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi); % Normalización

% Rango para centrar el punto
x_range = 1.5; % Valor para tamaño deseado del rango
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto de arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside'); % Leyenda
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]); % Centrar x_1 en el punto
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]); % Centrar x_2 en el punto
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada (con t∈R3) y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|400px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==
=== Curvatura ===
Teniendo la parametrización de la curva:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>
cuyas componentes son $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula:
<math>
\kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}
</math>

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

<math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>

[[Archivo:Curvaturafin.jpg|450px|thumb|right|Figura 4: Curvatura k(t).]]

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}

=== Puntos de mayor y menor curvatura ===
Analizando la función <math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>
podemos identificar que la curvatura de la función depende de $cos^2(t)$, el cual varía entre 0 y 1:

Cuando $cos^2(t) = 1$, $k(t)$ es mínima. Esto ocurre en $ t = 0,π,2π$

Cuando $cos^2(t) = 0$, $k(t)$ es máxima. Esto ocurre en $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

Como resultado tenemos:

Los puntos de menor curvatura de $k(t)$ son $ t = 0,π,2π$

Los puntos de mayor curvatura de $k(t)$ son $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==
La osculatriz (también conocida como circulo osculador) de una curva en un punto dado de esta, es una circunferencia, cuyo centro pertenece a la recta normal a la curva en dicho punto y tiene la misma curvatura y es tangente a la curva en ese punto.

* El centro y radio de la circunferencia osculatriz se les conoce como: centro de curvatura y radio de curvatura respectivamente.
* El plano que contiene a la circunferencia es el plano osculador.

En el caso de nuestra curva, esta tiene múltiples puntos donde su curvatura es máxima, por lo que utilizaremos uno cualquiera como el punto P[0,3], en donde la curvatura es maxima.

[[Archivo:Elipse 7.jpg|500px|thumb|right|miniaturadeimagen|Circunferencua Osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%Definimos la parametrización
t=linspace(0,2*pi,70);
x=2*cos(t);
y=3*sin(t);
%Definimos el punto de curvatura máxima
P=[0,3];
%Calculamos el vector normal
n=[0,-1];
%Curvatura y el radio de curvatura
curv=0.75;
R=1/curv;
disp(R)
%Centro de curvatura
Q=P+R*n;
disp(Q)
%Parametrización de la circunferencia osculatriz
tt=linspace(0,2*pi,70);
xx=R*cos(tt)+Q(1);
yy=R*sin(tt)+Q(2);
%Graficas
figure
hold on
plot(x,y,'b','linewidth',2);%Curva
plot(xx,yy,'r','linewidth',3);%Circunferencia osculatriz
plot(P(1),P(2),'og','linewidth',5);%Punto
axis equal
grid on
xlabel('X')
ylabel('Y')
hold off
title('Circunferencia osculatriz')
}}

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

== La elipse y su uso en la ingeniería ==
La elipse es una curva plana y cerrada que representa el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

En la ingeniería, y más concretamente en la ingeniería civil, se utiliza por sus propiedades geométricas y estructurales únicas. Por ejemplo, debido a su buena resistencia y su capacidad para distribuir cargas, muchos puentes, arcos y bóvedas tienen forma de elipse. Esto se debe a que su curvatura minimiza las tensiones concentradas y mejora la estabilidad estructural.
[[Archivo:Puente santa trinita.jpg|miniaturadeimagen|Puente Santa Trinila]]

* Esta forma también resulta útil en los túneles, los cuales están sometidos a presiones heterogéneas por la forma desigual del terreno.
* La forma elipsoidal permite optimizar el flujo de fluidos ya que reduce la resistencia y mejora la eficiencia, por eso es común su uso en tuberías, puertos y presas.
* Además, la elipse es una forma que optimiza el espacio, maximizando el área utilizable en lugares con espacio limitado, como en túneles ferroviarios.
* Las propiedades geométricas de la elipse facilitan en gran cantidad el análisis estructural y la predicción del comportamiento bajo carga.
* Sin embargo, su uso más conocido está relacionado con la estética. La elipse es una forma agradable y poco agresiva para la vista. Combinada con otras formas, puede crear conjuntos visualmente atractivos, siendo habitual su utilización en fachadas de iglesias o como elemento decorativo en puentes.

En conclusión, la elipse se ha convertido en una forma esencial en la ingeniería civil, gracias a su combinación de funcionalidad, capacidad para optimizar estructuras y por su estética agradable para la vista.
[[Archivo:Tunel de chamartin.jpg|400px|thumb|left||Túnel de Chamartín]]
[[Archivo:Mezquita-Cordoba-1.jpg|400px|thumb|right|Mezquita de Cordoba]]
[[Archivo:Presa eliptica.jpg|miniaturadeimagen|400px|thumb|center|Presa de gravedad con forma elíptica]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-12-06T18:06:59Z

Rubén Maleno Ayala: /* Vectores tangentes normalizados */

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|450px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 = aq \cos \psi \\
x_2 = bq \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

Para calcular los diferentes campos de velocidad derivaremos la parametrización calculada anteriormente respecto a cada variable $q, \psi$ y $z$.

Cálculo de $\gamma_q' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial q},
\frac{\partial x_2}{\partial q},
\frac{\partial x_3}{\partial q}
\right) = \left( 2 \cos \psi, 3 \sin \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_\psi' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial \psi},
\frac{\partial x_2}{\partial \psi},
\frac{\partial x_3}{\partial \psi}
\right) = \left( -2q \sin \psi, 3q \cos \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_z' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial z},
\frac{\partial x_2}{\partial z},
\frac{\partial x_3}{\partial z}
\right) = \left( 0, 0, 1 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_z = \vec{k}}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad $\gamma'_q, \gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$.

Para calcular $|\gamma'_q| \Longrightarrow$
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \Rightarrow \boxed{h_q = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}
</math>

Para calcular $|\gamma'_\psi| \Longrightarrow$
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi} \Rightarrow \boxed{h_\psi = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
</math>

Para calcular $|\gamma'_z| \Longrightarrow$
<math>
\boxed{h_z = 1}
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como $ \vec{t} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} $, aunque cambiaremos la notación.

Para $\vec{e}_q\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q} = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}
</math>

Para $\vec{e}_\psi\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi} = \frac{(-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
</math>

Para $\vec{e}_z\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \vec{k}
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

1. ''Producto escalar'' $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}.
</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

2. ''Producto escalar con'' $\vec{e}_z$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:TrabajoCCE.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

x1_q = a * q; % Línea γ_q (q variable, ψ fijo)
x2_q = b * q * sin(psi0); % x2 es constante para ψ fijo

x1_psi = a * q0 * cos(psi); % Línea γ_ψ (ψ variable, q fijo)
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (paralela a eje q)
tangente_q = [a; 0];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q); % Normalización

% Tangente a γ_ψ (paralela a eje ψ)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi); % Normalización

% Rango para centrar el punto
x_range = 1.5; % Valor para tamaño deseado del rango
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto de arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside'); % Leyenda
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]); % Centrar x_1 en el punto
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]); % Centrar x_2 en el punto
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada (con t∈R3) y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|400px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==
=== Curvatura ===
Teniendo la parametrización de la curva:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>
cuyas componentes son $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula:
<math>
\kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}
</math>

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

<math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>

[[Archivo:Curvaturafin.jpg|450px|thumb|right|Figura 4: Curvatura k(t).]]

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}

=== Puntos de mayor y menor curvatura ===
Analizando la función <math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>
podemos identificar que la curvatura de la función depende de $cos^2(t)$, el cual varía entre 0 y 1:

Cuando $cos^2(t) = 1$, $k(t)$ es mínima. Esto ocurre en $ t = 0,π,2π$

Cuando $cos^2(t) = 0$, $k(t)$ es máxima. Esto ocurre en $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

Como resultado tenemos:

Los puntos de menor curvatura de $k(t)$ son $ t = 0,π,2π$

Los puntos de mayor curvatura de $k(t)$ son $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==
La osculatriz (también conocida como circulo osculador) de una curva en un punto dado de esta, es una circunferencia, cuyo centro pertenece a la recta normal a la curva en dicho punto y tiene la misma curvatura y es tangente a la curva en ese punto.

* El centro y radio de la circunferencia osculatriz se les conoce como: centro de curvatura y radio de curvatura respectivamente.
* El plano que contiene a la circunferencia es el plano osculador.

En el caso de nuestra curva, esta tiene múltiples puntos donde su curvatura es máxima, por lo que utilizaremos uno cualquiera como el punto P[0,3], en donde la curvatura es maxima.

[[Archivo:Elipse 7.jpg|500px|thumb|right|miniaturadeimagen|Circunferencua Osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%Definimos la parametrización
t=linspace(0,2*pi,70);
x=2*cos(t);
y=3*sin(t);
%Definimos el punto de curvatura máxima
P=[0,3];
%Calculamos el vector normal
n=[0,-1];
%Curvatura y el radio de curvatura
curv=0.75;
R=1/curv;
disp(R)
%Centro de curvatura
Q=P+R*n;
disp(Q)
%Parametrización de la circunferencia osculatriz
tt=linspace(0,2*pi,70);
xx=R*cos(tt)+Q(1);
yy=R*sin(tt)+Q(2);
%Graficas
figure
hold on
plot(x,y,'b','linewidth',2);%Curva
plot(xx,yy,'r','linewidth',3);%Circunferencia osculatriz
plot(P(1),P(2),'og','linewidth',5);%Punto
axis equal
grid on
xlabel('X')
ylabel('Y')
hold off
title('Circunferencia osculatriz')
}}

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

== La elipse y su uso en la ingeniería ==
La elipse es una curva plana y cerrada que representa el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

En la ingeniería, y más concretamente en la ingeniería civil, se utiliza por sus propiedades geométricas y estructurales únicas. Por ejemplo, debido a su buena resistencia y su capacidad para distribuir cargas, muchos puentes, arcos y bóvedas tienen forma de elipse. Esto se debe a que su curvatura minimiza las tensiones concentradas y mejora la estabilidad estructural.
[[Archivo:Puente santa trinita.jpg|miniaturadeimagen|Puente Santa Trinila]]

* Esta forma también resulta útil en los túneles, los cuales están sometidos a presiones heterogéneas por la forma desigual del terreno.
* La forma elipsoidal permite optimizar el flujo de fluidos ya que reduce la resistencia y mejora la eficiencia, por eso es común su uso en tuberías, puertos y presas.
* Además, la elipse es una forma que optimiza el espacio, maximizando el área utilizable en lugares con espacio limitado, como en túneles ferroviarios.
* Las propiedades geométricas de la elipse facilitan en gran cantidad el análisis estructural y la predicción del comportamiento bajo carga.
* Sin embargo, su uso más conocido está relacionado con la estética. La elipse es una forma agradable y poco agresiva para la vista. Combinada con otras formas, puede crear conjuntos visualmente atractivos, siendo habitual su utilización en fachadas de iglesias o como elemento decorativo en puentes.

En conclusión, la elipse se ha convertido en una forma esencial en la ingeniería civil, gracias a su combinación de funcionalidad, capacidad para optimizar estructuras y por su estética agradable para la vista.
[[Archivo:Tunel de chamartin.jpg|400px|thumb|left||Túnel de Chamartín]]
[[Archivo:Mezquita-Cordoba-1.jpg|400px|thumb|right|Mezquita de Cordoba]]
[[Archivo:Presa eliptica.jpg|miniaturadeimagen|400px|thumb|center|Presa de gravedad con forma elíptica]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-12-06T17:55:54Z

Rubén Maleno Ayala: /* Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ */

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|450px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 = aq \cos \psi \\
x_2 = bq \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

Para calcular los diferentes campos de velocidad derivaremos la parametrización calculada anteriormente respecto a cada variable $q, \psi$ y $z$.

Cálculo de $\gamma_q' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial q},
\frac{\partial x_2}{\partial q},
\frac{\partial x_3}{\partial q}
\right) = \left( 2 \cos \psi, 3 \sin \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_\psi' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial \psi},
\frac{\partial x_2}{\partial \psi},
\frac{\partial x_3}{\partial \psi}
\right) = \left( -2q \sin \psi, 3q \cos \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_z' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial z},
\frac{\partial x_2}{\partial z},
\frac{\partial x_3}{\partial z}
\right) = \left( 0, 0, 1 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_z = \vec{k}}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad $\gamma'_q, \gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$.

Para calcular $|\gamma'_q| \Longrightarrow$
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \Rightarrow \boxed{h_q = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}
</math>

Para calcular $|\gamma'_\psi| \Longrightarrow$
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi} \Rightarrow \boxed{h_\psi = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
</math>

Para calcular $|\gamma'_z| \Longrightarrow$
<math>
\boxed{h_z = 1}
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como:
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q}, \quad \vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi}, \quad \vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}.
</math>

1. Para $\vec{e}_q$:
<math>
\gamma'_q \Rightarrow \vec{e}_q = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}.
</math>

2. Para $\vec{e}_\psi$:
<math>
\gamma'_\psi \Rightarrow \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \sin \psi) \vec{i} + (3 \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}.
</math>

3. Para $\vec{e}_z$:
<math>
\gamma'_z \Rightarrow \vec{e}_z = \vec{k}.
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

1. ''Producto escalar'' $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}.
</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

2. ''Producto escalar con'' $\vec{e}_z$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:TrabajoCCE.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

x1_q = a * q; % Línea γ_q (q variable, ψ fijo)
x2_q = b * q * sin(psi0); % x2 es constante para ψ fijo

x1_psi = a * q0 * cos(psi); % Línea γ_ψ (ψ variable, q fijo)
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (paralela a eje q)
tangente_q = [a; 0];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q); % Normalización

% Tangente a γ_ψ (paralela a eje ψ)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi); % Normalización

% Rango para centrar el punto
x_range = 1.5; % Valor para tamaño deseado del rango
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto de arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside'); % Leyenda
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]); % Centrar x_1 en el punto
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]); % Centrar x_2 en el punto
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada (con t∈R3) y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|400px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==
=== Curvatura ===
Teniendo la parametrización de la curva:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>
cuyas componentes son $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula:
<math>
\kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}
</math>

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

<math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>

[[Archivo:Curvaturafin.jpg|450px|thumb|right|Figura 4: Curvatura k(t).]]

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}

=== Puntos de mayor y menor curvatura ===
Analizando la función <math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>
podemos identificar que la curvatura de la función depende de $cos^2(t)$, el cual varía entre 0 y 1:

Cuando $cos^2(t) = 1$, $k(t)$ es mínima. Esto ocurre en $ t = 0,π,2π$

Cuando $cos^2(t) = 0$, $k(t)$ es máxima. Esto ocurre en $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

Como resultado tenemos:

Los puntos de menor curvatura de $k(t)$ son $ t = 0,π,2π$

Los puntos de mayor curvatura de $k(t)$ son $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==
La osculatriz (también conocida como circulo osculador) de una curva en un punto dado de esta, es una circunferencia, cuyo centro pertenece a la recta normal a la curva en dicho punto y tiene la misma curvatura y es tangente a la curva en ese punto.

* El centro y radio de la circunferencia osculatriz se les conoce como: centro de curvatura y radio de curvatura respectivamente.
* El plano que contiene a la circunferencia es el plano osculador.

En el caso de nuestra curva, esta tiene múltiples puntos donde su curvatura es máxima, por lo que utilizaremos uno cualquiera como el punto P[0,3], en donde la curvatura es maxima.

[[Archivo:Elipse 7.jpg|500px|thumb|right|miniaturadeimagen|Circunferencua Osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%Definimos la parametrización
t=linspace(0,2*pi,70);
x=2*cos(t);
y=3*sin(t);
%Definimos el punto de curvatura máxima
P=[0,3];
%Calculamos el vector normal
n=[0,-1];
%Curvatura y el radio de curvatura
curv=0.75;
R=1/curv;
disp(R)
%Centro de curvatura
Q=P+R*n;
disp(Q)
%Parametrización de la circunferencia osculatriz
tt=linspace(0,2*pi,70);
xx=R*cos(tt)+Q(1);
yy=R*sin(tt)+Q(2);
%Graficas
figure
hold on
plot(x,y,'b','linewidth',2);%Curva
plot(xx,yy,'r','linewidth',3);%Circunferencia osculatriz
plot(P(1),P(2),'og','linewidth',5);%Punto
axis equal
grid on
xlabel('X')
ylabel('Y')
hold off
title('Circunferencia osculatriz')
}}

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

== La elipse y su uso en la ingeniería ==
La elipse es una curva plana y cerrada que representa el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

En la ingeniería, y más concretamente en la ingeniería civil, se utiliza por sus propiedades geométricas y estructurales únicas. Por ejemplo, debido a su buena resistencia y su capacidad para distribuir cargas, muchos puentes, arcos y bóvedas tienen forma de elipse. Esto se debe a que su curvatura minimiza las tensiones concentradas y mejora la estabilidad estructural.
[[Archivo:Puente santa trinita.jpg|miniaturadeimagen|Puente Santa Trinila]]

* Esta forma también resulta útil en los túneles, los cuales están sometidos a presiones heterogéneas por la forma desigual del terreno.
* La forma elipsoidal permite optimizar el flujo de fluidos ya que reduce la resistencia y mejora la eficiencia, por eso es común su uso en tuberías, puertos y presas.
* Además, la elipse es una forma que optimiza el espacio, maximizando el área utilizable en lugares con espacio limitado, como en túneles ferroviarios.
* Las propiedades geométricas de la elipse facilitan en gran cantidad el análisis estructural y la predicción del comportamiento bajo carga.
* Sin embargo, su uso más conocido está relacionado con la estética. La elipse es una forma agradable y poco agresiva para la vista. Combinada con otras formas, puede crear conjuntos visualmente atractivos, siendo habitual su utilización en fachadas de iglesias o como elemento decorativo en puentes.

En conclusión, la elipse se ha convertido en una forma esencial en la ingeniería civil, gracias a su combinación de funcionalidad, capacidad para optimizar estructuras y por su estética agradable para la vista.
[[Archivo:Tunel de chamartin.jpg|400px|thumb|left||Túnel de Chamartín]]
[[Archivo:Mezquita-Cordoba-1.jpg|400px|thumb|right|Mezquita de Cordoba]]
[[Archivo:Presa eliptica.jpg|miniaturadeimagen|400px|thumb|center|Presa de gravedad con forma elíptica]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-12-06T17:49:31Z

Rubén Maleno Ayala: /* Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ */

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|450px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 = aq \cos \psi \\
x_2 = bq \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

Para calcular los diferentes campos de velocidad derivaremos la parametrización calculada anteriormente respecto a cada variable $q, \psi$ y $z$.

Cálculo de $\gamma_q' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial q},
\frac{\partial x_2}{\partial q},
\frac{\partial x_3}{\partial q}
\right) = \left( 2 \cos \psi, 3 \sin \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_\psi' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial \psi},
\frac{\partial x_2}{\partial \psi},
\frac{\partial x_3}{\partial \psi}
\right) = \left( -2q \sin \psi, 3q \cos \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_z' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial z},
\frac{\partial x_2}{\partial z},
\frac{\partial x_3}{\partial z}
\right) = \left( 0, 0, 1 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_z = \vec{k}}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad $\gamma'_q, \gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$.

Para calcular $\gamma'_q\ \Longrightarrow$
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \Rightarrow \boxed{|\gamma'_q| = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}
</math>

Para calcular $\gamma'_\psi\ \Longrightarrow$
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi} \Rightarrow \boxed{|\gamma'_\psi| = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
</math>

Para calcular $\gamma'_z\ \Longrightarrow$
<math>
h_z = \boxed{|\gamma'_z| = 1}
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como:
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q}, \quad \vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi}, \quad \vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}.
</math>

1. Para $\vec{e}_q$:
<math>
\gamma'_q \Rightarrow \vec{e}_q = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}.
</math>

2. Para $\vec{e}_\psi$:
<math>
\gamma'_\psi \Rightarrow \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \sin \psi) \vec{i} + (3 \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}.
</math>

3. Para $\vec{e}_z$:
<math>
\gamma'_z \Rightarrow \vec{e}_z = \vec{k}.
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

1. ''Producto escalar'' $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}.
</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

2. ''Producto escalar con'' $\vec{e}_z$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:TrabajoCCE.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

x1_q = a * q; % Línea γ_q (q variable, ψ fijo)
x2_q = b * q * sin(psi0); % x2 es constante para ψ fijo

x1_psi = a * q0 * cos(psi); % Línea γ_ψ (ψ variable, q fijo)
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (paralela a eje q)
tangente_q = [a; 0];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q); % Normalización

% Tangente a γ_ψ (paralela a eje ψ)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi); % Normalización

% Rango para centrar el punto
x_range = 1.5; % Valor para tamaño deseado del rango
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto de arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside'); % Leyenda
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]); % Centrar x_1 en el punto
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]); % Centrar x_2 en el punto
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada (con t∈R3) y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|400px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==
=== Curvatura ===
Teniendo la parametrización de la curva:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>
cuyas componentes son $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula:
<math>
\kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}
</math>

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

<math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>

[[Archivo:Curvaturafin.jpg|450px|thumb|right|Figura 4: Curvatura k(t).]]

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}

=== Puntos de mayor y menor curvatura ===
Analizando la función <math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>
podemos identificar que la curvatura de la función depende de $cos^2(t)$, el cual varía entre 0 y 1:

Cuando $cos^2(t) = 1$, $k(t)$ es mínima. Esto ocurre en $ t = 0,π,2π$

Cuando $cos^2(t) = 0$, $k(t)$ es máxima. Esto ocurre en $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

Como resultado tenemos:

Los puntos de menor curvatura de $k(t)$ son $ t = 0,π,2π$

Los puntos de mayor curvatura de $k(t)$ son $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==
La osculatriz (también conocida como circulo osculador) de una curva en un punto dado de esta, es una circunferencia, cuyo centro pertenece a la recta normal a la curva en dicho punto y tiene la misma curvatura y es tangente a la curva en ese punto.

* El centro y radio de la circunferencia osculatriz se les conoce como: centro de curvatura y radio de curvatura respectivamente.
* El plano que contiene a la circunferencia es el plano osculador.

En el caso de nuestra curva, esta tiene múltiples puntos donde su curvatura es máxima, por lo que utilizaremos uno cualquiera como el punto P[0,3], en donde la curvatura es maxima.

[[Archivo:Elipse 7.jpg|500px|thumb|right|miniaturadeimagen|Circunferencua Osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%Definimos la parametrización
t=linspace(0,2*pi,70);
x=2*cos(t);
y=3*sin(t);
%Definimos el punto de curvatura máxima
P=[0,3];
%Calculamos el vector normal
n=[0,-1];
%Curvatura y el radio de curvatura
curv=0.75;
R=1/curv;
disp(R)
%Centro de curvatura
Q=P+R*n;
disp(Q)
%Parametrización de la circunferencia osculatriz
tt=linspace(0,2*pi,70);
xx=R*cos(tt)+Q(1);
yy=R*sin(tt)+Q(2);
%Graficas
figure
hold on
plot(x,y,'b','linewidth',2);%Curva
plot(xx,yy,'r','linewidth',3);%Circunferencia osculatriz
plot(P(1),P(2),'og','linewidth',5);%Punto
axis equal
grid on
xlabel('X')
ylabel('Y')
hold off
title('Circunferencia osculatriz')
}}

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

== La elipse y su uso en la ingeniería ==
La elipse es una curva plana y cerrada que representa el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

En la ingeniería, y más concretamente en la ingeniería civil, se utiliza por sus propiedades geométricas y estructurales únicas. Por ejemplo, debido a su buena resistencia y su capacidad para distribuir cargas, muchos puentes, arcos y bóvedas tienen forma de elipse. Esto se debe a que su curvatura minimiza las tensiones concentradas y mejora la estabilidad estructural.
[[Archivo:Puente santa trinita.jpg|miniaturadeimagen|Puente Santa Trinila]]

* Esta forma también resulta útil en los túneles, los cuales están sometidos a presiones heterogéneas por la forma desigual del terreno.
* La forma elipsoidal permite optimizar el flujo de fluidos ya que reduce la resistencia y mejora la eficiencia, por eso es común su uso en tuberías, puertos y presas.
* Además, la elipse es una forma que optimiza el espacio, maximizando el área utilizable en lugares con espacio limitado, como en túneles ferroviarios.
* Las propiedades geométricas de la elipse facilitan en gran cantidad el análisis estructural y la predicción del comportamiento bajo carga.
* Sin embargo, su uso más conocido está relacionado con la estética. La elipse es una forma agradable y poco agresiva para la vista. Combinada con otras formas, puede crear conjuntos visualmente atractivos, siendo habitual su utilización en fachadas de iglesias o como elemento decorativo en puentes.

En conclusión, la elipse se ha convertido en una forma esencial en la ingeniería civil, gracias a su combinación de funcionalidad, capacidad para optimizar estructuras y por su estética agradable para la vista.
[[Archivo:Tunel de chamartin.jpg|400px|thumb|left||Túnel de Chamartín]]
[[Archivo:Mezquita-Cordoba-1.jpg|400px|thumb|right|Mezquita de Cordoba]]
[[Archivo:Presa eliptica.jpg|miniaturadeimagen|400px|thumb|center|Presa de gravedad con forma elíptica]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-12-06T17:40:26Z

Rubén Maleno Ayala: /* Campos velocidad */

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|450px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 = aq \cos \psi \\
x_2 = bq \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

Para calcular los diferentes campos de velocidad derivaremos la parametrización calculada anteriormente respecto a cada variable $q, \psi$ y $z$.

Cálculo de $\gamma_q' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial q},
\frac{\partial x_2}{\partial q},
\frac{\partial x_3}{\partial q}
\right) = \left( 2 \cos \psi, 3 \sin \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_\psi' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial \psi},
\frac{\partial x_2}{\partial \psi},
\frac{\partial x_3}{\partial \psi}
\right) = \left( -2q \sin \psi, 3q \cos \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_z' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial z},
\frac{\partial x_2}{\partial z},
\frac{\partial x_3}{\partial z}
\right) = \left( 0, 0, 1 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_z = \vec{k}}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad:

1. Para $\gamma'_q$:
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}.
</math>

2. Para $\gamma'_\psi$:
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}.
</math>

3. Para $\gamma'_z$:
<math>
h_z = |\gamma'_z| = 1.
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como:
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q}, \quad \vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi}, \quad \vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}.
</math>

1. Para $\vec{e}_q$:
<math>
\gamma'_q \Rightarrow \vec{e}_q = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}.
</math>

2. Para $\vec{e}_\psi$:
<math>
\gamma'_\psi \Rightarrow \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \sin \psi) \vec{i} + (3 \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}.
</math>

3. Para $\vec{e}_z$:
<math>
\gamma'_z \Rightarrow \vec{e}_z = \vec{k}.
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

1. ''Producto escalar'' $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}.
</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

2. ''Producto escalar con'' $\vec{e}_z$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:TrabajoCCE.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

x1_q = a * q; % Línea γ_q (q variable, ψ fijo)
x2_q = b * q * sin(psi0); % x2 es constante para ψ fijo

x1_psi = a * q0 * cos(psi); % Línea γ_ψ (ψ variable, q fijo)
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (paralela a eje q)
tangente_q = [a; 0];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q); % Normalización

% Tangente a γ_ψ (paralela a eje ψ)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi); % Normalización

% Rango para centrar el punto
x_range = 1.5; % Valor para tamaño deseado del rango
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto de arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside'); % Leyenda
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]); % Centrar x_1 en el punto
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]); % Centrar x_2 en el punto
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada (con t∈R3) y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|400px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==
=== Curvatura ===
Teniendo la parametrización de la curva:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>
cuyas componentes son $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula:
<math>
\kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}
</math>

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

<math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>

[[Archivo:Curvaturafin.jpg|450px|thumb|right|Figura 4: Curvatura k(t).]]

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}

=== Puntos de mayor y menor curvatura ===
Analizando la función <math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>
podemos identificar que la curvatura de la función depende de $cos^2(t)$, el cual varía entre 0 y 1:

Cuando $cos^2(t) = 1$, $k(t)$ es mínima. Esto ocurre en $ t = 0,π,2π$

Cuando $cos^2(t) = 0$, $k(t)$ es máxima. Esto ocurre en $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

Como resultado tenemos:

Los puntos de menor curvatura de $k(t)$ son $ t = 0,π,2π$

Los puntos de mayor curvatura de $k(t)$ son $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==
La osculatriz (también conocida como circulo osculador) de una curva en un punto dado de esta, es una circunferencia, cuyo centro pertenece a la recta normal a la curva en dicho punto y tiene la misma curvatura y es tangente a la curva en ese punto.

* El centro y radio de la circunferencia osculatriz se les conoce como: centro de curvatura y radio de curvatura respectivamente.
* El plano que contiene a la circunferencia es el plano osculador.

En el caso de nuestra curva, esta tiene múltiples puntos donde su curvatura es máxima, por lo que utilizaremos uno cualquiera como el punto P[0,3], en donde la curvatura es maxima.

[[Archivo:Elipse 7.jpg|500px|thumb|right|miniaturadeimagen|Circunferencua Osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%Definimos la parametrización
t=linspace(0,2*pi,70);
x=2*cos(t);
y=3*sin(t);
%Definimos el punto de curvatura máxima
P=[0,3];
%Calculamos el vector normal
n=[0,-1];
%Curvatura y el radio de curvatura
curv=0.75;
R=1/curv;
disp(R)
%Centro de curvatura
Q=P+R*n;
disp(Q)
%Parametrización de la circunferencia osculatriz
tt=linspace(0,2*pi,70);
xx=R*cos(tt)+Q(1);
yy=R*sin(tt)+Q(2);
%Graficas
figure
hold on
plot(x,y,'b','linewidth',2);%Curva
plot(xx,yy,'r','linewidth',3);%Circunferencia osculatriz
plot(P(1),P(2),'og','linewidth',5);%Punto
axis equal
grid on
xlabel('X')
ylabel('Y')
hold off
title('Circunferencia osculatriz')
}}

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

== La elipse y su uso en la ingeniería ==
La elipse es una curva plana y cerrada que representa el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

En la ingeniería, y más concretamente en la ingeniería civil, se utiliza por sus propiedades geométricas y estructurales únicas. Por ejemplo, debido a su buena resistencia y su capacidad para distribuir cargas, muchos puentes, arcos y bóvedas tienen forma de elipse. Esto se debe a que su curvatura minimiza las tensiones concentradas y mejora la estabilidad estructural.
[[Archivo:Puente santa trinita.jpg|miniaturadeimagen|Puente Santa Trinila]]

* Esta forma también resulta útil en los túneles, los cuales están sometidos a presiones heterogéneas por la forma desigual del terreno.
* La forma elipsoidal permite optimizar el flujo de fluidos ya que reduce la resistencia y mejora la eficiencia, por eso es común su uso en tuberías, puertos y presas.
* Además, la elipse es una forma que optimiza el espacio, maximizando el área utilizable en lugares con espacio limitado, como en túneles ferroviarios.
* Las propiedades geométricas de la elipse facilitan en gran cantidad el análisis estructural y la predicción del comportamiento bajo carga.
* Sin embargo, su uso más conocido está relacionado con la estética. La elipse es una forma agradable y poco agresiva para la vista. Combinada con otras formas, puede crear conjuntos visualmente atractivos, siendo habitual su utilización en fachadas de iglesias o como elemento decorativo en puentes.

En conclusión, la elipse se ha convertido en una forma esencial en la ingeniería civil, gracias a su combinación de funcionalidad, capacidad para optimizar estructuras y por su estética agradable para la vista.
[[Archivo:Tunel de chamartin.jpg|400px|thumb|left||Túnel de Chamartín]]
[[Archivo:Mezquita-Cordoba-1.jpg|400px|thumb|right|Mezquita de Cordoba]]
[[Archivo:Presa eliptica.jpg|miniaturadeimagen|400px|thumb|center|Presa de gravedad con forma elíptica]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-12-05T15:33:38Z

Rubén Maleno Ayala: /* Puntos de mayor y menor curvatura */

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|450px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 = aq \cos \psi \\
x_2 = bq \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

1. ''Derivada respecto a $q$'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos \psi, \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin \psi, \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a $\psi$:''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2q \sin \psi, \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3q \cos \psi, \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a $z$:''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad:

1. Para $\gamma'_q$:
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}.
</math>

2. Para $\gamma'_\psi$:
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}.
</math>

3. Para $\gamma'_z$:
<math>
h_z = |\gamma'_z| = 1.
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como:
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q}, \quad \vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi}, \quad \vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}.
</math>

1. Para $\vec{e}_q$:
<math>
\gamma'_q \Rightarrow \vec{e}_q = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}.
</math>

2. Para $\vec{e}_\psi$:
<math>
\gamma'_\psi \Rightarrow \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \sin \psi) \vec{i} + (3 \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}.
</math>

3. Para $\vec{e}_z$:
<math>
\gamma'_z \Rightarrow \vec{e}_z = \vec{k}.
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

1. ''Producto escalar'' $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}.
</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

2. ''Producto escalar con'' $\vec{e}_z$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:TrabajoCCE.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

x1_q = a * q; % Línea γ_q (q variable, ψ fijo)
x2_q = b * q * sin(psi0); % x2 es constante para ψ fijo

x1_psi = a * q0 * cos(psi); % Línea γ_ψ (ψ variable, q fijo)
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (paralela a eje q)
tangente_q = [a; 0];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q); % Normalización

% Tangente a γ_ψ (paralela a eje ψ)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi); % Normalización

% Rango para centrar el punto
x_range = 1.5; % Valor para tamaño deseado del rango
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto de arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside'); % Leyenda
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]); % Centrar x_1 en el punto
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]); % Centrar x_2 en el punto
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|400px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==
=== Curvatura ===
Teniendo la parametrización de la curva:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>
cuyas componentes son $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula:
<math>
\kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}
</math>

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

<math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>

[[Archivo:Curvaturafin.jpg|450px|thumb|right|Figura 4: Curvatura k(t).]]

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}

=== Puntos de mayor y menor curvatura ===
Analizando la función <math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>
podemos identificar que la curvatura de la función depende de $cos^2(t)$, el cual varía entre 0 y 1:

Cuando $cos^2(t) = 1$, $k(t)$ es mínima. Esto ocurre en $ t = 0,π,2π$

Cuando $cos^2(t) = 0$, $k(t)$ es máxima. Esto ocurre en $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

Como resultado tenemos:

Los puntos de menor curvatura de $k(t)$ son $ t = 0,π,2π$

Los puntos de mayor curvatura de $k(t)$ son $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==
La osculatriz (también conocida como circulo osculador) de una curva en un punto dado de esta, es una circunferencia, cuyo centro pertenece a la recta normal a la curva en dicho punto y tiene la misma curvatura y es tangente a la curva en ese punto.

* El centro y radio de la circunferencia osculatriz se les conoce como: centro de curvatura y radio de curvatura respectivamente.
* El plano que contiene a la circunferencia es el plano osculador.

En el caso de nuestra curva, esta tiene múltiples puntos donde su curvatura es máxima, por lo que utilizaremos uno cualquiera como el punto P[2,0], en donde la curvatura

[[Archivo:Figura.7.png|500px|thumb|right|miniaturadeimagen|Circunferencua Osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%Definimos la parametrización
t=linspace(0,2*pi,70);
x=2*cos(t);
y=3*sin(t);
%Definimos el punto de curvatura máxima
P=[2,0];
%Calculamos el vector normal
n=[-1,0];
%Curvatura y el radio de curvatura
curv=0.75;
R=1/curv;
disp(R)
%Centro de curvatura
Q=P+R*n;
disp(Q)
%Parametrización de la circunferencia osculatriz
tt=linspace(0,2*pi,70);
xx=R*cos(tt)+Q(1);
yy=R*sin(tt)+Q(2);
%Graficas
figure
hold on
plot(x,y,'b','linewidth',2);%Curva
plot(xx,yy,'r','linewidth',3);%Circunferencia osculatriz
plot(P(1),P(2),'og','linewidth',5);%Punto
axis equal
grid on
xlabel('X')
ylabel('Y')
hold off
title('Circunferencia osculatriz')
}}

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

== La elipse y su uso en la ingeniería ==
La elipse es una curva plana y cerrada que representa el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

En la ingeniería, y más concretamente en la ingeniería civil, se utiliza por sus propiedades geométricas y estructurales únicas. Por ejemplo, debido a su buena resistencia y su capacidad para distribuir cargas, muchos puentes, arcos y bóvedas tienen forma de elipse. Esto se debe a que su curvatura minimiza las tensiones concentradas y mejora la estabilidad estructural.
[[Archivo:Puente santa trinita.jpg|miniaturadeimagen|Puente Santa Trinila]]

* Esta forma también resulta útil en los túneles, los cuales están sometidos a presiones heterogéneas por la forma desigual del terreno.
* La forma elipsoidal permite optimizar el flujo de fluidos ya que reduce la resistencia y mejora la eficiencia, por eso es común su uso en tuberías, puertos y presas.
* Además, la elipse es una forma que optimiza el espacio, maximizando el área utilizable en lugares con espacio limitado, como en túneles ferroviarios.
* Las propiedades geométricas de la elipse facilitan en gran cantidad el análisis estructural y la predicción del comportamiento bajo carga.
* Sin embargo, su uso más conocido está relacionado con la estética. La elipse es una forma agradable y poco agresiva para la vista. Combinada con otras formas, puede crear conjuntos visualmente atractivos, siendo habitual su utilización en fachadas de iglesias o como elemento decorativo en puentes.

En conclusión, la elipse se ha convertido en una forma esencial en la ingeniería civil, gracias a su combinación de funcionalidad, capacidad para optimizar estructuras y por su estética agradable para la vista.
[[Archivo:Tunel de chamartin.jpg|400px|thumb|left||Túnel de Chamartín]]
[[Archivo:Mezquita-Cordoba-1.jpg|400px|thumb|right|Mezquita de Cordoba]]
[[Archivo:Presa eliptica.jpg|miniaturadeimagen|400px|thumb|center|Presa de gravedad con forma elíptica]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-12-03T21:28:08Z

Rubén Maleno Ayala: /* La elipse y su uso en la ingeniería */

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|450px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 = aq \cos \psi \\
x_2 = bq \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

1. ''Derivada respecto a $q$'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos \psi, \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin \psi, \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a $\psi$:''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2q \sin \psi, \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3q \cos \psi, \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a $z$:''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad:

1. Para $\gamma'_q$:
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}.
</math>

2. Para $\gamma'_\psi$:
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}.
</math>

3. Para $\gamma'_z$:
<math>
h_z = |\gamma'_z| = 1.
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como:
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q}, \quad \vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi}, \quad \vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}.
</math>

1. Para $\vec{e}_q$:
<math>
\gamma'_q \Rightarrow \vec{e}_q = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}.
</math>

2. Para $\vec{e}_\psi$:
<math>
\gamma'_\psi \Rightarrow \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \sin \psi) \vec{i} + (3 \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}.
</math>

3. Para $\vec{e}_z$:
<math>
\gamma'_z \Rightarrow \vec{e}_z = \vec{k}.
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

1. ''Producto escalar'' $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}.
</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

2. ''Producto escalar con'' $\vec{e}_z$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:TrabajoCCE.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

x1_q = a * q; % Línea γ_q (q variable, ψ fijo)
x2_q = b * q * sin(psi0); % x2 es constante para ψ fijo

x1_psi = a * q0 * cos(psi); % Línea γ_ψ (ψ variable, q fijo)
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (paralela a eje q)
tangente_q = [a; 0];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q); % Normalización

% Tangente a γ_ψ (paralela a eje ψ)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi); % Normalización

% Rango para centrar el punto
x_range = 1.5; % Valor para tamaño deseado del rango
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto de arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside'); % Leyenda
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]); % Centrar x_1 en el punto
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]); % Centrar x_2 en el punto
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|400px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==
Teniendo la parametrización de la curva:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>
cuyas componentes son $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula:
<math>
\kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}
</math>

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

<math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>

Los puntos máximos de la curvatura son el conjunto de puntos de valor $k(t)= 0,75$ y $t = n + 1,7$ aproximadamente.

[[Archivo:Curvaturafin.jpg|450px|thumb|right|Figura 4: Curvatura k(t).]]

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}

== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

== La elipse y su uso en la ingeniería ==
La elipse es una curva plana y cerrada que representa el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

En la ingeniería, y más concretamente en la ingeniería civil, se utiliza por sus propiedades geométricas y estructurales únicas. Por ejemplo, debido a su buena resistencia y su capacidad para distribuir cargas, muchos puentes y arcos tienen forma de elipse. Esto se debe a que su curvatura minimiza las tensiones concentradas y mejora la estabilidad estructural.
* Esta forma también resulta útil en los túneles, los cuales están sometidos a presiones heterogéneas por la forma desigual del terreno.
* La forma elipsoidal optimiza el flujo de fluidos al reducir la resistencia y mejorar la eficiencia, por lo que es común en tuberías, puertos y presas.
* Además, la elipse es una forma que optimiza el espacio, maximizando el área utilizable en lugares con espacio limitado, como en túneles ferroviarios.

Sin embargo, su uso más conocido está relacionado con la estética. La elipse es una forma agradable y poco agresiva para la vista. Combinada con otras formas, puede crear conjuntos visualmente atractivos, siendo habitual su utilización en fachadas de iglesias o como elemento decorativo en puentes.

En conclusión, el uso de la elipse destaca por su combinación de funcionalidad, gracias a sus útiles propiedades, y por su estética agradable a la vista.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-29T18:55:32Z

Rubén Maleno Ayala: /* Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ */

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|450px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 = aq \cos \psi \\
x_2 = bq \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

1. ''Derivada respecto a $q$'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos \psi, \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin \psi, \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a $\psi$:''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2q \sin \psi, \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3q \cos \psi, \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a $z$:''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad:

1. Para $\gamma'_q$:
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}.
</math>

2. Para $\gamma'_\psi$:
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}.
</math>

3. Para $\gamma'_z$:
<math>
h_z = |\gamma'_z| = 1.
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como:
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q}, \quad \vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi}, \quad \vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}.
</math>

1. Para $\vec{e}_q$:
<math>
\gamma'_q \Rightarrow \vec{e}_q = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}.
</math>

2. Para $\vec{e}_\psi$:
<math>
\gamma'_\psi \Rightarrow \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \sin \psi) \vec{i} + (3 \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}.
</math>

3. Para $\vec{e}_z$:
<math>
\gamma'_z \Rightarrow \vec{e}_z = \vec{k}.
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

1. ''Producto escalar'' $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}.
</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

2. ''Producto escalar con'' $\vec{e}_z$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:TrabajoCCE.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

x1_q = a * q; % Línea γ_q (q variable, ψ fijo)
x2_q = b * q * sin(psi0); % x2 es constante para ψ fijo

x1_psi = a * q0 * cos(psi); % Línea γ_ψ (ψ variable, q fijo)
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (paralela a eje q)
tangente_q = [a; 0];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q); % Normalización

% Tangente a γ_ψ (paralela a eje ψ)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi); % Normalización

% Rango para centrar el punto
x_range = 1.5; % Valor para tamaño deseado del rango
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto de arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside'); % Leyenda
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]); % Centrar x_1 en el punto
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]); % Centrar x_2 en el punto
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|400px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==
Teniendo la parametrización de la curva:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>
cuyas componentes son $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula:
<math>
\kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}
</math>

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

<math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>

[[Archivo:Curvaturafin.jpg|450px|thumb|right|Figura 4: Curvatura k(t).]]

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}

== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

== La elipse y su uso en la ingeniería ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-27T16:42:18Z

Rubén Maleno Ayala:

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-27T16:13:40Z

Rubén Maleno Ayala: /* Código y gráfica */

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-27T16:11:59Z

Rubén Maleno Ayala: /* Código y gráfica */

Archivo:TrabajoCCE.png

2024-11-27T16:09:48Z

Rubén Maleno Ayala:

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-27T15:39:55Z

Rubén Maleno Ayala: /* Vectores tangente y normal a la curva */

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-25T04:40:34Z

Rubén Maleno Ayala:

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-25T04:29:56Z

Rubén Maleno Ayala: /* Vectores tangente y normal a la curva */

Archivo:Grafica A6 Grupo7.png

2024-11-25T04:24:06Z

Rubén Maleno Ayala:

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-25T04:18:37Z

Rubén Maleno Ayala: /* Vectores tangente y normal a la curva */

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-25T04:09:45Z

Rubén Maleno Ayala: /* Superficies de nivel de campos escalares */

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-25T04:09:12Z

Rubén Maleno Ayala:

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-24T20:04:55Z

Rubén Maleno Ayala: /* Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ */

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-24T19:24:30Z

Rubén Maleno Ayala: /* Vectores tangentes normalizados */

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-24T19:20:46Z

Rubén Maleno Ayala: /* Comprobación de ortonormalidad */

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-24T19:14:40Z

Rubén Maleno Ayala: /* Comprobación de ortonormalidad */

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-24T19:11:23Z

Rubén Maleno Ayala: /* Campos velocidad */

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-24T19:10:47Z

Rubén Maleno Ayala: /* Campos velocidad */

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-24T19:04:08Z

Rubén Maleno Ayala: /* Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ */

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-23T16:41:33Z

Rubén Maleno Ayala: /* Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ */

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-23T16:36:20Z

Rubén Maleno Ayala:

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-23T16:35:13Z

Rubén Maleno Ayala:

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-23T16:24:26Z

Rubén Maleno Ayala:

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-23T16:15:28Z

Rubén Maleno Ayala: /* Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ */

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-23T15:16:03Z

Rubén Maleno Ayala:

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-22T18:26:15Z

Rubén Maleno Ayala:

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-21T11:42:27Z

Rubén Maleno Ayala:

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-21T11:31:05Z

Rubén Maleno Ayala:

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-20T22:55:38Z

Rubén Maleno Ayala:

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-20T19:39:36Z

Rubén Maleno Ayala:

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-20T19:39:10Z

Rubén Maleno Ayala:

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2023-24]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-20T19:37:09Z

Rubén Maleno Ayala:

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-20T19:35:34Z

Rubén Maleno Ayala:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 6-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Martínez Luis Fernández Carlos Pérez }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-20T19:34:59Z

Rubén Maleno Ayala:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 6-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
Ana Martínez 
Luis Fernández 
Carlos Pérez
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-20T19:32:01Z

Rubén Maleno Ayala:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 6-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Nuestros nombres }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-20T19:28:28Z

Rubén Maleno Ayala: Página creada con «{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 6-A | Teoría de Campos|2023-24 | Nuestros nombres }}...»

Campos de temperaturas y deformaciones en un cuarto de anillo (32)

2023-12-14T21:38:59Z

Rubén Maleno Ayala:

{{ TrabajoED | Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-d. Grupo 32 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Maleno Ayala, Rubén
* Sánchez Gil, Miguel
* González López, Mario
* Ruiz López, Álvaro}}
Un '''Campo de Temperaturas''' es un '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar Campo Escalar]''' aplicado a un objeto físico con el objetivo de representar las temperaturas propias de los puntos del objeto.

La representación visual de un campo escalar puede hacerse mediante programas como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB], los cuales utilizan operaciones escalares y elementos matriciales para realizar cálculos complejos.

== Mallado de la placa ==
Para generar el mallado del '''cuarto de anillo circular''' usaremos el comando ''meshgrid'' en Matlab.
El cuarto de anillo está centrado en $(0,0)$ y sus radios son $R_{1} = 1$ y $R_{2} = 2$. Además, se encuentra en el plano $y ≥\frac{|x|}{2}$.

Su representación está encuadrado en la región $(x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]$.
El paso de muestreo se refiere a las subdivisiones deseadas por unidad en ambos ejes, en este caso, $h = 2/10$.

Ahora pasaremos estas características a coordenadas cilíndricas, donde $ρ$ ''conservará'' el radio del anillo y $θ$ dependerá del ángulo que forme las rectas $y =\frac{x}{2}$ e $y =\frac{-x}{2}$ con los ejes $X$ e $Y$, cuyo valor es $α = tg(\frac{1}{2}) ≈ 26,6°$, por tanto:

<center><math>(ρ,θ) ∈ [1; 2] × [α,π-α]</math></center>

[[Archivo:Grupo32 anillo.png|350px|thumb|right|''Figura 1'']]
{{matlab|codigo=
clc
% Definición de variables
paso_muestreo = 2/10;
rho = 1:paso_muestreo:2;
alfa = atan(1/2);
theta = linspace(a,pi-alfa,pi/paso_muestreo);
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
% Conversión a cilíndricas
x = RHO.*cos(THETA);
y = RHO.*sin(THETA);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
% Definición del título
title('CUARTO DE ANILLO CIRCULAR')
}}

== Curvas isotermas ==


Una vez hemos representado el sólido, podemos dibujar las curvas de nivel de la temperatura. La distribución de la temperatura en el sólido viene dada por el campo escalar: <center><math>T(x,y)=cos(x^2)+sin((y−1)^2)</math> </center>

A partir de este campo escalar, podemos definir el gradiente de T como <math>\nabla T</math>. El gradiente de nuestro campo escalar indica la dirección en la que aumenta la temperatura, y su módulo indica cuánto aumenta.

Este gradiente se puede calcular mediante la siguiente fórmula: <center><math>\nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k</math></center>
Con lo cual, obtenemos la siguiente expresión: <center><math>\nabla T = -2xsin(x^2)\vec i+2cos((y-1)^2)(y-1)\vec j</math></center>
Para visualizar las curvas isotermas, se ha empleado el siguiente código.
[[Archivo:Curvas_Isotermas_G32.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Curvas de Nivel''' Curvas de nivel de la función temperatura T ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
% Definir la placa
h=0.2;
r=1:h:2;
a=atan(1/2);
t=linspace(a,pi-a,pi/h);
[R,Th]=meshgrid(r,t);
% Conversión a cilíndricas
X=R.*cos(Th);
Y=R.*sin(Th);
% Campo de temparatura
T=cos(X.^2)+sin((Y-1).^2);
% Representación de las curvas de nivel
figure
mesh(X,Y,0*X);
hold on
contour(X,Y,T,20)
colorbar
title('CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')
axis ([-3, 3, -1, 3,])
view(0,90);
hold off
Tmax=max(max(T));
}}
A partir de la imagen superior derecha, se puede ver que las temperaturas más altas se encuentran en la parte superior del sólido. En concreto, la temperatura máxima es de 1.8150 grados en el punto (0,2), obtenido en la línea 24 del código superior.

A continuación, habiendo calculado previamente el gradiente de la temperatura, se puede comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradiente_Curvas_G32.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Gradiente de la temperatura''' Gradiente y curvas de nivel de la función temperatura T ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
% Definir la placa
h=0.2;
r=1:h:2;
a=atan(1/2);
t=linspace(a,pi-a,pi/h);
[R,Th]=meshgrid(r,t);
% Conversión a cilíndricas
X=R.*cos(Th);
Y=R.*sin(Th);
% Campo de temparatura
T=cos(X.^2)+sin((Y-1).^2);
% Representación de las curvas de nivel
figure
mesh(X,Y,0*X);
hold on
% Cálculo del gradiente
Gx=-2.*X.*sin(X.^2);
Gy=2.*cos((Y-1).^2).*(Y-1);
contour(X,Y,T,20)
quiver(X,Y,Gx,Gy);
colorbar
title('CURVAS DE NIVEL Y GRADIENTE')
axis ([-3, 3, -1, 3,])
view(0,90);
hold off
}}

== Campo vectorial de la energía calorífica ==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec Q</math> viaja siguiendo la expresión: <math> \vec Q =-k▽T</math>, siendo k la constante de conductividad térmica del material.
Para este ejemplo supondremos la constante de conductividad térmica de la placa como k=1, por lo que nuestra ecuación queda como: <math>\vec Q=-▽T</math>.

Tomando el gradiente del campo de temperaturas en coordenadas cartesianas: <math>▽T(x,y)=-2xsen(x^2)\vec i +2(y-1)cos((y-1)^2)\vec j </math>:

<center><math>\vec Q =2xsen(x^2)\vec i -2(y-1)cos((y-1)^2)\vec j </math></center>

[[Archivo:ENERGÍA CALORÍFICA DE LA PLACA.png|600px|thumb|right|'''''Energía calorífica de la placa''' '']]
{{matlab|codigo=
clc
% Definición de variables
paso_muestreo = 2/10;
rho = 1:paso_muestreo:2;
ang = atan(1/2);
theta = linspace(ang,pi-ang,pi/paso_muestreo);
[D,A] = meshgrid(rho,theta);

% Conversión a cartesianas
X = D.*cos(A);
Y = D.*sin(A);
mesh(X,Y,0*X);

% Aplicación del campo vectorial a los puntos de la placa
Qx = 2.*X.*sin(X.^2);
Qy = 2.*(Y-1).*cos((Y-1).^2);
hold on
quiver(X,Y,Qx,Qy);
hold off

view(2)
axis([-3,3,-1,3])
% Definición del título
title('ENERGÍA CALORÍFICA DE LA PLACA')
}}

== Representación del campo de vectores en los puntos del sólido ==
Representamos el campo de vectores de deslizamiento en el cuarto de anillo, para eso nos ofrecen un campo que va a ser: <math> \vec u = \frac{1}{2}sen(θ) \vec e_ρ </math>. Pasamos nuestro \vec u a cartesianas, sabiendo que <math> \vec e_ρ= cos(θ) \vec i + sin(θ)\vec j</math>

[[Archivo:CampoVectore.png|600px|thumb|right|]]

{{matlab|codigo=
clc
paso_muestreo = 2/10;
distancia = 1:paso_muestreo:2;
a = atan(1/2);
angulo = linspace(a,pi-a,pi/paso_muestreo);
[D,A] = meshgrid(distancia,angulo);
% Conversión a cilíndricas
x = D.*cos(A);
y = D.*sin(A);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
hold on
mx=0.5.*sin(A).*cos(A);
my=0.5.*sin(A).*sin(A);
quiver(x,y,mx,my);
% Definición del título
title('CAMPO DE VECTORES')
}}

== Imagen del sólido antes y después del desplazamiento ==
A continuación, se representará el sólido antes y después de la deformación producida por el campo de presiones <math> \vec u </math> en coordenadas cartesianas (''calculado en el apartado anterior'').
Se puede observar además que la deformación solo irá en la dirección <math> \vec e_{\rho} </math> al ser <math> \vec e_{\theta} </math> nula.
[[Archivo:Separadas2_32.png|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clc
% PLACA SIN DEFORMAR
paso_muestreo = 2/10;
rho = 1:paso_muestreo:2;
alfa = atan(1/2);
theta = linspace(alfa,pi-alfa,pi/paso_muestreo);
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO.*cos(THETA);
y = RHO.*sin(THETA);
subplot(1,2,1)
Q = mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(Q,'EdgeColor','b');
axis ([-3,3,-1,3])
title('PLACA SIN DEFORMAR');
% PLACA DEFORMADA
subplot(1,2,2)
A = (sin(THETA).*cos(THETA))./2;
B = (sin(THETA).^2)./2;
X = x+A;
Y = y+B;
S = mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(S,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
title('PLACA DEFORMADA');
% COMPARACIÓN AMBAS PLACAS
hold on
figure
S = mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(S,'EdgeColor','r');
title('COMPARACIÓN DE AMBAS PLACAS');
hold on
Q = mesh(x,y,0*x);
set(Q,'EdgeColor','b');
hold off
}}
[[Archivo:Comparacion3_32.png|500px|thumb|center]]

== Divergencia y sus mínimos y máximos ==


Para calcular la divergencia, empleamos la siguiente expresión: <center><math>\nabla ·u = \frac{1}{\rho} (\frac{\partial }{\partial \rho} (\rho u_\rho)+\frac{\partial }{\partial θ} (u_θ)+\frac{\partial }{\partial z} (\rho u_z))</math></center>
Una vez operado, obtenemos
<center><math>\nabla ·u = \frac{senθ}{2\rho}</math></center>

Con ello, representamos gráficamente la divergencia en Matlab
[[Archivo:Divergencia_G32.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Divergencia''' Representa la medida de cómo un campo se desplaza. Cuanto mayor el número, más se desplaza ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
% Definir la placa
h=0.2;
r=1:h:2;
a=atan(1/2);
t=linspace(a,pi-a,pi/h);
[R,Th]=meshgrid(r,t);
% Conversión a cartesianas
X=R.*cos(Th);
Y=R.*sin(Th);
% Cálculo de la divergencia
D=(sin(Th)./2./R);
surf(X,Y,D)
view(0,90);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('DIVERGENCIA')
% Obtención de máximos y mínimos
Dmax=max(max(D));
Dmin=min(min(D));
}}
A partir de la imagen superior derecha, se puede ver que las divergencias más altas se encuentran en la parte central del sólido. En concreto, la divergencia máxima es de 0,5 en el punto (0,1), y la mínima es de 0,1118 en los dos extremos longitudinales, obtenido en la línea 21 y 22 del código superior. Como la divergencia mínima es mayor a 0, no existe ningún punto de divergencia nula.

== Rotacional en ''t'' = 0 ==

Sea <math> ∇ × \vec u </math> el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ d/da & d/db & d/dc\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Continuando con nuestro ejemplo, calcularemos el rotacional del campo vectorial <math> \vec u (ρ,θ,z) = \frac{1}{2}sen(θ)·{\vec e_ρ} </math> como:

<math> \mathbb{\nabla \times \vec u} = {1 \over ρ} \;
\begin{vmatrix}
{\vec e_ρ} & {ρ· \vec e_θ} & {\vec e_z}\\
{\partial \over \partial ρ} & {\partial \over \partial θ} & {\partial \over \partial z}\\
{\frac{1}{2}sen(θ)} & {0} & {0}\\
\end{vmatrix} </math> = <math> -{1 \over ρ}·{\partial \over \partial θ}[{\frac{1}{2}sen(θ)}]·{\vec e_z} = [\frac{-1}{2} \frac{cos(θ)}{ρ}]·{\vec e_z}</math>

Por lo tanto, <math> |∇ × \vec u |= \frac{1}{2} \frac{cos(θ)}{ρ} </math>

[[Archivo:REPRESENTACIÓN_GRÁFICA_DEL_ROTACIONAL_DEL_CAMPO.png|555px|thumb|right|'''Rotacional del campo vectorial en la placa''' ]]
{{matlab|codigo=
clc
% Definición de variables
paso_muestreo = 2/10;
rho = 1:paso_muestreo:2;
ang = atan(1/2);
theta = linspace(ang,pi-ang,pi/paso_muestreo);
[D,A] = meshgrid(rho,theta);

% Conversión a cartesianas
X = D.*cos(A);
Y = D.*sin(A);
mesh(X,Y,0*X);

% Definición del rotacional del campo
ROTu = 1/2.*cos(A)./D;

% Representación gráfica del rotacional
surf(X,Y,ROTu);
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
% Definición del título
title('REPRESENTACIÓN DEL ROTACIONAL DEL CAMPO')
}}

Como podemos observar en la gráfica, los puntos con un mayor rotacinal son aquellos con menor ángulo θ, que darán un mayor valor al coseno; y con menor ρ.

== Tensiones normales ==
Sea <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}Ι + 2µε</math> el campo de tensiones en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde <math>ε=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math>, los coeficientes de Lamé <math>λ,µ =1</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> se puede proceder a los cálculos de las deformacciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec e_ρ,\vec e_θ,\vec e_z</math>. Para ello, se hacen unos cálculos intermedios que facilitan la operación:

Calculamos el gradiente del campo y su traspuesto:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix} \ 0 & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>\bigtriangledown\vec{u^t}=\begin{pmatrix} \ 0 & 0 & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>ε=\begin{pmatrix} \ 0 & \frac{cos(θ)}{4\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{4\rho} & \frac{sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
––––––––––><math>2ε=\begin{pmatrix} \ 0 & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{sen(θ)}{\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

A continuación calculamos la divergencia que resulta igual a:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{sen(θ)}{2\rho}.</math>

Por tanto ya podemos calcular σ:

<math> σ= \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \ 0 & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{sen(θ)}{\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Por tanto, representaremos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.
A continuación las calculamos y representamos:

En primer lugar, dirección de <math>\vec e_\rho</math>-->

<math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{sen(θ)}{2\rho}</math>

En segundo lugar, dirección de <math>\vec e_\theta</math>-->

<math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}=\frac{3sen(θ)}{2\rho}</math>

Por último, dirección de <math>\vec e_z</math>-->

<math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}=\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\frac{sen(θ)}{2\rho}</math>

Para finalizar el apartado de tensiones, representaremos cada una de las direcciones que hemos calculado:

{{matlab|codigo=
clc
% Definicion de variables
paso_muestreo = 2/10;
rho = 1:paso_muestreo:2;
alfa = atan(1/2);
theta = linspace(alfa,pi-alfa,pi/paso_muestreo);
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO.*cos(THETA);
y = RHO.*sin(THETA);

t1= 1/2.*sin(THETA)./RHO;
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

t2= 3/2.*sin(THETA)./RHO;
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

t3= 1/2.*sin(THETA)./RHO;
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}
[[Archivo:tensiones.png|600px|thumb|center|]]
[[Archivo:tensiones2.png|600px|thumb|center|]]
[[Archivo:tensionesz.png|600px|thumb|center|]]

== Tensiones tangenciales ==
Se calculará las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>. Se pide además las '''no nulas'''.

Del apartado anterior sacamos que <math> σ= \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}</math> y
<math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}=\frac{sen(θ)}{2\rho}</math>. Por tanto:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left | \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{sen(θ)}{2\rho}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right | = \left | \begin{pmatrix} 0\\ \frac{cos(θ)}{2\rho}\\0 \end{pmatrix}\right| </math>
[[Archivo:Tensiones_tangenicales.png|400px|thumb|right|''Visualización 3D de las tensiones tangenciales'']]
{{matlab|codigo=
clc
% Definición de variables
paso_muestreo = 2/10;
rho = 1:paso_muestreo:2;
alfa = atan(1/2);
theta = linspace(alfa,pi-alfa,pi/paso_muestreo);
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO.*cos(THETA);
y = RHO.*sin(THETA);
% Tensiones tangenciales respecto al eje RHO
Sigma = cos(THETA)./(2.*RHO);
surf(x,y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('TENSIONES TANGENCIALES');
}}

== Tensión de ''Von Mises'' ==
[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]
La tensión de Von Mises debe su nombre al ingeniero austrohúngaro Richard Von Mises, del cual podemos encontrar una foto a la derecha.

Es una magnitud que se utiliza en la mecánica de materiales y el análisis de estructuras, que se emplea para anticipar el fallo de un material que está soportando una carga, y que puede llegar a sufrir deformaciones permanentes. Por lo tanto, si la tensión de Von Mises supera el límite de fluencia, dejará de deformarse elásticamente para empezar a deformarse plásticamente.

Esta viene determinada por la siguiente fórmula en la que σ1, σ2 y σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> </center>

Estos autovalores los obtenemos de la matriz obtenida en el apartado 8:
<math> σ= \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Los autovalores calculados son:
<math> σ_1=\frac{sen(θ)}{2\rho}</math> , <math>σ_2=\frac{2sen(θ)-1}{2\rho}</math> y <math>σ_3=\frac{2sen(θ)+1}{2\rho}</math>

Sustituyendo estos valores en la fórmula de la tensión de Von Mises, obtenemos la siguiente expresión:

<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\frac{sen(θ)}{2\rho}-\frac{2sen(θ)-1}{2\rho})^2+(\frac{2sen(θ)-1}{2\rho}-\frac{2sen(θ)+1}{2\rho})^2+(\frac{2sen(θ)+1}{2\rho}-\frac{sen(θ)}{2\rho})^2}{2}}=\frac{\sqrt{sen^2(θ)+3}}{2\rho}</math> </center>
[[Archivo:TensiÃ³n_VM_G32.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Tensión de Von Mises''' Límite de la deformación elástica ]]
Para calcular las tensiones de Von Mises se ha utilizado el siguiente código, dando como resultado la imagen que se encuentra a la derecha. Además, la tensión máxima del anillo, calculada en la última línea del código es de 1MPa en el punto (0,1).

{{matlab|codigo=
clear
clc
% Definir la placa
h=0.2;
r=1:h:2;
a=atan(1/2);
t=linspace(a,pi-a,pi/h);
[R,Th]=meshgrid(r,t);
% Conversión a cilíndricas
X=R.*cos(Th);
Y=R.*sin(Th);
% Tensión de Von Mises
VM=zeros(15,6);
VonMises=@ (t1,t2,t3) sqrt((((t1-t2)^2+(t2-t3)^2+(t3-t1)^2)/2));
% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada punto del mallado
for i=1:15
for j=1:6
MTensiones=[sin(Th(i,j))./(2.*R(i,j)),cos(Th(i,j))./(2.*R(i,j)),0;cos(Th(i,j))./(2.*R(i,j)),3*sin(Th(i,j))./(2.*R(i,j)),0;0,0,sin(Th(i,j))./(2.*R(i,j))];
Autov=eig(MTensiones);
aut1=Autov(1);
aut2=Autov(2);
aut3=Autov(3);
VM(i,j)=VonMises(aut1,aut2,aut3);
end
end
surf(X,Y,VM)
title('TENSIÓN DE VON MISES')
axis ([-3, 3, -1, 3,])
view(0,90);
colorbar
mvm=max(max(VM));
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]