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Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-13T09:47:28Z

Rubén: /* Representacion del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·\vec0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormalBuena.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdepBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x=((cos(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=((sin(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdeoBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=((-sin(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2))); %Pasamos a cartesianas
M22y=((cos(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:tdez.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=(((log(rr))./(rr)).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tensiondeformacionbuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = ((-sin(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr))); %Pasamos a cartesianas
tangy = ((cos(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).

=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 

==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\rho^2 }+\frac{ln(\rho)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+ln(\rho)3sen(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{i} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2\rho^2}-ln(\rho)(5\cos(\theta)\cos(2\theta -\pi/2)-4sin(\theta )\sin(2\theta -\pi/2)\vec{j} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>-\frac{1}{\rho^2}(\sin(\theta)\sin(2\theta-\pi/2))-\frac{1}{\rho}(-\sin(\theta)\sin(2\theta-\pi/2)+\cos(\theta)\cos(2\theta-\pi/2))\vec{i}</math>
 
<math>\frac{1}{\rho}(\cos(\theta)\sin(2\theta-\pi/2))+(2sin(\theta)\cos(2\theta-\pi/2))-3ln(\rho)(\cos(\theta)\sin(2\theta-\pi/2)+(\sin(\theta)\cos(2\theta-\pi/2))\vec{j}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log().*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log())))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log().*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-13T09:45:02Z

Rubén: /* Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·\vec0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormalBuena.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdepBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x=((cos(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=((sin(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdeoBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=((-sin(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2))); %Pasamos a cartesianas
M22y=((cos(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:tdez.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=(((log(rr))./(rr)).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tensiondeformacionbuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = ((-sin(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr))); %Pasamos a cartesianas
tangy = ((cos(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).

=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 

==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\rho^2 }+\frac{ln(\rho)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+ln(\rho)3sen(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{i} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2\rho^2}-ln(\rho)(5\cos(\theta)\cos(2\theta -\pi/2)-4sin(\theta )\sin(2\theta -\pi/2)\vec{j} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>-\frac{1}{\rho^2}(\sin(\theta)\sin(2\theta-\pi/2))-\frac{1}{\rho}(-\sin(\theta)\sin(2\theta-\pi/2)+\cos(\theta)\cos(2\theta-\pi/2))\vec{i}</math>
 
<math>\frac{1}{\rho}(\cos(\theta)\sin(2\theta-\pi/2))+(2sin(\theta)\cos(2\theta-\pi/2))-3ln(\rho)(\cos(\theta)\sin(2\theta-\pi/2)+(\sin(\theta)\cos(2\theta-\pi/2))\vec{j}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-13T09:43:31Z

Rubén: /* Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·\vec0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormalBuena.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdepBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x=((cos(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=((sin(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdeoBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=((-sin(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2))); %Pasamos a cartesianas
M22y=((cos(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:tdez.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=(((log(rr))./(rr)).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tensiondeformacionbuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = ((-sin(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr))); %Pasamos a cartesianas
tangy = ((cos(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).

=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 

==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\rho^2 }+\frac{ln(\rho)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+ln(\rho)3sen(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{i} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2\rho^2}-ln(\rho)(5\cos(\theta)\cos(2\theta -\pi/2)-4sin(\theta )\sin(2\theta -\pi/2)\vec{j} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>-\frac{1}{\rho^2}(\sin(\theta)\sin(2\theta-\pi/2))-\frac{1}{\rho}(-\sin(\theta)\sin(2\theta-\pi/2)+\cos(\theta)\cos(2\theta-\pi/2))\vec{i}</math>
 
<math>\frac{1}{\rho}(\cos(\theta)\sin(2\theta-\pi/2))+(2sin(\theta)\cos(2\theta-\pi/2))-3ln(\rho)(\cos(\theta)\sin(2\theta-\pi/2)+(\sin(\theta)\cos(2\theta-\pi/2)\vec{j}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-13T09:42:31Z

Rubén: /* Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·\vec0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormalBuena.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdepBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x=((cos(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=((sin(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdeoBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=((-sin(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2))); %Pasamos a cartesianas
M22y=((cos(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:tdez.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=(((log(rr))./(rr)).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tensiondeformacionbuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = ((-sin(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr))); %Pasamos a cartesianas
tangy = ((cos(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).

=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 

==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\rho^2 }+\frac{ln(\rho)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+ln(\rho)3sen(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{i} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2\rho^2}-ln(\rho)(5\cos(\theta)\cos(2\theta -\pi/2)-4sin(\theta )\sin(2\theta -\pi/2)\vec{j} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>-\frac{1}{\rho^2}(\sin(\theta)\sin(2\theta-\pi/2))-\frac{1}{\rho}(-\sin(\theta)\sin(2\theta-\pi/2)+\cos(\theta)\cos(2\theta-\pi/2))\vec{i}</math>
 
<math>\frac{1}{\rho}(\cos(\theta)\sin(2\theta-\pi/2))+(2sin(\theta)\cos(2\theta-\pi/2)) -3ln(\rho}(\cos(\theta)\sin(2\theta-\pi/2)+(\sin(\theta)\cos(2\theta-\pi/2)\vec{j}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-13T09:41:59Z

Rubén: /* Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·\vec0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormalBuena.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdepBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x=((cos(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=((sin(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdeoBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=((-sin(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2))); %Pasamos a cartesianas
M22y=((cos(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:tdez.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=(((log(rr))./(rr)).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tensiondeformacionbuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = ((-sin(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr))); %Pasamos a cartesianas
tangy = ((cos(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).

=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 

==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\rho^2 }+\frac{ln(\rho)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+ln(\rho)3sen(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{i} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2\rho^2}-ln(\rho)(5\cos(\theta)\cos(2\theta -\pi/2)-4sin(\theta )\sin(2\theta -\pi/2))\vec{j} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>-\frac{1}{\rho^2}(\sin(\theta)\sin(2\theta-\pi/2))-\frac{1}{\rho}(-\sin(\theta)\sin(2\theta-\pi/2)+\cos(\theta)\cos(2\theta-\pi/2))\vec{i}</math>
 
<math>\frac{1}{\rho}(\cos(\theta)\sin(2\theta-\pi/2))+(2sin(\theta)\cos(2\theta-\pi/2)) -3ln(\rho}(\cos(\theta)\sin(2\theta-\pi/2)+(\sin(\theta)\cos(2\theta-\pi/2)\vec{j}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-13T09:38:10Z

Rubén: /* Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·\vec0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormalBuena.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdepBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x=((cos(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=((sin(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdeoBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=((-sin(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2))); %Pasamos a cartesianas
M22y=((cos(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:tdez.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=(((log(rr))./(rr)).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tensiondeformacionbuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = ((-sin(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr))); %Pasamos a cartesianas
tangy = ((cos(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).

=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 

==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\rho^2 }+\frac{ln(\rho)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+ln(\rho)3sen(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{i} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2\rho^2}-ln(\rho)(5\cos(\theta)\cos(2\theta -\pi/2)-4sin(\theta )\sin(2\theta -\pi/2))\vec{j} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>-\frac{1}{\rho^2}(\sin(\theta)\sin(2\theta-\pi/2))-\frac{1}{\rho}(-\sin(\theta)\sin(2\theta-\pi/2)+\cos(\theta)\cos(2\theta-\pi/2))\vec{i}</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{j}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-13T09:31:29Z

Rubén: /* Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·\vec0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormalBuena.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdepBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x=((cos(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=((sin(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdeoBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=((-sin(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2))); %Pasamos a cartesianas
M22y=((cos(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:tdez.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=(((log(rr))./(rr)).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tensiondeformacionbuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = ((-sin(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr))); %Pasamos a cartesianas
tangy = ((cos(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).

=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 

==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\rho^2 }+\frac{ln(\rho)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+ln(\rho)3sen(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{i} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2\rho^2}-ln(\rho)(5\cos(\theta)\cos(2\theta -\pi/2)-4sin(\theta )\sin(2\theta -\pi/2))\vec{j} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{i}</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{j}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-13T09:28:51Z

Rubén: /* Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·\vec0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormalBuena.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdepBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x=((cos(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=((sin(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdeoBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=((-sin(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2))); %Pasamos a cartesianas
M22y=((cos(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:tdez.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=(((log(rr))./(rr)).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tensiondeformacionbuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = ((-sin(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr))); %Pasamos a cartesianas
tangy = ((cos(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).

=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 

==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\rho^2 }+\frac{ln(\rho)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+ln(\rho)3sen(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{i} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2\rho^2}-ln(\rho)(5\cos(\theta)\cos(2\theta -\pi/2)-4sin(\theta )\sin(2\theta -\pi/2))\vec{j} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-13T09:27:41Z

Rubén: /* Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·\vec0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormalBuena.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdepBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x=((cos(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=((sin(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdeoBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=((-sin(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2))); %Pasamos a cartesianas
M22y=((cos(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:tdez.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=(((log(rr))./(rr)).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tensiondeformacionbuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = ((-sin(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr))); %Pasamos a cartesianas
tangy = ((cos(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).

=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 

==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\rho^2 }+\frac{ln(\rho)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+ln(\rho)3sen(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{i} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2\rho^2}-ln(\rho)(5\cos(\theta)\cos(2\theta -\pi/2)-4sin(\theta )\sin(2\theta -\pi/2))}\vec{j} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-13T09:26:05Z

Rubén: /* Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·\vec0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormalBuena.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdepBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x=((cos(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=((sin(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdeoBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=((-sin(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2))); %Pasamos a cartesianas
M22y=((cos(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:tdez.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=(((log(rr))./(rr)).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tensiondeformacionbuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = ((-sin(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr))); %Pasamos a cartesianas
tangy = ((cos(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).

=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 

==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\rho^2 }+\frac{ln(\rho)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+ln(\rho)3sen(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{i} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2\rho^2}-\frac{ln(\rho)(5\cos(\theta)\cos(2\theta -\pi/2)-4sin(\theta )\sin(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{j} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-13T09:23:45Z

Rubén: /* Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·\vec0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormalBuena.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdepBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x=((cos(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=((sin(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdeoBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=((-sin(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2))); %Pasamos a cartesianas
M22y=((cos(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:tdez.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=(((log(rr))./(rr)).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tensiondeformacionbuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = ((-sin(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr))); %Pasamos a cartesianas
tangy = ((cos(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).

=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 

==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\rho^2 }+\frac{ln(\rho)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+ln(\rho)3sen(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{i} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{j} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-13T09:22:41Z

Rubén: /* Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·\vec0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormalBuena.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdepBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x=((cos(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=((sin(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdeoBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=((-sin(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2))); %Pasamos a cartesianas
M22y=((cos(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:tdez.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=(((log(rr))./(rr)).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tensiondeformacionbuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = ((-sin(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr))); %Pasamos a cartesianas
tangy = ((cos(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).

=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 

==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\rho^2 }+\frac{ln(\rho)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+3sen(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{i} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{j} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-13T09:22:10Z

Rubén: /* Campo de fuerzas \vec F */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·\vec0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormalBuena.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdepBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x=((cos(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=((sin(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdeoBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=((-sin(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2))); %Pasamos a cartesianas
M22y=((cos(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:tdez.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=(((log(rr))./(rr)).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tensiondeformacionbuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = ((-sin(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr))); %Pasamos a cartesianas
tangy = ((cos(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).

=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 

==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\rho^2 }+\frac{ln(\rho)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+3\sen(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{i} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{j} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-13T09:12:30Z

Rubén: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·\vec0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormalBuena.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdepBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x=((cos(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=((sin(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdeoBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=((-sin(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2))); %Pasamos a cartesianas
M22y=((cos(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:tdez.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=(((log(rr))./(rr)).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tensiondeformacionbuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = ((-sin(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr))); %Pasamos a cartesianas
tangy = ((cos(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).

=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 

==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-13T09:11:55Z

Rubén: /* Tensiones Tangenciales */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormalBuena.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdepBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x=((cos(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=((sin(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdeoBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=((-sin(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2))); %Pasamos a cartesianas
M22y=((cos(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:tdez.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=(((log(rr))./(rr)).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tensiondeformacionbuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = ((-sin(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr))); %Pasamos a cartesianas
tangy = ((cos(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).

=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 

==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-13T09:06:32Z

Rubén: /* Tensiones Tangenciales */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormalBuena.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdepBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x=((cos(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=((sin(tt).*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdeoBuena.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=((-sin(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2))); %Pasamos a cartesianas
M22y=((cos(tt).*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:tdez.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=(((log(rr))./(rr)).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tensiondeformacionbuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = ((-sin(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr))); %Pasamos a cartesianas
tangy = ((cos(tt).*sin(2.*tt-pi/2)./(2.*rr)).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).

=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 

==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-12T19:25:14Z

Rubén: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-12T19:24:41Z

Rubén: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1 o donde θ=pi/2</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-12T19:19:44Z

Rubén: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-12T19:04:19Z

Rubén: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-12T18:42:36Z

Rubén: /* Introducción del sólido y mallado */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|700px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T21:26:54Z

Rubén: /* Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|750px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Cálculo de la ecuación de Lamé equivalente===
La ecuación es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Se separa la ecuación en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
Para aplicar la fórmula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la fórmula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula el gradiente y se multiplica por landa más el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilíndrica por lo que su suma es otro vector. Al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T21:06:59Z

Rubén: /* Desplazamiento de la placa */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|750px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T21:03:53Z

Rubén: /* Curvas de nivel de la temperatura */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

Gráfica de <math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>:
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|750px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T21:02:40Z

Rubén: /* Curvas de nivel de la temperatura */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|750px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T21:02:19Z

Rubén: /* Curvas de nivel de la temperatura */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar las gráficas.
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.
En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|750px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T21:01:07Z

Rubén: /* Desplazamiento de la placa */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.
En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|750px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T20:55:17Z

Rubén: /* Desplazamiento de la placa */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.
En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|750px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T20:54:58Z

Rubén: /* Desplazamiento de la placa */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.
En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|750px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T20:54:21Z

Rubén: /* Desplazamiento de la placa */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.
En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|]]

El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|750px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T20:51:23Z

Rubén: /* Desplazamiento de la placa */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.
En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|izquierda|En verde la posición final y en rojo después del desplazamiento]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|750px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Desplazamiento20.jpg

2022-12-09T20:49:15Z

Rubén:

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T20:48:52Z

Rubén: /* Desplazamiento de la placa */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.
En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|izquierda]]
[[Archivo:desplazamiento20.jpg|350px|derecha]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|750px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T20:45:22Z

Rubén: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.
En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|izquierda]]
[[Archivo:Desplazamiento2.jpg|350px|derecha]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 

En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|750px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./RR).*(-((cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./2))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Rotacional20.jpg

2022-12-09T20:42:16Z

Rubén:

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T20:41:57Z

Rubén: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.
En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|izquierda]]
[[Archivo:Desplazamiento2.jpg|350px|derecha]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 
En la gráfica se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:rotacional20.jpg|750px|centro]]

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T20:28:20Z

Rubén: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.
En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|izquierda]]
[[Archivo:Desplazamiento2.jpg|350px|derecha]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= \frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 
En la gráfica se puede apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional.
[[Archivo:Apart7.jpg|750px|centro]]

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T20:27:58Z

Rubén: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.
En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|izquierda]]
[[Archivo:Desplazamiento2.jpg|350px|derecha]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) |= \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= -\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 
En la gráfica se puede apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional.
[[Archivo:Apart7.jpg|750px|centro]]

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T20:27:36Z

Rubén: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.
En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|izquierda]]
[[Archivo:Desplazamiento2.jpg|350px|derecha]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec| u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= -\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 
En la gráfica se puede apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional.
[[Archivo:Apart7.jpg|750px|centro]]

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T20:27:13Z

Rubén: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.
En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|izquierda]]
[[Archivo:Desplazamiento2.jpg|350px|derecha]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= -\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 
En la gráfica se puede apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional.
[[Archivo:Apart7.jpg|750px|centro]]

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Gráfica20.jpg

2022-12-09T18:57:24Z

Rubén:

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T18:57:07Z

Rubén: /* Curvas de nivel de la temperatura */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.
En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.
[[Archivo:Gráfica20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|izquierda]]
[[Archivo:Desplazamiento2.jpg|350px|derecha]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= -\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 
En la gráfica se puede apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional.
[[Archivo:Apart7.jpg|750px|centro]]

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T18:17:10Z

Rubén: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|izquierda]]
[[Archivo:Desplazamiento2.jpg|350px|derecha]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -0.3466 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= -\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 
En la gráfica se puede apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional.
[[Archivo:Apart7.jpg|750px|centro]]

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T18:16:18Z

Rubén: /* Curvas de nivel de la temperatura */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|izquierda]]
[[Archivo:Desplazamiento2.jpg|350px|derecha]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (1.41421,1.41421), mínima con valor -0.3466 en (-1.4121,1.4121) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= -\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 
En la gráfica se puede apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional.
[[Archivo:Apart7.jpg|750px|centro]]

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T18:11:24Z

Rubén: /* Curvas de nivel de la temperatura */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (<math>\-sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|izquierda]]
[[Archivo:Desplazamiento2.jpg|350px|derecha]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (1.41421,1.41421), mínima con valor -0.3466 en (-1.4121,1.4121) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= -\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 
En la gráfica se puede apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional.
[[Archivo:Apart7.jpg|750px|centro]]

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T17:55:40Z

Rubén: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (-1.41421,1.41421), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|izquierda]]
[[Archivo:Desplazamiento2.jpg|350px|derecha]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (1.41421,1.41421), mínima con valor -0.3466 en (-1.4121,1.4121) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ)}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= -\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 
En la gráfica se puede apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional.
[[Archivo:Apart7.jpg|750px|centro]]

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T17:53:38Z

Rubén: /* Curvas de nivel de la temperatura */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (-1.41421,1.41421), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|izquierda]]
[[Archivo:Desplazamiento2.jpg|350px|derecha]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (1.41421,1.41421), mínima con valor -0.3466 en (-1.4121,1.4121) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= -\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 
En la gráfica se puede apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional.
[[Archivo:Apart7.jpg|750px|centro]]

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T15:12:26Z

Rubén: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (-1.41421,1.41421), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|izquierda]]
[[Archivo:Desplazamiento2.jpg|350px|derecha]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (1.41421,1.41421), mínima con valor -0.3466 en (-1.4121,1.4121) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|= -\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 
En la gráfica se puede apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional.
[[Archivo:Apart7.jpg|750px|centro]]

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo (Grupo 4B)

2022-12-09T15:02:05Z

Rubén: /* Curvas de nivel de la temperatura */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Rubén Martín Varela, Julia de Juan Pérez, Alberto Roldán Pascual, Álvaro Blanco Duque, Fernando Bueno Leal }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
<math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math>

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción del sólido y mallado==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %paso de muestreo
r=1:h:2; %condición de ρ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); %condición de θ
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); %mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3]) %restricción de ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')
}}

[[Archivo:Representacionplacacuartoanillo.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]

== Curvas de nivel de la temperatura==
 
La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x, y)=ln((x − 3)^2 + 2)</math></center>
Empleando la función <math>T(x, y)</math> se procede a dibujar su gráfica 2D utilizando el comando "contour".
[[Archivo:temperatura20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
En ella se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto (-1.41421,1.41421), obteniendo un valor de 3.0674 ºC.

A continuación el código:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
T=log((xx-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,2) %Dividimos la pantalla en dos
surf(xx,yy,T); %representación de la temperatura en 3D
colorbar;
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
title('Temperatura en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje z')
subplot(1,2,1) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(xx,yy,T,40) %Líneas de nivel
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
maximo=max(max(T))
fprintf('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
 
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.

==Gradiente de la temperatura==
 
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math></center>

Este campo debe ser ortogonal a la placa. Esto se observa en las siguientes representaciones 2D y 3D.
[[Archivo:gradiente20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
Código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h =0.2; %Paso de muestreo
r = 1:h:2;
t= linspace(pi/4,3*pi/4,35);
[rr,tt]= meshgrid(r,t); %Mallado y parametrización
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
Grad=(2*(xx-3)./((xx-3).^2)+2); %GRADIENTE
Temperatura=log((xx-3).^2 + 2); %TEMPERATURAS
subplot(1,2,2) %Creación del gradiente
view(2)
hold on
surf(xx,yy,Temperatura);
axis([-3,3,-1,3]);
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura); %Dibujo del gradiente
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}
 

==Desplazamiento de la placa==
 
A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
[[Archivo:Desplazamiento1.jpg|650px|izquierda]]
[[Archivo:Desplazamiento2.jpg|350px|derecha]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>, su divergencia es:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·0})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}))] </math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico impar de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 0.3466
en el punto (1.41421,1.41421), mínima con valor -0.3466 en (-1.4121,1.4121) y nula donde <math>\rho=1</math>.

[[Archivo:divergencia20.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de estas gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Si se aplica al campo de desplazamientos resulta: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & ρ·\frac{log(ρ}{2}·sin(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \end{matrix}\right|=> -\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ}</math>. 
En la gráfica se puede apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional.
[[Archivo:Apart7.jpg|750px|centro]]

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 
Se procede a indicar el código de las tensiones.
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*(-sin(TT));
B=(log(RR)./2).*(sin(2.*(TT)-(pi/2))).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa: verde posición inicial y rojo posición final','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
 
 
 
 
===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}= log(ρ)cos(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_θ - (\frac{log(ρ)}{2})sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_ρ</math>
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}= 0 \vec e_z</math>
 
 
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}= \left(\begin{matrix} 0 & -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2})& 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t = \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{1}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ -(\frac{log(ρ)}{2ρ})sen(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
::* <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))= \left(\begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
<math>\sigma = \left(\begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 & 0 \\ & \\0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right) + 2 ·\left ( \begin{matrix} 0 & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{4ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>
 
 
 
<math> = \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right )
</math>

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
<math> |(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 1 \\0\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_ρ</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_θ))\vec e_θ | = (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\1\\0\end{matrix} \right )) ·\vec e_θ</math>
 
 
<math> = (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
=== Tensión normal al eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
<math>|(σ·\vec e_z))\vec e_z|= (\left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) ·\left ( \begin{matrix} 0 \\0\\1\end{matrix} \right )) ·\vec e_z</math>
 
 
<math> = (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) </math>
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, las tensiones normales en la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que en la dirección de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:tensionnormal2d.png|600px|centro]]
[[Archivo:tensionnormal2d1.png|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal a la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal al eje e sub z');
}}
 
 
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son las mismas en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:tdep.png|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones en las direcciones ortogonales a los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M11x=abs((yy.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M11y=abs((xx.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M11x;
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
[[Archivo:tdthetha.png|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=abs((yy.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));
M22y=abs((xx.*3.*log(rr))./(rr).*cos(2.*tt-(pi/2)));

X= xx + M22x;
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial a el plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tengencial al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
<math> \left | \left ( \begin{matrix} (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & 0 \\ (\frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) & (\frac{3log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) & 0 \\ & \\0 & 0 & (\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \end{matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{log(ρ)}{ρ})cos(2θ-\frac{π}{2}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | </math>
 
 
<math> = \frac{sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ})(1 - log(ρ)) </math>
 
 
[[Archivo:TensiontangBuena.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 

=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:tdtang.png|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

tangx = abs((yy.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));
tangy = abs((xx.*sin(2.*tt-pi/2)./2.*rr).*(1-log(rr)));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math> (también conocidos como tensiones principales).
 
=== Visualización de la Tensión de Von Mises===
 
La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es de 0.84431 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:
[[Archivo:vonmisEs.png|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
M12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R));
M22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
M21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');
}}
 
==Campo de fuerzas <math>\vec F </math>==

Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\nabla\cdot \sigma </math>
 
esta ecuacion nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas. Para cada punto que se le da al campo vectorial <math>\vec F </math> este devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en ese punto.
Este campo <math>\vec F </math> esta en coordenadas cartesianas y el campo equivalente en coordenadas cilindricas seria la ecuacion de Lamé:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
en esta ecuacion aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
===Calculo de la ecuacion de Lamé equivalente===
La ecuacion es la anteriormente mencionada:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \nabla\vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
Separamos la ecuacion en los distintos sumandos para ir calculando paso a paso:
 
El primer sumando es igual a cero porque el campo vectorial <math>\vec u </math>, no depende del tiempo.
 
<math>\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}= 0</math>
 
para aplicar la formula del Laplaciano se pasa el campo vectorial <math>\vec u </math> que esta en coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas y se continua aplicando la formula del segundo sumando.
 
<math>\mu \Delta \vec{u}=</math>
 
 
<math>\frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\mu} </math>
 
<math>-\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}\vec{e_\theta} </math>
 
En el tercer sumando se calcula la divergencia de u, se calcula elgradiente y se multiplica por landa mas el radio.
 
<math>-(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=</math>
 
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math>\frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 
Para terminar de calcular se suman los dos sumandos. Los dos sumandos son vectores en base cilindrica por lo que su suma es otro vector. al ser <math>\vec F </math> igual a un vector, <math>\vec F </math> es un campo vectorial que manda cada punto del espacio a un vector.
 
<math> \vec{F}= </math>
 
 
<math> \frac{\sin (\theta)\sin(2\theta -\pi/2) }{2\ln(10)\mu }-\frac{\mu \log(\mu)(5\sin(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\cos(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2} +\frac{\lambda +\mu }{\mu }\cos(2\theta -\pi/2)(\frac{1}{\mu}\log(\mu)+\frac{1}{\mu+\ln(10)})\vec{e_\mu }</math>
 
<math> -\frac{\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)}{2ln(10)\mu }+\frac{\mu \log(\mu)(5\cos(\theta)\sin(2\theta -\pi/2)+4\sin(\theta )\cos(2\theta -\pi/2))}{2}
+ \frac{\lambda +\mu }{\mu } 2\log(\mu)(\sin(2\theta -\pi/2)) \vec{e_\theta}</math>
 

===Representacion del campo de fuerzas===
Este campo de fuerzas se puede aplicar a todo el espacio <math> R_3 </math> pero en este caso queremos calcular la deformacion elastica de la placa anteriormente definida. para esto se le aplica el campo a cada punto de la placa. Para hacer este calculo y representarlo se utiliza matlab.
 
[[Archivo:Fuerza de lame equivalente.jpg|1000px|centro]]
{{matlab|codigo=
h=8;
u=linspace(1,2,h);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,h);
landa=1;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
%fncion
FX=(-(sin(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*sin(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*cos(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(-cos(2.*V-pi/2).*(log10(U)./U)+(1./(U.*log(10))))) ;
FY=((cos(V).*sin(2.*V-(pi/2)))./(2.*log(10).*U)) + ((U.*log10(U).*(5.*cos(V).*sin(2.*V-pi/2)+4.*sin(V).*cos(2.*V-pi/2)))./2) + (((-landa+U)./U).*(2.*log10(U).*sin(2.*U-pi/2))) ;
%figura
figure
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,FX,FY)
view (2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,0.5,2.2])
title('fuerza de lamé equivalente');
hold off
}}
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Divergencia20.jpg

2022-12-09T14:59:54Z

Rubén: