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Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T20:04:35Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler y Runge-Kutta de orden 4 para los distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para los distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all;clf;clc
% Introducimos las condiciones iniciales
t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
% Variables de RK4
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;
% Variables de Euler
Ie=zeros(1,length(t));
Re=zeros(1,length(t));
Se=zeros(1,length(t));
Ie(1)=I0;
Se(1)=S0;
Re(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4
for n=1:length(t)-1
%primer término
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);
end
% Euler
for i=1:length(t)-1
Se(i+1)=Se(i)+h*(Se(i)*(-0.0000218)*Ie(i)); %Euler primera ecuación
Ie(i+1)=Ie(i)+h*(0.0000218*Se(i)*Ie(i)-0.341*Ie(i)); %Euler segunda ecuación
Re(i+1)=Re(i)+h*(0.341*Ie(i)); %Euler tercera ecuación
end

hold on
plot(t,S,'g','linewidth',2,t,I,'b','linewidth',2,t,R,'r','linewidth',2)
plot(t,Se,'m','linewidth',2,t,Ie,'c','linewidth',2,t,Re,'k','linewidth',2)
legend('S con RK4','I con RK4', 'R con RK4','S con Euler','I con Euler', 'R con Euler','location','best')
hold off
}}

CONDICIONES 1: S0=159 985, I0=15.
{|
|-
| [[Archivo:4_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:20_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 2: S0=140 000, I0=20 000.
{|
|-
| [[Archivo:4_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO220_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 3: S0=159 999, I0=1.
{|
|-
| [[Archivo:CASO34_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:CASO34_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:CASO34_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO320_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:C20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:C20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==
En los datos del caso 1, la población sana se contagia de la enfermedad prácticamente al completo antes de la quinta semana, aumentando a su vez, y como es lógico (R + I + S = N), los infectados y los curados, en menor medida estos últimos. Los infectados tienen un máximo entre la semana 3 y 4, a partir del cual empiezan a disminuir porque la población se recupera hasta casi su totalidad.

En el caso 2, la población sana se infecta casi en su totalidad antes de la segunda semana, con un aumento mucho mayor que el caso anterior. Esto se debe a que el número de infectados en el primer caso eran 15 y en el segundo 20 000. Las curvas de curados e infectados tienen la misma forma que en el caso 1 pero con unas variaciones más suaves, teniendo que pasar más de 20 semanas para que los curados tiendan a ser la población total.

En el caso 3, al haber inicialmente un único infectado, la población comienza a desarrollar la enfermedad en torno a la segunda semana, estando infectada casi en su mayoría al comienzo de la quinta semana. La variación de las curvas de infectados y sanos tienen una gran pendiente. Los curados tienen a aumentar con una pendiente más suave, hasta estabilizarse y llegar estar curada toda la población.

Realmente y como se ha dicho en el apartado anterior, las curvas S e I tienden a cero y la curva R tiende a N en el infinito, aunque es válido decir que son cero y N respectivamente cuando ha pasado un tiempo t lo suficientemente grande como para que el error del método sea pequeño.

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
A partir de la siguiente ecuación diferencial:: <math> \frac {dI}{dS} =-1+\frac {\rho}{S} </math> 
Si integramos la función obtenemos las trayectorias:: <math> I+S-\rho \cdot log S = K , siendo K\in\mathbb{R} </math> 
 
 
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|500px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|750px|left|Gráfica de las trayectorias obtenidas a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|-
| [[Archivo:20_(001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20.001.png|thumb|750px|left|Gráfica de las trayectorias obtenidas a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.01]]
|-
| [[Archivo:20_(0001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20_0001.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria obtenida a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.001]]
|}

Las trayectorias obtenidas en el plano de fases (I,S), están necesariamente acotadas por el triángulo de vértices (S,I)=(0,0); (S,I)=(0,N); (S,I)=(N,0). Esto ocurre porque las variables son positivas y dado que el sistema tiene tamaño fijo.

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T20:04:12Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler y Runge-Kutta de orden 4 para los distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para los distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all;clf;clc
% Introducimos las condiciones iniciales
t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
% Variables de RK4
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;
% Variables de Euler
Ie=zeros(1,length(t));
Re=zeros(1,length(t));
Se=zeros(1,length(t));
Ie(1)=I0;
Se(1)=S0;
Re(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4
for n=1:length(t)-1
%primer término
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);
end
% Euler
for i=1:length(t)-1
Se(i+1)=Se(i)+h*(Se(i)*(-0.0000218)*Ie(i)); %Euler primera ecuación
Ie(i+1)=Ie(i)+h*(0.0000218*Se(i)*Ie(i)-0.341*Ie(i)); %Euler segunda ecuación
Re(i+1)=Re(i)+h*(0.341*Ie(i)); %Euler tercera ecuación
end

hold on
plot(t,S,'g','linewidth',2,t,I,'b','linewidth',2,t,R,'r','linewidth',2)
plot(t,Se,'m','linewidth',2,t,Ie,'c','linewidth',2,t,Re,'k','linewidth',2)
legend('S con RK4','I con RK4', 'R con RK4','S con Euler','I con Euler', 'R con Euler','location','best')
hold off
}}

CONDICIONES 1: S0=159 985, I0=15.
{|
|-
| [[Archivo:4_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:20_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 2: S0=140 000, I0=20 000.
{|
|-
| [[Archivo:4_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO220_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 3: S0=159 999, I0=1.
{|
|-
| [[Archivo:CASO34_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:CASO34_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:CASO34_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO320_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:C20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:C20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==
En los datos del caso 1, la población sana se contagia de la enfermedad prácticamente al completo antes de la quinta semana, aumentando a su vez, y como es lógico (R + I + S = N), los infectados y los curados, en menor medida estos últimos. Los infectados tienen un máximo entre la semana 3 y 4, a partir del cual empiezan a disminuir porque la población se recupera hasta casi su totalidad.

En el caso 2, la población sana se infecta casi en su totalidad antes de la segunda semana, con un aumento mucho mayor que el caso anterior. Esto se debe a que el número de infectados en el primer caso eran 15 y en el segundo 20 000. Las curvas de curados e infectados tienen la misma forma que en el caso 1 pero con unas variaciones más suaves, teniendo que pasar más de 20 semanas para que los curados tiendan a ser la población total.

En el caso 3, al haber inicialmente un único infectado, la población comienza a desarrollar la enfermedad en torno a la segunda semana, estando infectada casi en su mayoría al comienzo de la quinta semana. La variación de las curvas de infectados y sanos tienen una gran pendiente. Los curados tienen a aumentar con una pendiente más suave, hasta estabilizarse y llegar estar curada toda la población.

Realmente y como se ha dicho en el apartado anterior, las curvas S e I tienden a cero y la curva R tiende a N en el infinito, aunque es válido decir que son cero y N respectivamente cuando ha pasado un tiempo t lo suficientemente grande como para que el error del método sea pequeño.

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
A partir de la siguiente ecuación diferencial: <math> \frac {dI}{dS} =-1+\frac {\rho}{S} </math> 
Si integramos la función obtenemos las trayectorias: <math> I+S-\rho \cdot log S = K , siendo K\in\mathbb{R} </math> 
 
 
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|500px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|750px|left|Gráfica de las trayectorias obtenidas a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|-
| [[Archivo:20_(001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20.001.png|thumb|750px|left|Gráfica de las trayectorias obtenidas a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.01]]
|-
| [[Archivo:20_(0001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20_0001.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria obtenida a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.001]]
|}

Las trayectorias obtenidas en el plano de fases (I,S), están necesariamente acotadas por el triángulo de vértices (S,I)=(0,0); (S,I)=(0,N); (S,I)=(N,0). Esto ocurre porque las variables son positivas y dado que el sistema tiene tamaño fijo.

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T20:03:59Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler y Runge-Kutta de orden 4 para los distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para los distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all;clf;clc
% Introducimos las condiciones iniciales
t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
% Variables de RK4
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;
% Variables de Euler
Ie=zeros(1,length(t));
Re=zeros(1,length(t));
Se=zeros(1,length(t));
Ie(1)=I0;
Se(1)=S0;
Re(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4
for n=1:length(t)-1
%primer término
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);
end
% Euler
for i=1:length(t)-1
Se(i+1)=Se(i)+h*(Se(i)*(-0.0000218)*Ie(i)); %Euler primera ecuación
Ie(i+1)=Ie(i)+h*(0.0000218*Se(i)*Ie(i)-0.341*Ie(i)); %Euler segunda ecuación
Re(i+1)=Re(i)+h*(0.341*Ie(i)); %Euler tercera ecuación
end

hold on
plot(t,S,'g','linewidth',2,t,I,'b','linewidth',2,t,R,'r','linewidth',2)
plot(t,Se,'m','linewidth',2,t,Ie,'c','linewidth',2,t,Re,'k','linewidth',2)
legend('S con RK4','I con RK4', 'R con RK4','S con Euler','I con Euler', 'R con Euler','location','best')
hold off
}}

CONDICIONES 1: S0=159 985, I0=15.
{|
|-
| [[Archivo:4_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:20_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 2: S0=140 000, I0=20 000.
{|
|-
| [[Archivo:4_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO220_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 3: S0=159 999, I0=1.
{|
|-
| [[Archivo:CASO34_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:CASO34_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:CASO34_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO320_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:C20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:C20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==
En los datos del caso 1, la población sana se contagia de la enfermedad prácticamente al completo antes de la quinta semana, aumentando a su vez, y como es lógico (R + I + S = N), los infectados y los curados, en menor medida estos últimos. Los infectados tienen un máximo entre la semana 3 y 4, a partir del cual empiezan a disminuir porque la población se recupera hasta casi su totalidad.

En el caso 2, la población sana se infecta casi en su totalidad antes de la segunda semana, con un aumento mucho mayor que el caso anterior. Esto se debe a que el número de infectados en el primer caso eran 15 y en el segundo 20 000. Las curvas de curados e infectados tienen la misma forma que en el caso 1 pero con unas variaciones más suaves, teniendo que pasar más de 20 semanas para que los curados tiendan a ser la población total.

En el caso 3, al haber inicialmente un único infectado, la población comienza a desarrollar la enfermedad en torno a la segunda semana, estando infectada casi en su mayoría al comienzo de la quinta semana. La variación de las curvas de infectados y sanos tienen una gran pendiente. Los curados tienen a aumentar con una pendiente más suave, hasta estabilizarse y llegar estar curada toda la población.

Realmente y como se ha dicho en el apartado anterior, las curvas S e I tienden a cero y la curva R tiende a N en el infinito, aunque es válido decir que son cero y N respectivamente cuando ha pasado un tiempo t lo suficientemente grande como para que el error del método sea pequeño.

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
A partir de la siguiente ecuación diferencial: <math> \frac {dI}{dS} =-1+\frac {\rho}{S} </math> 
Si integramos la función obtenemos las trayectorias: <math> I+S-\rho \cdot log S = K , siendo K\in\mathbb{R} </math> 
. 
 
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|500px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|750px|left|Gráfica de las trayectorias obtenidas a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|-
| [[Archivo:20_(001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20.001.png|thumb|750px|left|Gráfica de las trayectorias obtenidas a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.01]]
|-
| [[Archivo:20_(0001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20_0001.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria obtenida a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.001]]
|}

Las trayectorias obtenidas en el plano de fases (I,S), están necesariamente acotadas por el triángulo de vértices (S,I)=(0,0); (S,I)=(0,N); (S,I)=(N,0). Esto ocurre porque las variables son positivas y dado que el sistema tiene tamaño fijo.

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T20:03:10Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler y Runge-Kutta de orden 4 para los distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para los distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all;clf;clc
% Introducimos las condiciones iniciales
t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
% Variables de RK4
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;
% Variables de Euler
Ie=zeros(1,length(t));
Re=zeros(1,length(t));
Se=zeros(1,length(t));
Ie(1)=I0;
Se(1)=S0;
Re(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4
for n=1:length(t)-1
%primer término
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);
end
% Euler
for i=1:length(t)-1
Se(i+1)=Se(i)+h*(Se(i)*(-0.0000218)*Ie(i)); %Euler primera ecuación
Ie(i+1)=Ie(i)+h*(0.0000218*Se(i)*Ie(i)-0.341*Ie(i)); %Euler segunda ecuación
Re(i+1)=Re(i)+h*(0.341*Ie(i)); %Euler tercera ecuación
end

hold on
plot(t,S,'g','linewidth',2,t,I,'b','linewidth',2,t,R,'r','linewidth',2)
plot(t,Se,'m','linewidth',2,t,Ie,'c','linewidth',2,t,Re,'k','linewidth',2)
legend('S con RK4','I con RK4', 'R con RK4','S con Euler','I con Euler', 'R con Euler','location','best')
hold off
}}

CONDICIONES 1: S0=159 985, I0=15.
{|
|-
| [[Archivo:4_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:20_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 2: S0=140 000, I0=20 000.
{|
|-
| [[Archivo:4_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO220_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 3: S0=159 999, I0=1.
{|
|-
| [[Archivo:CASO34_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:CASO34_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:CASO34_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO320_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:C20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:C20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==
En los datos del caso 1, la población sana se contagia de la enfermedad prácticamente al completo antes de la quinta semana, aumentando a su vez, y como es lógico (R + I + S = N), los infectados y los curados, en menor medida estos últimos. Los infectados tienen un máximo entre la semana 3 y 4, a partir del cual empiezan a disminuir porque la población se recupera hasta casi su totalidad.

En el caso 2, la población sana se infecta casi en su totalidad antes de la segunda semana, con un aumento mucho mayor que el caso anterior. Esto se debe a que el número de infectados en el primer caso eran 15 y en el segundo 20 000. Las curvas de curados e infectados tienen la misma forma que en el caso 1 pero con unas variaciones más suaves, teniendo que pasar más de 20 semanas para que los curados tiendan a ser la población total.

En el caso 3, al haber inicialmente un único infectado, la población comienza a desarrollar la enfermedad en torno a la segunda semana, estando infectada casi en su mayoría al comienzo de la quinta semana. La variación de las curvas de infectados y sanos tienen una gran pendiente. Los curados tienen a aumentar con una pendiente más suave, hasta estabilizarse y llegar estar curada toda la población.

Realmente y como se ha dicho en el apartado anterior, las curvas S e I tienden a cero y la curva R tiende a N en el infinito, aunque es válido decir que son cero y N respectivamente cuando ha pasado un tiempo t lo suficientemente grande como para que el error del método sea pequeño.

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
A partir de la siguiente ecuación diferencial: <math> \frac {dI}{dS} =-1+\frac {\rho}{S} </math> 
Si integramos la función obtenemos las trayectorias: <math> I+S-\rho \cdot log S = K , siendo K\in\mathbb{R} </math> 
que se encuentran en el triangulo de vértices (S,I) = (0,0), (S,I) = (0,N) y (S,I) = (N,0). 
 
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|500px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|750px|left|Gráfica de las trayectorias obtenidas a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|-
| [[Archivo:20_(001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20.001.png|thumb|750px|left|Gráfica de las trayectorias obtenidas a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.01]]
|-
| [[Archivo:20_(0001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20_0001.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria obtenida a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.001]]
|}

Las trayectorias obtenidas en el plano de fases (I,S), están necesariamente acotadas por el triángulo de vértices (S,I)=(0,0); (S,I)=(0,N); (S,I)=(N,0). Esto ocurre porque las variables son positivas y dado que el sistema tiene tamaño fijo.

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T20:02:52Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler y Runge-Kutta de orden 4 para los distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para los distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all;clf;clc
% Introducimos las condiciones iniciales
t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
% Variables de RK4
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;
% Variables de Euler
Ie=zeros(1,length(t));
Re=zeros(1,length(t));
Se=zeros(1,length(t));
Ie(1)=I0;
Se(1)=S0;
Re(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4
for n=1:length(t)-1
%primer término
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);
end
% Euler
for i=1:length(t)-1
Se(i+1)=Se(i)+h*(Se(i)*(-0.0000218)*Ie(i)); %Euler primera ecuación
Ie(i+1)=Ie(i)+h*(0.0000218*Se(i)*Ie(i)-0.341*Ie(i)); %Euler segunda ecuación
Re(i+1)=Re(i)+h*(0.341*Ie(i)); %Euler tercera ecuación
end

hold on
plot(t,S,'g','linewidth',2,t,I,'b','linewidth',2,t,R,'r','linewidth',2)
plot(t,Se,'m','linewidth',2,t,Ie,'c','linewidth',2,t,Re,'k','linewidth',2)
legend('S con RK4','I con RK4', 'R con RK4','S con Euler','I con Euler', 'R con Euler','location','best')
hold off
}}

CONDICIONES 1: S0=159 985, I0=15.
{|
|-
| [[Archivo:4_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:20_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 2: S0=140 000, I0=20 000.
{|
|-
| [[Archivo:4_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO220_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 3: S0=159 999, I0=1.
{|
|-
| [[Archivo:CASO34_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:CASO34_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:CASO34_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO320_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:C20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:C20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==
En los datos del caso 1, la población sana se contagia de la enfermedad prácticamente al completo antes de la quinta semana, aumentando a su vez, y como es lógico (R + I + S = N), los infectados y los curados, en menor medida estos últimos. Los infectados tienen un máximo entre la semana 3 y 4, a partir del cual empiezan a disminuir porque la población se recupera hasta casi su totalidad.

En el caso 2, la población sana se infecta casi en su totalidad antes de la segunda semana, con un aumento mucho mayor que el caso anterior. Esto se debe a que el número de infectados en el primer caso eran 15 y en el segundo 20 000. Las curvas de curados e infectados tienen la misma forma que en el caso 1 pero con unas variaciones más suaves, teniendo que pasar más de 20 semanas para que los curados tiendan a ser la población total.

En el caso 3, al haber inicialmente un único infectado, la población comienza a desarrollar la enfermedad en torno a la segunda semana, estando infectada casi en su mayoría al comienzo de la quinta semana. La variación de las curvas de infectados y sanos tienen una gran pendiente. Los curados tienen a aumentar con una pendiente más suave, hasta estabilizarse y llegar estar curada toda la población.

Realmente y como se ha dicho en el apartado anterior, las curvas S e I tienden a cero y la curva R tiende a N en el infinito, aunque es válido decir que son cero y N respectivamente cuando ha pasado un tiempo t lo suficientemente grande como para que el error del método sea pequeño.

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
A partir de la siguiente ecuación diferencial: <math> \frac {dI}{dS} =-1+\frac {\rho}{S} </math> 
Si integramos la función obtenemos las trayectorias: <math> I+S-\rho \cdot log S = K , siendo K\in\mathbb{R} </math> 
que se encuentran en el triangulo de vértices (S,I) = (0,0), (S,I) = (0,N) y (S,I) = (N,0). 
 
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|500px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|750px|left|Gráfica de las trayectorias obtenidas a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|-
| [[Archivo:20_(001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20.001.png|thumb|750px|left|Gráfica de las trayectorias obtenidas a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.01]]
|-
| [[Archivo:20_(0001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20_0001.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria obtenida a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.001]]
|}

Las trayectorias obtenidas en el plano de fases (I,S), están necesariamente acotadas por el triángulo de vértices (S,I)=(0,0); (S,I)=(0,N); (S,I)=(N,0). Esto ocurre porque las variables son positivas y dado que el sistema tiene tamaño fijo.

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T20:01:56Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler y Runge-Kutta de orden 4 para los distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para los distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all;clf;clc
% Introducimos las condiciones iniciales
t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
% Variables de RK4
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;
% Variables de Euler
Ie=zeros(1,length(t));
Re=zeros(1,length(t));
Se=zeros(1,length(t));
Ie(1)=I0;
Se(1)=S0;
Re(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4
for n=1:length(t)-1
%primer término
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);
end
% Euler
for i=1:length(t)-1
Se(i+1)=Se(i)+h*(Se(i)*(-0.0000218)*Ie(i)); %Euler primera ecuación
Ie(i+1)=Ie(i)+h*(0.0000218*Se(i)*Ie(i)-0.341*Ie(i)); %Euler segunda ecuación
Re(i+1)=Re(i)+h*(0.341*Ie(i)); %Euler tercera ecuación
end

hold on
plot(t,S,'g','linewidth',2,t,I,'b','linewidth',2,t,R,'r','linewidth',2)
plot(t,Se,'m','linewidth',2,t,Ie,'c','linewidth',2,t,Re,'k','linewidth',2)
legend('S con RK4','I con RK4', 'R con RK4','S con Euler','I con Euler', 'R con Euler','location','best')
hold off
}}

CONDICIONES 1: S0=159 985, I0=15.
{|
|-
| [[Archivo:4_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:20_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 2: S0=140 000, I0=20 000.
{|
|-
| [[Archivo:4_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO220_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 3: S0=159 999, I0=1.
{|
|-
| [[Archivo:CASO34_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:CASO34_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:CASO34_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO320_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:C20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:C20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==
En los datos del caso 1, la población sana se contagia de la enfermedad prácticamente al completo antes de la quinta semana, aumentando a su vez, y como es lógico (R + I + S = N), los infectados y los curados, en menor medida estos últimos. Los infectados tienen un máximo entre la semana 3 y 4, a partir del cual empiezan a disminuir porque la población se recupera hasta casi su totalidad.

En el caso 2, la población sana se infecta casi en su totalidad antes de la segunda semana, con un aumento mucho mayor que el caso anterior. Esto se debe a que el número de infectados en el primer caso eran 15 y en el segundo 20 000. Las curvas de curados e infectados tienen la misma forma que en el caso 1 pero con unas variaciones más suaves, teniendo que pasar más de 20 semanas para que los curados tiendan a ser la población total.

En el caso 3, al haber inicialmente un único infectado, la población comienza a desarrollar la enfermedad en torno a la segunda semana, estando infectada casi en su mayoría al comienzo de la quinta semana. La variación de las curvas de infectados y sanos tienen una gran pendiente. Los curados tienen a aumentar con una pendiente más suave, hasta estabilizarse y llegar estar curada toda la población.

Realmente y como se ha dicho en el apartado anterior, las curvas S e I tienden a cero y la curva R tiende a N en el infinito, aunque es válido decir que son cero y N respectivamente cuando ha pasado un tiempo t lo suficientemente grande como para que el error del método sea pequeño.

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
A partir de la siguiente ecuación diferencial: <math> \frac {dI}{dS} =-1+\frac {\rho}{S} </math> 
Si integramos la función obtenemos las trayectorias: <math> I+S-\rho \cdot log S = K , K\in\mathbb{R} </math> 
que se encuentran en el triangulo de vértices (S,I) = (0,0), (S,I) = (0,N) y (S,I) = (N,0). 
 
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|500px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|750px|left|Gráfica de las trayectorias obtenidas a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|-
| [[Archivo:20_(001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20.001.png|thumb|750px|left|Gráfica de las trayectorias obtenidas a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.01]]
|-
| [[Archivo:20_(0001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20_0001.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria obtenida a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.001]]
|}

Las trayectorias obtenidas en el plano de fases (I,S), están necesariamente acotadas por el triángulo de vértices (S,I)=(0,0); (S,I)=(0,N); (S,I)=(N,0). Esto ocurre porque las variables son positivas y dado que el sistema tiene tamaño fijo.

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T20:01:24Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler y Runge-Kutta de orden 4 para los distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para los distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all;clf;clc
% Introducimos las condiciones iniciales
t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
% Variables de RK4
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;
% Variables de Euler
Ie=zeros(1,length(t));
Re=zeros(1,length(t));
Se=zeros(1,length(t));
Ie(1)=I0;
Se(1)=S0;
Re(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4
for n=1:length(t)-1
%primer término
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);
end
% Euler
for i=1:length(t)-1
Se(i+1)=Se(i)+h*(Se(i)*(-0.0000218)*Ie(i)); %Euler primera ecuación
Ie(i+1)=Ie(i)+h*(0.0000218*Se(i)*Ie(i)-0.341*Ie(i)); %Euler segunda ecuación
Re(i+1)=Re(i)+h*(0.341*Ie(i)); %Euler tercera ecuación
end

hold on
plot(t,S,'g','linewidth',2,t,I,'b','linewidth',2,t,R,'r','linewidth',2)
plot(t,Se,'m','linewidth',2,t,Ie,'c','linewidth',2,t,Re,'k','linewidth',2)
legend('S con RK4','I con RK4', 'R con RK4','S con Euler','I con Euler', 'R con Euler','location','best')
hold off
}}

CONDICIONES 1: S0=159 985, I0=15.
{|
|-
| [[Archivo:4_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:20_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 2: S0=140 000, I0=20 000.
{|
|-
| [[Archivo:4_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO220_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 3: S0=159 999, I0=1.
{|
|-
| [[Archivo:CASO34_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:CASO34_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:CASO34_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO320_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:C20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:C20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==
En los datos del caso 1, la población sana se contagia de la enfermedad prácticamente al completo antes de la quinta semana, aumentando a su vez, y como es lógico (R + I + S = N), los infectados y los curados, en menor medida estos últimos. Los infectados tienen un máximo entre la semana 3 y 4, a partir del cual empiezan a disminuir porque la población se recupera hasta casi su totalidad.

En el caso 2, la población sana se infecta casi en su totalidad antes de la segunda semana, con un aumento mucho mayor que el caso anterior. Esto se debe a que el número de infectados en el primer caso eran 15 y en el segundo 20 000. Las curvas de curados e infectados tienen la misma forma que en el caso 1 pero con unas variaciones más suaves, teniendo que pasar más de 20 semanas para que los curados tiendan a ser la población total.

En el caso 3, al haber inicialmente un único infectado, la población comienza a desarrollar la enfermedad en torno a la segunda semana, estando infectada casi en su mayoría al comienzo de la quinta semana. La variación de las curvas de infectados y sanos tienen una gran pendiente. Los curados tienen a aumentar con una pendiente más suave, hasta estabilizarse y llegar estar curada toda la población.

Realmente y como se ha dicho en el apartado anterior, las curvas S e I tienden a cero y la curva R tiende a N en el infinito, aunque es válido decir que son cero y N respectivamente cuando ha pasado un tiempo t lo suficientemente grande como para que el error del método sea pequeño.

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
A partir de la siguiente ecuación diferencial: <math> \frac {dI}{dS} =-1+\frac {\rho}{S} </math> 
Si integramos la función obtenemos las trayectorias: <math> I+S-\rho \cdot log S = K , K\in\mathbb{R} </math> 
que se encuentran en el triangulo de vértices (S,I) = (0,0), (S,I) = (0,N) y (S,I) = (N,0). 
 
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|500px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|750px|left|Gráfica de las trayectorias obtenidas a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|-
| [[Archivo:20_(001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20.001.png|thumb|750px|left|Gráfica de las trayectorias obtenidas a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.01]]
|-
| [[Archivo:20_(0001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20_0001.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria obtenida a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.001]]
|}

Las trayectorias obtenidas en el plano de fases (I,S), están necesariamente acotadas por el triángulo de vértices (S,I)=(0,0); (S,I)=(0,N); (S,I)=(N,0). Esto ocurre porque las variables son positivas y dado que el sistema tiene tamaño fijo.

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T19:57:29Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler y Runge-Kutta de orden 4 para los distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para los distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all;clf;clc
% Introducimos las condiciones iniciales
t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
% Variables de RK4
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;
% Variables de Euler
Ie=zeros(1,length(t));
Re=zeros(1,length(t));
Se=zeros(1,length(t));
Ie(1)=I0;
Se(1)=S0;
Re(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4
for n=1:length(t)-1
%primer término
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);
end
% Euler
for i=1:length(t)-1
Se(i+1)=Se(i)+h*(Se(i)*(-0.0000218)*Ie(i)); %Euler primera ecuación
Ie(i+1)=Ie(i)+h*(0.0000218*Se(i)*Ie(i)-0.341*Ie(i)); %Euler segunda ecuación
Re(i+1)=Re(i)+h*(0.341*Ie(i)); %Euler tercera ecuación
end

hold on
plot(t,S,'g','linewidth',2,t,I,'b','linewidth',2,t,R,'r','linewidth',2)
plot(t,Se,'m','linewidth',2,t,Ie,'c','linewidth',2,t,Re,'k','linewidth',2)
legend('S con RK4','I con RK4', 'R con RK4','S con Euler','I con Euler', 'R con Euler','location','best')
hold off
}}

CONDICIONES 1: S0=159 985, I0=15.
{|
|-
| [[Archivo:4_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:20_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 2: S0=140 000, I0=20 000.
{|
|-
| [[Archivo:4_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO220_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 3: S0=159 999, I0=1.
{|
|-
| [[Archivo:CASO34_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:CASO34_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:CASO34_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO320_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:C20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:C20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|500px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|750px|left|Gráfica de las trayectorias obtenidas a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|-
| [[Archivo:20_(001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20.001.png|thumb|750px|left|Gráfica de las trayectorias obtenidas a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.01]]
|-
| [[Archivo:20_(0001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias en función de (S,I) hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20_0001.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria obtenida a partir de la solución de la ecuación diferencial hasta la semana 20 con paso de 0.001]]
|}

Las trayectorias obtenidas en el plano de fases (I,S), están necesariamente acotadas por el triángulo de vértices (S,I)=(0,0); (S,I)=(0,N); (S,I)=(N,0). Esto ocurre porque las variables son positivas y dado que el sistema tiene tamaño fijo.

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T19:46:22Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler y Runge-Kutta de orden 4 para los distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para los distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all;clf;clc
% Introducimos las condiciones iniciales
t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
% Variables de RK4
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;
% Variables de Euler
Ie=zeros(1,length(t));
Re=zeros(1,length(t));
Se=zeros(1,length(t));
Ie(1)=I0;
Se(1)=S0;
Re(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4
for n=1:length(t)-1
%primer término
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);
end
% Euler
for i=1:length(t)-1
Se(i+1)=Se(i)+h*(Se(i)*(-0.0000218)*Ie(i)); %Euler primera ecuación
Ie(i+1)=Ie(i)+h*(0.0000218*Se(i)*Ie(i)-0.341*Ie(i)); %Euler segunda ecuación
Re(i+1)=Re(i)+h*(0.341*Ie(i)); %Euler tercera ecuación
end

hold on
plot(t,S,'g','linewidth',2,t,I,'b','linewidth',2,t,R,'r','linewidth',2)
plot(t,Se,'m','linewidth',2,t,Ie,'c','linewidth',2,t,Re,'k','linewidth',2)
legend('S con RK4','I con RK4', 'R con RK4','S con Euler','I con Euler', 'R con Euler','location','best')
hold off
}}

CONDICIONES 1: S0=159 985, I0=15.
{|
|-
| [[Archivo:4_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:20_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 2: S0=140 000, I0=20 000.
{|
|-
| [[Archivo:4_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO220_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 3: S0=159 999, I0=1.
{|
|-
| [[Archivo:CASO34_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:CASO34_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:CASO34_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO320_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:C20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:C20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|500px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|-
| [[Archivo:20_(001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triánglo de trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20.001.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.01]]
|-
| [[Archivo:20_(0001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triánglo de trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20_0001.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.001]]
|}

Las trayectorias obtenidas en el plano de fases (I,S), están necesariamente acotadas por el triángulo de vértices (S,I)=(0,0); (S,I)=(0,N); (S,I)=(N,0). Esto ocurre porque las variables son positivas y dado que el sistema tiene tamaño fijo.

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T19:33:36Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler y Runge-Kutta de orden 4 para los distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para los distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all;clf;clc
% Introducimos las condiciones iniciales
t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
% Variables de RK4
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;
% Variables de Euler
Ie=zeros(1,length(t));
Re=zeros(1,length(t));
Se=zeros(1,length(t));
Ie(1)=I0;
Se(1)=S0;
Re(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4
for n=1:length(t)-1
%primer término
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);
end
% Euler
for i=1:length(t)-1
Se(i+1)=Se(i)+h*(Se(i)*(-0.0000218)*Ie(i)); %Euler primera ecuación
Ie(i+1)=Ie(i)+h*(0.0000218*Se(i)*Ie(i)-0.341*Ie(i)); %Euler segunda ecuación
Re(i+1)=Re(i)+h*(0.341*Ie(i)); %Euler tercera ecuación
end

hold on
plot(t,S,'g','linewidth',2,t,I,'b','linewidth',2,t,R,'r','linewidth',2)
plot(t,Se,'m','linewidth',2,t,Ie,'c','linewidth',2,t,Re,'k','linewidth',2)
legend('S con RK4','I con RK4', 'R con RK4','S con Euler','I con Euler', 'R con Euler','location','best')
hold off
}}

CONDICIONES 1: S0=159 985, I0=15.
{|
|-
| [[Archivo:4_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:20_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 2: S0=140 000, I0=20 000.
{|
|-
| [[Archivo:4_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO220_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 3: S0=159 999, I0=1.
{|
|-
| [[Archivo:CASO34_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:CASO34_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:CASO34_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO320_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:C20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:C20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|500px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|-
| [[Archivo:20_(001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triánglo de trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20.001.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.01]]
|-
| [[Archivo:20_(0001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triánglo de trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20_0001.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.001]]
|}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T19:32:07Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler y Runge-Kutta de orden 4 para los distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para los distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all;clf;clc
% Introducimos las condiciones iniciales
t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
% Variables de RK4
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;
% Variables de Euler
Ie=zeros(1,length(t));
Re=zeros(1,length(t));
Se=zeros(1,length(t));
Ie(1)=I0;
Se(1)=S0;
Re(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4
for n=1:length(t)-1
%primer término
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);
end
% Euler
for i=1:length(t)-1
Se(i+1)=Se(i)+h*(Se(i)*(-0.0000218)*Ie(i)); %Euler primera ecuación
Ie(i+1)=Ie(i)+h*(0.0000218*Se(i)*Ie(i)-0.341*Ie(i)); %Euler segunda ecuación
Re(i+1)=Re(i)+h*(0.341*Ie(i)); %Euler tercera ecuación
end

hold on
plot(t,S,'g','linewidth',2,t,I,'b','linewidth',2,t,R,'r','linewidth',2)
plot(t,Se,'m','linewidth',2,t,Ie,'c','linewidth',2,t,Re,'k','linewidth',2)
legend('S con RK4','I con RK4', 'R con RK4','S con Euler','I con Euler', 'R con Euler','location','best')
hold off
}}

CONDICIONES 1: S0=159 985, I0=15.
{|
|-
| [[Archivo:4_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:20_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 2: S0=140 000, I0=20 000.
{|
|-
| [[Archivo:4_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO220_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 3: S0=159 999, I0=1.
{|
|-
| [[Archivo:CASO34_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:CASO34_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:CASO34_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO320_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:C20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:C20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|500px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|-
| [[Archivo:20_(001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triánglo de trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20.001.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.01]]
|-
| [[Archivo:20_(0001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triánglo de trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20_0001.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.001]]
|}

|}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Archivo:Traye20 0001.png

2015-03-06T19:31:38Z

Rocio santos: trayectoria hasta semana 20 con un paso 0.001

trayectoria hasta semana 20 con un paso 0.001

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T19:30:03Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler y Runge-Kutta de orden 4 para los distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para los distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all;clf;clc
% Introducimos las condiciones iniciales
t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
% Variables de RK4
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;
% Variables de Euler
Ie=zeros(1,length(t));
Re=zeros(1,length(t));
Se=zeros(1,length(t));
Ie(1)=I0;
Se(1)=S0;
Re(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4
for n=1:length(t)-1
%primer término
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);
end
% Euler
for i=1:length(t)-1
Se(i+1)=Se(i)+h*(Se(i)*(-0.0000218)*Ie(i)); %Euler primera ecuación
Ie(i+1)=Ie(i)+h*(0.0000218*Se(i)*Ie(i)-0.341*Ie(i)); %Euler segunda ecuación
Re(i+1)=Re(i)+h*(0.341*Ie(i)); %Euler tercera ecuación
end

hold on
plot(t,S,'g','linewidth',2,t,I,'b','linewidth',2,t,R,'r','linewidth',2)
plot(t,Se,'m','linewidth',2,t,Ie,'c','linewidth',2,t,Re,'k','linewidth',2)
legend('S con RK4','I con RK4', 'R con RK4','S con Euler','I con Euler', 'R con Euler','location','best')
hold off
}}

CONDICIONES 1: S0=159 985, I0=15.
{|
|-
| [[Archivo:4_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:20_sem_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_sem_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_sem_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 2: S0=140 000, I0=20 000.
{|
|-
| [[Archivo:4_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:4_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:4_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO220_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 2 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

CONDICIONES 3: S0=159 999, I0=1.
{|
|-
| [[Archivo:CASO34_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:CASO34_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:CASO34_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 4, con un paso de 0.001]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:CASO320_01.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:C20_001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:C20_0001.png|thumb|475px|left|Condiciones iniciales 3 hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|500px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|-
| [[Archivo:20_(001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triánglo de trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20.001.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.01]]
|-
| [[Archivo:20_(0001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triánglo de trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.001]]
|}

|}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Archivo:20 (0001).png

2015-03-06T19:28:50Z

Rocio santos: Triangulo de trayectorias hasta la semana 20 con un paso de 0.001

Triangulo de trayectorias hasta la semana 20 con un paso de 0.001

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T19:27:51Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clf, clear all
t0=0;
S0=input('Introduce los susceptibles de ser infectados inicialmente: ');
I0=input('Introduce el numero de infectados inicialmente: ');
R0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas de estudio: ');
h=input('Introduce el paso: ');
N=round((tN-t0)/h); %numero de subintervalos
% Definimos la variable independiente---------------------------------------------------------------------------
t=t0:h:tN;
% Definimos las variables dependientes--------------------------------------------------------------------------
S=zeros(1,N+1); % Susceptibles de ser infectados (primera incógnita)
I=zeros(1,N+1); % Infectados (segunda incógnita)
R=zeros(1,N+1); % Removidos (tercera incógnita)
% Datos iniciales-----------------------------------------------------------------------------------------------
S(1)=S0;
I(1)=I0;
R(1)=R0;
% Bucle Euler---------------------------------------------------------------------------------------------------
for i=1:N
S(i+1)=S(i)+h*(S(i)*(-0.0000218)*I(i)); %Euler primera ecuación
I(i+1)=I(i)+h*(0.0000218*S(i)*I(i)-0.341*I(i)); %Euler segunda ecuación
R(i+1)=R(i)+h*(0.341*I(i)); %Euler tercera ecuación
end
% Gráficas de S, I y R------------------------------------------------------------------------------------------
hold on
plot(t,S,'Linewidth',3)
plot(t,I,'g',Linewidth',3)
plot(t,R,'r',Linewidth',3)
legend('Variable S','Variable I','Variable R','Location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales1._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Runge-Kutta para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.

El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
clf
% Introducimos las condiciones iniciales

t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;

% Runge-Kutta de orden 4

for n=1:length(t)-1

%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);

end

hold on
plot(t,S,'g','Linewidth',3)
hold on
plot(t,I,'Linewidth',3)
hold on
plot(t,R,'r','Linewidth',3)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_4._Paso_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._.Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|500px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|-
| [[Archivo:20_(001).png|thumb|600px|left|Gráfica del triánglo de trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:traye20.001.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.01]]
|}
|}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Archivo:Traye20.001.png

2015-03-06T19:26:57Z

Rocio santos: trayectorias hasta la semana 20 para un paso de 0.01

trayectorias hasta la semana 20 para un paso de 0.01

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T19:25:05Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clf, clear all
t0=0;
S0=input('Introduce los susceptibles de ser infectados inicialmente: ');
I0=input('Introduce el numero de infectados inicialmente: ');
R0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas de estudio: ');
h=input('Introduce el paso: ');
N=round((tN-t0)/h); %numero de subintervalos
% Definimos la variable independiente---------------------------------------------------------------------------
t=t0:h:tN;
% Definimos las variables dependientes--------------------------------------------------------------------------
S=zeros(1,N+1); % Susceptibles de ser infectados (primera incógnita)
I=zeros(1,N+1); % Infectados (segunda incógnita)
R=zeros(1,N+1); % Removidos (tercera incógnita)
% Datos iniciales-----------------------------------------------------------------------------------------------
S(1)=S0;
I(1)=I0;
R(1)=R0;
% Bucle Euler---------------------------------------------------------------------------------------------------
for i=1:N
S(i+1)=S(i)+h*(S(i)*(-0.0000218)*I(i)); %Euler primera ecuación
I(i+1)=I(i)+h*(0.0000218*S(i)*I(i)-0.341*I(i)); %Euler segunda ecuación
R(i+1)=R(i)+h*(0.341*I(i)); %Euler tercera ecuación
end
% Gráficas de S, I y R------------------------------------------------------------------------------------------
hold on
plot(t,S,'Linewidth',3)
plot(t,I,'g',Linewidth',3)
plot(t,R,'r',Linewidth',3)
legend('Variable S','Variable I','Variable R','Location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales1._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Runge-Kutta para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.

El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
clf
% Introducimos las condiciones iniciales

t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;

% Runge-Kutta de orden 4

for n=1:length(t)-1

%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);

end

hold on
plot(t,S,'g','Linewidth',3)
hold on
plot(t,I,'Linewidth',3)
hold on
plot(t,R,'r','Linewidth',3)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_4._Paso_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._.Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|500px|left|Gráfica del triángulo de trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|-
| [[Archivo:20_(001).png|thumb|500px|left|Gráfica del triánglo de trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|}
|}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Archivo:20 (001).png

2015-03-06T19:21:43Z

Rocio santos: Triangulo trayectorias hasta semana 20 con paso de 0.01

Triangulo trayectorias hasta semana 20 con paso de 0.01

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T19:19:43Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clf, clear all
t0=0;
S0=input('Introduce los susceptibles de ser infectados inicialmente: ');
I0=input('Introduce el numero de infectados inicialmente: ');
R0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas de estudio: ');
h=input('Introduce el paso: ');
N=round((tN-t0)/h); %numero de subintervalos
% Definimos la variable independiente---------------------------------------------------------------------------
t=t0:h:tN;
% Definimos las variables dependientes--------------------------------------------------------------------------
S=zeros(1,N+1); % Susceptibles de ser infectados (primera incógnita)
I=zeros(1,N+1); % Infectados (segunda incógnita)
R=zeros(1,N+1); % Removidos (tercera incógnita)
% Datos iniciales-----------------------------------------------------------------------------------------------
S(1)=S0;
I(1)=I0;
R(1)=R0;
% Bucle Euler---------------------------------------------------------------------------------------------------
for i=1:N
S(i+1)=S(i)+h*(S(i)*(-0.0000218)*I(i)); %Euler primera ecuación
I(i+1)=I(i)+h*(0.0000218*S(i)*I(i)-0.341*I(i)); %Euler segunda ecuación
R(i+1)=R(i)+h*(0.341*I(i)); %Euler tercera ecuación
end
% Gráficas de S, I y R------------------------------------------------------------------------------------------
hold on
plot(t,S,'Linewidth',3)
plot(t,I,'g',Linewidth',3)
plot(t,R,'r',Linewidth',3)
legend('Variable S','Variable I','Variable R','Location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales1._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Runge-Kutta para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.

El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
clf
% Introducimos las condiciones iniciales

t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;

% Runge-Kutta de orden 4

for n=1:length(t)-1

%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);

end

hold on
plot(t,S,'g','Linewidth',3)
hold on
plot(t,I,'Linewidth',3)
hold on
plot(t,R,'r','Linewidth',3)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_4._Paso_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._.Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|500px|left|Gráfica de las trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|750px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T19:19:24Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clf, clear all
t0=0;
S0=input('Introduce los susceptibles de ser infectados inicialmente: ');
I0=input('Introduce el numero de infectados inicialmente: ');
R0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas de estudio: ');
h=input('Introduce el paso: ');
N=round((tN-t0)/h); %numero de subintervalos
% Definimos la variable independiente---------------------------------------------------------------------------
t=t0:h:tN;
% Definimos las variables dependientes--------------------------------------------------------------------------
S=zeros(1,N+1); % Susceptibles de ser infectados (primera incógnita)
I=zeros(1,N+1); % Infectados (segunda incógnita)
R=zeros(1,N+1); % Removidos (tercera incógnita)
% Datos iniciales-----------------------------------------------------------------------------------------------
S(1)=S0;
I(1)=I0;
R(1)=R0;
% Bucle Euler---------------------------------------------------------------------------------------------------
for i=1:N
S(i+1)=S(i)+h*(S(i)*(-0.0000218)*I(i)); %Euler primera ecuación
I(i+1)=I(i)+h*(0.0000218*S(i)*I(i)-0.341*I(i)); %Euler segunda ecuación
R(i+1)=R(i)+h*(0.341*I(i)); %Euler tercera ecuación
end
% Gráficas de S, I y R------------------------------------------------------------------------------------------
hold on
plot(t,S,'Linewidth',3)
plot(t,I,'g',Linewidth',3)
plot(t,R,'r',Linewidth',3)
legend('Variable S','Variable I','Variable R','Location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales1._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Runge-Kutta para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.

El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
clf
% Introducimos las condiciones iniciales

t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;

% Runge-Kutta de orden 4

for n=1:length(t)-1

%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);

end

hold on
plot(t,S,'g','Linewidth',3)
hold on
plot(t,I,'Linewidth',3)
hold on
plot(t,R,'r','Linewidth',3)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_4._Paso_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._.Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|500px|left|Gráfica de las trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|650px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T19:19:03Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clf, clear all
t0=0;
S0=input('Introduce los susceptibles de ser infectados inicialmente: ');
I0=input('Introduce el numero de infectados inicialmente: ');
R0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas de estudio: ');
h=input('Introduce el paso: ');
N=round((tN-t0)/h); %numero de subintervalos
% Definimos la variable independiente---------------------------------------------------------------------------
t=t0:h:tN;
% Definimos las variables dependientes--------------------------------------------------------------------------
S=zeros(1,N+1); % Susceptibles de ser infectados (primera incógnita)
I=zeros(1,N+1); % Infectados (segunda incógnita)
R=zeros(1,N+1); % Removidos (tercera incógnita)
% Datos iniciales-----------------------------------------------------------------------------------------------
S(1)=S0;
I(1)=I0;
R(1)=R0;
% Bucle Euler---------------------------------------------------------------------------------------------------
for i=1:N
S(i+1)=S(i)+h*(S(i)*(-0.0000218)*I(i)); %Euler primera ecuación
I(i+1)=I(i)+h*(0.0000218*S(i)*I(i)-0.341*I(i)); %Euler segunda ecuación
R(i+1)=R(i)+h*(0.341*I(i)); %Euler tercera ecuación
end
% Gráficas de S, I y R------------------------------------------------------------------------------------------
hold on
plot(t,S,'Linewidth',3)
plot(t,I,'g',Linewidth',3)
plot(t,R,'r',Linewidth',3)
legend('Variable S','Variable I','Variable R','Location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales1._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Runge-Kutta para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.

El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
clf
% Introducimos las condiciones iniciales

t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;

% Runge-Kutta de orden 4

for n=1:length(t)-1

%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);

end

hold on
plot(t,S,'g','Linewidth',3)
hold on
plot(t,I,'Linewidth',3)
hold on
plot(t,R,'r','Linewidth',3)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_4._Paso_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._.Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|500px|left|Gráfica de las trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|600px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T19:18:35Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clf, clear all
t0=0;
S0=input('Introduce los susceptibles de ser infectados inicialmente: ');
I0=input('Introduce el numero de infectados inicialmente: ');
R0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas de estudio: ');
h=input('Introduce el paso: ');
N=round((tN-t0)/h); %numero de subintervalos
% Definimos la variable independiente---------------------------------------------------------------------------
t=t0:h:tN;
% Definimos las variables dependientes--------------------------------------------------------------------------
S=zeros(1,N+1); % Susceptibles de ser infectados (primera incógnita)
I=zeros(1,N+1); % Infectados (segunda incógnita)
R=zeros(1,N+1); % Removidos (tercera incógnita)
% Datos iniciales-----------------------------------------------------------------------------------------------
S(1)=S0;
I(1)=I0;
R(1)=R0;
% Bucle Euler---------------------------------------------------------------------------------------------------
for i=1:N
S(i+1)=S(i)+h*(S(i)*(-0.0000218)*I(i)); %Euler primera ecuación
I(i+1)=I(i)+h*(0.0000218*S(i)*I(i)-0.341*I(i)); %Euler segunda ecuación
R(i+1)=R(i)+h*(0.341*I(i)); %Euler tercera ecuación
end
% Gráficas de S, I y R------------------------------------------------------------------------------------------
hold on
plot(t,S,'Linewidth',3)
plot(t,I,'g',Linewidth',3)
plot(t,R,'r',Linewidth',3)
legend('Variable S','Variable I','Variable R','Location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales1._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Runge-Kutta para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.

El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
clf
% Introducimos las condiciones iniciales

t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;

% Runge-Kutta de orden 4

for n=1:length(t)-1

%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);

end

hold on
plot(t,S,'g','Linewidth',3)
hold on
plot(t,I,'Linewidth',3)
hold on
plot(t,R,'r','Linewidth',3)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_4._Paso_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._.Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|500px|left|Gráfica de las trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|500px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T19:17:59Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clf, clear all
t0=0;
S0=input('Introduce los susceptibles de ser infectados inicialmente: ');
I0=input('Introduce el numero de infectados inicialmente: ');
R0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas de estudio: ');
h=input('Introduce el paso: ');
N=round((tN-t0)/h); %numero de subintervalos
% Definimos la variable independiente---------------------------------------------------------------------------
t=t0:h:tN;
% Definimos las variables dependientes--------------------------------------------------------------------------
S=zeros(1,N+1); % Susceptibles de ser infectados (primera incógnita)
I=zeros(1,N+1); % Infectados (segunda incógnita)
R=zeros(1,N+1); % Removidos (tercera incógnita)
% Datos iniciales-----------------------------------------------------------------------------------------------
S(1)=S0;
I(1)=I0;
R(1)=R0;
% Bucle Euler---------------------------------------------------------------------------------------------------
for i=1:N
S(i+1)=S(i)+h*(S(i)*(-0.0000218)*I(i)); %Euler primera ecuación
I(i+1)=I(i)+h*(0.0000218*S(i)*I(i)-0.341*I(i)); %Euler segunda ecuación
R(i+1)=R(i)+h*(0.341*I(i)); %Euler tercera ecuación
end
% Gráficas de S, I y R------------------------------------------------------------------------------------------
hold on
plot(t,S,'Linewidth',3)
plot(t,I,'g',Linewidth',3)
plot(t,R,'r',Linewidth',3)
legend('Variable S','Variable I','Variable R','Location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales1._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Runge-Kutta para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.

El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
clf
% Introducimos las condiciones iniciales

t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;

% Runge-Kutta de orden 4

for n=1:length(t)-1

%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);

end

hold on
plot(t,S,'g','Linewidth',3)
hold on
plot(t,I,'Linewidth',3)
hold on
plot(t,R,'r','Linewidth',3)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_4._Paso_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._.Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|475px|left|Gráfica de las trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:20_01.png|thumb|475px|left|Gráfica de la trayectoria hasta la semana 20 con paso de 0.1]]
|}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Archivo:20 01.png

2015-03-06T19:16:36Z

Rocio santos: trayectorias hasta semana 20 con paso de 0.1

trayectorias hasta semana 20 con paso de 0.1

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T19:13:20Z

Rocio santos: /* Trayectorias de los casos del apartado 2.3 */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clf, clear all
t0=0;
S0=input('Introduce los susceptibles de ser infectados inicialmente: ');
I0=input('Introduce el numero de infectados inicialmente: ');
R0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas de estudio: ');
h=input('Introduce el paso: ');
N=round((tN-t0)/h); %numero de subintervalos
% Definimos la variable independiente---------------------------------------------------------------------------
t=t0:h:tN;
% Definimos las variables dependientes--------------------------------------------------------------------------
S=zeros(1,N+1); % Susceptibles de ser infectados (primera incógnita)
I=zeros(1,N+1); % Infectados (segunda incógnita)
R=zeros(1,N+1); % Removidos (tercera incógnita)
% Datos iniciales-----------------------------------------------------------------------------------------------
S(1)=S0;
I(1)=I0;
R(1)=R0;
% Bucle Euler---------------------------------------------------------------------------------------------------
for i=1:N
S(i+1)=S(i)+h*(S(i)*(-0.0000218)*I(i)); %Euler primera ecuación
I(i+1)=I(i)+h*(0.0000218*S(i)*I(i)-0.341*I(i)); %Euler segunda ecuación
R(i+1)=R(i)+h*(0.341*I(i)); %Euler tercera ecuación
end
% Gráficas de S, I y R------------------------------------------------------------------------------------------
hold on
plot(t,S,'Linewidth',3)
plot(t,I,'g',Linewidth',3)
plot(t,R,'r',Linewidth',3)
legend('Variable S','Variable I','Variable R','Location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales1._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Runge-Kutta para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.

El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
clf
% Introducimos las condiciones iniciales

t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;

% Runge-Kutta de orden 4

for n=1:length(t)-1

%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);

end

hold on
plot(t,S,'g','Linewidth',3)
hold on
plot(t,I,'Linewidth',3)
hold on
plot(t,R,'r','Linewidth',3)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_4._Paso_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._.Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:20.png|thumb|475px|left|Gráfica de las trayectorias hasta la semana 20]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]]
|}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Archivo:20.png

2015-03-06T19:10:13Z

Rocio santos: Trayectorias para [0,20]

Trayectorias para [0,20]

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T19:03:26Z

Rocio santos: /* Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.

(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clf, clear all
t0=0;
S0=input('Introduce los susceptibles de ser infectados inicialmente: ');
I0=input('Introduce el numero de infectados inicialmente: ');
R0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas de estudio: ');
h=input('Introduce el paso: ');
N=round((tN-t0)/h); %numero de subintervalos
% Definimos la variable independiente---------------------------------------------------------------------------
t=t0:h:tN;
% Definimos las variables dependientes--------------------------------------------------------------------------
S=zeros(1,N+1); % Susceptibles de ser infectados (primera incógnita)
I=zeros(1,N+1); % Infectados (segunda incógnita)
R=zeros(1,N+1); % Removidos (tercera incógnita)
% Datos iniciales-----------------------------------------------------------------------------------------------
S(1)=S0;
I(1)=I0;
R(1)=R0;
% Bucle Euler---------------------------------------------------------------------------------------------------
for i=1:N
S(i+1)=S(i)+h*(S(i)*(-0.0000218)*I(i)); %Euler primera ecuación
I(i+1)=I(i)+h*(0.0000218*S(i)*I(i)-0.341*I(i)); %Euler segunda ecuación
R(i+1)=R(i)+h*(0.341*I(i)); %Euler tercera ecuación
end
% Gráficas de S, I y R------------------------------------------------------------------------------------------
hold on
plot(t,S,'Linewidth',3)
plot(t,I,'g',Linewidth',3)
plot(t,R,'r',Linewidth',3)
legend('Variable S','Variable I','Variable R','Location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales1._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Runge-Kutta para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.

El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
clf
% Introducimos las condiciones iniciales

t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;

% Runge-Kutta de orden 4

for n=1:length(t)-1

%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);

end

hold on
plot(t,S,'g','Linewidth',3)
hold on
plot(t,I,'Linewidth',3)
hold on
plot(t,R,'r','Linewidth',3)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_4._Paso_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._.Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T19:03:03Z

Rocio santos: /* Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):

(1) En el primero de los caso si el número de susceptibles iniciales es menor o igual que la tasa de remoción relativa, no habrá epidemia, el número de infectados no aumenta y tienden a desaparecer en poco tiempo.
(2) En el segundo de los casos si el número de susceptibles iniciales es mayor que la tasa de remoción relativa, entonces hay epidemia en el sentido que los infectados empiezan a aumentar.
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clf, clear all
t0=0;
S0=input('Introduce los susceptibles de ser infectados inicialmente: ');
I0=input('Introduce el numero de infectados inicialmente: ');
R0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas de estudio: ');
h=input('Introduce el paso: ');
N=round((tN-t0)/h); %numero de subintervalos
% Definimos la variable independiente---------------------------------------------------------------------------
t=t0:h:tN;
% Definimos las variables dependientes--------------------------------------------------------------------------
S=zeros(1,N+1); % Susceptibles de ser infectados (primera incógnita)
I=zeros(1,N+1); % Infectados (segunda incógnita)
R=zeros(1,N+1); % Removidos (tercera incógnita)
% Datos iniciales-----------------------------------------------------------------------------------------------
S(1)=S0;
I(1)=I0;
R(1)=R0;
% Bucle Euler---------------------------------------------------------------------------------------------------
for i=1:N
S(i+1)=S(i)+h*(S(i)*(-0.0000218)*I(i)); %Euler primera ecuación
I(i+1)=I(i)+h*(0.0000218*S(i)*I(i)-0.341*I(i)); %Euler segunda ecuación
R(i+1)=R(i)+h*(0.341*I(i)); %Euler tercera ecuación
end
% Gráficas de S, I y R------------------------------------------------------------------------------------------
hold on
plot(t,S,'Linewidth',3)
plot(t,I,'g',Linewidth',3)
plot(t,R,'r',Linewidth',3)
legend('Variable S','Variable I','Variable R','Location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales1._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Runge-Kutta para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.

El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
clf
% Introducimos las condiciones iniciales

t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;

% Runge-Kutta de orden 4

for n=1:length(t)-1

%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);

end

hold on
plot(t,S,'g','Linewidth',3)
hold on
plot(t,I,'Linewidth',3)
hold on
plot(t,R,'r','Linewidth',3)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_4._Paso_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._.Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T18:51:46Z

Rocio santos: /* Infectados con dos umbrales */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

Se puede ver que tenderán a desaparecer los infectados únicamente en el primero de los casos para un número inicial de infectados de 9700, esto es debido a que no se supera el umbral de 10000 (M) infectados. Cuando se supera este umbral M el número de infectados tiende a N=500000 en el infinito.

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clf, clear all
t0=0;
S0=input('Introduce los susceptibles de ser infectados inicialmente: ');
I0=input('Introduce el numero de infectados inicialmente: ');
R0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas de estudio: ');
h=input('Introduce el paso: ');
N=round((tN-t0)/h); %numero de subintervalos
% Definimos la variable independiente---------------------------------------------------------------------------
t=t0:h:tN;
% Definimos las variables dependientes--------------------------------------------------------------------------
S=zeros(1,N+1); % Susceptibles de ser infectados (primera incógnita)
I=zeros(1,N+1); % Infectados (segunda incógnita)
R=zeros(1,N+1); % Removidos (tercera incógnita)
% Datos iniciales-----------------------------------------------------------------------------------------------
S(1)=S0;
I(1)=I0;
R(1)=R0;
% Bucle Euler---------------------------------------------------------------------------------------------------
for i=1:N
S(i+1)=S(i)+h*(S(i)*(-0.0000218)*I(i)); %Euler primera ecuación
I(i+1)=I(i)+h*(0.0000218*S(i)*I(i)-0.341*I(i)); %Euler segunda ecuación
R(i+1)=R(i)+h*(0.341*I(i)); %Euler tercera ecuación
end
% Gráficas de S, I y R------------------------------------------------------------------------------------------
hold on
plot(t,S,'Linewidth',3)
plot(t,I,'g',Linewidth',3)
plot(t,R,'r',Linewidth',3)
legend('Variable S','Variable I','Variable R','Location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales1._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Runge-Kutta para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.

El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
clf
% Introducimos las condiciones iniciales

t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;

% Runge-Kutta de orden 4

for n=1:length(t)-1

%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);

end

hold on
plot(t,S,'g','Linewidth',3)
hold on
plot(t,I,'Linewidth',3)
hold on
plot(t,R,'r','Linewidth',3)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_4._Paso_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._.Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T18:43:39Z

Rocio santos: /* Infectados con dos umbrales */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para I(0) de 9700]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 10200]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun para un I(0) de 30000]]
|}

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clf, clear all
t0=0;
S0=input('Introduce los susceptibles de ser infectados inicialmente: ');
I0=input('Introduce el numero de infectados inicialmente: ');
R0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas de estudio: ');
h=input('Introduce el paso: ');
N=round((tN-t0)/h); %numero de subintervalos
% Definimos la variable independiente---------------------------------------------------------------------------
t=t0:h:tN;
% Definimos las variables dependientes--------------------------------------------------------------------------
S=zeros(1,N+1); % Susceptibles de ser infectados (primera incógnita)
I=zeros(1,N+1); % Infectados (segunda incógnita)
R=zeros(1,N+1); % Removidos (tercera incógnita)
% Datos iniciales-----------------------------------------------------------------------------------------------
S(1)=S0;
I(1)=I0;
R(1)=R0;
% Bucle Euler---------------------------------------------------------------------------------------------------
for i=1:N
S(i+1)=S(i)+h*(S(i)*(-0.0000218)*I(i)); %Euler primera ecuación
I(i+1)=I(i)+h*(0.0000218*S(i)*I(i)-0.341*I(i)); %Euler segunda ecuación
R(i+1)=R(i)+h*(0.341*I(i)); %Euler tercera ecuación
end
% Gráficas de S, I y R------------------------------------------------------------------------------------------
hold on
plot(t,S,'Linewidth',3)
plot(t,I,'g',Linewidth',3)
plot(t,R,'r',Linewidth',3)
legend('Variable S','Variable I','Variable R','Location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales1._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Runge-Kutta para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.

El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
clf
% Introducimos las condiciones iniciales

t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;

% Runge-Kutta de orden 4

for n=1:length(t)-1

%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);

end

hold on
plot(t,S,'g','Linewidth',3)
hold on
plot(t,I,'Linewidth',3)
hold on
plot(t,R,'r','Linewidth',3)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_4._Paso_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._.Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T18:30:21Z

Rocio santos: /* Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):
[[Archivo: APARTADO2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clf, clear all
t0=0;
S0=input('Introduce los susceptibles de ser infectados inicialmente: ');
I0=input('Introduce el numero de infectados inicialmente: ');
R0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas de estudio: ');
h=input('Introduce el paso: ');
N=round((tN-t0)/h); %numero de subintervalos
% Definimos la variable independiente---------------------------------------------------------------------------
t=t0:h:tN;
% Definimos las variables dependientes--------------------------------------------------------------------------
S=zeros(1,N+1); % Susceptibles de ser infectados (primera incógnita)
I=zeros(1,N+1); % Infectados (segunda incógnita)
R=zeros(1,N+1); % Removidos (tercera incógnita)
% Datos iniciales-----------------------------------------------------------------------------------------------
S(1)=S0;
I(1)=I0;
R(1)=R0;
% Bucle Euler---------------------------------------------------------------------------------------------------
for i=1:N
S(i+1)=S(i)+h*(S(i)*(-0.0000218)*I(i)); %Euler primera ecuación
I(i+1)=I(i)+h*(0.0000218*S(i)*I(i)-0.341*I(i)); %Euler segunda ecuación
R(i+1)=R(i)+h*(0.341*I(i)); %Euler tercera ecuación
end
% Gráficas de S, I y R------------------------------------------------------------------------------------------
hold on
plot(t,S,'Linewidth',3)
plot(t,I,'g',Linewidth',3)
plot(t,R,'r',Linewidth',3)
legend('Variable S','Variable I','Variable R','Location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales1._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Runge-Kutta para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.

El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
clf
% Introducimos las condiciones iniciales

t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;

% Runge-Kutta de orden 4

for n=1:length(t)-1

%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);

end

hold on
plot(t,S,'g','Linewidth',3)
hold on
plot(t,I,'Linewidth',3)
hold on
plot(t,R,'r','Linewidth',3)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_4._Paso_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._.Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T18:29:48Z

Rocio santos: /* Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):
[[Archivo: APARTADO2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clf, clear all
t0=0;
S0=input('Introduce los susceptibles de ser infectados inicialmente: ');
I0=input('Introduce el numero de infectados inicialmente: ');
R0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas de estudio: ');
h=input('Introduce el paso: ');
N=round((tN-t0)/h); %numero de subintervalos
% Definimos la variable independiente---------------------------------------------------------------------------
t=t0:h:tN;
% Definimos las variables dependientes--------------------------------------------------------------------------
S=zeros(1,N+1); % Susceptibles de ser infectados (primera incógnita)
I=zeros(1,N+1); % Infectados (segunda incógnita)
R=zeros(1,N+1); % Removidos (tercera incógnita)
% Datos iniciales-----------------------------------------------------------------------------------------------
S(1)=S0;
I(1)=I0;
R(1)=R0;
% Bucle Euler---------------------------------------------------------------------------------------------------
for i=1:N
S(i+1)=S(i)+h*(S(i)*(-0.0000218)*I(i)); %Euler primera ecuación
I(i+1)=I(i)+h*(0.0000218*S(i)*I(i)-0.341*I(i)); %Euler segunda ecuación
R(i+1)=R(i)+h*(0.341*I(i)); %Euler tercera ecuación
end
% Gráficas de S, I y R------------------------------------------------------------------------------------------
hold on
plot(t,S,'Linewidth',3)
plot(t,I,'g',Linewidth',3)
plot(t,R,'r',Linewidth',3)
legend('Variable S','Variable I','Variable R','Location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales1._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Runge-Kutta para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.

El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
clf
% Introducimos las condiciones iniciales

t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;

% Runge-Kutta de orden 4

for n=1:length(t)-1

%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);

end

hold on
plot(t,S,'g','Linewidth',3)
hold on
plot(t,I,'Linewidth',3)
hold on
plot(t,R,'r','Linewidth',3)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_4._Paso_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._.Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Archivo:APARTADO2.png

2015-03-06T18:29:12Z

Rocio santos: Demostración analítica caso (1) y caso (2)

Demostración analítica caso (1) y caso (2)

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T18:21:22Z

Rocio santos: /* Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
Demostración analítica, caso (1)y (2):
[[Archivo: APARTADO2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clf, clear all
t0=0;
S0=input('Introduce los susceptibles de ser infectados inicialmente: ');
I0=input('Introduce el numero de infectados inicialmente: ');
R0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas de estudio: ');
h=input('Introduce el paso: ');
N=round((tN-t0)/h); %numero de subintervalos
% Definimos la variable independiente---------------------------------------------------------------------------
t=t0:h:tN;
% Definimos las variables dependientes--------------------------------------------------------------------------
S=zeros(1,N+1); % Susceptibles de ser infectados (primera incógnita)
I=zeros(1,N+1); % Infectados (segunda incógnita)
R=zeros(1,N+1); % Removidos (tercera incógnita)
% Datos iniciales-----------------------------------------------------------------------------------------------
S(1)=S0;
I(1)=I0;
R(1)=R0;
% Bucle Euler---------------------------------------------------------------------------------------------------
for i=1:N
S(i+1)=S(i)+h*(S(i)*(-0.0000218)*I(i)); %Euler primera ecuación
I(i+1)=I(i)+h*(0.0000218*S(i)*I(i)-0.341*I(i)); %Euler segunda ecuación
R(i+1)=R(i)+h*(0.341*I(i)); %Euler tercera ecuación
end
% Gráficas de S, I y R------------------------------------------------------------------------------------------
hold on
plot(t,S,'Linewidth',3)
plot(t,I,'g',Linewidth',3)
plot(t,R,'r',Linewidth',3)
legend('Variable S','Variable I','Variable R','Location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales1._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Runge-Kutta para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.

El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
clf
% Introducimos las condiciones iniciales

t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;

% Runge-Kutta de orden 4

for n=1:length(t)-1

%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);

end

hold on
plot(t,S,'g','Linewidth',3)
hold on
plot(t,I,'Linewidth',3)
hold on
plot(t,R,'r','Linewidth',3)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_4._Paso_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._.Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T18:20:26Z

Rocio santos: /* Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
[[Archivo:APARTADO2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clf, clear all
t0=0;
S0=input('Introduce los susceptibles de ser infectados inicialmente: ');
I0=input('Introduce el numero de infectados inicialmente: ');
R0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas de estudio: ');
h=input('Introduce el paso: ');
N=round((tN-t0)/h); %numero de subintervalos
% Definimos la variable independiente---------------------------------------------------------------------------
t=t0:h:tN;
% Definimos las variables dependientes--------------------------------------------------------------------------
S=zeros(1,N+1); % Susceptibles de ser infectados (primera incógnita)
I=zeros(1,N+1); % Infectados (segunda incógnita)
R=zeros(1,N+1); % Removidos (tercera incógnita)
% Datos iniciales-----------------------------------------------------------------------------------------------
S(1)=S0;
I(1)=I0;
R(1)=R0;
% Bucle Euler---------------------------------------------------------------------------------------------------
for i=1:N
S(i+1)=S(i)+h*(S(i)*(-0.0000218)*I(i)); %Euler primera ecuación
I(i+1)=I(i)+h*(0.0000218*S(i)*I(i)-0.341*I(i)); %Euler segunda ecuación
R(i+1)=R(i)+h*(0.341*I(i)); %Euler tercera ecuación
end
% Gráficas de S, I y R------------------------------------------------------------------------------------------
hold on
plot(t,S,'Linewidth',3)
plot(t,I,'g',Linewidth',3)
plot(t,R,'r',Linewidth',3)
legend('Variable S','Variable I','Variable R','Location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales1._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Runge-Kutta para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.

El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
clf
% Introducimos las condiciones iniciales

t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;

% Runge-Kutta de orden 4

for n=1:length(t)-1

%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);

end

hold on
plot(t,S,'g','Linewidth',3)
hold on
plot(t,I,'Linewidth',3)
hold on
plot(t,R,'r','Linewidth',3)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_4._Paso_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._.Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T18:13:08Z

Rocio santos: /* Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
[[Archivo:Apartado_2.._Segunda_parte.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clf, clear all
t0=0;
S0=input('Introduce los susceptibles de ser infectados inicialmente: ');
I0=input('Introduce el numero de infectados inicialmente: ');
R0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas de estudio: ');
h=input('Introduce el paso: ');
N=round((tN-t0)/h); %numero de subintervalos
% Definimos la variable independiente---------------------------------------------------------------------------
t=t0:h:tN;
% Definimos las variables dependientes--------------------------------------------------------------------------
S=zeros(1,N+1); % Susceptibles de ser infectados (primera incógnita)
I=zeros(1,N+1); % Infectados (segunda incógnita)
R=zeros(1,N+1); % Removidos (tercera incógnita)
% Datos iniciales-----------------------------------------------------------------------------------------------
S(1)=S0;
I(1)=I0;
R(1)=R0;
% Bucle Euler---------------------------------------------------------------------------------------------------
for i=1:N
S(i+1)=S(i)+h*(S(i)*(-0.0000218)*I(i)); %Euler primera ecuación
I(i+1)=I(i)+h*(0.0000218*S(i)*I(i)-0.341*I(i)); %Euler segunda ecuación
R(i+1)=R(i)+h*(0.341*I(i)); %Euler tercera ecuación
end
% Gráficas de S, I y R------------------------------------------------------------------------------------------
hold on
plot(t,S,'Linewidth',3)
plot(t,I,'g',Linewidth',3)
plot(t,R,'r',Linewidth',3)
legend('Variable S','Variable I','Variable R','Location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales1._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Runge-Kutta para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.

El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
clf
% Introducimos las condiciones iniciales

t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;

% Runge-Kutta de orden 4

for n=1:length(t)-1

%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);

end

hold on
plot(t,S,'g','Linewidth',3)
hold on
plot(t,I,'Linewidth',3)
hold on
plot(t,R,'r','Linewidth',3)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_4._Paso_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._.Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T18:10:52Z

Rocio santos: /* Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r */

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de una enfermedad infecciosa (epidemia) en una población de N habitantes, la cual es inextensible espacialmente (no varía el número de habitantes).
=ª Parte=
En la primera parte del trabajo vamos a emplear un modelo sencillo que implica una ecuación diferencial de primer orden. Como datos tenemos el número total de habitantes (N=500.000 habitantes), el número inicial de infectados (I(0)=200 casos), el número de infectados tras la primera semana (I(1)=500 casos).
==Número de contactos 'aproximados'==
Para calcular los contactos 'aproximados', hemos empleado el método de Euler. Sabiendo que C tiene valores entre 0.01 y 0.99, hemos creado un bucle que ha pasado por cada uno de esos valores, guardando en un vector la condición de |I(primera semana) - 500| y dibujándolo en comparación con todas las C posibles para ver gráficamente, además de numéricamente, la variación de la condición. El problema que tenemos que resolver es:

[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_1.png|225px|miniaturadeimagen|centro|]]

Y el código empleado para estos cálculos es el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 1----------------------------------------------------------------------------------------------
y0=200;
h=0.01;
t=0:0.01:1; % Vector en el que se estudia la epidemia
n=length(t); % Número de puntos
c=0.01:0.01:0.99; % Vector de posibles C
m=length(c); % Número de posibles C
Y=zeros(m,n); % Matriz donde guardamos, por filas, las soluciones de los infectados según C
y(1)=y0;
% Método de Euler-------------------------------------------------------------------------------------------------
for k=1:m
Y(k,1)=y0;
for i=1:n-1
y(i+1)=y(i)+h*(c(k)/500000*(500000-y(i))*y(i));
Y(k,i+1)=y(i+1);
end
end
I=abs(Y(:,n)-500*(ones(1,m)')); % Condición de abs(I(primera semana)-500)
minimo=min(I); % Mínimo de la condición
[u,v]=find(I==minimo); % Posición del mínimo
C=u/100 % C obtenida
plot(c,I) % Gráfica comparativa de C con la condición
}}
Y la gráfica obtenida de la comparación de la condición en función de cada valor posible de C es:
[[Archivo:Apartado1Parte1.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Error absoluto en I(1) para cada c]]

==Evolución de los infectados==
Utilizando el método de Heun y Runge Kutta de orden 4, con un paso de h=0.01, la gráfica de evolución de afectados frente al tiempo (I(t),t) en un tiempo t=20 semanas, que hemos escogido para ver la curva completa, y el programa son los siguientes:

{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 2-----------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=0.01;
N=round(tN-t0)/h;
% Vectores---------------------------------------------------------
t=t0:h:tN; % Tiempo
y=zeros(1,N+1); % Infectados para Runge Kutta
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); % Infectados para Heun
z(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle------------------------------------------------------------
for i=1:N
K1RK=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1RK))*(y(i)+h/2*K1RK);
K3RK=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2RK))*(y(i)+h/2*K2RK);
K4RK=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3RK))*(y(i)+h*K3RK);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1RK+2*K2RK+2*K3RK+K4RK);
K1H=c/500000*(500000-z(i))*z(i);
K2H=c/500000*(500000-(z(i)+h*K1H))*(z(i)+h*K1H);
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1H+K2H);
end
% Gráficas de RK4 y Heun-------------------------------------------
figure(1)
plot(t,y)
legend('Runge Kutta orden 4')
figure(2)
plot(t,z,'r')
legend('Heun')
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartado2Parte1Heun.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartado2Parte1Runge4.png|thumb|600px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

==Infectados al terminar la sexta semana==
Tras la sexta semana, los infectados se muestran con el siguiente programa, siendo: I(6)=4.5032e+004.
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 3-------------------------------------
t0=0;
tN=6;
y0=200;
h=0.01;
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler-----------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
InfectadosSemana6=y(600) % El I(6) es el punto 6/h=600
}}

==Semana a partir de la cuál hay más de 400 000 infectados==
Estudiando las 20 primeras semanas de la epidemia, la semana a partir de la cual los infectados superan la cifra de 400 000 es la semana 10 (con mayor exactitud, a partir de las 10.3 primeras semanas). El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clear all, clf
% Parte 1 Apartado 4--------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce las semanas de estudio: ');
y0=200;
h=input('Introduce el paso:');
t=t0:h:tN; % Vector tiempo
N=length(t);
y=zeros(1,N); % Vector de infectados
y(1)=y0;
c=0.92; % Contactos
% Bucle de Euler------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c/500000*(500000-y(i))*y(i);
K2=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K1))*(y(i)+h/2*K1);
K3=c/500000*(500000-(y(i)+h/2*K2))*(y(i)+h/2*K2);
K4=c/500000*(500000-(y(i)+h*K3))*(y(i)+h*K3);
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
if y(i)<=400000
Sem=i+1;
end
end
plot(t,y)
Semana=Sem*0.01 % La posición de la semana será (i+1)*h
}}

==Infectados con dos umbrales==
Manteniendo la población en 500 000 habitantes, utilizando el método de Heun, una longitud de paso h = 0.01 y un umbral M = 10 000, el código y las gráficas de evolución de infectados para los infectados iniciales 9 700, 10 200 y 30 000 habitantes son las siguientes:

{{matlab|codigo=
clear all, clc, clf
% Parte 1 Apartado 5--------------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas: '); % Semanas
y0=input('Inserte valor de Infectados iniciales: '); % Infectados iniciales
h=0.01; % Paso
P=500000; % Población
M=10000; % Umbral
t=t0:h:tN; % Tiempo
N=length(t);
c=0.92; % Contactos
y=zeros(1,N);
y(1)=y0;
% Método de Heun------------------------------------------------------------
for i=1:N-1
K1=c*y(i)*(1-(y(i)/P))*(y(i)/M-1);
K2=c*(y(i)+K1*h)*(1-1/P*(y(i)+K1*h))*(1/M*(y(i)+K1*h)-1);
y(i+1)=y(i)+h/2*(K1+K2);
end
% Gráfica-------------------------------------------------------------------
plot(t,y)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Apartad_5_parte_1_9700.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según Heun]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_10200.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]] || [[Archivo:Apartad_5_parte_1_30000.png|thumb|475px|left|Gráfica de la variación de I en 20 semanas según RK4]]
|}

=ª Parte=
Vamos a considerar ahora un método más general, empleando un sistema de ecuaciones que es el siguiente:
[[Archivo:Formula_apartado_1_parte_2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|]]
Llamado método SIR, donde S(t) es el número de personas susceptibles de infectarse, I(t) es el número de infectados y R(t) es el número de recuperados e inmunes (al curarse de la enfermedad no se pueden volver a contagiar) y de habitantes aislados, y S(0), I(0) y R(0) son los datos iniciales de esos grupos.

==Demostrar que S(t) + I(t) + R(t) = S0 + I0 = N ==
Si sumamos S' + I' + R' definidas en el sistema, tenemos que S' + I' + R' = (-rSI) + (rSI - aI) + (aI) = 0, lo que indica que la suma de S + I + R es constante y además S(t) + I(t) + R(t) = S(0) + I(0) + R(0) = S0 + I0 = N, es decir, la población total.

==Demostración analítica de la epidemia en función de S0 y a/r ==
[[Archivo:|400px|miniaturadeimagen|centro|]]

==Resolucióin numérica del sistema SIR ==
Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Euler para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.
El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clc, clf, clear all
t0=0;
S0=input('Introduce los susceptibles de ser infectados inicialmente: ');
I0=input('Introduce el numero de infectados inicialmente: ');
R0=0;
tN=input('Introduce el numero de semanas de estudio: ');
h=input('Introduce el paso: ');
N=round((tN-t0)/h); %numero de subintervalos
% Definimos la variable independiente---------------------------------------------------------------------------
t=t0:h:tN;
% Definimos las variables dependientes--------------------------------------------------------------------------
S=zeros(1,N+1); % Susceptibles de ser infectados (primera incógnita)
I=zeros(1,N+1); % Infectados (segunda incógnita)
R=zeros(1,N+1); % Removidos (tercera incógnita)
% Datos iniciales-----------------------------------------------------------------------------------------------
S(1)=S0;
I(1)=I0;
R(1)=R0;
% Bucle Euler---------------------------------------------------------------------------------------------------
for i=1:N
S(i+1)=S(i)+h*(S(i)*(-0.0000218)*I(i)); %Euler primera ecuación
I(i+1)=I(i)+h*(0.0000218*S(i)*I(i)-0.341*I(i)); %Euler segunda ecuación
R(i+1)=R(i)+h*(0.341*I(i)); %Euler tercera ecuación
end
% Gráficas de S, I y R------------------------------------------------------------------------------------------
hold on
plot(t,S,'Linewidth',3)
plot(t,I,'g',Linewidth',3)
plot(t,R,'r',Linewidth',3)
legend('Variable S','Variable I','Variable R','Location','best')
hold off
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales1._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

Para resolver numéricamente el sistema utilizamos el método de Runge-Kutta para distintos valores iniciales de [S0,I0] ([159 985,15],[140 000,20 000],[159 999,1]) y para distintos intervalos de tiempo ([0,4] y [0,20]), con r=0.0000218 y a=0.341.

El código empleado para su cálculo ha sido el siguiente:
{{matlab|codigo=
clear all
clf
% Introducimos las condiciones iniciales

t0=0;
tN=input('introduce la semana: ');
h=input('introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
S0=input('introduce los susceptibles iniciales: ');
R0=0;
I0=input('introduce el numero de infectados iniciales: ');
I=zeros(1,length(t));
R=zeros(1,length(t));
S=zeros(1,length(t));
I(1)=I0;
S(1)=S0;
R(1)=R0;

%datos
a=0.341;
r=0.0000218;

% Runge-Kutta de orden 4

for n=1:length(t)-1

%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S(n)*I(n);
K1i=r*S(n)*I(n)-a*I(n);
K1r=a*I(n);

%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S(n)+h/2*K1s)*(I(n)+h/2*K1i)-a*(I(n)+h/2*K1i);
K2r=a*(I(n)+h/2*K1i);

%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S(n)+h/2*K2s)*(I(n)+h/2*K2i)-a*(I(n)+h/2*K2i);
K3r=a*(I(n)+h/2*K2i);

%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S(n)+h/2*K3s)*(I(n)+h/2*K3i)-a*(I(n)+h/2*K3i);
K4r=a*(I(n)+h/2*K3i);

S(n+1)=S(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I(n+1)=I(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
R(n+1)=R(n)+h/6*(K1r+2*K2r+2*K3r+K4r);

end

hold on
plot(t,S,'g','Linewidth',3)
hold on
plot(t,I,'Linewidth',3)
hold on
plot(t,R,'r','Linewidth',3)
}}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_4._Paso_0.1.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_1._Semana_20._Paso_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 1 hasta la semana 20 con un paso de 0.01]]
|}

{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_2._Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_2.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}
{|
|-
| [[Archivo:Condiciones_iniciales_3._.Semana_4._Paso_de_0.01.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 4, con un paso de 0.01]] || [[Archivo:Condiciones_iniciales_3.._Semana_20._Paso_de_0.001.png|thumb|600px|left|Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20, con un paso de 0.001]]
|}

==Interpretación de la epidemia==

==Trayectorias de los casos del apartado 2.3==
Para los casos estudiados en
{{matlab|codigo=
clear all, clf, clc
% Introducimos las condiciones iniciales----------------------------------------------------
t0=0;
tN=input('Introduce la semana: ');
h=input('Introduce el paso: ');
t=t0:h:tN;
% Primer caso---------------------------------
S10=159985;
I10=15;
I1=zeros(1,length(t));
S1=zeros(1,length(t));
I1(1)=I10;
S1(1)=S10;
% Segundo caso--------------------------------
S20=140000;
I20=20000;
I2=zeros(1,length(t));
S2=zeros(1,length(t));
I2(1)=I20;
S2(1)=S20;
% Tercer caso---------------------------------
S30=159999;
I30=1;
I3=zeros(1,length(t));
S3=zeros(1,length(t));
I3(1)=I30;
S3(1)=S30;
%datos
a=0.341;
r=0.0000218;
% Runge-Kutta de orden 4 Primer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S1(n)*I1(n);
K1i=r*S1(n)*I1(n)-a*I1(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S1(n)+h/2*K1s)*(I1(n)+h/2*K1i)-a*(I1(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S1(n)+h/2*K2s)*(I1(n)+h/2*K2i)-a*(I1(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S1(n)+h/2*K3s)*(I1(n)+h/2*K3i)-a*(I1(n)+h/2*K3i);
S1(n+1)=S1(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I1(n+1)=I1(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Segundo caso-------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S2(n)*I2(n);
K1i=r*S2(n)*I2(n)-a*I2(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S2(n)+h/2*K1s)*(I2(n)+h/2*K1i)-a*(I2(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S2(n)+h/2*K2s)*(I2(n)+h/2*K2i)-a*(I2(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S2(n)+h/2*K3s)*(I2(n)+h/2*K3i)-a*(I2(n)+h/2*K3i);
S2(n+1)=S2(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I2(n+1)=I2(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
% Runge-Kutta de orden 4 Tercer caso--------------------------------------------------------
for n=1:length(t)-1
%primer término del runge-kutta del sistema
K1s=-r*S3(n)*I3(n);
K1i=r*S3(n)*I3(n)-a*I3(n);
%segundo término del runge-kutta del sistema
K2s=-r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i);
K2i=r*(S3(n)+h/2*K1s)*(I3(n)+h/2*K1i)-a*(I3(n)+h/2*K1i);
%tercer término del runge-kutta del sistema
K3s=-r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i);
K3i=r*(S3(n)+h/2*K2s)*(I3(n)+h/2*K2i)-a*(I3(n)+h/2*K2i);
%cuarto término del runge-kutta del sistema
K4s=-r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i);
K4i=r*(S3(n)+h/2*K3s)*(I3(n)+h/2*K3i)-a*(I3(n)+h/2*K3i);
S3(n+1)=S3(n)+h/6*(K1s+2*K2s+2*K3s+K4s);
I3(n+1)=I3(n)+h/6*(K1i+2*K2i+2*K3i+K4i);
end
N=S10+I10;
h1=10000;
J=0:h1:N;
D=zeros(1,length(J));
P=N*ones(1,length(J));
for i=1:length(J)
D(i)=P(i)-J(i);
end
RO=a/r;
%Para k=0
L1=RO*log(S1)-S1;
L2=RO*log(S2)-S2;
L3=RO*log(S3)-S3;
% Trayectorias
figure(1)
clf
hold on
plot(t,L1,'g','linewidth',2)
plot(t,L2,'linewidth',2)
plot(t,L3,'r','linewidth',2)
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
% S-I
figure(2)
clf
hold on
plot(S1,I1,'g','linewidth',2)
plot(S2,I2,'linewidth',2)
plot(S3,I3,'r','linewidth',2)
plot(D,J,'k')
legend('Caso 1','Caso 2','Caso 3','location','best')
hold off
}}

==Número máximo de infectados en el primer caso del apartado 3 ==
Para el primer caso del apartado 2.3 (S0=159 985, I0=15, r=0.0000218, a=0.341), si calculamos analíticamente el número de infectados máximos, tanto para 4 semanas de estudio como para 20, resulta ser:

I(máx) = N - rho + rho * ln (rho / S0) = S0 - a/r + a/r * ln (a / (S0*r)) = 159 985 - 15 642'2 + 15 642'2 * ln (15 642'2 / 159 985) = 107 988'0008 infectados

Y para calcularlo numéricamente, hemos empleado el programa usado en el apartado 2.3 añadiendo solamente:
{{matlab|codigo=
format long e
Imax=max(I)
}}

Y nos da un valor de Imax para los pasos h = 0.1, 0.01 y 0.001 siguientes:

Imax = 1.08520960052860e+005 = 108 521 infectados para h = 0.1

Imax = 1.08041178514538e+005 = 108 041 infectados para h = 0.01

Imax = 1.07993269666941e+005 = 107 993 infectados para h = 0.001

Como se puede comprobar, cuanto menor es el paso usado menor es el error del método numérico frente al analítico.

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T17:47:04Z

Rocio santos: /* Resolucióin numérica del sistema SIR */

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T17:44:14Z

Rocio santos: /* Resolucióin numérica del sistema SIR */

Archivo:Condiciones iniciales 3.. Semana 20. Paso de 0.001.png

2015-03-06T17:43:35Z

Rocio santos: Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20 con paso de 0.001

Condiciones iniciales 3, hasta la semana 20 con paso de 0.001

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T17:42:50Z

Rocio santos: /* Resolucióin numérica del sistema SIR */

Archivo:Condiciones iniciales 3. .Semana 4. Paso de 0.01.png

2015-03-06T17:42:07Z

Rocio santos: Condiciones iniciales 3, hasta la cuarta semana, con paso de 0.01

Condiciones iniciales 3, hasta la cuarta semana, con paso de 0.01

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T17:41:21Z

Rocio santos: /* Resolucióin numérica del sistema SIR */

Archivo:Condiciones iniciales 2.. Semana 20. Paso de 0.001.png

2015-03-06T17:40:50Z

Rocio santos: Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20 con paso de 0.001

Condiciones iniciales 2, hasta la semana 20 con paso de 0.001

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T17:37:58Z

Rocio santos: /* Resolucióin numérica del sistema SIR */

Archivo:Condiciones iniciales 2. Semana 4. Paso de 0.01.png

2015-03-06T17:37:18Z

Rocio santos: Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4 con paso de 0.01

Condiciones iniciales 2, hasta la semana 4 con paso de 0.01

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T17:35:10Z

Rocio santos: /* Resolucióin numérica del sistema SIR */

Archivo:Condiciones iniciales 1. Semana 20. Paso 0.01.png

2015-03-06T17:34:24Z

Rocio santos: Condiciones iniciales 1, hasta la semana 20, con paso de 0.01

Condiciones iniciales 1, hasta la semana 20, con paso de 0.01

Modelo para epidemias (Grupo 9C, Trabajo 7)

2015-03-06T17:33:36Z

Rocio santos: /* Resolucióin numérica del sistema SIR */

Archivo:Condiciones iniciales 1. Semana 4. Paso 0.1.png

2015-03-06T17:33:04Z

Rocio santos: Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1

Condiciones iniciales 1, hasta la semana 4, con un paso de 0.1