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Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-19T12:24:12Z

Rocio: /* Representación de las tensiones normales */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar, trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último, trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, expresamos tanto las coordenadas como la base física en cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) \vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida del cambio del volumen por el desplazamiento.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con MATLAB.

{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}=\frac{-\cos(2\theta)\rho+log(3-\rho)\cos(2\theta)(3-\rho)}{2(3-\rho)\rho}=\frac{\cos(2\theta)[\rho+(3-\rho)log(3-\rho)]}{2(3-\rho)\rho}</math>, debemos encontrar los valores de <math> \rho</math> y <math> \theta </math> para los que la expresión se anula.

La primera parte de la expresión tiene fácil resolución, pues teniéndose que cumplir que <math> cos(2\theta)=0 </math>, obtenemos que <math> \theta=\frac{\pi}{4} </math>.

La segunda parte de la expresión no se puede resolver analíticamente, pero por el Teorema de Bolzano se puede demostrar que existe esa solución.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por la cruz encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab.
[[Archivo:maximorotacional0102.png|300px|miniatura|derecha|Rotacional|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,ROT)
view(0,0)
axis equal
hold on
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje Z')
MAX = max(max(ROT));
for k = 1:length(ROT)
if ROT(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10)
end
end
txt = ['Máximo rotacional:' num2str(MAX)];
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e z
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>, es decir, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_\rho</math>.

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá qué parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T17:46:54Z

Rocio: /* Tensión máxima */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar, trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último, trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, expresamos tanto las coordenadas como la base física en cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) \vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida del cambio del volumen por el desplazamiento.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con MATLAB.

{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}=\frac{-\cos(2\theta)\rho+log(3-\rho)\cos(2\theta)(3-\rho)}{2(3-\rho)\rho}=\frac{\cos(2\theta)[\rho+(3-\rho)log(3-\rho)]}{2(3-\rho)\rho}</math>, debemos encontrar los valores de <math> \rho</math> y <math> \theta </math> para los que la expresión se anula.

La primera parte de la expresión tiene fácil resolución, pues teniéndose que cumplir que <math> cos(2\theta)=0 </math>, obtenemos que <math> \theta=\frac{\pi}{4} </math>.

La segunda parte de la expresión no se puede resolver analíticamente, pero por el Teorema de Bolzano se puede demostrar que existe esa solución.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>, es decir, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_\rho</math>.

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá qué parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T17:30:27Z

Rocio: /* Sólido antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar, trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último, trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, expresamos tanto las coordenadas como la base física en cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) \vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida del cambio del volumen por el desplazamiento.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con MATLAB.

{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}=\frac{-\cos(2\theta)\rho+log(3-\rho)\cos(2\theta)(3-\rho)}{2(3-\rho)\rho}=\frac{\cos(2\theta)[\rho+(3-\rho)log(3-\rho)]}{2(3-\rho)\rho}</math>, debemos encontrar los valores de <math> \rho</math> y <math> \theta </math> para los que la expresión se anula.

La primera parte de la expresión tiene fácil resolución, pues teniéndose que cumplir que <math> cos(2\theta)=0 </math>, obtenemos que <math> \theta=\frac{\pi}{4} </math>.

La segunda parte de la expresión no se puede resolver analíticamente, pero por el Teorema de Bolzano se puede demostrar que existe esa solución.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>, es decir, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_\rho</math>.

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T17:29:35Z

Rocio: /* Sólido antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar, trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último, trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, expresamos tanto las coordenadas como la base física en cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida del cambio del volumen por el desplazamiento.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con MATLAB.

{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}=\frac{-\cos(2\theta)\rho+log(3-\rho)\cos(2\theta)(3-\rho)}{2(3-\rho)\rho}=\frac{\cos(2\theta)[\rho+(3-\rho)log(3-\rho)]}{2(3-\rho)\rho}</math>, debemos encontrar los valores de <math> \rho</math> y <math> \theta </math> para los que la expresión se anula.

La primera parte de la expresión tiene fácil resolución, pues teniéndose que cumplir que <math> cos(2\theta)=0 </math>, obtenemos que <math> \theta=\frac{\pi}{4} </math>.

La segunda parte de la expresión no se puede resolver analíticamente, pero por el Teorema de Bolzano se puede demostrar que existe esa solución.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>, es decir, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_\rho</math>.

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T17:29:06Z

Rocio: /* Campo de vectores */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar, trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último, trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, expresamos tanto las coordenadas como la base física en cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida del cambio del volumen por el desplazamiento.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con MATLAB.

{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}=\frac{-\cos(2\theta)\rho+log(3-\rho)\cos(2\theta)(3-\rho)}{2(3-\rho)\rho}=\frac{\cos(2\theta)[\rho+(3-\rho)log(3-\rho)]}{2(3-\rho)\rho}</math>, debemos encontrar los valores de <math> \rho</math> y <math> \theta </math> para los que la expresión se anula.

La primera parte de la expresión tiene fácil resolución, pues teniéndose que cumplir que <math> cos(2\theta)=0 </math>, obtenemos que <math> \theta=\frac{\pi}{4} </math>.

La segunda parte de la expresión no se puede resolver analíticamente, pero por el Teorema de Bolzano se puede demostrar que existe esa solución.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>, es decir, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_\rho</math>.

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T15:30:09Z

Rocio: /* Sólido antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar, trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último, trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida del cambio del volumen por el desplazamiento.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con MATLAB.

{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}=\frac{-\cos(2\theta)\rho+log(3-\rho)\cos(2\theta)(3-\rho)}{2(3-\rho)\rho}=\frac{\cos(2\theta)[\rho+(3-\rho)log(3-\rho)]}{2(3-\rho)\rho}</math>, debemos encontrar los valores de <math> \rho</math> y <math> \theta </math> para los que la expresión se anula.

La primera parte de la expresión tiene fácil resolución, pues teniéndose que cumplir que <math> cos(2\theta)=0 </math>, obtenemos que <math> \theta=\frac{\pi}{4} </math>.

La segunda parte de la expresión no se puede resolver analíticamente, pero por el Teorema de Bolzano se puede demostrar que existe esa solución.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>, es decir, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_\rho</math>.

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T15:29:10Z

Rocio: /* Representación curvas de nivel de T */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar, trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último, trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida del cambio del volumen por el desplazamiento.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con MATLAB.

{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}=\frac{-\cos(2\theta)\rho+log(3-\rho)\cos(2\theta)(3-\rho)}{2(3-\rho)\rho}=\frac{\cos(2\theta)[\rho+(3-\rho)log(3-\rho)]}{2(3-\rho)\rho}</math>, debemos encontrar los valores de <math> \rho</math> y <math> \theta </math> para los que la expresión se anula.

La primera parte de la expresión tiene fácil resolución, pues teniéndose que cumplir que <math> cos(2\theta)=0 </math>, obtenemos que <math> \theta=\frac{\pi}{4} </math>.

La segunda parte de la expresión no se puede resolver analíticamente, pero por el Teorema de Bolzano se puede demostrar que existe esa solución.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>, es decir, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_\rho</math>.

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T13:42:13Z

Rocio: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar, trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último, trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida del cambio del volumen por el desplazamiento.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con MATLAB.

{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}=\frac{-\cos(2\theta)\rho+log(3-\rho)\cos(2\theta)(3-\rho)}{2(3-\rho)\rho}=\frac{\cos(2\theta)[\rho+(3-\rho)log(3-\rho)]}{2(3-\rho)\rho}</math>, debemos encontrar los valores de <math> \rho</math> y <math> \theta </math> para los que la expresión se anula.

La primera parte de la expresión tiene fácil resolución, pues teniéndose que cumplir que <math> cos(2\theta)=0 </math>, obtenemos que <math> \theta=\frac{\pi}{4} </math>.

La segunda parte de la expresión no se puede resolver analíticamente, pero por el Teorema de Bolzano se puede demostrar que existe esa solución.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>, es decir, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_\rho</math>.

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T13:40:14Z

Rocio: /* Divergencia máxima, mínima y nula */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar, trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último, trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida del cambio del volumen por el desplazamiento.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con MATLAB.

{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}=\frac{-\cos(2\theta)\rho+log(3-\rho)\cos(2\theta)(3-\rho)}{2(3-\rho)\rho}=\frac{\cos(2\theta)[\rho+(3-\rho)log(3-\rho)]}{2(3-\rho)\rho}</math>, debemos encontrar los valores de <math> \rho</math> y <math> \theta </math> para los que la expresión se anula.

La primera parte de la expresión tiene fácil resolución, pues teniéndose que cumplir que <math> cos(2\theta)=0 </math>, obtenemos que <math> \theta=\frac{\pi}{4} </math>.

La segunda parte de la expresión no se puede resolver analíticamente, pero por el Teorema de Bolzano se puede demostrar que existe esa solución.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T13:38:55Z

Rocio: /* Divergencia del campo */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar, trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último, trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida del cambio del volumen por el desplazamiento.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con MATLAB.

{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}=\frac{-\cos(2\theta)\rho+log(3-\rho)\cos(2\theta)(3-\rho)}{2(3-\rho)\rho}=\frac{\cos(2\theta)[\rho+log(3-\rho)(3-\rho)]}{2(3-\rho)\rho}</math>, debemos encontrar los valores de <math> \rho</math> y <math> \theta </math> para los que la expresión se anula.

La primera parte de la expresión tiene fácil resolución, pues teniéndose que cumplir que <math> cos(2\theta)=0 </math>, obtenemos que <math> \theta=\frac{\pi}{4} </math>.

La segunda parte de la expresión no se puede resolver analíticamente, pero por el Teorema de Bolzano se puede demostrar que existe esa solución.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T13:33:49Z

Rocio: /* Divergencia máxima, mínima y nula */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar, trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último, trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida del cambio del volumen por el desplazamiento.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con MATLAB.

{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}=\frac{-\cos(2\theta)\rho+log(3-\rho)\cos(2\theta)(3-\rho)}{2(3-\rho)\rho}=\frac{\cos(2\theta)[\rho+log(3-\rho)(3-\rho)]}{2(3-\rho)\rho}</math>, debemos encontrar los valores de <math> \rho</math> y <math> \theta </math> para los que la expresión se anula.

La primera parte de la expresión tiene fácil resolución, pues teniéndose que cumplir que <math> cos(2\theta)=0 </math>, obtenemos que <math> \theta=\frac{\pi}{4} </math>.

La segunda parte de la expresión no se puede resolver analíticamente, pero por el Teorema de Bolzano

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T13:19:15Z

Rocio: /* Divergencia máxima, mínima y nula */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar, trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último, trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida del cambio del volumen por el desplazamiento.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con MATLAB.

{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}=\frac{-\cos(2\theta)\rho+log(3-\rho)\cos(2\theta)(3-\rho)}{2(3-\rho)\rho}=\frac{\cos(2\theta)[\rho+log(3-\rho)(3-\rho)]}{2(3-\rho)\rho}</math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T12:24:52Z

Rocio: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar, trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último, trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida del cambio del volumen por el desplazamiento.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con MATLAB.

{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T12:11:15Z

Rocio: /* Divergencia del campo */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar, trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último, trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida del cambio del volumen por el desplazamiento.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con MATLAB.

{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T11:18:26Z

Rocio:

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar, trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último, trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con MATLAB.

{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T09:59:05Z

Rocio: /* Gráfica antes del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con MATLAB.

{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T09:58:28Z

Rocio: /* Divergencia máxima, mínima y nula */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con MATLAB.

{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T09:58:13Z

Rocio: /* Divergencia máxima, mínima y nula */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con matlab.

{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T09:53:16Z

Rocio: /* Divergencia máxima, mínima y nula */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

Debido a la complejidad de los cálculos hemos decidido calcularlo con matlab.

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T09:51:54Z

Rocio: /* Divergencia máxima, mínima y nula */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
En este apartado nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula.

Para poder hallar la divergencia máxima y mínima analíticamente debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T09:44:55Z

Rocio: /* Divergencia máxima, mínima y nula */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
Nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula. Para poder hallarlas debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T09:43:30Z

Rocio: /* Divergencia máxima, mínima y nula */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
Nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula. Para poder hallarlas debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

<center><math>H(u,v)=|\begin{matrix} \frac{\partial^2}{\partial u^2}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot \nabla\vec u \\ \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial v^2 }\cdot \nabla\vec {u} \end{matrix}\right|</math></center>

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T09:42:42Z

Rocio: /* Gráfico representación de la temperatura */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
Nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula. Para poder hallarlas debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T09:42:33Z

Rocio: /* Divergencia máxima, mínima y nula */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
Nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula. Para poder hallarlas debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables ρ y θ. Seguidamente hay que igualarlas a 0.

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T09:41:39Z

Rocio: /* Mallado de los puntos interiores del sólido */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{8}</math>,<math>\frac{7π}{8}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
Nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula. Para poder hallarlas debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables \theta y \rho.

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T09:41:07Z

Rocio: /* Divergencia máxima, mínima y nula */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
Nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula. Para poder hallarlas debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables \theta y \rho.

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T09:40:38Z

Rocio: /* Divergencia máxima, mínima y nula */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
Nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula. Para poder hallarlas debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables /theta y/rho.

La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T09:40:13Z

Rocio: /* Divergencia máxima, mínima y nula */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
Nos piden determinar la divergencia máxima, mínima y nula. Para poder hallarlas debemos hacer las derivadas parciales de la divergencia respecto a nuestras dos variables
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T09:31:32Z

Rocio: /* Gradiente de T */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-14T22:00:13Z

Rocio: /* Representación gráfica */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-14T21:59:42Z

Rocio: /* Gráfica de la divergencia */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-14T21:57:50Z

Rocio: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-14T21:54:09Z

Rocio: /* Representación gráfica */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-14T21:51:53Z

Rocio: /* Ley de Fourier */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-14T21:51:21Z

Rocio: /* Ley de Fourier */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|550px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Fourier2.png

2023-12-14T21:50:55Z

Rocio:

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-14T21:27:32Z

Rocio: /* Ley de Fourier */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:gradientenegativo.png|550px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-14T21:24:56Z

Rocio: /* Gradiente de T */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:gradientenegativo.png|550px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-14T21:24:34Z

Rocio: /* Gradiente de T */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|550px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:gradientenegativo.png|550px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-14T21:23:05Z

Rocio: /* Gradiente de T */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|550px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:gradientenegativo.png|550px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Gradienteee.png

2023-12-14T21:19:39Z

Rocio:

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-14T21:07:02Z

Rocio: /* Gráfico representación de la temperatura */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradientee.png|600px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:gradientenegativo.png|550px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-14T21:06:17Z

Rocio: /* Representación curvas de nivel de T */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|255px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradientee.png|600px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:gradientenegativo.png|550px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-14T21:02:57Z

Rocio: /* Gráfico representación de la temperatura */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|255px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel2.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,50)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradientee.png|600px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:gradientenegativo.png|550px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-14T21:02:23Z

Rocio: /* Gráfico representación de la temperatura */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|280px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel2.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,50)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradientee.png|600px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:gradientenegativo.png|550px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-14T21:02:08Z

Rocio: /* Gráfico de curvas de nivel */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|280px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
view(2)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel2.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,50)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradientee.png|600px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:gradientenegativo.png|550px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-14T21:01:42Z

Rocio: /* Gráfico de curvas de nivel */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico de curvas de nivel==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|280px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
view(2)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel2.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,50)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradientee.png|600px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:gradientenegativo.png|550px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Temperaturagrafico.png

2023-12-14T20:59:34Z

Rocio:

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-14T20:55:06Z

Rocio: /* Representación curvas de nivel de T */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico de curvas de nivel==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|430px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
view(2)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel2.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,50)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradientee.png|600px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:gradientenegativo.png|550px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-14T20:52:52Z

Rocio: /* Gráfico de curvas de nivel */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico de curvas de nivel==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|430px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
view(2)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel2.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
figure(2);
contour(x,y,Temp,50)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
hold off
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradientee.png|600px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:gradientenegativo.png|550px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
figure(1)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|350px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7071,0.7071).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]