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Flujo estacionario en medio poroso (RoYa)

2025-11-16T21:42:33Z

Rocío Tajuelo: /* Póster del Trabajo */

{{ TrabajoED | Flujo estacionario en medio poroso (RoYa) | [[:Categoría:MNEDP|MNEDP]]|[[:Categoría:MNEDP25/26|2025-26]] | Rocío Tajuelo Díaz, Yan Wang}}

=Póster del Trabajo=

{|style="margin: 0 auto;"
| [[Archivo:Poster_RoYa.jpg|900px|thumb|right|Trabajo de Métodos Numéricos en Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales sobre el flujo estacionario en medio poroso.]]
|}

=Códigos de MatLab=

A continuación, se presentan los códigos empleados para la realización del póster.

Para empezar se muestra los código utilizados para generar los documentos necesarios para las diferentes mallas. Para la malla del cuadrado de 4 triángulos se emplea el siguiente código:

{{matlab|codigo=
% Lado del cuadrado inicial.
a = 0;
b = 1;

H = [0.1 0.05 0.025]; % Pasos considerados.

% Nombres de los documentos creados

V = {'Vertices_malla1_tipo1.txt', 'Vertices_malla2_tipo1.txt', 'Vertices_malla3_tipo1.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo1.txt', 'Elementos_malla2_tipo1.txt', 'Elementos_malla3_tipo1.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo1.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3.txt', 'Relacion_malla2malla3.txt'};

T = {'Mallado con h=0.1', 'Mallado con h=0.05', 'Mallado con h=0.025'}; % Se emplea para los títulos de las gráficas

% Datos fijos necesarios dentro del bucle.
h = H(3);
X = a:h:b;
Xm = a+(h/2):h:b;
n2 = length(X);
m2 = length(Xm);
l2 = n2+m2;

% Bucle para crear las diferente mallas para cada paso.

for p = 1:3
h = H(p);
x = a:h:b; % División del lado en trozos de tamaño h
xm = a+(h/2):h:b; % Coordenada x de los centroides de los cuadrados en los que se divide el cuadrado inicial.
n = length(x);
m = length(xm);
apoyo = zeros(n+m,1); % Vector con las coordenadas x de los nodos que forman los cuadrados y su centroide .
for i = 1:n
apoyo(2*(i-1)+1) = x(i);
if i <= m
apoyo(2*i) = xm(i);
end
end
l = length(apoyo);

% Esta parte crea el documento con la numeración de los nodos y sus coordenada x e y.

Verticesdoc = fopen(V{p},'w');
formatSpec = '%d %.4f %.4f \n';
for i = 1:l % La numeración de los nodos se basa en el número de nodos que ya se han contado dependiendo del nodo en el que me hallo.
if mod(i,2) == 1
for j = 1:n
nodo = [(((n+m)*(floor(i/2))) + j), x(j), apoyo(i)];
fprintf(Verticesdoc,formatSpec,nodo);
end
else
for j = 1:m
nodo = [(((n+m)*(i/2-1) + n) + j), xm(j) apoyo(i)];
fprintf(Verticesdoc,formatSpec,nodo);
end
end
end
fclose(Verticesdoc);

% Este trozo crea el documento con la numeración de los elementos y los nodos que forman cada elemento.

Elementosdoc = fopen(E{p},'w');
formatSpec = '%d %d %d %d \n';
for i = 1:m
for j = 1:m
for k = 1:4 % El primer elemento es el triángulo de la izquierda, el segundo el de abajo, el tercero el de la derecha y el cuarto el de arriba. La numeración
if k == 1 % de los elementos se basa en el número de cuadrados contados dependiendo del nodo del centroide del cuadrado en el que me hallo.
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*i+j, (n+m)*(i-1)+j];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
elseif k == 2
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*(i-1)+j, (n+m)*(i-1)+(j+1)];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
elseif k == 3
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*(i-1)+(j+1), (n+m)*i+(j+1)];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
else
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*i+(j+1), (n+m)*i+j];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
end
end
end
end
fclose(Elementosdoc);

% Esta parte crea el documento que contiene la numeración de los nodos que forman parte de la frontera Dirichlet.

Dirichletdoc = fopen(D{p},'w');
formatSpec = '%d \n';
for i = 1:2 % Los nodos que forman parte de la frontera Dirichlet son aquellos cuya coordenada x es igual a 0 o 1.
for j = 1:n % Luego, el número de nodos ya contados es proporcional.
if i == 1
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,(n+m)*(j-1)+1);
else
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,(n+m)*(j-1)+n);
end
end

end
fclose(Dirichletdoc);

% Este trozo de código crea el documento que relaciona los nodos de las mallas menos finas con la malla más fija, es decir, las mallas con paso h igual a 0.1 y 0.05 con la malla con paso h igual a 0.025.

if p == 1 % Malla con paso h igual a 0.1 con la malla más fina.
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:l
if mod(i,2) == 1 % La relación entre los primeros nodos de cada fila impar es proporcional al número de nodos que se han contado entre la 1ª y 3ª fila.
for j = 1:n % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 4 posiciones.
c = 3*i+2*(floor(i/2)-1);
nodo = [(((n+m)*(floor(i/2))) + j), (n2+m2)*(c-1)/2+4*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
else % La relación entre los primeros nodos de cada fila impar es proporcional al número de nodos que se han contado entre la 2ª y 4ª fila más los de la 1ª fila.
for j = 1:m % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 4 posiciones empezando por un pequeño desplazamiento.
c = 4*i-3;
nodo = [(((n+m)*(i/2-1) + n) + j), (n2+m2)*((c-1)/2)+4*(j-1)+3];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
end
fclose(Relaciondoc);
elseif p == 2 % Malla con paso h igual a 0.05 con la malla más fina.
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:l
c = 2*i-1;
if mod(i,2) == 1
for j = 1:n % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 2 posiciones.
nodo = [(((n+m)*(floor(i/2))) + j), (n2+m2)*(c-1)/2+2*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
else
for j = 1:m % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 4 posiciones empezando por un pequeño desplazamiento.
nodo = [(((n+m)*(i/2-1) + n) + j), (n2+m2)*((c-1)/2)+2*(j-1)+2];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
end
fclose(Relaciondoc);
end

% Este parte representa gráficamente los diferentes mallados para cada paso.

Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Dir = load(D{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
plot(coord(Dir,1),coord(Dir,2),'-b','LineWidth',5);
hold on
for i=1:Nel
nod1 = nodos(i,1);
nod2 = nodos(i,2);
nod3 = nodos(i,3);
x =[coord(nod1,1), coord(nod2,1), coord(nod3,1), coord(nod1,1)];
y =[coord(nod1,2), coord(nod2,2), coord(nod3,2), coord(nod1,2)];
fill(x, y, 'cyan')
end
title(T{p})
end

% Este trozo dibuja gráficamente los nodos de las mallas menos finas y los de la malla más fina. Esta parte sirve para comprobar que la relación entre los nodos está bien escrita. O sea, si el nodo i de la malla menos fina se corresponde al nodo j de la malla más fina.

for p = 1:2
Vert = load(V{p});
Elem = load(E{p});
Vertices = load(V{3});
Elementos = load(E{3});
Rel = load(R{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
coord2 = zeros(M,2);
nodos2 = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Vert,1)
for j = 1:2
coord2(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Elem,1)
for j = 1:3
nodos2(i,j) = Elem(i,j+1);
end
end

figure(p+3)
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
plot(coord(Rel(:,2),1),coord(Rel(:,2),2),'bx','MarkerSize',20);
hold on
plot(coord2(Rel(:,1),1),coord2(Rel(:,1),2),'r.','MarkerSize',20);
hold off
end
}}

El siguiente código realiza la malla del cuadrado de 2 triángulos. Es el mismo código que el anterior pero modificado ligeramente. La idea para la numeración es la misma pero modifica a esta forma de mallado.

{{matlab|codigo=

a = 0;
b = 1;

H = [0.1 0.05 0.025];

V = {'Vertices_malla1_tipo2.txt', 'Vertices_malla2_tipo2.txt', 'Vertices_malla3_tipo2.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo2.txt', 'Elementos_malla2_tipo2.txt', 'Elementos_malla3_tipo2.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo2.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3_tipo1.txt', 'Relacion_malla2malla3_tipo1.txt','Relacion_malla3malla3_tipo1.txt'};

T = {'Mallado con h=0.1', 'Mallado con h=0.05', 'Mallado con h=0.025'};

h = H(3);
X = a:h:b;
Xm = a+(h/2):h:b;
n2 = length(X);
m2 = length(Xm);
l2 = n2+m2;

for p = 1:3
h = H(p);
x = a:h:b;
n = length(x);

% Crea el documento para los nodos.

Verticesdoc = fopen(V{p},'w');
formatSpec = '%d %.4f %.4f \n';
for j = 1:n
for i = 1:n
nodo = [(j-1)*n + i, x(i), x(j)];
fprintf(Verticesdoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Verticesdoc);

% Crea el documento para los elementos.

Elementosdoc = fopen(E{p},'w');
formatSpec = '%d %d %d %d \n';
for i = 1:n-1
for j = 1:n-1
triang = [(2*(j-1)+1)+(n-1)*(i-1), n*(i-1)+j, n*(i-1)+j+1, n*i+j];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
triang = [(2*(j-1)+2)+(n-1)*(i-1), n*i+j+1, n*i+j, n*(i-1)+j+1];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
end
end
fclose(Elementosdoc);

% Crea el documento para los nodos de la frontera Dirichlet.

Dirichletdoc = fopen(D{p},'w');
formatSpec = '%d \n';
for i = 1:2
for j = 1:n
if i == 1
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,1+n*(j-1));
else
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,n+n*(j-1));
end
end

end
fclose(Dirichletdoc);

% Crea el documento para la relación entre las mallas de 2 triángulos con la malla de 4 triángulos con paso h igual a 0.025.

if p == 1
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:n
for j = 1:n
c = 8*(i-1)+1;
nodo = [(i-1)*n + j, (n2+m2)*(c-1)/2+4*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Relaciondoc);
elseif p == 2
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:n
c = 4*(i-1)+1;
for j = 1:n
nodo = [(i-1)*n + j, (n2+m2)*(c-1)/2+2*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Relaciondoc);
else
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:n
c = 2*(i-1)+1;
for j = 1:n
nodo = [(i-1)*n + j, (n2+m2)*(c-1)/2+j];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Relaciondoc);
end

% Representa las diferentes mallas.

Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Dir = load(D{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

figure(p)
plot(coord(Dir,1),coord(Dir,2),'-b','LineWidth',5);
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
hold on
for i=1:Nel
nod1 = nodos(i,1);
nod2 = nodos(i,2);
nod3 = nodos(i,3);
x =[coord(nod1,1), coord(nod2,1), coord(nod3,1), coord(nod1,1)];
y =[coord(nod1,2), coord(nod2,2), coord(nod3,2), coord(nod1,2)];
fill(x, y, 'cyan')
end
title(T{p})
end

% Representa los nodos de la relación para la comprobación.

for p = 1:3
Vertices = load(V{p});
Elememtos = load(E{p});
Vert = load('Vertices_malla3_tipo1.txt');
Elem = load('Elementos_malla3_tipo1.txt');
Rel = load(R{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,2);
coord2 = zeros(size(Vert,1),2);
nodos2 = zeros(size(Elem,1),3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Vert,1)
for j = 1:2
coord2(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Elem,1)
for j = 1:3
nodos2(i,j) = Elem(i,j+1);
end
end

figure(p+4)
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
plot(coord(Rel(:,1),1),coord(Rel(:,1),2),'bx','MarkerSize',20);
hold on
plot(coord2(Rel(:,2),1),coord2(Rel(:,2),2),'r.','MarkerSize',20);
hold off
end
}}

Lo siguientes códigos realizan el MEF. Primero se muestra con las mallas de 4 triángulos.

{{matlab|codigo=

% Documentos donde se encuentra la información de las mallas.

V = {'Vertices_malla1_tipo1.txt', 'Vertices_malla2_tipo1.txt', 'Vertices_malla3_tipo1.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo1.txt', 'Elementos_malla2_tipo1.txt', 'Elementos_malla3_tipo1.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo1.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3.txt', 'Relacion_malla2malla3.txt'};

% Lado del cuadrado inicial.

a = 0;
b = 1;

% Condiciones de tipo Dirichlet.

p0 = 0.5;
p1 = 0;

% Datos del problema.

f = @(x,y) 50*exp(-100*((x-0.5).^2 + (y-0.5).^2));
K = @(x,y) 1 + 0.5.*cos(2*pi*x).*cos(2*pi*y);

% Matrices empleadas para calcular la matriz de rigidez por ensamblado.

Lxx = zeros(3,3); Lxx(1,1) = 1/2; Lxx(2,2) = 1/2; Lxx(1,2) = -1/2; Lxx(2,1) = -1/2;
Lyy = zeros(3,3); Lyy(1,1) = 1/2; Lyy(3,3) = 1/2; Lyy(3,1) = -1/2; Lyy(1,3) = -1/2;
Lxy = zeros(3,3); Lxy(1,1) = 1/2; Lxy(2,3) = 1/2; Lxy(1,3) = -1/2; Lxy(2,1) = -1/2;
l0 = (1/6)*ones(3,1);

% Variables de la tabla final sobre la convergencia.

H = [0.1 0.05 0.025];
Sol = zeros(length(a:H(end):b),3);
normL = zeros(size(H));
ordenL = zeros(size(H));
normH = zeros(size(H));
ordenH = zeros(size(H));
condA = zeros(size(H));

% Resolución del problema para las mallas de cada paso.

for p =1:3

% Lectura de los documentos y creación de variables con los datos de estos.

Dir = load(D{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
MDir = length(Dir);
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Matrices del problema en forma matricial.

A = zeros(M,M);
b = zeros(M,1);
u = zeros(M,1);

% Asignación valores a la solución de los nodos de la frontera Dirichlet.

for i = 1:length(Dir)
if coord(Dir(i),1) == a
u(Dir(i)) = p0;
else
u(Dir(i)) = p1;
end
end

ind = setdiff(1:M,sort(Dir)); % Nodos cuya solución hay que calcular

% Ensamblado de la matriz de rigidez y el vector de cargas.

for e = 1:Nel
nodosK = Elementos(e, 2:end);
Bk = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
Ck = invBk*invBk';
fk = 0;
Kk = 0;
for i = 1:3 % Aproximación de la integral de f y K sobre cada elemento como un promedio.
Kk = Kk + K(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
fk = fk + f(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
end
Kk = Kk./3;
fk = fk./3;
Lk = abs(detBk)*Kk*(Ck(1,1)*Lxx + Ck(1,2)*(Lxy+Lxy') + Ck(2,2)*Lyy);
A(nodosK,nodosK) = A(nodosK,nodosK) + Lk;
lk = fk*abs(detBk)*l0;
b(nodosK) = b(nodosK) + lk;
end

for i = 1:M-MDir % Ajuste del vector de cargas.
camb = 0;
for j = 1:MDir
camb = camb + A(Dir(j),ind(i))*u(Dir(j));
end
b(ind(i)) = b(ind(i)) - camb;
end

u(ind) = A(ind,ind)\b(ind); % Resolución del problema matricial.

Sol(1:length(u),p) = u;

% Representación de la solución calculada.

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(nodos,coord(:,1),coord(:,2),u);view(0,90);
colorbar;
title('u_h');

end

% Cálculo de la convergencia.

for p = 1:2
Rel = load(R{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Vert = load(V{end});
M = size(Vertices,1);
M3 = size(Vert,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
coord3 = zeros(M3,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:M3
for j = 1:2
coord3(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo de las normas por aproximación de las soluciones de las mallas menos finas con la más fina.

intL = 0;
intdH = 0;
for i = 1:Nel
nodosK = nodos(i,:);
Bk = zeros(2,2);
Bk3 = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
Bk3(j,k) = coord3(Rel(nodosK(k+1),2),j)-coord3(Rel(nodosK(1),2),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
detBk3 = det(Bk3);
invBk3 = inv(Bk3);
sumL = 0;
sumdH = 0;
uk = [Sol(nodosK(2),p)-Sol(nodosK(1),p); Sol(nodosK(3),p)-Sol(nodosK(1),p)];
uk3 = [Sol(Rel(nodosK(2),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3); Sol(Rel(nodosK(3),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3)];
for j = 1:3
sumL = sumL + (Sol(Rel(nodosK(j),2),3) - Sol(nodosK(j),p)).^2;
sumdH = sumdH + norm(invBk3'*uk3 - invBk'*uk).^2;
end
intL = intL + (abs(detBk)/3)*sumL;
intdH = intdH + (abs(detBk)/3)*sumdH;
end

normL(p) = sqrt(intL);
normH(p) = sqrt(intL + intdH);
condA(p) = cond(A);
end

% Cálculo del orden en las diferentes normas.

ordenL(1) = log(normL(1)/normL(2))/log(2);
ordenH(1) = log(normH(1)/normH(2))/log(2);

% Creación de la tabla de convergencia con los datos calculados.

table(H',normL',ordenL',normH',ordenH',condA','VariableNames',{'h','norma en L2','orden L2','norma en H1','orden H1','cond(A)'})

}}

Ahora, se muestra el mismo código pero ajustado con la parte de convergencia ajustada para comparar con la malla de 4 triángulos más fina.

{{matlab|codigo=
V = {'Vertices_malla1_tipo2.txt', 'Vertices_malla2_tipo2.txt', 'Vertices_malla3_tipo2.txt', 'Vertices_malla3_tipo1.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo2.txt', 'Elementos_malla2_tipo2.txt', 'Elementos_malla3_tipo2.txt', 'Elementos_malla3_tipo1.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo1.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3_tipo1.txt', 'Relacion_malla2malla3_tipo1.txt', 'Relacion_malla3malla3_tipo1.txt'};

a = 0;
b = 1;

p0 = 0.5;
p1 = 0;

f = @(x,y) 50*exp(-100*((x-0.5).^2 + (y-0.5).^2));
K = @(x,y) 1 + 0.5.*cos(2*pi*x).*cos(2*pi*y);

Lxx = zeros(3,3); Lxx(1,1) = 1/2; Lxx(2,2) = 1/2; Lxx(1,2) = -1/2; Lxx(2,1) = -1/2;
Lyy = zeros(3,3); Lyy(1,1) = 1/2; Lyy(3,3) = 1/2; Lyy(3,1) = -1/2; Lyy(1,3) = -1/2;
Lxy = zeros(3,3); Lxy(1,1) = 1/2; Lxy(2,3) = 1/2; Lxy(1,3) = -1/2; Lxy(2,1) = -1/2;
l0 = (1/6)*ones(3,1);

H = [0.1 0.05 0.025];
Sol = zeros(length(a:H(end):b),3);
Exacta = zeros(length(a:H(end):b),1);
coord5 = zeros(length(a:H(end):b),1);
normL = zeros(size(H));
ordenL = zeros(size(H));
normH = zeros(size(H));
ordenH = zeros(size(H));
condA = zeros(size(H));

for p =1:4

% Lectura de documentos y creación de variables con dichos datos.

Dir = load(D{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
MDir = length(Dir);
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

if p ==3 % Almacenamos las coordenadas de la malla de 2 triángulos más fina para uso posterior.
coord5 = coord;
end

A = zeros(M,M);
b = zeros(M,1);
u = zeros(M,1);

% Asignación de variables con valores conocidos

for i = 1:length(Dir)
if coord(Dir(i),1) == a
u(Dir(i)) = p0;
else
u(Dir(i)) = p1;
end
end

ind = setdiff(1:M,sort(Dir));

% Ensamblado de la matriz de rigidez y del vector de cargas.

for e = 1:Nel
nodosK = Elementos(e, 2:end);
Bk = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
Ck = invBk*invBk';
fk = 0;
Kk = 0;
for i = 1:3
Kk = Kk + K(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
fk = fk + f(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
end
Kk = Kk./3;
fk = fk./3;
Lk = abs(detBk)*Kk*(Ck(1,1)*Lxx + Ck(1,2)*(Lxy+Lxy') + Ck(2,2)*Lyy);
A(nodosK,nodosK) = A(nodosK,nodosK) + Lk;
lk = fk*abs(detBk)*l0;
b(nodosK) = b(nodosK) + lk;
end

% Ajuste del vector de cargas

for i = 1:M-MDir
camb = 0;
for j = 1:MDir
camb = camb + A(Dir(j),ind(i))*u(Dir(j));
end
b(ind(i)) = b(ind(i)) - camb;
end

u(ind) = A(ind,ind)\b(ind);

if p == 4 % Almacenamos la solución de la malla de 4 triángulos en una variable diferente.
Exacta(1:length(u)) = u;
else
Sol(1:length(u),p) = u;
end

% Representación gráfica de la solución calculada.

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(nodos,coord(:,1),coord(:,2),u);view(0,90);
colorbar;
title('u_h');
end

% Representación gráfica de la diferencia entre la solución de la malla de 2 triángulos más fina con la solución de la malla de 4 triángulos más fina.

Rel = load(R{3});
Elementos= load(E{3});
figure(p+1)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(Elementos(:,2:end),coord5(:,1),coord5(:,2),abs(Sol(:,3)-Exacta(Rel(:,2))));view(0,90);
colorbar;
title('|u-u_h|');

% Creación de variables necesarias para la convergencia.

Vert = load(V{4});
Elem = load(E{4});
M4 = size(Vert,1);
Nel4 = size(Elem,1);
coord4 = zeros(M4,2);
nodos4 = zeros(Nel4,3);
for i = 1:M4
for j = 1:2
coord4(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel4
for j = 1:3
nodos4(i,j) = Elem(i,j+1);
end
end

% Cálculo de la convergencia.

for p = 1:3
Rel = load(R{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo de las normas por aproximación de las soluciones de las mallas de 2 triángulos con la solución de la malla de 4 triángulos más fina.

intL = 0;
intdH = 0;
for i = 1:Nel
nodosK = nodos(i,:);
Bk = zeros(2,2);
Bk4 = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
Bk4(j,k) = coord4(Rel(nodosK(k+1),2),j)-coord4(Rel(nodosK(1),2),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
detBk4 = det(Bk4);
invBk4 = inv(Bk4);
sumL = 0;
sumdH = 0;
uk = [Sol(nodosK(2),p)-Sol(nodosK(1),p); Sol(nodosK(3),p)-Sol(nodosK(1),p)];
uk4 = [Exacta(Rel(nodosK(2),2))-Exacta(Rel(nodosK(1),2)); Exacta(Rel(nodosK(3),2))-Exacta(Rel(nodosK(1),2))];
for j = 1:3
sumL = sumL + (Exacta(Rel(nodosK(j),2)) - Sol(nodosK(j),p)).^2;
sumdH = sumdH + norm(invBk4'*uk4 - invBk'*uk).^2;
end
intL = intL + (abs(detBk)/3)*sumL;
intdH = intdH + (abs(detBk)/3)*sumdH;
end

normL(p) = sqrt(intL);
normH(p) = sqrt(intL + intdH);
condA(p) = cond(A);
end

% Cálculo del orden de las diferentes normas.

for i = 1:2
ordenL(i) = log(normL(i)/normL(i+1))/log(2);
ordenH(i) = log(normH(i)/normH(i+1))/log(2);
end

% Creación de la tabla de convergencia con los datos calculados.

table(H',normL',ordenL',normH',ordenH',condA','VariableNames',{'h','norma en L2','orden L2','norma en H1','orden H1','cond(A)'})
}}

Por último, se muestra de nuevo el código pero modificado para el nuevo dominio.

{{matlab|codigo=

V = {'Vertices_malla1_tipo3.txt', 'Vertices_malla2_tipo3.txt', 'Vertices_malla3_tipo3.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo3.txt', 'Elementos_malla2_tipo3.txt', 'Elementos_malla3_tipo3.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo3.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo3.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo3.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3_tipo3.txt', 'Relacion_malla2malla3_tipo3.txt'};

% Lectura de una de las mallas para el cálculo del centroide del dominio.

Vertices = load(V{3});
Elementos = load(E{3});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo del centroide del dominio por cambio de variable al elemento de referencia.

area2 = 0;
xcmintcv = 0;
ycmintcv = 0;
for i = 1:Nel
jac = zeros(2,2);
triang = [nodos(i,1), nodos(i,2), nodos(i,3)];
for j = 1:2
for k = 1:2
jac(j,k) = coord(triang(k+1),j)-coord(triang(1),j);
end
end
detjac = abs((jac(1,1)*jac(2,2))-(jac(1,2)*jac(2,1)));
areael = detjac*(1/2);
area2 = area2 + areael;
intx = @(a,b) jac(1,1)*a + jac(1,2)*b + coord(triang(1),1);
inty = @(a,b) jac(2,1)*a + jac(2,2)*b + coord(triang(1),2);
xcmintcv = xcmintcv + detjac*integral2(intx,0,1,0,@(z) -z+1);
ycmintcv = ycmintcv + detjac*integral2(inty,0,1,0,@(z) -z+1);
end
xcmcv = xcmintcv/area2;
ycmcv = ycmintcv/area2;

a = 0;
b = 1;

p0 = 0.5;
p1 = 0;

f = @(x,y) 50*exp(-100*((x-xcmcv).^2 + (y-ycmcv).^2));
K = @(x,y) 1 + 0.5.*cos(2*pi*x).*cos(2*pi*y);

Lxx = zeros(3,3); Lxx(1,1) = 1/2; Lxx(2,2) = 1/2; Lxx(1,2) = -1/2; Lxx(2,1) = -1/2;
Lyy = zeros(3,3); Lyy(1,1) = 1/2; Lyy(3,3) = 1/2; Lyy(3,1) = -1/2; Lyy(1,3) = -1/2;
Lxy = zeros(3,3); Lxy(1,1) = 1/2; Lxy(2,3) = 1/2; Lxy(1,3) = -1/2; Lxy(2,1) = -1/2;
l0 = (1/6)*ones(3,1);

H = [0.1 0.05 0.025];
Sol = zeros(length(a:H(end):b),3);
normL = zeros(size(H));
ordenL = zeros(size(H));
normH = zeros(size(H));
ordenH = zeros(size(H));
condA = zeros(size(H));

for p =1:3

% Lectura de los documentos y creación de variables con dichos datos.

Dir = load(D{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
MDir = length(Dir);
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

A = zeros(M,M);
b = zeros(M,1);
u = zeros(M,1);

% Asignación de valores conocidos.

for i = 1:length(Dir)
if coord(Dir(i),1) == a
u(Dir(i)) = p0;
else
u(Dir(i)) = p1;
end
end

ind = setdiff(1:M,sort(Dir));

% Ensamblado de la matriz de rigidez y del vector de cargas.

for e = 1:Nel
nodosK = Elementos(e, 2:end);
Bk = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
Ck = invBk*invBk';
fk = 0;
Kk = 0;
for i = 1:3
Kk = Kk + K(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
fk = fk + f(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
end
Kk = Kk./3;
fk = fk./3;
Lk = abs(detBk)*Kk*(Ck(1,1)*Lxx + Ck(1,2)*(Lxy+Lxy') + Ck(2,2)*Lyy);
A(nodosK,nodosK) = A(nodosK,nodosK) + Lk;
lk = fk*abs(detBk)*l0;
b(nodosK) = b(nodosK) + lk;
end

% Ajuste del vector de cargas.

for i = 1:M-MDir
camb = 0;
for j = 1:MDir
camb = camb + A(Dir(j),ind(i))*u(Dir(j));
end
b(ind(i)) = b(ind(i)) - camb;
end

u(ind) = A(ind,ind)\b(ind);

Sol(1:length(u),p) = u;

% Representación gráfica de la solución calculada.

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(nodos,coord(:,1),coord(:,2),u);view(0,90);
colorbar;
title(strcat('u_h con h =',num2str(H(p))));
end

% Cálculo de la convergencia.

for p = 1:2
Rel = load(R{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Vert = load(V{end});
M = size(Vertices,1);
M3 = size(Vert,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
coord3 = zeros(M3,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:M3
for j = 1:2
coord3(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo de las normas por aproximación de las soluciones de las mallas menos finas con la solución de la malla más fina.

intL = 0;
intdH = 0;
for i = 1:Nel
nodosK = nodos(i,:);
Bk = zeros(2,2);
Bk3 = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
Bk3(j,k) = coord3(Rel(nodosK(k+1),2),j)-coord3(Rel(nodosK(1),2),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
detBk3 = det(Bk3);
invBk3 = inv(Bk3);
sumL = 0;
sumdH = 0;
uk = [Sol(nodosK(2),p)-Sol(nodosK(1),p); Sol(nodosK(3),p)-Sol(nodosK(1),p)];
uk3 = [Sol(Rel(nodosK(2),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3); Sol(Rel(nodosK(3),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3)];
for j = 1:3
sumL = sumL + (Sol(Rel(nodosK(j),2),3) - Sol(nodosK(j),p)).^2;
sumdH = sumdH + norm(invBk3'*uk3 - invBk'*uk).^2;
end
intL = intL + (abs(detBk)/3)*sumL;
intdH = intdH + (abs(detBk)/3)*sumdH;
end

normL(p) = sqrt(intL);
normH(p) = sqrt(intL + intdH);
condA(p) = cond(A);
end

% Cálculo del orden de las diferentes normas.

ordenL(1) = log(normL(1)/normL(2))/log(2);
ordenH(1) = log(normH(1)/normH(2))/log(2);

% Creación de la tabla de convergencia con los datos calculados.

table(H',normL',ordenL',normH',ordenH',condA','VariableNames',{'h','norma en L2','orden L2','norma en H1','orden H1','cond(A)'})
}}

[[Categoría:MNEDP|MNEDP]]
[[Categoría:MNEDP25/26|2025-26]]

Flujo estacionario en medio poroso (RoYa)

2025-11-16T21:40:39Z

Rocío Tajuelo: /* Códigos de MatLab */

{{ TrabajoED | Flujo estacionario en medio poroso (RoYa) | [[:Categoría:MNEDP|MNEDP]]|[[:Categoría:MNEDP25/26|2025-26]] | Rocío Tajuelo Díaz, Yan Wang}}

=Póster del Trabajo=

{|style="margin: 0 auto;"
| [[Archivo:Poster_RoYa.jpg|900px|thumb|right|Trabajo de Métodos Numéricos en Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales sobre la Ecuación del Calor Estacionaria en formato póster realizado por el grupo DIF.]]
|}

=Códigos de MatLab=

A continuación, se presentan los códigos empleados para la realización del póster.

Para empezar se muestra los código utilizados para generar los documentos necesarios para las diferentes mallas. Para la malla del cuadrado de 4 triángulos se emplea el siguiente código:

{{matlab|codigo=
% Lado del cuadrado inicial.
a = 0;
b = 1;

H = [0.1 0.05 0.025]; % Pasos considerados.

% Nombres de los documentos creados

V = {'Vertices_malla1_tipo1.txt', 'Vertices_malla2_tipo1.txt', 'Vertices_malla3_tipo1.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo1.txt', 'Elementos_malla2_tipo1.txt', 'Elementos_malla3_tipo1.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo1.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3.txt', 'Relacion_malla2malla3.txt'};

T = {'Mallado con h=0.1', 'Mallado con h=0.05', 'Mallado con h=0.025'}; % Se emplea para los títulos de las gráficas

% Datos fijos necesarios dentro del bucle.
h = H(3);
X = a:h:b;
Xm = a+(h/2):h:b;
n2 = length(X);
m2 = length(Xm);
l2 = n2+m2;

% Bucle para crear las diferente mallas para cada paso.

for p = 1:3
h = H(p);
x = a:h:b; % División del lado en trozos de tamaño h
xm = a+(h/2):h:b; % Coordenada x de los centroides de los cuadrados en los que se divide el cuadrado inicial.
n = length(x);
m = length(xm);
apoyo = zeros(n+m,1); % Vector con las coordenadas x de los nodos que forman los cuadrados y su centroide .
for i = 1:n
apoyo(2*(i-1)+1) = x(i);
if i <= m
apoyo(2*i) = xm(i);
end
end
l = length(apoyo);

% Esta parte crea el documento con la numeración de los nodos y sus coordenada x e y.

Verticesdoc = fopen(V{p},'w');
formatSpec = '%d %.4f %.4f \n';
for i = 1:l % La numeración de los nodos se basa en el número de nodos que ya se han contado dependiendo del nodo en el que me hallo.
if mod(i,2) == 1
for j = 1:n
nodo = [(((n+m)*(floor(i/2))) + j), x(j), apoyo(i)];
fprintf(Verticesdoc,formatSpec,nodo);
end
else
for j = 1:m
nodo = [(((n+m)*(i/2-1) + n) + j), xm(j) apoyo(i)];
fprintf(Verticesdoc,formatSpec,nodo);
end
end
end
fclose(Verticesdoc);

% Este trozo crea el documento con la numeración de los elementos y los nodos que forman cada elemento.

Elementosdoc = fopen(E{p},'w');
formatSpec = '%d %d %d %d \n';
for i = 1:m
for j = 1:m
for k = 1:4 % El primer elemento es el triángulo de la izquierda, el segundo el de abajo, el tercero el de la derecha y el cuarto el de arriba. La numeración
if k == 1 % de los elementos se basa en el número de cuadrados contados dependiendo del nodo del centroide del cuadrado en el que me hallo.
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*i+j, (n+m)*(i-1)+j];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
elseif k == 2
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*(i-1)+j, (n+m)*(i-1)+(j+1)];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
elseif k == 3
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*(i-1)+(j+1), (n+m)*i+(j+1)];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
else
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*i+(j+1), (n+m)*i+j];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
end
end
end
end
fclose(Elementosdoc);

% Esta parte crea el documento que contiene la numeración de los nodos que forman parte de la frontera Dirichlet.

Dirichletdoc = fopen(D{p},'w');
formatSpec = '%d \n';
for i = 1:2 % Los nodos que forman parte de la frontera Dirichlet son aquellos cuya coordenada x es igual a 0 o 1.
for j = 1:n % Luego, el número de nodos ya contados es proporcional.
if i == 1
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,(n+m)*(j-1)+1);
else
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,(n+m)*(j-1)+n);
end
end

end
fclose(Dirichletdoc);

% Este trozo de código crea el documento que relaciona los nodos de las mallas menos finas con la malla más fija, es decir, las mallas con paso h igual a 0.1 y 0.05 con la malla con paso h igual a 0.025.

if p == 1 % Malla con paso h igual a 0.1 con la malla más fina.
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:l
if mod(i,2) == 1 % La relación entre los primeros nodos de cada fila impar es proporcional al número de nodos que se han contado entre la 1ª y 3ª fila.
for j = 1:n % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 4 posiciones.
c = 3*i+2*(floor(i/2)-1);
nodo = [(((n+m)*(floor(i/2))) + j), (n2+m2)*(c-1)/2+4*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
else % La relación entre los primeros nodos de cada fila impar es proporcional al número de nodos que se han contado entre la 2ª y 4ª fila más los de la 1ª fila.
for j = 1:m % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 4 posiciones empezando por un pequeño desplazamiento.
c = 4*i-3;
nodo = [(((n+m)*(i/2-1) + n) + j), (n2+m2)*((c-1)/2)+4*(j-1)+3];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
end
fclose(Relaciondoc);
elseif p == 2 % Malla con paso h igual a 0.05 con la malla más fina.
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:l
c = 2*i-1;
if mod(i,2) == 1
for j = 1:n % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 2 posiciones.
nodo = [(((n+m)*(floor(i/2))) + j), (n2+m2)*(c-1)/2+2*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
else
for j = 1:m % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 4 posiciones empezando por un pequeño desplazamiento.
nodo = [(((n+m)*(i/2-1) + n) + j), (n2+m2)*((c-1)/2)+2*(j-1)+2];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
end
fclose(Relaciondoc);
end

% Este parte representa gráficamente los diferentes mallados para cada paso.

Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Dir = load(D{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
plot(coord(Dir,1),coord(Dir,2),'-b','LineWidth',5);
hold on
for i=1:Nel
nod1 = nodos(i,1);
nod2 = nodos(i,2);
nod3 = nodos(i,3);
x =[coord(nod1,1), coord(nod2,1), coord(nod3,1), coord(nod1,1)];
y =[coord(nod1,2), coord(nod2,2), coord(nod3,2), coord(nod1,2)];
fill(x, y, 'cyan')
end
title(T{p})
end

% Este trozo dibuja gráficamente los nodos de las mallas menos finas y los de la malla más fina. Esta parte sirve para comprobar que la relación entre los nodos está bien escrita. O sea, si el nodo i de la malla menos fina se corresponde al nodo j de la malla más fina.

for p = 1:2
Vert = load(V{p});
Elem = load(E{p});
Vertices = load(V{3});
Elementos = load(E{3});
Rel = load(R{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
coord2 = zeros(M,2);
nodos2 = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Vert,1)
for j = 1:2
coord2(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Elem,1)
for j = 1:3
nodos2(i,j) = Elem(i,j+1);
end
end

figure(p+3)
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
plot(coord(Rel(:,2),1),coord(Rel(:,2),2),'bx','MarkerSize',20);
hold on
plot(coord2(Rel(:,1),1),coord2(Rel(:,1),2),'r.','MarkerSize',20);
hold off
end
}}

El siguiente código realiza la malla del cuadrado de 2 triángulos. Es el mismo código que el anterior pero modificado ligeramente. La idea para la numeración es la misma pero modifica a esta forma de mallado.

{{matlab|codigo=

a = 0;
b = 1;

H = [0.1 0.05 0.025];

V = {'Vertices_malla1_tipo2.txt', 'Vertices_malla2_tipo2.txt', 'Vertices_malla3_tipo2.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo2.txt', 'Elementos_malla2_tipo2.txt', 'Elementos_malla3_tipo2.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo2.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3_tipo1.txt', 'Relacion_malla2malla3_tipo1.txt','Relacion_malla3malla3_tipo1.txt'};

T = {'Mallado con h=0.1', 'Mallado con h=0.05', 'Mallado con h=0.025'};

h = H(3);
X = a:h:b;
Xm = a+(h/2):h:b;
n2 = length(X);
m2 = length(Xm);
l2 = n2+m2;

for p = 1:3
h = H(p);
x = a:h:b;
n = length(x);

% Crea el documento para los nodos.

Verticesdoc = fopen(V{p},'w');
formatSpec = '%d %.4f %.4f \n';
for j = 1:n
for i = 1:n
nodo = [(j-1)*n + i, x(i), x(j)];
fprintf(Verticesdoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Verticesdoc);

% Crea el documento para los elementos.

Elementosdoc = fopen(E{p},'w');
formatSpec = '%d %d %d %d \n';
for i = 1:n-1
for j = 1:n-1
triang = [(2*(j-1)+1)+(n-1)*(i-1), n*(i-1)+j, n*(i-1)+j+1, n*i+j];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
triang = [(2*(j-1)+2)+(n-1)*(i-1), n*i+j+1, n*i+j, n*(i-1)+j+1];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
end
end
fclose(Elementosdoc);

% Crea el documento para los nodos de la frontera Dirichlet.

Dirichletdoc = fopen(D{p},'w');
formatSpec = '%d \n';
for i = 1:2
for j = 1:n
if i == 1
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,1+n*(j-1));
else
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,n+n*(j-1));
end
end

end
fclose(Dirichletdoc);

% Crea el documento para la relación entre las mallas de 2 triángulos con la malla de 4 triángulos con paso h igual a 0.025.

if p == 1
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:n
for j = 1:n
c = 8*(i-1)+1;
nodo = [(i-1)*n + j, (n2+m2)*(c-1)/2+4*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Relaciondoc);
elseif p == 2
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:n
c = 4*(i-1)+1;
for j = 1:n
nodo = [(i-1)*n + j, (n2+m2)*(c-1)/2+2*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Relaciondoc);
else
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:n
c = 2*(i-1)+1;
for j = 1:n
nodo = [(i-1)*n + j, (n2+m2)*(c-1)/2+j];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Relaciondoc);
end

% Representa las diferentes mallas.

Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Dir = load(D{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

figure(p)
plot(coord(Dir,1),coord(Dir,2),'-b','LineWidth',5);
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
hold on
for i=1:Nel
nod1 = nodos(i,1);
nod2 = nodos(i,2);
nod3 = nodos(i,3);
x =[coord(nod1,1), coord(nod2,1), coord(nod3,1), coord(nod1,1)];
y =[coord(nod1,2), coord(nod2,2), coord(nod3,2), coord(nod1,2)];
fill(x, y, 'cyan')
end
title(T{p})
end

% Representa los nodos de la relación para la comprobación.

for p = 1:3
Vertices = load(V{p});
Elememtos = load(E{p});
Vert = load('Vertices_malla3_tipo1.txt');
Elem = load('Elementos_malla3_tipo1.txt');
Rel = load(R{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,2);
coord2 = zeros(size(Vert,1),2);
nodos2 = zeros(size(Elem,1),3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Vert,1)
for j = 1:2
coord2(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Elem,1)
for j = 1:3
nodos2(i,j) = Elem(i,j+1);
end
end

figure(p+4)
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
plot(coord(Rel(:,1),1),coord(Rel(:,1),2),'bx','MarkerSize',20);
hold on
plot(coord2(Rel(:,2),1),coord2(Rel(:,2),2),'r.','MarkerSize',20);
hold off
end
}}

Lo siguientes códigos realizan el MEF. Primero se muestra con las mallas de 4 triángulos.

{{matlab|codigo=

% Documentos donde se encuentra la información de las mallas.

V = {'Vertices_malla1_tipo1.txt', 'Vertices_malla2_tipo1.txt', 'Vertices_malla3_tipo1.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo1.txt', 'Elementos_malla2_tipo1.txt', 'Elementos_malla3_tipo1.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo1.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3.txt', 'Relacion_malla2malla3.txt'};

% Lado del cuadrado inicial.

a = 0;
b = 1;

% Condiciones de tipo Dirichlet.

p0 = 0.5;
p1 = 0;

% Datos del problema.

f = @(x,y) 50*exp(-100*((x-0.5).^2 + (y-0.5).^2));
K = @(x,y) 1 + 0.5.*cos(2*pi*x).*cos(2*pi*y);

% Matrices empleadas para calcular la matriz de rigidez por ensamblado.

Lxx = zeros(3,3); Lxx(1,1) = 1/2; Lxx(2,2) = 1/2; Lxx(1,2) = -1/2; Lxx(2,1) = -1/2;
Lyy = zeros(3,3); Lyy(1,1) = 1/2; Lyy(3,3) = 1/2; Lyy(3,1) = -1/2; Lyy(1,3) = -1/2;
Lxy = zeros(3,3); Lxy(1,1) = 1/2; Lxy(2,3) = 1/2; Lxy(1,3) = -1/2; Lxy(2,1) = -1/2;
l0 = (1/6)*ones(3,1);

% Variables de la tabla final sobre la convergencia.

H = [0.1 0.05 0.025];
Sol = zeros(length(a:H(end):b),3);
normL = zeros(size(H));
ordenL = zeros(size(H));
normH = zeros(size(H));
ordenH = zeros(size(H));
condA = zeros(size(H));

% Resolución del problema para las mallas de cada paso.

for p =1:3

% Lectura de los documentos y creación de variables con los datos de estos.

Dir = load(D{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
MDir = length(Dir);
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Matrices del problema en forma matricial.

A = zeros(M,M);
b = zeros(M,1);
u = zeros(M,1);

% Asignación valores a la solución de los nodos de la frontera Dirichlet.

for i = 1:length(Dir)
if coord(Dir(i),1) == a
u(Dir(i)) = p0;
else
u(Dir(i)) = p1;
end
end

ind = setdiff(1:M,sort(Dir)); % Nodos cuya solución hay que calcular

% Ensamblado de la matriz de rigidez y el vector de cargas.

for e = 1:Nel
nodosK = Elementos(e, 2:end);
Bk = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
Ck = invBk*invBk';
fk = 0;
Kk = 0;
for i = 1:3 % Aproximación de la integral de f y K sobre cada elemento como un promedio.
Kk = Kk + K(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
fk = fk + f(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
end
Kk = Kk./3;
fk = fk./3;
Lk = abs(detBk)*Kk*(Ck(1,1)*Lxx + Ck(1,2)*(Lxy+Lxy') + Ck(2,2)*Lyy);
A(nodosK,nodosK) = A(nodosK,nodosK) + Lk;
lk = fk*abs(detBk)*l0;
b(nodosK) = b(nodosK) + lk;
end

for i = 1:M-MDir % Ajuste del vector de cargas.
camb = 0;
for j = 1:MDir
camb = camb + A(Dir(j),ind(i))*u(Dir(j));
end
b(ind(i)) = b(ind(i)) - camb;
end

u(ind) = A(ind,ind)\b(ind); % Resolución del problema matricial.

Sol(1:length(u),p) = u;

% Representación de la solución calculada.

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(nodos,coord(:,1),coord(:,2),u);view(0,90);
colorbar;
title('u_h');

end

% Cálculo de la convergencia.

for p = 1:2
Rel = load(R{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Vert = load(V{end});
M = size(Vertices,1);
M3 = size(Vert,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
coord3 = zeros(M3,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:M3
for j = 1:2
coord3(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo de las normas por aproximación de las soluciones de las mallas menos finas con la más fina.

intL = 0;
intdH = 0;
for i = 1:Nel
nodosK = nodos(i,:);
Bk = zeros(2,2);
Bk3 = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
Bk3(j,k) = coord3(Rel(nodosK(k+1),2),j)-coord3(Rel(nodosK(1),2),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
detBk3 = det(Bk3);
invBk3 = inv(Bk3);
sumL = 0;
sumdH = 0;
uk = [Sol(nodosK(2),p)-Sol(nodosK(1),p); Sol(nodosK(3),p)-Sol(nodosK(1),p)];
uk3 = [Sol(Rel(nodosK(2),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3); Sol(Rel(nodosK(3),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3)];
for j = 1:3
sumL = sumL + (Sol(Rel(nodosK(j),2),3) - Sol(nodosK(j),p)).^2;
sumdH = sumdH + norm(invBk3'*uk3 - invBk'*uk).^2;
end
intL = intL + (abs(detBk)/3)*sumL;
intdH = intdH + (abs(detBk)/3)*sumdH;
end

normL(p) = sqrt(intL);
normH(p) = sqrt(intL + intdH);
condA(p) = cond(A);
end

% Cálculo del orden en las diferentes normas.

ordenL(1) = log(normL(1)/normL(2))/log(2);
ordenH(1) = log(normH(1)/normH(2))/log(2);

% Creación de la tabla de convergencia con los datos calculados.

table(H',normL',ordenL',normH',ordenH',condA','VariableNames',{'h','norma en L2','orden L2','norma en H1','orden H1','cond(A)'})

}}

Ahora, se muestra el mismo código pero ajustado con la parte de convergencia ajustada para comparar con la malla de 4 triángulos más fina.

{{matlab|codigo=
V = {'Vertices_malla1_tipo2.txt', 'Vertices_malla2_tipo2.txt', 'Vertices_malla3_tipo2.txt', 'Vertices_malla3_tipo1.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo2.txt', 'Elementos_malla2_tipo2.txt', 'Elementos_malla3_tipo2.txt', 'Elementos_malla3_tipo1.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo1.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3_tipo1.txt', 'Relacion_malla2malla3_tipo1.txt', 'Relacion_malla3malla3_tipo1.txt'};

a = 0;
b = 1;

p0 = 0.5;
p1 = 0;

f = @(x,y) 50*exp(-100*((x-0.5).^2 + (y-0.5).^2));
K = @(x,y) 1 + 0.5.*cos(2*pi*x).*cos(2*pi*y);

Lxx = zeros(3,3); Lxx(1,1) = 1/2; Lxx(2,2) = 1/2; Lxx(1,2) = -1/2; Lxx(2,1) = -1/2;
Lyy = zeros(3,3); Lyy(1,1) = 1/2; Lyy(3,3) = 1/2; Lyy(3,1) = -1/2; Lyy(1,3) = -1/2;
Lxy = zeros(3,3); Lxy(1,1) = 1/2; Lxy(2,3) = 1/2; Lxy(1,3) = -1/2; Lxy(2,1) = -1/2;
l0 = (1/6)*ones(3,1);

H = [0.1 0.05 0.025];
Sol = zeros(length(a:H(end):b),3);
Exacta = zeros(length(a:H(end):b),1);
coord5 = zeros(length(a:H(end):b),1);
normL = zeros(size(H));
ordenL = zeros(size(H));
normH = zeros(size(H));
ordenH = zeros(size(H));
condA = zeros(size(H));

for p =1:4

% Lectura de documentos y creación de variables con dichos datos.

Dir = load(D{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
MDir = length(Dir);
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

if p ==3 % Almacenamos las coordenadas de la malla de 2 triángulos más fina para uso posterior.
coord5 = coord;
end

A = zeros(M,M);
b = zeros(M,1);
u = zeros(M,1);

% Asignación de variables con valores conocidos

for i = 1:length(Dir)
if coord(Dir(i),1) == a
u(Dir(i)) = p0;
else
u(Dir(i)) = p1;
end
end

ind = setdiff(1:M,sort(Dir));

% Ensamblado de la matriz de rigidez y del vector de cargas.

for e = 1:Nel
nodosK = Elementos(e, 2:end);
Bk = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
Ck = invBk*invBk';
fk = 0;
Kk = 0;
for i = 1:3
Kk = Kk + K(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
fk = fk + f(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
end
Kk = Kk./3;
fk = fk./3;
Lk = abs(detBk)*Kk*(Ck(1,1)*Lxx + Ck(1,2)*(Lxy+Lxy') + Ck(2,2)*Lyy);
A(nodosK,nodosK) = A(nodosK,nodosK) + Lk;
lk = fk*abs(detBk)*l0;
b(nodosK) = b(nodosK) + lk;
end

% Ajuste del vector de cargas

for i = 1:M-MDir
camb = 0;
for j = 1:MDir
camb = camb + A(Dir(j),ind(i))*u(Dir(j));
end
b(ind(i)) = b(ind(i)) - camb;
end

u(ind) = A(ind,ind)\b(ind);

if p == 4 % Almacenamos la solución de la malla de 4 triángulos en una variable diferente.
Exacta(1:length(u)) = u;
else
Sol(1:length(u),p) = u;
end

% Representación gráfica de la solución calculada.

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(nodos,coord(:,1),coord(:,2),u);view(0,90);
colorbar;
title('u_h');
end

% Representación gráfica de la diferencia entre la solución de la malla de 2 triángulos más fina con la solución de la malla de 4 triángulos más fina.

Rel = load(R{3});
Elementos= load(E{3});
figure(p+1)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(Elementos(:,2:end),coord5(:,1),coord5(:,2),abs(Sol(:,3)-Exacta(Rel(:,2))));view(0,90);
colorbar;
title('|u-u_h|');

% Creación de variables necesarias para la convergencia.

Vert = load(V{4});
Elem = load(E{4});
M4 = size(Vert,1);
Nel4 = size(Elem,1);
coord4 = zeros(M4,2);
nodos4 = zeros(Nel4,3);
for i = 1:M4
for j = 1:2
coord4(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel4
for j = 1:3
nodos4(i,j) = Elem(i,j+1);
end
end

% Cálculo de la convergencia.

for p = 1:3
Rel = load(R{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo de las normas por aproximación de las soluciones de las mallas de 2 triángulos con la solución de la malla de 4 triángulos más fina.

intL = 0;
intdH = 0;
for i = 1:Nel
nodosK = nodos(i,:);
Bk = zeros(2,2);
Bk4 = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
Bk4(j,k) = coord4(Rel(nodosK(k+1),2),j)-coord4(Rel(nodosK(1),2),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
detBk4 = det(Bk4);
invBk4 = inv(Bk4);
sumL = 0;
sumdH = 0;
uk = [Sol(nodosK(2),p)-Sol(nodosK(1),p); Sol(nodosK(3),p)-Sol(nodosK(1),p)];
uk4 = [Exacta(Rel(nodosK(2),2))-Exacta(Rel(nodosK(1),2)); Exacta(Rel(nodosK(3),2))-Exacta(Rel(nodosK(1),2))];
for j = 1:3
sumL = sumL + (Exacta(Rel(nodosK(j),2)) - Sol(nodosK(j),p)).^2;
sumdH = sumdH + norm(invBk4'*uk4 - invBk'*uk).^2;
end
intL = intL + (abs(detBk)/3)*sumL;
intdH = intdH + (abs(detBk)/3)*sumdH;
end

normL(p) = sqrt(intL);
normH(p) = sqrt(intL + intdH);
condA(p) = cond(A);
end

% Cálculo del orden de las diferentes normas.

for i = 1:2
ordenL(i) = log(normL(i)/normL(i+1))/log(2);
ordenH(i) = log(normH(i)/normH(i+1))/log(2);
end

% Creación de la tabla de convergencia con los datos calculados.

table(H',normL',ordenL',normH',ordenH',condA','VariableNames',{'h','norma en L2','orden L2','norma en H1','orden H1','cond(A)'})
}}

Por último, se muestra de nuevo el código pero modificado para el nuevo dominio.

{{matlab|codigo=

V = {'Vertices_malla1_tipo3.txt', 'Vertices_malla2_tipo3.txt', 'Vertices_malla3_tipo3.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo3.txt', 'Elementos_malla2_tipo3.txt', 'Elementos_malla3_tipo3.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo3.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo3.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo3.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3_tipo3.txt', 'Relacion_malla2malla3_tipo3.txt'};

% Lectura de una de las mallas para el cálculo del centroide del dominio.

Vertices = load(V{3});
Elementos = load(E{3});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo del centroide del dominio por cambio de variable al elemento de referencia.

area2 = 0;
xcmintcv = 0;
ycmintcv = 0;
for i = 1:Nel
jac = zeros(2,2);
triang = [nodos(i,1), nodos(i,2), nodos(i,3)];
for j = 1:2
for k = 1:2
jac(j,k) = coord(triang(k+1),j)-coord(triang(1),j);
end
end
detjac = abs((jac(1,1)*jac(2,2))-(jac(1,2)*jac(2,1)));
areael = detjac*(1/2);
area2 = area2 + areael;
intx = @(a,b) jac(1,1)*a + jac(1,2)*b + coord(triang(1),1);
inty = @(a,b) jac(2,1)*a + jac(2,2)*b + coord(triang(1),2);
xcmintcv = xcmintcv + detjac*integral2(intx,0,1,0,@(z) -z+1);
ycmintcv = ycmintcv + detjac*integral2(inty,0,1,0,@(z) -z+1);
end
xcmcv = xcmintcv/area2;
ycmcv = ycmintcv/area2;

a = 0;
b = 1;

p0 = 0.5;
p1 = 0;

f = @(x,y) 50*exp(-100*((x-xcmcv).^2 + (y-ycmcv).^2));
K = @(x,y) 1 + 0.5.*cos(2*pi*x).*cos(2*pi*y);

Lxx = zeros(3,3); Lxx(1,1) = 1/2; Lxx(2,2) = 1/2; Lxx(1,2) = -1/2; Lxx(2,1) = -1/2;
Lyy = zeros(3,3); Lyy(1,1) = 1/2; Lyy(3,3) = 1/2; Lyy(3,1) = -1/2; Lyy(1,3) = -1/2;
Lxy = zeros(3,3); Lxy(1,1) = 1/2; Lxy(2,3) = 1/2; Lxy(1,3) = -1/2; Lxy(2,1) = -1/2;
l0 = (1/6)*ones(3,1);

H = [0.1 0.05 0.025];
Sol = zeros(length(a:H(end):b),3);
normL = zeros(size(H));
ordenL = zeros(size(H));
normH = zeros(size(H));
ordenH = zeros(size(H));
condA = zeros(size(H));

for p =1:3

% Lectura de los documentos y creación de variables con dichos datos.

Dir = load(D{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
MDir = length(Dir);
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

A = zeros(M,M);
b = zeros(M,1);
u = zeros(M,1);

% Asignación de valores conocidos.

for i = 1:length(Dir)
if coord(Dir(i),1) == a
u(Dir(i)) = p0;
else
u(Dir(i)) = p1;
end
end

ind = setdiff(1:M,sort(Dir));

% Ensamblado de la matriz de rigidez y del vector de cargas.

for e = 1:Nel
nodosK = Elementos(e, 2:end);
Bk = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
Ck = invBk*invBk';
fk = 0;
Kk = 0;
for i = 1:3
Kk = Kk + K(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
fk = fk + f(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
end
Kk = Kk./3;
fk = fk./3;
Lk = abs(detBk)*Kk*(Ck(1,1)*Lxx + Ck(1,2)*(Lxy+Lxy') + Ck(2,2)*Lyy);
A(nodosK,nodosK) = A(nodosK,nodosK) + Lk;
lk = fk*abs(detBk)*l0;
b(nodosK) = b(nodosK) + lk;
end

% Ajuste del vector de cargas.

for i = 1:M-MDir
camb = 0;
for j = 1:MDir
camb = camb + A(Dir(j),ind(i))*u(Dir(j));
end
b(ind(i)) = b(ind(i)) - camb;
end

u(ind) = A(ind,ind)\b(ind);

Sol(1:length(u),p) = u;

% Representación gráfica de la solución calculada.

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(nodos,coord(:,1),coord(:,2),u);view(0,90);
colorbar;
title(strcat('u_h con h =',num2str(H(p))));
end

% Cálculo de la convergencia.

for p = 1:2
Rel = load(R{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Vert = load(V{end});
M = size(Vertices,1);
M3 = size(Vert,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
coord3 = zeros(M3,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:M3
for j = 1:2
coord3(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo de las normas por aproximación de las soluciones de las mallas menos finas con la solución de la malla más fina.

intL = 0;
intdH = 0;
for i = 1:Nel
nodosK = nodos(i,:);
Bk = zeros(2,2);
Bk3 = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
Bk3(j,k) = coord3(Rel(nodosK(k+1),2),j)-coord3(Rel(nodosK(1),2),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
detBk3 = det(Bk3);
invBk3 = inv(Bk3);
sumL = 0;
sumdH = 0;
uk = [Sol(nodosK(2),p)-Sol(nodosK(1),p); Sol(nodosK(3),p)-Sol(nodosK(1),p)];
uk3 = [Sol(Rel(nodosK(2),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3); Sol(Rel(nodosK(3),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3)];
for j = 1:3
sumL = sumL + (Sol(Rel(nodosK(j),2),3) - Sol(nodosK(j),p)).^2;
sumdH = sumdH + norm(invBk3'*uk3 - invBk'*uk).^2;
end
intL = intL + (abs(detBk)/3)*sumL;
intdH = intdH + (abs(detBk)/3)*sumdH;
end

normL(p) = sqrt(intL);
normH(p) = sqrt(intL + intdH);
condA(p) = cond(A);
end

% Cálculo del orden de las diferentes normas.

ordenL(1) = log(normL(1)/normL(2))/log(2);
ordenH(1) = log(normH(1)/normH(2))/log(2);

% Creación de la tabla de convergencia con los datos calculados.

table(H',normL',ordenL',normH',ordenH',condA','VariableNames',{'h','norma en L2','orden L2','norma en H1','orden H1','cond(A)'})
}}

[[Categoría:MNEDP|MNEDP]]
[[Categoría:MNEDP25/26|2025-26]]

Flujo estacionario en medio poroso (RoYa)

2025-11-16T21:40:17Z

Rocío Tajuelo: /* Póster del Trabajo */

{{ TrabajoED | Flujo estacionario en medio poroso (RoYa) | [[:Categoría:MNEDP|MNEDP]]|[[:Categoría:MNEDP25/26|2025-26]] | Rocío Tajuelo Díaz, Yan Wang}}

=Póster del Trabajo=

{|style="margin: 0 auto;"
| [[Archivo:Poster_RoYa.jpg|900px|thumb|right|Trabajo de Métodos Numéricos en Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales sobre la Ecuación del Calor Estacionaria en formato póster realizado por el grupo DIF.]]
|}

=Códigos de MatLab=

A continuación, se presenta los códigos empleados para la realización del póster.

Para empezar se muestra los código utilizados para generar los documentos necesarios para las diferentes mallas. Para la malla del cuadrado de 4 triángulos se emplea el siguiente código:

{{matlab|codigo=
% Lado del cuadrado inicial.
a = 0;
b = 1;

H = [0.1 0.05 0.025]; % Pasos considerados.

% Nombres de los documentos creados

V = {'Vertices_malla1_tipo1.txt', 'Vertices_malla2_tipo1.txt', 'Vertices_malla3_tipo1.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo1.txt', 'Elementos_malla2_tipo1.txt', 'Elementos_malla3_tipo1.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo1.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3.txt', 'Relacion_malla2malla3.txt'};

T = {'Mallado con h=0.1', 'Mallado con h=0.05', 'Mallado con h=0.025'}; % Se emplea para los títulos de las gráficas

% Datos fijos necesarios dentro del bucle.
h = H(3);
X = a:h:b;
Xm = a+(h/2):h:b;
n2 = length(X);
m2 = length(Xm);
l2 = n2+m2;

% Bucle para crear las diferente mallas para cada paso.

for p = 1:3
h = H(p);
x = a:h:b; % División del lado en trozos de tamaño h
xm = a+(h/2):h:b; % Coordenada x de los centroides de los cuadrados en los que se divide el cuadrado inicial.
n = length(x);
m = length(xm);
apoyo = zeros(n+m,1); % Vector con las coordenadas x de los nodos que forman los cuadrados y su centroide .
for i = 1:n
apoyo(2*(i-1)+1) = x(i);
if i <= m
apoyo(2*i) = xm(i);
end
end
l = length(apoyo);

% Esta parte crea el documento con la numeración de los nodos y sus coordenada x e y.

Verticesdoc = fopen(V{p},'w');
formatSpec = '%d %.4f %.4f \n';
for i = 1:l % La numeración de los nodos se basa en el número de nodos que ya se han contado dependiendo del nodo en el que me hallo.
if mod(i,2) == 1
for j = 1:n
nodo = [(((n+m)*(floor(i/2))) + j), x(j), apoyo(i)];
fprintf(Verticesdoc,formatSpec,nodo);
end
else
for j = 1:m
nodo = [(((n+m)*(i/2-1) + n) + j), xm(j) apoyo(i)];
fprintf(Verticesdoc,formatSpec,nodo);
end
end
end
fclose(Verticesdoc);

% Este trozo crea el documento con la numeración de los elementos y los nodos que forman cada elemento.

Elementosdoc = fopen(E{p},'w');
formatSpec = '%d %d %d %d \n';
for i = 1:m
for j = 1:m
for k = 1:4 % El primer elemento es el triángulo de la izquierda, el segundo el de abajo, el tercero el de la derecha y el cuarto el de arriba. La numeración
if k == 1 % de los elementos se basa en el número de cuadrados contados dependiendo del nodo del centroide del cuadrado en el que me hallo.
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*i+j, (n+m)*(i-1)+j];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
elseif k == 2
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*(i-1)+j, (n+m)*(i-1)+(j+1)];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
elseif k == 3
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*(i-1)+(j+1), (n+m)*i+(j+1)];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
else
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*i+(j+1), (n+m)*i+j];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
end
end
end
end
fclose(Elementosdoc);

% Esta parte crea el documento que contiene la numeración de los nodos que forman parte de la frontera Dirichlet.

Dirichletdoc = fopen(D{p},'w');
formatSpec = '%d \n';
for i = 1:2 % Los nodos que forman parte de la frontera Dirichlet son aquellos cuya coordenada x es igual a 0 o 1.
for j = 1:n % Luego, el número de nodos ya contados es proporcional.
if i == 1
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,(n+m)*(j-1)+1);
else
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,(n+m)*(j-1)+n);
end
end

end
fclose(Dirichletdoc);

% Este trozo de código crea el documento que relaciona los nodos de las mallas menos finas con la malla más fija, es decir, las mallas con paso h igual a 0.1 y 0.05 con la malla con paso h igual a 0.025.

if p == 1 % Malla con paso h igual a 0.1 con la malla más fina.
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:l
if mod(i,2) == 1 % La relación entre los primeros nodos de cada fila impar es proporcional al número de nodos que se han contado entre la 1ª y 3ª fila.
for j = 1:n % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 4 posiciones.
c = 3*i+2*(floor(i/2)-1);
nodo = [(((n+m)*(floor(i/2))) + j), (n2+m2)*(c-1)/2+4*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
else % La relación entre los primeros nodos de cada fila impar es proporcional al número de nodos que se han contado entre la 2ª y 4ª fila más los de la 1ª fila.
for j = 1:m % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 4 posiciones empezando por un pequeño desplazamiento.
c = 4*i-3;
nodo = [(((n+m)*(i/2-1) + n) + j), (n2+m2)*((c-1)/2)+4*(j-1)+3];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
end
fclose(Relaciondoc);
elseif p == 2 % Malla con paso h igual a 0.05 con la malla más fina.
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:l
c = 2*i-1;
if mod(i,2) == 1
for j = 1:n % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 2 posiciones.
nodo = [(((n+m)*(floor(i/2))) + j), (n2+m2)*(c-1)/2+2*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
else
for j = 1:m % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 4 posiciones empezando por un pequeño desplazamiento.
nodo = [(((n+m)*(i/2-1) + n) + j), (n2+m2)*((c-1)/2)+2*(j-1)+2];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
end
fclose(Relaciondoc);
end

% Este parte representa gráficamente los diferentes mallados para cada paso.

Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Dir = load(D{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
plot(coord(Dir,1),coord(Dir,2),'-b','LineWidth',5);
hold on
for i=1:Nel
nod1 = nodos(i,1);
nod2 = nodos(i,2);
nod3 = nodos(i,3);
x =[coord(nod1,1), coord(nod2,1), coord(nod3,1), coord(nod1,1)];
y =[coord(nod1,2), coord(nod2,2), coord(nod3,2), coord(nod1,2)];
fill(x, y, 'cyan')
end
title(T{p})
end

% Este trozo dibuja gráficamente los nodos de las mallas menos finas y los de la malla más fina. Esta parte sirve para comprobar que la relación entre los nodos está bien escrita. O sea, si el nodo i de la malla menos fina se corresponde al nodo j de la malla más fina.

for p = 1:2
Vert = load(V{p});
Elem = load(E{p});
Vertices = load(V{3});
Elementos = load(E{3});
Rel = load(R{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
coord2 = zeros(M,2);
nodos2 = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Vert,1)
for j = 1:2
coord2(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Elem,1)
for j = 1:3
nodos2(i,j) = Elem(i,j+1);
end
end

figure(p+3)
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
plot(coord(Rel(:,2),1),coord(Rel(:,2),2),'bx','MarkerSize',20);
hold on
plot(coord2(Rel(:,1),1),coord2(Rel(:,1),2),'r.','MarkerSize',20);
hold off
end
}}

El siguiente código realiza la malla del cuadrado de 2 triángulos. Es el mismo código que el anterior pero modificado ligeramente. La idea para la numeración es la misma pero modifica a esta forma de mallado.

{{matlab|codigo=

a = 0;
b = 1;

H = [0.1 0.05 0.025];

V = {'Vertices_malla1_tipo2.txt', 'Vertices_malla2_tipo2.txt', 'Vertices_malla3_tipo2.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo2.txt', 'Elementos_malla2_tipo2.txt', 'Elementos_malla3_tipo2.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo2.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3_tipo1.txt', 'Relacion_malla2malla3_tipo1.txt','Relacion_malla3malla3_tipo1.txt'};

T = {'Mallado con h=0.1', 'Mallado con h=0.05', 'Mallado con h=0.025'};

h = H(3);
X = a:h:b;
Xm = a+(h/2):h:b;
n2 = length(X);
m2 = length(Xm);
l2 = n2+m2;

for p = 1:3
h = H(p);
x = a:h:b;
n = length(x);

% Crea el documento para los nodos.

Verticesdoc = fopen(V{p},'w');
formatSpec = '%d %.4f %.4f \n';
for j = 1:n
for i = 1:n
nodo = [(j-1)*n + i, x(i), x(j)];
fprintf(Verticesdoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Verticesdoc);

% Crea el documento para los elementos.

Elementosdoc = fopen(E{p},'w');
formatSpec = '%d %d %d %d \n';
for i = 1:n-1
for j = 1:n-1
triang = [(2*(j-1)+1)+(n-1)*(i-1), n*(i-1)+j, n*(i-1)+j+1, n*i+j];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
triang = [(2*(j-1)+2)+(n-1)*(i-1), n*i+j+1, n*i+j, n*(i-1)+j+1];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
end
end
fclose(Elementosdoc);

% Crea el documento para los nodos de la frontera Dirichlet.

Dirichletdoc = fopen(D{p},'w');
formatSpec = '%d \n';
for i = 1:2
for j = 1:n
if i == 1
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,1+n*(j-1));
else
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,n+n*(j-1));
end
end

end
fclose(Dirichletdoc);

% Crea el documento para la relación entre las mallas de 2 triángulos con la malla de 4 triángulos con paso h igual a 0.025.

if p == 1
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:n
for j = 1:n
c = 8*(i-1)+1;
nodo = [(i-1)*n + j, (n2+m2)*(c-1)/2+4*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Relaciondoc);
elseif p == 2
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:n
c = 4*(i-1)+1;
for j = 1:n
nodo = [(i-1)*n + j, (n2+m2)*(c-1)/2+2*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Relaciondoc);
else
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:n
c = 2*(i-1)+1;
for j = 1:n
nodo = [(i-1)*n + j, (n2+m2)*(c-1)/2+j];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Relaciondoc);
end

% Representa las diferentes mallas.

Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Dir = load(D{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

figure(p)
plot(coord(Dir,1),coord(Dir,2),'-b','LineWidth',5);
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
hold on
for i=1:Nel
nod1 = nodos(i,1);
nod2 = nodos(i,2);
nod3 = nodos(i,3);
x =[coord(nod1,1), coord(nod2,1), coord(nod3,1), coord(nod1,1)];
y =[coord(nod1,2), coord(nod2,2), coord(nod3,2), coord(nod1,2)];
fill(x, y, 'cyan')
end
title(T{p})
end

% Representa los nodos de la relación para la comprobación.

for p = 1:3
Vertices = load(V{p});
Elememtos = load(E{p});
Vert = load('Vertices_malla3_tipo1.txt');
Elem = load('Elementos_malla3_tipo1.txt');
Rel = load(R{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,2);
coord2 = zeros(size(Vert,1),2);
nodos2 = zeros(size(Elem,1),3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Vert,1)
for j = 1:2
coord2(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Elem,1)
for j = 1:3
nodos2(i,j) = Elem(i,j+1);
end
end

figure(p+4)
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
plot(coord(Rel(:,1),1),coord(Rel(:,1),2),'bx','MarkerSize',20);
hold on
plot(coord2(Rel(:,2),1),coord2(Rel(:,2),2),'r.','MarkerSize',20);
hold off
end
}}

Lo siguientes códigos realizan el MEF. Primero se muestra con las mallas de 4 triángulos.

{{matlab|codigo=

% Documentos donde se encuentra la información de las mallas.

V = {'Vertices_malla1_tipo1.txt', 'Vertices_malla2_tipo1.txt', 'Vertices_malla3_tipo1.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo1.txt', 'Elementos_malla2_tipo1.txt', 'Elementos_malla3_tipo1.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo1.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3.txt', 'Relacion_malla2malla3.txt'};

% Lado del cuadrado inicial.

a = 0;
b = 1;

% Condiciones de tipo Dirichlet.

p0 = 0.5;
p1 = 0;

% Datos del problema.

f = @(x,y) 50*exp(-100*((x-0.5).^2 + (y-0.5).^2));
K = @(x,y) 1 + 0.5.*cos(2*pi*x).*cos(2*pi*y);

% Matrices empleadas para calcular la matriz de rigidez por ensamblado.

Lxx = zeros(3,3); Lxx(1,1) = 1/2; Lxx(2,2) = 1/2; Lxx(1,2) = -1/2; Lxx(2,1) = -1/2;
Lyy = zeros(3,3); Lyy(1,1) = 1/2; Lyy(3,3) = 1/2; Lyy(3,1) = -1/2; Lyy(1,3) = -1/2;
Lxy = zeros(3,3); Lxy(1,1) = 1/2; Lxy(2,3) = 1/2; Lxy(1,3) = -1/2; Lxy(2,1) = -1/2;
l0 = (1/6)*ones(3,1);

% Variables de la tabla final sobre la convergencia.

H = [0.1 0.05 0.025];
Sol = zeros(length(a:H(end):b),3);
normL = zeros(size(H));
ordenL = zeros(size(H));
normH = zeros(size(H));
ordenH = zeros(size(H));
condA = zeros(size(H));

% Resolución del problema para las mallas de cada paso.

for p =1:3

% Lectura de los documentos y creación de variables con los datos de estos.

Dir = load(D{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
MDir = length(Dir);
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Matrices del problema en forma matricial.

A = zeros(M,M);
b = zeros(M,1);
u = zeros(M,1);

% Asignación valores a la solución de los nodos de la frontera Dirichlet.

for i = 1:length(Dir)
if coord(Dir(i),1) == a
u(Dir(i)) = p0;
else
u(Dir(i)) = p1;
end
end

ind = setdiff(1:M,sort(Dir)); % Nodos cuya solución hay que calcular

% Ensamblado de la matriz de rigidez y el vector de cargas.

for e = 1:Nel
nodosK = Elementos(e, 2:end);
Bk = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
Ck = invBk*invBk';
fk = 0;
Kk = 0;
for i = 1:3 % Aproximación de la integral de f y K sobre cada elemento como un promedio.
Kk = Kk + K(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
fk = fk + f(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
end
Kk = Kk./3;
fk = fk./3;
Lk = abs(detBk)*Kk*(Ck(1,1)*Lxx + Ck(1,2)*(Lxy+Lxy') + Ck(2,2)*Lyy);
A(nodosK,nodosK) = A(nodosK,nodosK) + Lk;
lk = fk*abs(detBk)*l0;
b(nodosK) = b(nodosK) + lk;
end

for i = 1:M-MDir % Ajuste del vector de cargas.
camb = 0;
for j = 1:MDir
camb = camb + A(Dir(j),ind(i))*u(Dir(j));
end
b(ind(i)) = b(ind(i)) - camb;
end

u(ind) = A(ind,ind)\b(ind); % Resolución del problema matricial.

Sol(1:length(u),p) = u;

% Representación de la solución calculada.

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(nodos,coord(:,1),coord(:,2),u);view(0,90);
colorbar;
title('u_h');

end

% Cálculo de la convergencia.

for p = 1:2
Rel = load(R{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Vert = load(V{end});
M = size(Vertices,1);
M3 = size(Vert,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
coord3 = zeros(M3,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:M3
for j = 1:2
coord3(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo de las normas por aproximación de las soluciones de las mallas menos finas con la más fina.

intL = 0;
intdH = 0;
for i = 1:Nel
nodosK = nodos(i,:);
Bk = zeros(2,2);
Bk3 = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
Bk3(j,k) = coord3(Rel(nodosK(k+1),2),j)-coord3(Rel(nodosK(1),2),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
detBk3 = det(Bk3);
invBk3 = inv(Bk3);
sumL = 0;
sumdH = 0;
uk = [Sol(nodosK(2),p)-Sol(nodosK(1),p); Sol(nodosK(3),p)-Sol(nodosK(1),p)];
uk3 = [Sol(Rel(nodosK(2),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3); Sol(Rel(nodosK(3),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3)];
for j = 1:3
sumL = sumL + (Sol(Rel(nodosK(j),2),3) - Sol(nodosK(j),p)).^2;
sumdH = sumdH + norm(invBk3'*uk3 - invBk'*uk).^2;
end
intL = intL + (abs(detBk)/3)*sumL;
intdH = intdH + (abs(detBk)/3)*sumdH;
end

normL(p) = sqrt(intL);
normH(p) = sqrt(intL + intdH);
condA(p) = cond(A);
end

% Cálculo del orden en las diferentes normas.

ordenL(1) = log(normL(1)/normL(2))/log(2);
ordenH(1) = log(normH(1)/normH(2))/log(2);

% Creación de la tabla de convergencia con los datos calculados.

table(H',normL',ordenL',normH',ordenH',condA','VariableNames',{'h','norma en L2','orden L2','norma en H1','orden H1','cond(A)'})

}}

Ahora, se muestra el mismo código pero ajustado con la parte de convergencia ajustada para comparar con la malla de 4 triángulos más fina.

{{matlab|codigo=
V = {'Vertices_malla1_tipo2.txt', 'Vertices_malla2_tipo2.txt', 'Vertices_malla3_tipo2.txt', 'Vertices_malla3_tipo1.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo2.txt', 'Elementos_malla2_tipo2.txt', 'Elementos_malla3_tipo2.txt', 'Elementos_malla3_tipo1.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo1.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3_tipo1.txt', 'Relacion_malla2malla3_tipo1.txt', 'Relacion_malla3malla3_tipo1.txt'};

a = 0;
b = 1;

p0 = 0.5;
p1 = 0;

f = @(x,y) 50*exp(-100*((x-0.5).^2 + (y-0.5).^2));
K = @(x,y) 1 + 0.5.*cos(2*pi*x).*cos(2*pi*y);

Lxx = zeros(3,3); Lxx(1,1) = 1/2; Lxx(2,2) = 1/2; Lxx(1,2) = -1/2; Lxx(2,1) = -1/2;
Lyy = zeros(3,3); Lyy(1,1) = 1/2; Lyy(3,3) = 1/2; Lyy(3,1) = -1/2; Lyy(1,3) = -1/2;
Lxy = zeros(3,3); Lxy(1,1) = 1/2; Lxy(2,3) = 1/2; Lxy(1,3) = -1/2; Lxy(2,1) = -1/2;
l0 = (1/6)*ones(3,1);

H = [0.1 0.05 0.025];
Sol = zeros(length(a:H(end):b),3);
Exacta = zeros(length(a:H(end):b),1);
coord5 = zeros(length(a:H(end):b),1);
normL = zeros(size(H));
ordenL = zeros(size(H));
normH = zeros(size(H));
ordenH = zeros(size(H));
condA = zeros(size(H));

for p =1:4

% Lectura de documentos y creación de variables con dichos datos.

Dir = load(D{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
MDir = length(Dir);
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

if p ==3 % Almacenamos las coordenadas de la malla de 2 triángulos más fina para uso posterior.
coord5 = coord;
end

A = zeros(M,M);
b = zeros(M,1);
u = zeros(M,1);

% Asignación de variables con valores conocidos

for i = 1:length(Dir)
if coord(Dir(i),1) == a
u(Dir(i)) = p0;
else
u(Dir(i)) = p1;
end
end

ind = setdiff(1:M,sort(Dir));

% Ensamblado de la matriz de rigidez y del vector de cargas.

for e = 1:Nel
nodosK = Elementos(e, 2:end);
Bk = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
Ck = invBk*invBk';
fk = 0;
Kk = 0;
for i = 1:3
Kk = Kk + K(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
fk = fk + f(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
end
Kk = Kk./3;
fk = fk./3;
Lk = abs(detBk)*Kk*(Ck(1,1)*Lxx + Ck(1,2)*(Lxy+Lxy') + Ck(2,2)*Lyy);
A(nodosK,nodosK) = A(nodosK,nodosK) + Lk;
lk = fk*abs(detBk)*l0;
b(nodosK) = b(nodosK) + lk;
end

% Ajuste del vector de cargas

for i = 1:M-MDir
camb = 0;
for j = 1:MDir
camb = camb + A(Dir(j),ind(i))*u(Dir(j));
end
b(ind(i)) = b(ind(i)) - camb;
end

u(ind) = A(ind,ind)\b(ind);

if p == 4 % Almacenamos la solución de la malla de 4 triángulos en una variable diferente.
Exacta(1:length(u)) = u;
else
Sol(1:length(u),p) = u;
end

% Representación gráfica de la solución calculada.

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(nodos,coord(:,1),coord(:,2),u);view(0,90);
colorbar;
title('u_h');
end

% Representación gráfica de la diferencia entre la solución de la malla de 2 triángulos más fina con la solución de la malla de 4 triángulos más fina.

Rel = load(R{3});
Elementos= load(E{3});
figure(p+1)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(Elementos(:,2:end),coord5(:,1),coord5(:,2),abs(Sol(:,3)-Exacta(Rel(:,2))));view(0,90);
colorbar;
title('|u-u_h|');

% Creación de variables necesarias para la convergencia.

Vert = load(V{4});
Elem = load(E{4});
M4 = size(Vert,1);
Nel4 = size(Elem,1);
coord4 = zeros(M4,2);
nodos4 = zeros(Nel4,3);
for i = 1:M4
for j = 1:2
coord4(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel4
for j = 1:3
nodos4(i,j) = Elem(i,j+1);
end
end

% Cálculo de la convergencia.

for p = 1:3
Rel = load(R{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo de las normas por aproximación de las soluciones de las mallas de 2 triángulos con la solución de la malla de 4 triángulos más fina.

intL = 0;
intdH = 0;
for i = 1:Nel
nodosK = nodos(i,:);
Bk = zeros(2,2);
Bk4 = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
Bk4(j,k) = coord4(Rel(nodosK(k+1),2),j)-coord4(Rel(nodosK(1),2),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
detBk4 = det(Bk4);
invBk4 = inv(Bk4);
sumL = 0;
sumdH = 0;
uk = [Sol(nodosK(2),p)-Sol(nodosK(1),p); Sol(nodosK(3),p)-Sol(nodosK(1),p)];
uk4 = [Exacta(Rel(nodosK(2),2))-Exacta(Rel(nodosK(1),2)); Exacta(Rel(nodosK(3),2))-Exacta(Rel(nodosK(1),2))];
for j = 1:3
sumL = sumL + (Exacta(Rel(nodosK(j),2)) - Sol(nodosK(j),p)).^2;
sumdH = sumdH + norm(invBk4'*uk4 - invBk'*uk).^2;
end
intL = intL + (abs(detBk)/3)*sumL;
intdH = intdH + (abs(detBk)/3)*sumdH;
end

normL(p) = sqrt(intL);
normH(p) = sqrt(intL + intdH);
condA(p) = cond(A);
end

% Cálculo del orden de las diferentes normas.

for i = 1:2
ordenL(i) = log(normL(i)/normL(i+1))/log(2);
ordenH(i) = log(normH(i)/normH(i+1))/log(2);
end

% Creación de la tabla de convergencia con los datos calculados.

table(H',normL',ordenL',normH',ordenH',condA','VariableNames',{'h','norma en L2','orden L2','norma en H1','orden H1','cond(A)'})
}}

Por último, se muestra de nuevo el código pero modificado para el nuevo dominio.

{{matlab|codigo=

V = {'Vertices_malla1_tipo3.txt', 'Vertices_malla2_tipo3.txt', 'Vertices_malla3_tipo3.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo3.txt', 'Elementos_malla2_tipo3.txt', 'Elementos_malla3_tipo3.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo3.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo3.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo3.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3_tipo3.txt', 'Relacion_malla2malla3_tipo3.txt'};

% Lectura de una de las mallas para el cálculo del centroide del dominio.

Vertices = load(V{3});
Elementos = load(E{3});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo del centroide del dominio por cambio de variable al elemento de referencia.

area2 = 0;
xcmintcv = 0;
ycmintcv = 0;
for i = 1:Nel
jac = zeros(2,2);
triang = [nodos(i,1), nodos(i,2), nodos(i,3)];
for j = 1:2
for k = 1:2
jac(j,k) = coord(triang(k+1),j)-coord(triang(1),j);
end
end
detjac = abs((jac(1,1)*jac(2,2))-(jac(1,2)*jac(2,1)));
areael = detjac*(1/2);
area2 = area2 + areael;
intx = @(a,b) jac(1,1)*a + jac(1,2)*b + coord(triang(1),1);
inty = @(a,b) jac(2,1)*a + jac(2,2)*b + coord(triang(1),2);
xcmintcv = xcmintcv + detjac*integral2(intx,0,1,0,@(z) -z+1);
ycmintcv = ycmintcv + detjac*integral2(inty,0,1,0,@(z) -z+1);
end
xcmcv = xcmintcv/area2;
ycmcv = ycmintcv/area2;

a = 0;
b = 1;

p0 = 0.5;
p1 = 0;

f = @(x,y) 50*exp(-100*((x-xcmcv).^2 + (y-ycmcv).^2));
K = @(x,y) 1 + 0.5.*cos(2*pi*x).*cos(2*pi*y);

Lxx = zeros(3,3); Lxx(1,1) = 1/2; Lxx(2,2) = 1/2; Lxx(1,2) = -1/2; Lxx(2,1) = -1/2;
Lyy = zeros(3,3); Lyy(1,1) = 1/2; Lyy(3,3) = 1/2; Lyy(3,1) = -1/2; Lyy(1,3) = -1/2;
Lxy = zeros(3,3); Lxy(1,1) = 1/2; Lxy(2,3) = 1/2; Lxy(1,3) = -1/2; Lxy(2,1) = -1/2;
l0 = (1/6)*ones(3,1);

H = [0.1 0.05 0.025];
Sol = zeros(length(a:H(end):b),3);
normL = zeros(size(H));
ordenL = zeros(size(H));
normH = zeros(size(H));
ordenH = zeros(size(H));
condA = zeros(size(H));

for p =1:3

% Lectura de los documentos y creación de variables con dichos datos.

Dir = load(D{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
MDir = length(Dir);
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

A = zeros(M,M);
b = zeros(M,1);
u = zeros(M,1);

% Asignación de valores conocidos.

for i = 1:length(Dir)
if coord(Dir(i),1) == a
u(Dir(i)) = p0;
else
u(Dir(i)) = p1;
end
end

ind = setdiff(1:M,sort(Dir));

% Ensamblado de la matriz de rigidez y del vector de cargas.

for e = 1:Nel
nodosK = Elementos(e, 2:end);
Bk = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
Ck = invBk*invBk';
fk = 0;
Kk = 0;
for i = 1:3
Kk = Kk + K(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
fk = fk + f(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
end
Kk = Kk./3;
fk = fk./3;
Lk = abs(detBk)*Kk*(Ck(1,1)*Lxx + Ck(1,2)*(Lxy+Lxy') + Ck(2,2)*Lyy);
A(nodosK,nodosK) = A(nodosK,nodosK) + Lk;
lk = fk*abs(detBk)*l0;
b(nodosK) = b(nodosK) + lk;
end

% Ajuste del vector de cargas.

for i = 1:M-MDir
camb = 0;
for j = 1:MDir
camb = camb + A(Dir(j),ind(i))*u(Dir(j));
end
b(ind(i)) = b(ind(i)) - camb;
end

u(ind) = A(ind,ind)\b(ind);

Sol(1:length(u),p) = u;

% Representación gráfica de la solución calculada.

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(nodos,coord(:,1),coord(:,2),u);view(0,90);
colorbar;
title(strcat('u_h con h =',num2str(H(p))));
end

% Cálculo de la convergencia.

for p = 1:2
Rel = load(R{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Vert = load(V{end});
M = size(Vertices,1);
M3 = size(Vert,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
coord3 = zeros(M3,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:M3
for j = 1:2
coord3(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo de las normas por aproximación de las soluciones de las mallas menos finas con la solución de la malla más fina.

intL = 0;
intdH = 0;
for i = 1:Nel
nodosK = nodos(i,:);
Bk = zeros(2,2);
Bk3 = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
Bk3(j,k) = coord3(Rel(nodosK(k+1),2),j)-coord3(Rel(nodosK(1),2),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
detBk3 = det(Bk3);
invBk3 = inv(Bk3);
sumL = 0;
sumdH = 0;
uk = [Sol(nodosK(2),p)-Sol(nodosK(1),p); Sol(nodosK(3),p)-Sol(nodosK(1),p)];
uk3 = [Sol(Rel(nodosK(2),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3); Sol(Rel(nodosK(3),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3)];
for j = 1:3
sumL = sumL + (Sol(Rel(nodosK(j),2),3) - Sol(nodosK(j),p)).^2;
sumdH = sumdH + norm(invBk3'*uk3 - invBk'*uk).^2;
end
intL = intL + (abs(detBk)/3)*sumL;
intdH = intdH + (abs(detBk)/3)*sumdH;
end

normL(p) = sqrt(intL);
normH(p) = sqrt(intL + intdH);
condA(p) = cond(A);
end

% Cálculo del orden de las diferentes normas.

ordenL(1) = log(normL(1)/normL(2))/log(2);
ordenH(1) = log(normH(1)/normH(2))/log(2);

% Creación de la tabla de convergencia con los datos calculados.

table(H',normL',ordenL',normH',ordenH',condA','VariableNames',{'h','norma en L2','orden L2','norma en H1','orden H1','cond(A)'})
}}

[[Categoría:MNEDP|MNEDP]]
[[Categoría:MNEDP25/26|2025-26]]

Flujo estacionario en medio poroso (RoYa)

2025-11-16T21:39:55Z

Rocío Tajuelo: /* Póster del Trabajo */

{{ TrabajoED | Flujo estacionario en medio poroso (RoYa) | [[:Categoría:MNEDP|MNEDP]]|[[:Categoría:MNEDP25/26|2025-26]] | Rocío Tajuelo Díaz, Yan Wang}}

=Póster del Trabajo=

{|style="margin: 0 auto;"
| [[Archivo:Póster RoYa.jpg|900px|thumb|right|Trabajo de Métodos Numéricos en Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales sobre la Ecuación del Calor Estacionaria en formato póster realizado por el grupo DIF.]]
|}

=Códigos de MatLab=

A continuación, se presenta los códigos empleados para la realización del póster.

Para empezar se muestra los código utilizados para generar los documentos necesarios para las diferentes mallas. Para la malla del cuadrado de 4 triángulos se emplea el siguiente código:

{{matlab|codigo=
% Lado del cuadrado inicial.
a = 0;
b = 1;

H = [0.1 0.05 0.025]; % Pasos considerados.

% Nombres de los documentos creados

V = {'Vertices_malla1_tipo1.txt', 'Vertices_malla2_tipo1.txt', 'Vertices_malla3_tipo1.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo1.txt', 'Elementos_malla2_tipo1.txt', 'Elementos_malla3_tipo1.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo1.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3.txt', 'Relacion_malla2malla3.txt'};

T = {'Mallado con h=0.1', 'Mallado con h=0.05', 'Mallado con h=0.025'}; % Se emplea para los títulos de las gráficas

% Datos fijos necesarios dentro del bucle.
h = H(3);
X = a:h:b;
Xm = a+(h/2):h:b;
n2 = length(X);
m2 = length(Xm);
l2 = n2+m2;

% Bucle para crear las diferente mallas para cada paso.

for p = 1:3
h = H(p);
x = a:h:b; % División del lado en trozos de tamaño h
xm = a+(h/2):h:b; % Coordenada x de los centroides de los cuadrados en los que se divide el cuadrado inicial.
n = length(x);
m = length(xm);
apoyo = zeros(n+m,1); % Vector con las coordenadas x de los nodos que forman los cuadrados y su centroide .
for i = 1:n
apoyo(2*(i-1)+1) = x(i);
if i <= m
apoyo(2*i) = xm(i);
end
end
l = length(apoyo);

% Esta parte crea el documento con la numeración de los nodos y sus coordenada x e y.

Verticesdoc = fopen(V{p},'w');
formatSpec = '%d %.4f %.4f \n';
for i = 1:l % La numeración de los nodos se basa en el número de nodos que ya se han contado dependiendo del nodo en el que me hallo.
if mod(i,2) == 1
for j = 1:n
nodo = [(((n+m)*(floor(i/2))) + j), x(j), apoyo(i)];
fprintf(Verticesdoc,formatSpec,nodo);
end
else
for j = 1:m
nodo = [(((n+m)*(i/2-1) + n) + j), xm(j) apoyo(i)];
fprintf(Verticesdoc,formatSpec,nodo);
end
end
end
fclose(Verticesdoc);

% Este trozo crea el documento con la numeración de los elementos y los nodos que forman cada elemento.

Elementosdoc = fopen(E{p},'w');
formatSpec = '%d %d %d %d \n';
for i = 1:m
for j = 1:m
for k = 1:4 % El primer elemento es el triángulo de la izquierda, el segundo el de abajo, el tercero el de la derecha y el cuarto el de arriba. La numeración
if k == 1 % de los elementos se basa en el número de cuadrados contados dependiendo del nodo del centroide del cuadrado en el que me hallo.
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*i+j, (n+m)*(i-1)+j];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
elseif k == 2
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*(i-1)+j, (n+m)*(i-1)+(j+1)];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
elseif k == 3
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*(i-1)+(j+1), (n+m)*i+(j+1)];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
else
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*i+(j+1), (n+m)*i+j];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
end
end
end
end
fclose(Elementosdoc);

% Esta parte crea el documento que contiene la numeración de los nodos que forman parte de la frontera Dirichlet.

Dirichletdoc = fopen(D{p},'w');
formatSpec = '%d \n';
for i = 1:2 % Los nodos que forman parte de la frontera Dirichlet son aquellos cuya coordenada x es igual a 0 o 1.
for j = 1:n % Luego, el número de nodos ya contados es proporcional.
if i == 1
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,(n+m)*(j-1)+1);
else
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,(n+m)*(j-1)+n);
end
end

end
fclose(Dirichletdoc);

% Este trozo de código crea el documento que relaciona los nodos de las mallas menos finas con la malla más fija, es decir, las mallas con paso h igual a 0.1 y 0.05 con la malla con paso h igual a 0.025.

if p == 1 % Malla con paso h igual a 0.1 con la malla más fina.
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:l
if mod(i,2) == 1 % La relación entre los primeros nodos de cada fila impar es proporcional al número de nodos que se han contado entre la 1ª y 3ª fila.
for j = 1:n % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 4 posiciones.
c = 3*i+2*(floor(i/2)-1);
nodo = [(((n+m)*(floor(i/2))) + j), (n2+m2)*(c-1)/2+4*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
else % La relación entre los primeros nodos de cada fila impar es proporcional al número de nodos que se han contado entre la 2ª y 4ª fila más los de la 1ª fila.
for j = 1:m % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 4 posiciones empezando por un pequeño desplazamiento.
c = 4*i-3;
nodo = [(((n+m)*(i/2-1) + n) + j), (n2+m2)*((c-1)/2)+4*(j-1)+3];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
end
fclose(Relaciondoc);
elseif p == 2 % Malla con paso h igual a 0.05 con la malla más fina.
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:l
c = 2*i-1;
if mod(i,2) == 1
for j = 1:n % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 2 posiciones.
nodo = [(((n+m)*(floor(i/2))) + j), (n2+m2)*(c-1)/2+2*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
else
for j = 1:m % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 4 posiciones empezando por un pequeño desplazamiento.
nodo = [(((n+m)*(i/2-1) + n) + j), (n2+m2)*((c-1)/2)+2*(j-1)+2];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
end
fclose(Relaciondoc);
end

% Este parte representa gráficamente los diferentes mallados para cada paso.

Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Dir = load(D{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
plot(coord(Dir,1),coord(Dir,2),'-b','LineWidth',5);
hold on
for i=1:Nel
nod1 = nodos(i,1);
nod2 = nodos(i,2);
nod3 = nodos(i,3);
x =[coord(nod1,1), coord(nod2,1), coord(nod3,1), coord(nod1,1)];
y =[coord(nod1,2), coord(nod2,2), coord(nod3,2), coord(nod1,2)];
fill(x, y, 'cyan')
end
title(T{p})
end

% Este trozo dibuja gráficamente los nodos de las mallas menos finas y los de la malla más fina. Esta parte sirve para comprobar que la relación entre los nodos está bien escrita. O sea, si el nodo i de la malla menos fina se corresponde al nodo j de la malla más fina.

for p = 1:2
Vert = load(V{p});
Elem = load(E{p});
Vertices = load(V{3});
Elementos = load(E{3});
Rel = load(R{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
coord2 = zeros(M,2);
nodos2 = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Vert,1)
for j = 1:2
coord2(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Elem,1)
for j = 1:3
nodos2(i,j) = Elem(i,j+1);
end
end

figure(p+3)
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
plot(coord(Rel(:,2),1),coord(Rel(:,2),2),'bx','MarkerSize',20);
hold on
plot(coord2(Rel(:,1),1),coord2(Rel(:,1),2),'r.','MarkerSize',20);
hold off
end
}}

El siguiente código realiza la malla del cuadrado de 2 triángulos. Es el mismo código que el anterior pero modificado ligeramente. La idea para la numeración es la misma pero modifica a esta forma de mallado.

{{matlab|codigo=

a = 0;
b = 1;

H = [0.1 0.05 0.025];

V = {'Vertices_malla1_tipo2.txt', 'Vertices_malla2_tipo2.txt', 'Vertices_malla3_tipo2.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo2.txt', 'Elementos_malla2_tipo2.txt', 'Elementos_malla3_tipo2.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo2.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3_tipo1.txt', 'Relacion_malla2malla3_tipo1.txt','Relacion_malla3malla3_tipo1.txt'};

T = {'Mallado con h=0.1', 'Mallado con h=0.05', 'Mallado con h=0.025'};

h = H(3);
X = a:h:b;
Xm = a+(h/2):h:b;
n2 = length(X);
m2 = length(Xm);
l2 = n2+m2;

for p = 1:3
h = H(p);
x = a:h:b;
n = length(x);

% Crea el documento para los nodos.

Verticesdoc = fopen(V{p},'w');
formatSpec = '%d %.4f %.4f \n';
for j = 1:n
for i = 1:n
nodo = [(j-1)*n + i, x(i), x(j)];
fprintf(Verticesdoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Verticesdoc);

% Crea el documento para los elementos.

Elementosdoc = fopen(E{p},'w');
formatSpec = '%d %d %d %d \n';
for i = 1:n-1
for j = 1:n-1
triang = [(2*(j-1)+1)+(n-1)*(i-1), n*(i-1)+j, n*(i-1)+j+1, n*i+j];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
triang = [(2*(j-1)+2)+(n-1)*(i-1), n*i+j+1, n*i+j, n*(i-1)+j+1];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
end
end
fclose(Elementosdoc);

% Crea el documento para los nodos de la frontera Dirichlet.

Dirichletdoc = fopen(D{p},'w');
formatSpec = '%d \n';
for i = 1:2
for j = 1:n
if i == 1
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,1+n*(j-1));
else
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,n+n*(j-1));
end
end

end
fclose(Dirichletdoc);

% Crea el documento para la relación entre las mallas de 2 triángulos con la malla de 4 triángulos con paso h igual a 0.025.

if p == 1
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:n
for j = 1:n
c = 8*(i-1)+1;
nodo = [(i-1)*n + j, (n2+m2)*(c-1)/2+4*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Relaciondoc);
elseif p == 2
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:n
c = 4*(i-1)+1;
for j = 1:n
nodo = [(i-1)*n + j, (n2+m2)*(c-1)/2+2*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Relaciondoc);
else
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:n
c = 2*(i-1)+1;
for j = 1:n
nodo = [(i-1)*n + j, (n2+m2)*(c-1)/2+j];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Relaciondoc);
end

% Representa las diferentes mallas.

Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Dir = load(D{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

figure(p)
plot(coord(Dir,1),coord(Dir,2),'-b','LineWidth',5);
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
hold on
for i=1:Nel
nod1 = nodos(i,1);
nod2 = nodos(i,2);
nod3 = nodos(i,3);
x =[coord(nod1,1), coord(nod2,1), coord(nod3,1), coord(nod1,1)];
y =[coord(nod1,2), coord(nod2,2), coord(nod3,2), coord(nod1,2)];
fill(x, y, 'cyan')
end
title(T{p})
end

% Representa los nodos de la relación para la comprobación.

for p = 1:3
Vertices = load(V{p});
Elememtos = load(E{p});
Vert = load('Vertices_malla3_tipo1.txt');
Elem = load('Elementos_malla3_tipo1.txt');
Rel = load(R{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,2);
coord2 = zeros(size(Vert,1),2);
nodos2 = zeros(size(Elem,1),3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Vert,1)
for j = 1:2
coord2(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Elem,1)
for j = 1:3
nodos2(i,j) = Elem(i,j+1);
end
end

figure(p+4)
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
plot(coord(Rel(:,1),1),coord(Rel(:,1),2),'bx','MarkerSize',20);
hold on
plot(coord2(Rel(:,2),1),coord2(Rel(:,2),2),'r.','MarkerSize',20);
hold off
end
}}

Lo siguientes códigos realizan el MEF. Primero se muestra con las mallas de 4 triángulos.

{{matlab|codigo=

% Documentos donde se encuentra la información de las mallas.

V = {'Vertices_malla1_tipo1.txt', 'Vertices_malla2_tipo1.txt', 'Vertices_malla3_tipo1.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo1.txt', 'Elementos_malla2_tipo1.txt', 'Elementos_malla3_tipo1.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo1.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3.txt', 'Relacion_malla2malla3.txt'};

% Lado del cuadrado inicial.

a = 0;
b = 1;

% Condiciones de tipo Dirichlet.

p0 = 0.5;
p1 = 0;

% Datos del problema.

f = @(x,y) 50*exp(-100*((x-0.5).^2 + (y-0.5).^2));
K = @(x,y) 1 + 0.5.*cos(2*pi*x).*cos(2*pi*y);

% Matrices empleadas para calcular la matriz de rigidez por ensamblado.

Lxx = zeros(3,3); Lxx(1,1) = 1/2; Lxx(2,2) = 1/2; Lxx(1,2) = -1/2; Lxx(2,1) = -1/2;
Lyy = zeros(3,3); Lyy(1,1) = 1/2; Lyy(3,3) = 1/2; Lyy(3,1) = -1/2; Lyy(1,3) = -1/2;
Lxy = zeros(3,3); Lxy(1,1) = 1/2; Lxy(2,3) = 1/2; Lxy(1,3) = -1/2; Lxy(2,1) = -1/2;
l0 = (1/6)*ones(3,1);

% Variables de la tabla final sobre la convergencia.

H = [0.1 0.05 0.025];
Sol = zeros(length(a:H(end):b),3);
normL = zeros(size(H));
ordenL = zeros(size(H));
normH = zeros(size(H));
ordenH = zeros(size(H));
condA = zeros(size(H));

% Resolución del problema para las mallas de cada paso.

for p =1:3

% Lectura de los documentos y creación de variables con los datos de estos.

Dir = load(D{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
MDir = length(Dir);
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Matrices del problema en forma matricial.

A = zeros(M,M);
b = zeros(M,1);
u = zeros(M,1);

% Asignación valores a la solución de los nodos de la frontera Dirichlet.

for i = 1:length(Dir)
if coord(Dir(i),1) == a
u(Dir(i)) = p0;
else
u(Dir(i)) = p1;
end
end

ind = setdiff(1:M,sort(Dir)); % Nodos cuya solución hay que calcular

% Ensamblado de la matriz de rigidez y el vector de cargas.

for e = 1:Nel
nodosK = Elementos(e, 2:end);
Bk = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
Ck = invBk*invBk';
fk = 0;
Kk = 0;
for i = 1:3 % Aproximación de la integral de f y K sobre cada elemento como un promedio.
Kk = Kk + K(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
fk = fk + f(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
end
Kk = Kk./3;
fk = fk./3;
Lk = abs(detBk)*Kk*(Ck(1,1)*Lxx + Ck(1,2)*(Lxy+Lxy') + Ck(2,2)*Lyy);
A(nodosK,nodosK) = A(nodosK,nodosK) + Lk;
lk = fk*abs(detBk)*l0;
b(nodosK) = b(nodosK) + lk;
end

for i = 1:M-MDir % Ajuste del vector de cargas.
camb = 0;
for j = 1:MDir
camb = camb + A(Dir(j),ind(i))*u(Dir(j));
end
b(ind(i)) = b(ind(i)) - camb;
end

u(ind) = A(ind,ind)\b(ind); % Resolución del problema matricial.

Sol(1:length(u),p) = u;

% Representación de la solución calculada.

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(nodos,coord(:,1),coord(:,2),u);view(0,90);
colorbar;
title('u_h');

end

% Cálculo de la convergencia.

for p = 1:2
Rel = load(R{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Vert = load(V{end});
M = size(Vertices,1);
M3 = size(Vert,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
coord3 = zeros(M3,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:M3
for j = 1:2
coord3(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo de las normas por aproximación de las soluciones de las mallas menos finas con la más fina.

intL = 0;
intdH = 0;
for i = 1:Nel
nodosK = nodos(i,:);
Bk = zeros(2,2);
Bk3 = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
Bk3(j,k) = coord3(Rel(nodosK(k+1),2),j)-coord3(Rel(nodosK(1),2),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
detBk3 = det(Bk3);
invBk3 = inv(Bk3);
sumL = 0;
sumdH = 0;
uk = [Sol(nodosK(2),p)-Sol(nodosK(1),p); Sol(nodosK(3),p)-Sol(nodosK(1),p)];
uk3 = [Sol(Rel(nodosK(2),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3); Sol(Rel(nodosK(3),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3)];
for j = 1:3
sumL = sumL + (Sol(Rel(nodosK(j),2),3) - Sol(nodosK(j),p)).^2;
sumdH = sumdH + norm(invBk3'*uk3 - invBk'*uk).^2;
end
intL = intL + (abs(detBk)/3)*sumL;
intdH = intdH + (abs(detBk)/3)*sumdH;
end

normL(p) = sqrt(intL);
normH(p) = sqrt(intL + intdH);
condA(p) = cond(A);
end

% Cálculo del orden en las diferentes normas.

ordenL(1) = log(normL(1)/normL(2))/log(2);
ordenH(1) = log(normH(1)/normH(2))/log(2);

% Creación de la tabla de convergencia con los datos calculados.

table(H',normL',ordenL',normH',ordenH',condA','VariableNames',{'h','norma en L2','orden L2','norma en H1','orden H1','cond(A)'})

}}

Ahora, se muestra el mismo código pero ajustado con la parte de convergencia ajustada para comparar con la malla de 4 triángulos más fina.

{{matlab|codigo=
V = {'Vertices_malla1_tipo2.txt', 'Vertices_malla2_tipo2.txt', 'Vertices_malla3_tipo2.txt', 'Vertices_malla3_tipo1.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo2.txt', 'Elementos_malla2_tipo2.txt', 'Elementos_malla3_tipo2.txt', 'Elementos_malla3_tipo1.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo1.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3_tipo1.txt', 'Relacion_malla2malla3_tipo1.txt', 'Relacion_malla3malla3_tipo1.txt'};

a = 0;
b = 1;

p0 = 0.5;
p1 = 0;

f = @(x,y) 50*exp(-100*((x-0.5).^2 + (y-0.5).^2));
K = @(x,y) 1 + 0.5.*cos(2*pi*x).*cos(2*pi*y);

Lxx = zeros(3,3); Lxx(1,1) = 1/2; Lxx(2,2) = 1/2; Lxx(1,2) = -1/2; Lxx(2,1) = -1/2;
Lyy = zeros(3,3); Lyy(1,1) = 1/2; Lyy(3,3) = 1/2; Lyy(3,1) = -1/2; Lyy(1,3) = -1/2;
Lxy = zeros(3,3); Lxy(1,1) = 1/2; Lxy(2,3) = 1/2; Lxy(1,3) = -1/2; Lxy(2,1) = -1/2;
l0 = (1/6)*ones(3,1);

H = [0.1 0.05 0.025];
Sol = zeros(length(a:H(end):b),3);
Exacta = zeros(length(a:H(end):b),1);
coord5 = zeros(length(a:H(end):b),1);
normL = zeros(size(H));
ordenL = zeros(size(H));
normH = zeros(size(H));
ordenH = zeros(size(H));
condA = zeros(size(H));

for p =1:4

% Lectura de documentos y creación de variables con dichos datos.

Dir = load(D{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
MDir = length(Dir);
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

if p ==3 % Almacenamos las coordenadas de la malla de 2 triángulos más fina para uso posterior.
coord5 = coord;
end

A = zeros(M,M);
b = zeros(M,1);
u = zeros(M,1);

% Asignación de variables con valores conocidos

for i = 1:length(Dir)
if coord(Dir(i),1) == a
u(Dir(i)) = p0;
else
u(Dir(i)) = p1;
end
end

ind = setdiff(1:M,sort(Dir));

% Ensamblado de la matriz de rigidez y del vector de cargas.

for e = 1:Nel
nodosK = Elementos(e, 2:end);
Bk = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
Ck = invBk*invBk';
fk = 0;
Kk = 0;
for i = 1:3
Kk = Kk + K(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
fk = fk + f(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
end
Kk = Kk./3;
fk = fk./3;
Lk = abs(detBk)*Kk*(Ck(1,1)*Lxx + Ck(1,2)*(Lxy+Lxy') + Ck(2,2)*Lyy);
A(nodosK,nodosK) = A(nodosK,nodosK) + Lk;
lk = fk*abs(detBk)*l0;
b(nodosK) = b(nodosK) + lk;
end

% Ajuste del vector de cargas

for i = 1:M-MDir
camb = 0;
for j = 1:MDir
camb = camb + A(Dir(j),ind(i))*u(Dir(j));
end
b(ind(i)) = b(ind(i)) - camb;
end

u(ind) = A(ind,ind)\b(ind);

if p == 4 % Almacenamos la solución de la malla de 4 triángulos en una variable diferente.
Exacta(1:length(u)) = u;
else
Sol(1:length(u),p) = u;
end

% Representación gráfica de la solución calculada.

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(nodos,coord(:,1),coord(:,2),u);view(0,90);
colorbar;
title('u_h');
end

% Representación gráfica de la diferencia entre la solución de la malla de 2 triángulos más fina con la solución de la malla de 4 triángulos más fina.

Rel = load(R{3});
Elementos= load(E{3});
figure(p+1)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(Elementos(:,2:end),coord5(:,1),coord5(:,2),abs(Sol(:,3)-Exacta(Rel(:,2))));view(0,90);
colorbar;
title('|u-u_h|');

% Creación de variables necesarias para la convergencia.

Vert = load(V{4});
Elem = load(E{4});
M4 = size(Vert,1);
Nel4 = size(Elem,1);
coord4 = zeros(M4,2);
nodos4 = zeros(Nel4,3);
for i = 1:M4
for j = 1:2
coord4(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel4
for j = 1:3
nodos4(i,j) = Elem(i,j+1);
end
end

% Cálculo de la convergencia.

for p = 1:3
Rel = load(R{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo de las normas por aproximación de las soluciones de las mallas de 2 triángulos con la solución de la malla de 4 triángulos más fina.

intL = 0;
intdH = 0;
for i = 1:Nel
nodosK = nodos(i,:);
Bk = zeros(2,2);
Bk4 = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
Bk4(j,k) = coord4(Rel(nodosK(k+1),2),j)-coord4(Rel(nodosK(1),2),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
detBk4 = det(Bk4);
invBk4 = inv(Bk4);
sumL = 0;
sumdH = 0;
uk = [Sol(nodosK(2),p)-Sol(nodosK(1),p); Sol(nodosK(3),p)-Sol(nodosK(1),p)];
uk4 = [Exacta(Rel(nodosK(2),2))-Exacta(Rel(nodosK(1),2)); Exacta(Rel(nodosK(3),2))-Exacta(Rel(nodosK(1),2))];
for j = 1:3
sumL = sumL + (Exacta(Rel(nodosK(j),2)) - Sol(nodosK(j),p)).^2;
sumdH = sumdH + norm(invBk4'*uk4 - invBk'*uk).^2;
end
intL = intL + (abs(detBk)/3)*sumL;
intdH = intdH + (abs(detBk)/3)*sumdH;
end

normL(p) = sqrt(intL);
normH(p) = sqrt(intL + intdH);
condA(p) = cond(A);
end

% Cálculo del orden de las diferentes normas.

for i = 1:2
ordenL(i) = log(normL(i)/normL(i+1))/log(2);
ordenH(i) = log(normH(i)/normH(i+1))/log(2);
end

% Creación de la tabla de convergencia con los datos calculados.

table(H',normL',ordenL',normH',ordenH',condA','VariableNames',{'h','norma en L2','orden L2','norma en H1','orden H1','cond(A)'})
}}

Por último, se muestra de nuevo el código pero modificado para el nuevo dominio.

{{matlab|codigo=

V = {'Vertices_malla1_tipo3.txt', 'Vertices_malla2_tipo3.txt', 'Vertices_malla3_tipo3.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo3.txt', 'Elementos_malla2_tipo3.txt', 'Elementos_malla3_tipo3.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo3.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo3.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo3.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3_tipo3.txt', 'Relacion_malla2malla3_tipo3.txt'};

% Lectura de una de las mallas para el cálculo del centroide del dominio.

Vertices = load(V{3});
Elementos = load(E{3});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo del centroide del dominio por cambio de variable al elemento de referencia.

area2 = 0;
xcmintcv = 0;
ycmintcv = 0;
for i = 1:Nel
jac = zeros(2,2);
triang = [nodos(i,1), nodos(i,2), nodos(i,3)];
for j = 1:2
for k = 1:2
jac(j,k) = coord(triang(k+1),j)-coord(triang(1),j);
end
end
detjac = abs((jac(1,1)*jac(2,2))-(jac(1,2)*jac(2,1)));
areael = detjac*(1/2);
area2 = area2 + areael;
intx = @(a,b) jac(1,1)*a + jac(1,2)*b + coord(triang(1),1);
inty = @(a,b) jac(2,1)*a + jac(2,2)*b + coord(triang(1),2);
xcmintcv = xcmintcv + detjac*integral2(intx,0,1,0,@(z) -z+1);
ycmintcv = ycmintcv + detjac*integral2(inty,0,1,0,@(z) -z+1);
end
xcmcv = xcmintcv/area2;
ycmcv = ycmintcv/area2;

a = 0;
b = 1;

p0 = 0.5;
p1 = 0;

f = @(x,y) 50*exp(-100*((x-xcmcv).^2 + (y-ycmcv).^2));
K = @(x,y) 1 + 0.5.*cos(2*pi*x).*cos(2*pi*y);

Lxx = zeros(3,3); Lxx(1,1) = 1/2; Lxx(2,2) = 1/2; Lxx(1,2) = -1/2; Lxx(2,1) = -1/2;
Lyy = zeros(3,3); Lyy(1,1) = 1/2; Lyy(3,3) = 1/2; Lyy(3,1) = -1/2; Lyy(1,3) = -1/2;
Lxy = zeros(3,3); Lxy(1,1) = 1/2; Lxy(2,3) = 1/2; Lxy(1,3) = -1/2; Lxy(2,1) = -1/2;
l0 = (1/6)*ones(3,1);

H = [0.1 0.05 0.025];
Sol = zeros(length(a:H(end):b),3);
normL = zeros(size(H));
ordenL = zeros(size(H));
normH = zeros(size(H));
ordenH = zeros(size(H));
condA = zeros(size(H));

for p =1:3

% Lectura de los documentos y creación de variables con dichos datos.

Dir = load(D{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
MDir = length(Dir);
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

A = zeros(M,M);
b = zeros(M,1);
u = zeros(M,1);

% Asignación de valores conocidos.

for i = 1:length(Dir)
if coord(Dir(i),1) == a
u(Dir(i)) = p0;
else
u(Dir(i)) = p1;
end
end

ind = setdiff(1:M,sort(Dir));

% Ensamblado de la matriz de rigidez y del vector de cargas.

for e = 1:Nel
nodosK = Elementos(e, 2:end);
Bk = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
Ck = invBk*invBk';
fk = 0;
Kk = 0;
for i = 1:3
Kk = Kk + K(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
fk = fk + f(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
end
Kk = Kk./3;
fk = fk./3;
Lk = abs(detBk)*Kk*(Ck(1,1)*Lxx + Ck(1,2)*(Lxy+Lxy') + Ck(2,2)*Lyy);
A(nodosK,nodosK) = A(nodosK,nodosK) + Lk;
lk = fk*abs(detBk)*l0;
b(nodosK) = b(nodosK) + lk;
end

% Ajuste del vector de cargas.

for i = 1:M-MDir
camb = 0;
for j = 1:MDir
camb = camb + A(Dir(j),ind(i))*u(Dir(j));
end
b(ind(i)) = b(ind(i)) - camb;
end

u(ind) = A(ind,ind)\b(ind);

Sol(1:length(u),p) = u;

% Representación gráfica de la solución calculada.

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(nodos,coord(:,1),coord(:,2),u);view(0,90);
colorbar;
title(strcat('u_h con h =',num2str(H(p))));
end

% Cálculo de la convergencia.

for p = 1:2
Rel = load(R{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Vert = load(V{end});
M = size(Vertices,1);
M3 = size(Vert,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
coord3 = zeros(M3,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:M3
for j = 1:2
coord3(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo de las normas por aproximación de las soluciones de las mallas menos finas con la solución de la malla más fina.

intL = 0;
intdH = 0;
for i = 1:Nel
nodosK = nodos(i,:);
Bk = zeros(2,2);
Bk3 = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
Bk3(j,k) = coord3(Rel(nodosK(k+1),2),j)-coord3(Rel(nodosK(1),2),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
detBk3 = det(Bk3);
invBk3 = inv(Bk3);
sumL = 0;
sumdH = 0;
uk = [Sol(nodosK(2),p)-Sol(nodosK(1),p); Sol(nodosK(3),p)-Sol(nodosK(1),p)];
uk3 = [Sol(Rel(nodosK(2),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3); Sol(Rel(nodosK(3),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3)];
for j = 1:3
sumL = sumL + (Sol(Rel(nodosK(j),2),3) - Sol(nodosK(j),p)).^2;
sumdH = sumdH + norm(invBk3'*uk3 - invBk'*uk).^2;
end
intL = intL + (abs(detBk)/3)*sumL;
intdH = intdH + (abs(detBk)/3)*sumdH;
end

normL(p) = sqrt(intL);
normH(p) = sqrt(intL + intdH);
condA(p) = cond(A);
end

% Cálculo del orden de las diferentes normas.

ordenL(1) = log(normL(1)/normL(2))/log(2);
ordenH(1) = log(normH(1)/normH(2))/log(2);

% Creación de la tabla de convergencia con los datos calculados.

table(H',normL',ordenL',normH',ordenH',condA','VariableNames',{'h','norma en L2','orden L2','norma en H1','orden H1','cond(A)'})
}}

[[Categoría:MNEDP|MNEDP]]
[[Categoría:MNEDP25/26|2025-26]]

Flujo estacionario en medio poroso (RoYa)

2025-11-16T21:39:29Z

Rocío Tajuelo: /* Póster del Trabajo */

{{ TrabajoED | Flujo estacionario en medio poroso (RoYa) | [[:Categoría:MNEDP|MNEDP]]|[[:Categoría:MNEDP25/26|2025-26]] | Rocío Tajuelo Díaz, Yan Wang}}

=Póster del Trabajo=

{|style="margin: 0 auto;"
| [[Archivo:Póster_RoYa.jpg|900px|thumb|right|Trabajo de Métodos Numéricos en Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales sobre la Ecuación del Calor Estacionaria en formato póster realizado por el grupo DIF.]]
|}

=Códigos de MatLab=

A continuación, se presenta los códigos empleados para la realización del póster.

Para empezar se muestra los código utilizados para generar los documentos necesarios para las diferentes mallas. Para la malla del cuadrado de 4 triángulos se emplea el siguiente código:

{{matlab|codigo=
% Lado del cuadrado inicial.
a = 0;
b = 1;

H = [0.1 0.05 0.025]; % Pasos considerados.

% Nombres de los documentos creados

V = {'Vertices_malla1_tipo1.txt', 'Vertices_malla2_tipo1.txt', 'Vertices_malla3_tipo1.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo1.txt', 'Elementos_malla2_tipo1.txt', 'Elementos_malla3_tipo1.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo1.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3.txt', 'Relacion_malla2malla3.txt'};

T = {'Mallado con h=0.1', 'Mallado con h=0.05', 'Mallado con h=0.025'}; % Se emplea para los títulos de las gráficas

% Datos fijos necesarios dentro del bucle.
h = H(3);
X = a:h:b;
Xm = a+(h/2):h:b;
n2 = length(X);
m2 = length(Xm);
l2 = n2+m2;

% Bucle para crear las diferente mallas para cada paso.

for p = 1:3
h = H(p);
x = a:h:b; % División del lado en trozos de tamaño h
xm = a+(h/2):h:b; % Coordenada x de los centroides de los cuadrados en los que se divide el cuadrado inicial.
n = length(x);
m = length(xm);
apoyo = zeros(n+m,1); % Vector con las coordenadas x de los nodos que forman los cuadrados y su centroide .
for i = 1:n
apoyo(2*(i-1)+1) = x(i);
if i <= m
apoyo(2*i) = xm(i);
end
end
l = length(apoyo);

% Esta parte crea el documento con la numeración de los nodos y sus coordenada x e y.

Verticesdoc = fopen(V{p},'w');
formatSpec = '%d %.4f %.4f \n';
for i = 1:l % La numeración de los nodos se basa en el número de nodos que ya se han contado dependiendo del nodo en el que me hallo.
if mod(i,2) == 1
for j = 1:n
nodo = [(((n+m)*(floor(i/2))) + j), x(j), apoyo(i)];
fprintf(Verticesdoc,formatSpec,nodo);
end
else
for j = 1:m
nodo = [(((n+m)*(i/2-1) + n) + j), xm(j) apoyo(i)];
fprintf(Verticesdoc,formatSpec,nodo);
end
end
end
fclose(Verticesdoc);

% Este trozo crea el documento con la numeración de los elementos y los nodos que forman cada elemento.

Elementosdoc = fopen(E{p},'w');
formatSpec = '%d %d %d %d \n';
for i = 1:m
for j = 1:m
for k = 1:4 % El primer elemento es el triángulo de la izquierda, el segundo el de abajo, el tercero el de la derecha y el cuarto el de arriba. La numeración
if k == 1 % de los elementos se basa en el número de cuadrados contados dependiendo del nodo del centroide del cuadrado en el que me hallo.
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*i+j, (n+m)*(i-1)+j];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
elseif k == 2
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*(i-1)+j, (n+m)*(i-1)+(j+1)];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
elseif k == 3
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*(i-1)+(j+1), (n+m)*i+(j+1)];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
else
triang = [(4*(j-1)+k)+40*(i-1), ((n+m)*(i-1)+n)+j, (n+m)*i+(j+1), (n+m)*i+j];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
end
end
end
end
fclose(Elementosdoc);

% Esta parte crea el documento que contiene la numeración de los nodos que forman parte de la frontera Dirichlet.

Dirichletdoc = fopen(D{p},'w');
formatSpec = '%d \n';
for i = 1:2 % Los nodos que forman parte de la frontera Dirichlet son aquellos cuya coordenada x es igual a 0 o 1.
for j = 1:n % Luego, el número de nodos ya contados es proporcional.
if i == 1
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,(n+m)*(j-1)+1);
else
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,(n+m)*(j-1)+n);
end
end

end
fclose(Dirichletdoc);

% Este trozo de código crea el documento que relaciona los nodos de las mallas menos finas con la malla más fija, es decir, las mallas con paso h igual a 0.1 y 0.05 con la malla con paso h igual a 0.025.

if p == 1 % Malla con paso h igual a 0.1 con la malla más fina.
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:l
if mod(i,2) == 1 % La relación entre los primeros nodos de cada fila impar es proporcional al número de nodos que se han contado entre la 1ª y 3ª fila.
for j = 1:n % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 4 posiciones.
c = 3*i+2*(floor(i/2)-1);
nodo = [(((n+m)*(floor(i/2))) + j), (n2+m2)*(c-1)/2+4*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
else % La relación entre los primeros nodos de cada fila impar es proporcional al número de nodos que se han contado entre la 2ª y 4ª fila más los de la 1ª fila.
for j = 1:m % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 4 posiciones empezando por un pequeño desplazamiento.
c = 4*i-3;
nodo = [(((n+m)*(i/2-1) + n) + j), (n2+m2)*((c-1)/2)+4*(j-1)+3];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
end
fclose(Relaciondoc);
elseif p == 2 % Malla con paso h igual a 0.05 con la malla más fina.
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:l
c = 2*i-1;
if mod(i,2) == 1
for j = 1:n % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 2 posiciones.
nodo = [(((n+m)*(floor(i/2))) + j), (n2+m2)*(c-1)/2+2*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
else
for j = 1:m % En cada fila, la relación entre los nodos es un desplazamiento de 4 posiciones empezando por un pequeño desplazamiento.
nodo = [(((n+m)*(i/2-1) + n) + j), (n2+m2)*((c-1)/2)+2*(j-1)+2];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
end
fclose(Relaciondoc);
end

% Este parte representa gráficamente los diferentes mallados para cada paso.

Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Dir = load(D{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
plot(coord(Dir,1),coord(Dir,2),'-b','LineWidth',5);
hold on
for i=1:Nel
nod1 = nodos(i,1);
nod2 = nodos(i,2);
nod3 = nodos(i,3);
x =[coord(nod1,1), coord(nod2,1), coord(nod3,1), coord(nod1,1)];
y =[coord(nod1,2), coord(nod2,2), coord(nod3,2), coord(nod1,2)];
fill(x, y, 'cyan')
end
title(T{p})
end

% Este trozo dibuja gráficamente los nodos de las mallas menos finas y los de la malla más fina. Esta parte sirve para comprobar que la relación entre los nodos está bien escrita. O sea, si el nodo i de la malla menos fina se corresponde al nodo j de la malla más fina.

for p = 1:2
Vert = load(V{p});
Elem = load(E{p});
Vertices = load(V{3});
Elementos = load(E{3});
Rel = load(R{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
coord2 = zeros(M,2);
nodos2 = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Vert,1)
for j = 1:2
coord2(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Elem,1)
for j = 1:3
nodos2(i,j) = Elem(i,j+1);
end
end

figure(p+3)
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
plot(coord(Rel(:,2),1),coord(Rel(:,2),2),'bx','MarkerSize',20);
hold on
plot(coord2(Rel(:,1),1),coord2(Rel(:,1),2),'r.','MarkerSize',20);
hold off
end
}}

El siguiente código realiza la malla del cuadrado de 2 triángulos. Es el mismo código que el anterior pero modificado ligeramente. La idea para la numeración es la misma pero modifica a esta forma de mallado.

{{matlab|codigo=

a = 0;
b = 1;

H = [0.1 0.05 0.025];

V = {'Vertices_malla1_tipo2.txt', 'Vertices_malla2_tipo2.txt', 'Vertices_malla3_tipo2.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo2.txt', 'Elementos_malla2_tipo2.txt', 'Elementos_malla3_tipo2.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo2.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3_tipo1.txt', 'Relacion_malla2malla3_tipo1.txt','Relacion_malla3malla3_tipo1.txt'};

T = {'Mallado con h=0.1', 'Mallado con h=0.05', 'Mallado con h=0.025'};

h = H(3);
X = a:h:b;
Xm = a+(h/2):h:b;
n2 = length(X);
m2 = length(Xm);
l2 = n2+m2;

for p = 1:3
h = H(p);
x = a:h:b;
n = length(x);

% Crea el documento para los nodos.

Verticesdoc = fopen(V{p},'w');
formatSpec = '%d %.4f %.4f \n';
for j = 1:n
for i = 1:n
nodo = [(j-1)*n + i, x(i), x(j)];
fprintf(Verticesdoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Verticesdoc);

% Crea el documento para los elementos.

Elementosdoc = fopen(E{p},'w');
formatSpec = '%d %d %d %d \n';
for i = 1:n-1
for j = 1:n-1
triang = [(2*(j-1)+1)+(n-1)*(i-1), n*(i-1)+j, n*(i-1)+j+1, n*i+j];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
triang = [(2*(j-1)+2)+(n-1)*(i-1), n*i+j+1, n*i+j, n*(i-1)+j+1];
fprintf(Elementosdoc,formatSpec,triang);
end
end
fclose(Elementosdoc);

% Crea el documento para los nodos de la frontera Dirichlet.

Dirichletdoc = fopen(D{p},'w');
formatSpec = '%d \n';
for i = 1:2
for j = 1:n
if i == 1
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,1+n*(j-1));
else
fprintf(Dirichletdoc,formatSpec,n+n*(j-1));
end
end

end
fclose(Dirichletdoc);

% Crea el documento para la relación entre las mallas de 2 triángulos con la malla de 4 triángulos con paso h igual a 0.025.

if p == 1
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:n
for j = 1:n
c = 8*(i-1)+1;
nodo = [(i-1)*n + j, (n2+m2)*(c-1)/2+4*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Relaciondoc);
elseif p == 2
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:n
c = 4*(i-1)+1;
for j = 1:n
nodo = [(i-1)*n + j, (n2+m2)*(c-1)/2+2*(j-1)+1];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Relaciondoc);
else
Relaciondoc = fopen(R{p},'w');
formatSpec = '%d %d \n';
for i = 1:n
c = 2*(i-1)+1;
for j = 1:n
nodo = [(i-1)*n + j, (n2+m2)*(c-1)/2+j];
fprintf(Relaciondoc,formatSpec,nodo);
end
end
fclose(Relaciondoc);
end

% Representa las diferentes mallas.

Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Dir = load(D{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

figure(p)
plot(coord(Dir,1),coord(Dir,2),'-b','LineWidth',5);
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
hold on
for i=1:Nel
nod1 = nodos(i,1);
nod2 = nodos(i,2);
nod3 = nodos(i,3);
x =[coord(nod1,1), coord(nod2,1), coord(nod3,1), coord(nod1,1)];
y =[coord(nod1,2), coord(nod2,2), coord(nod3,2), coord(nod1,2)];
fill(x, y, 'cyan')
end
title(T{p})
end

% Representa los nodos de la relación para la comprobación.

for p = 1:3
Vertices = load(V{p});
Elememtos = load(E{p});
Vert = load('Vertices_malla3_tipo1.txt');
Elem = load('Elementos_malla3_tipo1.txt');
Rel = load(R{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,2);
coord2 = zeros(size(Vert,1),2);
nodos2 = zeros(size(Elem,1),3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Vert,1)
for j = 1:2
coord2(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:size(Elem,1)
for j = 1:3
nodos2(i,j) = Elem(i,j+1);
end
end

figure(p+4)
xlim([min(coord(:,1)),max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)),max(coord(:,2))]);
grid on
plot(coord(Rel(:,1),1),coord(Rel(:,1),2),'bx','MarkerSize',20);
hold on
plot(coord2(Rel(:,2),1),coord2(Rel(:,2),2),'r.','MarkerSize',20);
hold off
end
}}

Lo siguientes códigos realizan el MEF. Primero se muestra con las mallas de 4 triángulos.

{{matlab|codigo=

% Documentos donde se encuentra la información de las mallas.

V = {'Vertices_malla1_tipo1.txt', 'Vertices_malla2_tipo1.txt', 'Vertices_malla3_tipo1.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo1.txt', 'Elementos_malla2_tipo1.txt', 'Elementos_malla3_tipo1.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo1.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo1.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3.txt', 'Relacion_malla2malla3.txt'};

% Lado del cuadrado inicial.

a = 0;
b = 1;

% Condiciones de tipo Dirichlet.

p0 = 0.5;
p1 = 0;

% Datos del problema.

f = @(x,y) 50*exp(-100*((x-0.5).^2 + (y-0.5).^2));
K = @(x,y) 1 + 0.5.*cos(2*pi*x).*cos(2*pi*y);

% Matrices empleadas para calcular la matriz de rigidez por ensamblado.

Lxx = zeros(3,3); Lxx(1,1) = 1/2; Lxx(2,2) = 1/2; Lxx(1,2) = -1/2; Lxx(2,1) = -1/2;
Lyy = zeros(3,3); Lyy(1,1) = 1/2; Lyy(3,3) = 1/2; Lyy(3,1) = -1/2; Lyy(1,3) = -1/2;
Lxy = zeros(3,3); Lxy(1,1) = 1/2; Lxy(2,3) = 1/2; Lxy(1,3) = -1/2; Lxy(2,1) = -1/2;
l0 = (1/6)*ones(3,1);

% Variables de la tabla final sobre la convergencia.

H = [0.1 0.05 0.025];
Sol = zeros(length(a:H(end):b),3);
normL = zeros(size(H));
ordenL = zeros(size(H));
normH = zeros(size(H));
ordenH = zeros(size(H));
condA = zeros(size(H));

% Resolución del problema para las mallas de cada paso.

for p =1:3

% Lectura de los documentos y creación de variables con los datos de estos.

Dir = load(D{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
MDir = length(Dir);
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Matrices del problema en forma matricial.

A = zeros(M,M);
b = zeros(M,1);
u = zeros(M,1);

% Asignación valores a la solución de los nodos de la frontera Dirichlet.

for i = 1:length(Dir)
if coord(Dir(i),1) == a
u(Dir(i)) = p0;
else
u(Dir(i)) = p1;
end
end

ind = setdiff(1:M,sort(Dir)); % Nodos cuya solución hay que calcular

% Ensamblado de la matriz de rigidez y el vector de cargas.

for e = 1:Nel
nodosK = Elementos(e, 2:end);
Bk = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
Ck = invBk*invBk';
fk = 0;
Kk = 0;
for i = 1:3 % Aproximación de la integral de f y K sobre cada elemento como un promedio.
Kk = Kk + K(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
fk = fk + f(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
end
Kk = Kk./3;
fk = fk./3;
Lk = abs(detBk)*Kk*(Ck(1,1)*Lxx + Ck(1,2)*(Lxy+Lxy') + Ck(2,2)*Lyy);
A(nodosK,nodosK) = A(nodosK,nodosK) + Lk;
lk = fk*abs(detBk)*l0;
b(nodosK) = b(nodosK) + lk;
end

for i = 1:M-MDir % Ajuste del vector de cargas.
camb = 0;
for j = 1:MDir
camb = camb + A(Dir(j),ind(i))*u(Dir(j));
end
b(ind(i)) = b(ind(i)) - camb;
end

u(ind) = A(ind,ind)\b(ind); % Resolución del problema matricial.

Sol(1:length(u),p) = u;

% Representación de la solución calculada.

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(nodos,coord(:,1),coord(:,2),u);view(0,90);
colorbar;
title('u_h');

end

% Cálculo de la convergencia.

for p = 1:2
Rel = load(R{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Vert = load(V{end});
M = size(Vertices,1);
M3 = size(Vert,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
coord3 = zeros(M3,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:M3
for j = 1:2
coord3(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo de las normas por aproximación de las soluciones de las mallas menos finas con la más fina.

intL = 0;
intdH = 0;
for i = 1:Nel
nodosK = nodos(i,:);
Bk = zeros(2,2);
Bk3 = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
Bk3(j,k) = coord3(Rel(nodosK(k+1),2),j)-coord3(Rel(nodosK(1),2),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
detBk3 = det(Bk3);
invBk3 = inv(Bk3);
sumL = 0;
sumdH = 0;
uk = [Sol(nodosK(2),p)-Sol(nodosK(1),p); Sol(nodosK(3),p)-Sol(nodosK(1),p)];
uk3 = [Sol(Rel(nodosK(2),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3); Sol(Rel(nodosK(3),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3)];
for j = 1:3
sumL = sumL + (Sol(Rel(nodosK(j),2),3) - Sol(nodosK(j),p)).^2;
sumdH = sumdH + norm(invBk3'*uk3 - invBk'*uk).^2;
end
intL = intL + (abs(detBk)/3)*sumL;
intdH = intdH + (abs(detBk)/3)*sumdH;
end

normL(p) = sqrt(intL);
normH(p) = sqrt(intL + intdH);
condA(p) = cond(A);
end

% Cálculo del orden en las diferentes normas.

ordenL(1) = log(normL(1)/normL(2))/log(2);
ordenH(1) = log(normH(1)/normH(2))/log(2);

% Creación de la tabla de convergencia con los datos calculados.

table(H',normL',ordenL',normH',ordenH',condA','VariableNames',{'h','norma en L2','orden L2','norma en H1','orden H1','cond(A)'})

}}

Ahora, se muestra el mismo código pero ajustado con la parte de convergencia ajustada para comparar con la malla de 4 triángulos más fina.

{{matlab|codigo=
V = {'Vertices_malla1_tipo2.txt', 'Vertices_malla2_tipo2.txt', 'Vertices_malla3_tipo2.txt', 'Vertices_malla3_tipo1.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo2.txt', 'Elementos_malla2_tipo2.txt', 'Elementos_malla3_tipo2.txt', 'Elementos_malla3_tipo1.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo2.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo1.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3_tipo1.txt', 'Relacion_malla2malla3_tipo1.txt', 'Relacion_malla3malla3_tipo1.txt'};

a = 0;
b = 1;

p0 = 0.5;
p1 = 0;

f = @(x,y) 50*exp(-100*((x-0.5).^2 + (y-0.5).^2));
K = @(x,y) 1 + 0.5.*cos(2*pi*x).*cos(2*pi*y);

Lxx = zeros(3,3); Lxx(1,1) = 1/2; Lxx(2,2) = 1/2; Lxx(1,2) = -1/2; Lxx(2,1) = -1/2;
Lyy = zeros(3,3); Lyy(1,1) = 1/2; Lyy(3,3) = 1/2; Lyy(3,1) = -1/2; Lyy(1,3) = -1/2;
Lxy = zeros(3,3); Lxy(1,1) = 1/2; Lxy(2,3) = 1/2; Lxy(1,3) = -1/2; Lxy(2,1) = -1/2;
l0 = (1/6)*ones(3,1);

H = [0.1 0.05 0.025];
Sol = zeros(length(a:H(end):b),3);
Exacta = zeros(length(a:H(end):b),1);
coord5 = zeros(length(a:H(end):b),1);
normL = zeros(size(H));
ordenL = zeros(size(H));
normH = zeros(size(H));
ordenH = zeros(size(H));
condA = zeros(size(H));

for p =1:4

% Lectura de documentos y creación de variables con dichos datos.

Dir = load(D{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
MDir = length(Dir);
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

if p ==3 % Almacenamos las coordenadas de la malla de 2 triángulos más fina para uso posterior.
coord5 = coord;
end

A = zeros(M,M);
b = zeros(M,1);
u = zeros(M,1);

% Asignación de variables con valores conocidos

for i = 1:length(Dir)
if coord(Dir(i),1) == a
u(Dir(i)) = p0;
else
u(Dir(i)) = p1;
end
end

ind = setdiff(1:M,sort(Dir));

% Ensamblado de la matriz de rigidez y del vector de cargas.

for e = 1:Nel
nodosK = Elementos(e, 2:end);
Bk = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
Ck = invBk*invBk';
fk = 0;
Kk = 0;
for i = 1:3
Kk = Kk + K(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
fk = fk + f(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
end
Kk = Kk./3;
fk = fk./3;
Lk = abs(detBk)*Kk*(Ck(1,1)*Lxx + Ck(1,2)*(Lxy+Lxy') + Ck(2,2)*Lyy);
A(nodosK,nodosK) = A(nodosK,nodosK) + Lk;
lk = fk*abs(detBk)*l0;
b(nodosK) = b(nodosK) + lk;
end

% Ajuste del vector de cargas

for i = 1:M-MDir
camb = 0;
for j = 1:MDir
camb = camb + A(Dir(j),ind(i))*u(Dir(j));
end
b(ind(i)) = b(ind(i)) - camb;
end

u(ind) = A(ind,ind)\b(ind);

if p == 4 % Almacenamos la solución de la malla de 4 triángulos en una variable diferente.
Exacta(1:length(u)) = u;
else
Sol(1:length(u),p) = u;
end

% Representación gráfica de la solución calculada.

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(nodos,coord(:,1),coord(:,2),u);view(0,90);
colorbar;
title('u_h');
end

% Representación gráfica de la diferencia entre la solución de la malla de 2 triángulos más fina con la solución de la malla de 4 triángulos más fina.

Rel = load(R{3});
Elementos= load(E{3});
figure(p+1)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(Elementos(:,2:end),coord5(:,1),coord5(:,2),abs(Sol(:,3)-Exacta(Rel(:,2))));view(0,90);
colorbar;
title('|u-u_h|');

% Creación de variables necesarias para la convergencia.

Vert = load(V{4});
Elem = load(E{4});
M4 = size(Vert,1);
Nel4 = size(Elem,1);
coord4 = zeros(M4,2);
nodos4 = zeros(Nel4,3);
for i = 1:M4
for j = 1:2
coord4(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel4
for j = 1:3
nodos4(i,j) = Elem(i,j+1);
end
end

% Cálculo de la convergencia.

for p = 1:3
Rel = load(R{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo de las normas por aproximación de las soluciones de las mallas de 2 triángulos con la solución de la malla de 4 triángulos más fina.

intL = 0;
intdH = 0;
for i = 1:Nel
nodosK = nodos(i,:);
Bk = zeros(2,2);
Bk4 = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
Bk4(j,k) = coord4(Rel(nodosK(k+1),2),j)-coord4(Rel(nodosK(1),2),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
detBk4 = det(Bk4);
invBk4 = inv(Bk4);
sumL = 0;
sumdH = 0;
uk = [Sol(nodosK(2),p)-Sol(nodosK(1),p); Sol(nodosK(3),p)-Sol(nodosK(1),p)];
uk4 = [Exacta(Rel(nodosK(2),2))-Exacta(Rel(nodosK(1),2)); Exacta(Rel(nodosK(3),2))-Exacta(Rel(nodosK(1),2))];
for j = 1:3
sumL = sumL + (Exacta(Rel(nodosK(j),2)) - Sol(nodosK(j),p)).^2;
sumdH = sumdH + norm(invBk4'*uk4 - invBk'*uk).^2;
end
intL = intL + (abs(detBk)/3)*sumL;
intdH = intdH + (abs(detBk)/3)*sumdH;
end

normL(p) = sqrt(intL);
normH(p) = sqrt(intL + intdH);
condA(p) = cond(A);
end

% Cálculo del orden de las diferentes normas.

for i = 1:2
ordenL(i) = log(normL(i)/normL(i+1))/log(2);
ordenH(i) = log(normH(i)/normH(i+1))/log(2);
end

% Creación de la tabla de convergencia con los datos calculados.

table(H',normL',ordenL',normH',ordenH',condA','VariableNames',{'h','norma en L2','orden L2','norma en H1','orden H1','cond(A)'})
}}

Por último, se muestra de nuevo el código pero modificado para el nuevo dominio.

{{matlab|codigo=

V = {'Vertices_malla1_tipo3.txt', 'Vertices_malla2_tipo3.txt', 'Vertices_malla3_tipo3.txt'};
E = {'Elementos_malla1_tipo3.txt', 'Elementos_malla2_tipo3.txt', 'Elementos_malla3_tipo3.txt'};
D = {'Dirichlet_malla1_tipo3.txt', 'Dirichlet_malla2_tipo3.txt', 'Dirichlet_malla3_tipo3.txt'};
R = {'Relacion_malla1malla3_tipo3.txt', 'Relacion_malla2malla3_tipo3.txt'};

% Lectura de una de las mallas para el cálculo del centroide del dominio.

Vertices = load(V{3});
Elementos = load(E{3});
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo del centroide del dominio por cambio de variable al elemento de referencia.

area2 = 0;
xcmintcv = 0;
ycmintcv = 0;
for i = 1:Nel
jac = zeros(2,2);
triang = [nodos(i,1), nodos(i,2), nodos(i,3)];
for j = 1:2
for k = 1:2
jac(j,k) = coord(triang(k+1),j)-coord(triang(1),j);
end
end
detjac = abs((jac(1,1)*jac(2,2))-(jac(1,2)*jac(2,1)));
areael = detjac*(1/2);
area2 = area2 + areael;
intx = @(a,b) jac(1,1)*a + jac(1,2)*b + coord(triang(1),1);
inty = @(a,b) jac(2,1)*a + jac(2,2)*b + coord(triang(1),2);
xcmintcv = xcmintcv + detjac*integral2(intx,0,1,0,@(z) -z+1);
ycmintcv = ycmintcv + detjac*integral2(inty,0,1,0,@(z) -z+1);
end
xcmcv = xcmintcv/area2;
ycmcv = ycmintcv/area2;

a = 0;
b = 1;

p0 = 0.5;
p1 = 0;

f = @(x,y) 50*exp(-100*((x-xcmcv).^2 + (y-ycmcv).^2));
K = @(x,y) 1 + 0.5.*cos(2*pi*x).*cos(2*pi*y);

Lxx = zeros(3,3); Lxx(1,1) = 1/2; Lxx(2,2) = 1/2; Lxx(1,2) = -1/2; Lxx(2,1) = -1/2;
Lyy = zeros(3,3); Lyy(1,1) = 1/2; Lyy(3,3) = 1/2; Lyy(3,1) = -1/2; Lyy(1,3) = -1/2;
Lxy = zeros(3,3); Lxy(1,1) = 1/2; Lxy(2,3) = 1/2; Lxy(1,3) = -1/2; Lxy(2,1) = -1/2;
l0 = (1/6)*ones(3,1);

H = [0.1 0.05 0.025];
Sol = zeros(length(a:H(end):b),3);
normL = zeros(size(H));
ordenL = zeros(size(H));
normH = zeros(size(H));
ordenH = zeros(size(H));
condA = zeros(size(H));

for p =1:3

% Lectura de los documentos y creación de variables con dichos datos.

Dir = load(D{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
MDir = length(Dir);
M = size(Vertices,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

A = zeros(M,M);
b = zeros(M,1);
u = zeros(M,1);

% Asignación de valores conocidos.

for i = 1:length(Dir)
if coord(Dir(i),1) == a
u(Dir(i)) = p0;
else
u(Dir(i)) = p1;
end
end

ind = setdiff(1:M,sort(Dir));

% Ensamblado de la matriz de rigidez y del vector de cargas.

for e = 1:Nel
nodosK = Elementos(e, 2:end);
Bk = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
Ck = invBk*invBk';
fk = 0;
Kk = 0;
for i = 1:3
Kk = Kk + K(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
fk = fk + f(coord(nodosK(i),1),coord(nodosK(i),2));
end
Kk = Kk./3;
fk = fk./3;
Lk = abs(detBk)*Kk*(Ck(1,1)*Lxx + Ck(1,2)*(Lxy+Lxy') + Ck(2,2)*Lyy);
A(nodosK,nodosK) = A(nodosK,nodosK) + Lk;
lk = fk*abs(detBk)*l0;
b(nodosK) = b(nodosK) + lk;
end

% Ajuste del vector de cargas.

for i = 1:M-MDir
camb = 0;
for j = 1:MDir
camb = camb + A(Dir(j),ind(i))*u(Dir(j));
end
b(ind(i)) = b(ind(i)) - camb;
end

u(ind) = A(ind,ind)\b(ind);

Sol(1:length(u),p) = u;

% Representación gráfica de la solución calculada.

figure(p)
xlim([min(coord(:,1)) max(coord(:,1))]);
ylim([min(coord(:,2)) max(coord(:,2))]);
grid on
trisurf(nodos,coord(:,1),coord(:,2),u);view(0,90);
colorbar;
title(strcat('u_h con h =',num2str(H(p))));
end

% Cálculo de la convergencia.

for p = 1:2
Rel = load(R{p});
Vertices = load(V{p});
Elementos = load(E{p});
Vert = load(V{end});
M = size(Vertices,1);
M3 = size(Vert,1);
Nel = size(Elementos,1);
coord = zeros(M,2);
coord3 = zeros(M3,2);
nodos = zeros(Nel,3);
for i = 1:M
for j = 1:2
coord(i,j) = Vertices(i,j+1);
end
end

for i = 1:M3
for j = 1:2
coord3(i,j) = Vert(i,j+1);
end
end

for i = 1:Nel
for j = 1:3
nodos(i,j) = Elementos(i,j+1);
end
end

% Cálculo de las normas por aproximación de las soluciones de las mallas menos finas con la solución de la malla más fina.

intL = 0;
intdH = 0;
for i = 1:Nel
nodosK = nodos(i,:);
Bk = zeros(2,2);
Bk3 = zeros(2,2);
for j = 1:2
for k = 1:2
Bk(j,k) = coord(nodosK(k+1),j)-coord(nodosK(1),j);
Bk3(j,k) = coord3(Rel(nodosK(k+1),2),j)-coord3(Rel(nodosK(1),2),j);
end
end
detBk = det(Bk);
invBk = inv(Bk);
detBk3 = det(Bk3);
invBk3 = inv(Bk3);
sumL = 0;
sumdH = 0;
uk = [Sol(nodosK(2),p)-Sol(nodosK(1),p); Sol(nodosK(3),p)-Sol(nodosK(1),p)];
uk3 = [Sol(Rel(nodosK(2),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3); Sol(Rel(nodosK(3),2),3)-Sol(Rel(nodosK(1),2),3)];
for j = 1:3
sumL = sumL + (Sol(Rel(nodosK(j),2),3) - Sol(nodosK(j),p)).^2;
sumdH = sumdH + norm(invBk3'*uk3 - invBk'*uk).^2;
end
intL = intL + (abs(detBk)/3)*sumL;
intdH = intdH + (abs(detBk)/3)*sumdH;
end

normL(p) = sqrt(intL);
normH(p) = sqrt(intL + intdH);
condA(p) = cond(A);
end

% Cálculo del orden de las diferentes normas.

ordenL(1) = log(normL(1)/normL(2))/log(2);
ordenH(1) = log(normH(1)/normH(2))/log(2);

% Creación de la tabla de convergencia con los datos calculados.

table(H',normL',ordenL',normH',ordenH',condA','VariableNames',{'h','norma en L2','orden L2','norma en H1','orden H1','cond(A)'})
}}

[[Categoría:MNEDP|MNEDP]]
[[Categoría:MNEDP25/26|2025-26]]

Archivo:Póster RoYa.png

2025-11-16T21:37:18Z

Rocío Tajuelo:

Flujo estacionario en medio poroso (RoYa)

2025-11-16T19:06:32Z

Rocío Tajuelo:

Flujo estacionario en medio poroso (RoYa)

2025-11-16T19:05:08Z

Rocío Tajuelo: Página creada con «{{ TrabajoED | Flujo estacionario en medio poroso (RoYa) | MNEDP|2025-26 | Rocío Tajuelo Díaz, Yan Wang}} Categoría:...»

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[[Categoría:MNEDP|MNEDP]]
[[Categoría:MNEDP25/26|2025-26]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T17:39:02Z

Rocío Tajuelo: /* Aplicación de la solución fundamental */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación es <math> c=1 ~~m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar por <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos planteando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar, para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1~~ m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos. Se cumple que cuando la onda llega al extremo, rebota simétricamente, sufriendo un cambio en el signo de la tensión. Además, justo cuando la onda llega a la frontera, se puede observar cómo se anula la solución en todo el intervalo del espacio.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores, la solución es de periodo <math> 2 </math>.
Además, en este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
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% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=

En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3 y una aplicación de esta en dimensión 2. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

==Solución fundamental==
En primer lugar, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución fundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Como se puede observar, también tiene una expresión analítica radial y, por ello, es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

===Programas===
{{matlab|codigo=
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Código de la solución fundamental para dimensión 1.

%%% EJERCICIO 2.1 dim1 %%%%

% Intervalos de definición
x0=-1; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
difx=10^-2; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de t

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(XX<=c*TT).*(XX>=-c*TT)./(2*c);

surf(XX,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 1")
xlabel("x")
ylabel("t")

}}

Código para representar la solución fundamental para dimensión 2.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim2 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(RR<=c*TT)./(eps + 2*pi*c.*sqrt(c^2*TT.^2-RR.^2));

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 2 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

Código de la solución fundamental para dimensión 3.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim3 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

c=1; % Velocidad de propagación
k=1000; % Parámetro empleado en la aproximación de la delta de Dirac

% Cálculo de la solución fundamental
K=sqrt(k/pi).*exp(-k*(RR-c*TT).^2)./(4*pi*c*RR);

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 3 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

==Aplicación de la solución fundamental==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=0 </math>.]]

[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=1 </math>.]]

[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar cómo, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica. Esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello, se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código, permitiendo que tarde menos.

===Programas===

Código para representar la solución:

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.2 %%%%

c=1; % Velocidad de propagación.

% Definimos los intervalos de integración y sus discretizaciones

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
th0=0; thf=2*pi; % Valor inicial y final de theta
T=[0,0.5,1,2]; % Discretización del intervalo de theta
Th=linspace(th0,thf); % Discretización del intervalo de theta
R=linspace(r0,rf,50); % Discretización del intervalo del radio

[TH,RR]=meshgrid(Th,R);

s=size(TH);

U=zeros(s); % Inicializamos los valores de u

XX=RR.*cos(TH);
YY=RR.*sin(TH);

% Solución fundamental en polares preparada para la convolución
K=@(a,l,r,t)(sqrt(r.^2+l.^2-2*r.*l.*cos(a))<c*t)./(0.01*(c^2*t.^2-r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)<10^-16)+2*pi*c*sqrt(abs(c^2*t.^2- r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a))));

% Solución para cada valor de t
for j=1:length(T)
for i=1:length(R)
U(i,:)=integral2(@(a,l)K(a,l,R(i),T(j)), 0,2*pi, 0,1/2)*ones(1,length(Th)); % Evaluamos la integral
j,i
end

figure(j)
surf(XX,YY,U)
shading interp
title("Solución para dim 2")
subtitle("t="+num2str(T(j)))

end
}}

==Conclusión==
La solución fundamental es una herramienta muy importante en la resolución de la ecuación de ondas, que además permite la interpretación del principio de Huygens. La relación entre ambos conceptos es que la propagación de un frente de onda puede ser vista como la superposición de las soluciones fundamentales emitidas desde cada punto del frente de onda anterior, conforme al principio de Huygens.

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]
* [https://www.fisicalab.com/apartado/principio-huygens Principio de Huygens]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T17:37:19Z

Rocío Tajuelo: /* Aplicación de la solución fundamental */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación es <math> c=1 ~~m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar por <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos planteando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar, para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1~~ m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos. Se cumple que cuando la onda llega al extremo, rebota simétricamente, sufriendo un cambio en el signo de la tensión. Además, justo cuando la onda llega a la frontera, se puede observar cómo se anula la solución en todo el intervalo del espacio.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores, la solución es de periodo <math> 2 </math>.
Además, en este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=

En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3 y una aplicación de esta en dimensión 2. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

==Solución fundamental==
En primer lugar, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución fundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Como se puede observar, también tiene una expresión analítica radial y, por ello, es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

Código de la solución fundamental para dimensión 1.

%%% EJERCICIO 2.1 dim1 %%%%

% Intervalos de definición
x0=-1; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
difx=10^-2; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de t

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(XX<=c*TT).*(XX>=-c*TT)./(2*c);

surf(XX,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 1")
xlabel("x")
ylabel("t")

}}

Código para representar la solución fundamental para dimensión 2.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim2 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(RR<=c*TT)./(eps + 2*pi*c.*sqrt(c^2*TT.^2-RR.^2));

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 2 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

Código de la solución fundamental para dimensión 3.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim3 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

c=1; % Velocidad de propagación
k=1000; % Parámetro empleado en la aproximación de la delta de Dirac

% Cálculo de la solución fundamental
K=sqrt(k/pi).*exp(-k*(RR-c*TT).^2)./(4*pi*c*RR);

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 3 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

==Aplicación de la solución fundamental==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=0 </math>.]]

[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=1 </math>.]]

[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

===Programas===

Código para representar la solución:

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.2 %%%%

c=1; % Velocidad de propagación.

% Definimos los intervalos de integración y sus discretizaciones

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
th0=0; thf=2*pi; % Valor inicial y final de theta
T=[0,0.5,1,2]; % Discretización del intervalo de theta
Th=linspace(th0,thf); % Discretización del intervalo de theta
R=linspace(r0,rf,50); % Discretización del intervalo del radio

[TH,RR]=meshgrid(Th,R);

s=size(TH);

U=zeros(s); % Inicializamos los valores de u

XX=RR.*cos(TH);
YY=RR.*sin(TH);

% Solución fundamental en polares preparada para la convolución
K=@(a,l,r,t)(sqrt(r.^2+l.^2-2*r.*l.*cos(a))<c*t)./(0.01*(c^2*t.^2-r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)<10^-16)+2*pi*c*sqrt(abs(c^2*t.^2- r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a))));

% Solución para cada valor de t
for j=1:length(T)
for i=1:length(R)
U(i,:)=integral2(@(a,l)K(a,l,R(i),T(j)), 0,2*pi, 0,1/2)*ones(1,length(Th)); % Evaluamos la integral
j,i
end

figure(j)
surf(XX,YY,U)
shading interp
title("Solución para dim 2")
subtitle("t="+num2str(T(j)))

end
}}

==Conclusión==
La solución fundamental es una herramienta muy importante en la resolución de la ecuación de ondas, que además permite la interpretación del principio de Huygens. La relación entre ambos conceptos es que la propagación de un frente de onda puede ser vista como la superposición de las soluciones fundamentales emitidas desde cada punto del frente de onda anterior, conforme al principio de Huygens.

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]
* [https://www.fisicalab.com/apartado/principio-huygens Principio de Huygens]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T17:34:07Z

Rocío Tajuelo: /* Solución fundamental */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación es <math> c=1 ~~m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar por <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos planteando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar, para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1~~ m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos. Se cumple que cuando la onda llega al extremo, rebota simétricamente, sufriendo un cambio en el signo de la tensión. Además, justo cuando la onda llega a la frontera, se puede observar cómo se anula la solución en todo el intervalo del espacio.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores, la solución es de periodo <math> 2 </math>.
Además, en este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=

En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3 y una aplicación de esta en dimensión 2. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

==Solución fundamental==
En primer lugar, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución fundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Como se puede observar, también tiene una expresión analítica radial y, por ello, es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

Código de la solución fundamental para dimensión 1.

%%% EJERCICIO 2.1 dim1 %%%%

% Intervalos de definición
x0=-1; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
difx=10^-2; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de t

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(XX<=c*TT).*(XX>=-c*TT)./(2*c);

surf(XX,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 1")
xlabel("x")
ylabel("t")

}}

Código para representar la solución fundamental para dimensión 2.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim2 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(RR<=c*TT)./(eps + 2*pi*c.*sqrt(c^2*TT.^2-RR.^2));

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 2 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

Código de la solución fundamental para dimensión 3.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim3 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

c=1; % Velocidad de propagación
k=1000; % Parámetro empleado en la aproximación de la delta de Dirac

% Cálculo de la solución fundamental
K=sqrt(k/pi).*exp(-k*(RR-c*TT).^2)./(4*pi*c*RR);

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 3 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

==Aplicación de la solución fundamental==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=0 </math>.]]
[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=1 </math>.]]
[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

===Programas===

Código para representar la solución:

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.2 %%%%

c=1; % Velocidad de propagación.

% Definimos los intervalos de integración y sus discretizaciones

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
th0=0; thf=2*pi; % Valor inicial y final de theta
T=[0,0.5,1,2]; % Discretización del intervalo de theta
Th=linspace(th0,thf); % Discretización del intervalo de theta
R=linspace(r0,rf,50); % Discretización del intervalo del radio

[TH,RR]=meshgrid(Th,R);

s=size(TH);

U=zeros(s); % Inicializamos los valores de u

XX=RR.*cos(TH);
YY=RR.*sin(TH);

% Solución fundamental en polares preparada para la convolución
K=@(a,l,r,t)(sqrt(r.^2+l.^2-2*r.*l.*cos(a))<c*t)./(0.01*(c^2*t.^2-r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)<10^-16)+2*pi*c*sqrt(abs(c^2*t.^2- r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a))));

% Solución para cada valor de t
for j=1:length(T)
for i=1:length(R)
U(i,:)=integral2(@(a,l)K(a,l,R(i),T(j)), 0,2*pi, 0,1/2)*ones(1,length(Th)); % Evaluamos la integral
j,i
end

figure(j)
surf(XX,YY,U)
shading interp
title("Solución para dim 2")
subtitle("t="+num2str(T(j)))

end
}}

==Conclusión==
La solución fundamental es una herramienta muy importante en la resolución de la ecuación de ondas, que además permite la interpretación del principio de Huygens. La relación entre ambos conceptos es que la propagación de un frente de onda puede ser vista como la superposición de las soluciones fundamentales emitidas desde cada punto del frente de onda anterior, conforme al principio de Huygens.

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]
* [https://www.fisicalab.com/apartado/principio-huygens Principio de Huygens]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T17:29:22Z

Rocío Tajuelo: /* Ecuación de ondas II */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación es <math> c=1 ~~m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar por <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos planteando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar, para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1~~ m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos. Se cumple que cuando la onda llega al extremo, rebota simétricamente, sufriendo un cambio en el signo de la tensión. Además, justo cuando la onda llega a la frontera, se puede observar cómo se anula la solución en todo el intervalo del espacio.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores, la solución es de periodo <math> 2 </math>.
Además, en este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=

En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3 y una aplicación de esta en dimensión 2. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

==Solución fundamental==
En primer lugar, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución fundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Que como se puede observar también tiene una expresión analítica radial y por ello es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

Código de la solución fundamental para dimensión 1.

%%% EJERCICIO 2.1 dim1 %%%%

% Intervalos de definición
x0=-1; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
difx=10^-2; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de t

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(XX<=c*TT).*(XX>=-c*TT)./(2*c);

surf(XX,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 1")
xlabel("x")
ylabel("t")

}}

Código para representar la solución fundamental para dimensión 2.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim2 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(RR<=c*TT)./(eps + 2*pi*c.*sqrt(c^2*TT.^2-RR.^2));

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 2 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

Código de la solución fundamental para dimensión 3.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim3 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

c=1; % Velocidad de propagación
k=1000; % Parámetro empleado en la aproximación de la delta de Dirac

% Cálculo de la solución fundamental
K=sqrt(k/pi).*exp(-k*(RR-c*TT).^2)./(4*pi*c*RR);

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 3 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

==Aplicación de la solución fundamental==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=0 </math>.]]
[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=1 </math>.]]
[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

===Programas===

Código para representar la solución:

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.2 %%%%

c=1; % Velocidad de propagación.

% Definimos los intervalos de integración y sus discretizaciones

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
th0=0; thf=2*pi; % Valor inicial y final de theta
T=[0,0.5,1,2]; % Discretización del intervalo de theta
Th=linspace(th0,thf); % Discretización del intervalo de theta
R=linspace(r0,rf,50); % Discretización del intervalo del radio

[TH,RR]=meshgrid(Th,R);

s=size(TH);

U=zeros(s); % Inicializamos los valores de u

XX=RR.*cos(TH);
YY=RR.*sin(TH);

% Solución fundamental en polares preparada para la convolución
K=@(a,l,r,t)(sqrt(r.^2+l.^2-2*r.*l.*cos(a))<c*t)./(0.01*(c^2*t.^2-r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)<10^-16)+2*pi*c*sqrt(abs(c^2*t.^2- r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a))));

% Solución para cada valor de t
for j=1:length(T)
for i=1:length(R)
U(i,:)=integral2(@(a,l)K(a,l,R(i),T(j)), 0,2*pi, 0,1/2)*ones(1,length(Th)); % Evaluamos la integral
j,i
end

figure(j)
surf(XX,YY,U)
shading interp
title("Solución para dim 2")
subtitle("t="+num2str(T(j)))

end
}}

==Conclusión==

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T17:27:56Z

Rocío Tajuelo: /* Ecuación de ondas II */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación es <math> c=1 ~~m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar por <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos planteando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar, para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1~~ m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos. Se cumple que cuando la onda llega al extremo, rebota simétricamente, sufriendo un cambio en el signo de la tensión. Además, justo cuando la onda llega a la frontera, se puede observar cómo se anula la solución en todo el intervalo del espacio.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores, la solución es de periodo <math> 2 </math>.
Además, en este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=

En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

==Solución fundamental==
En primer lugar, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución fundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Que como se puede observar también tiene una expresión analítica radial y por ello es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

Código de la solución fundamental para dimensión 1.

%%% EJERCICIO 2.1 dim1 %%%%

% Intervalos de definición
x0=-1; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
difx=10^-2; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de t

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(XX<=c*TT).*(XX>=-c*TT)./(2*c);

surf(XX,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 1")
xlabel("x")
ylabel("t")

}}

Código para representar la solución fundamental para dimensión 2.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim2 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(RR<=c*TT)./(eps + 2*pi*c.*sqrt(c^2*TT.^2-RR.^2));

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 2 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

Código de la solución fundamental para dimensión 3.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim3 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

c=1; % Velocidad de propagación
k=1000; % Parámetro empleado en la aproximación de la delta de Dirac

% Cálculo de la solución fundamental
K=sqrt(k/pi).*exp(-k*(RR-c*TT).^2)./(4*pi*c*RR);

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 3 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

==Aplicación de la solución fundamental==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=0 </math>.]]
[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=1 </math>.]]
[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

===Programas===

Código para representar la solución:

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.2 %%%%

c=1; % Velocidad de propagación.

% Definimos los intervalos de integración y sus discretizaciones

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
th0=0; thf=2*pi; % Valor inicial y final de theta
T=[0,0.5,1,2]; % Discretización del intervalo de theta
Th=linspace(th0,thf); % Discretización del intervalo de theta
R=linspace(r0,rf,50); % Discretización del intervalo del radio

[TH,RR]=meshgrid(Th,R);

s=size(TH);

U=zeros(s); % Inicializamos los valores de u

XX=RR.*cos(TH);
YY=RR.*sin(TH);

% Solución fundamental en polares preparada para la convolución
K=@(a,l,r,t)(sqrt(r.^2+l.^2-2*r.*l.*cos(a))<c*t)./(0.01*(c^2*t.^2-r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)<10^-16)+2*pi*c*sqrt(abs(c^2*t.^2- r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a))));

% Solución para cada valor de t
for j=1:length(T)
for i=1:length(R)
U(i,:)=integral2(@(a,l)K(a,l,R(i),T(j)), 0,2*pi, 0,1/2)*ones(1,length(Th)); % Evaluamos la integral
j,i
end

figure(j)
surf(XX,YY,U)
shading interp
title("Solución para dim 2")
subtitle("t="+num2str(T(j)))

end
}}

==Conclusión==

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T17:27:20Z

Rocío Tajuelo: /* Solución fundamental */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación es <math> c=1 ~~m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar por <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos planteando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar, para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1~~ m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos. Se cumple que cuando la onda llega al extremo, rebota simétricamente, sufriendo un cambio en el signo de la tensión. Además, justo cuando la onda llega a la frontera, se puede observar cómo se anula la solución en todo el intervalo del espacio.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores, la solución es de periodo <math> 2 </math>.
Además, en este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
==Solución fundamental==
Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución fundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Que como se puede observar también tiene una expresión analítica radial y por ello es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

Código de la solución fundamental para dimensión 1.

%%% EJERCICIO 2.1 dim1 %%%%

% Intervalos de definición
x0=-1; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
difx=10^-2; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de t

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(XX<=c*TT).*(XX>=-c*TT)./(2*c);

surf(XX,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 1")
xlabel("x")
ylabel("t")

}}

Código para representar la solución fundamental para dimensión 2.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim2 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(RR<=c*TT)./(eps + 2*pi*c.*sqrt(c^2*TT.^2-RR.^2));

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 2 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

Código de la solución fundamental para dimensión 3.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim3 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

c=1; % Velocidad de propagación
k=1000; % Parámetro empleado en la aproximación de la delta de Dirac

% Cálculo de la solución fundamental
K=sqrt(k/pi).*exp(-k*(RR-c*TT).^2)./(4*pi*c*RR);

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 3 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

==Aplicación de la solución fundamental==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=0 </math>.]]
[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=1 </math>.]]
[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

===Programas===

Código para representar la solución:

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.2 %%%%

c=1; % Velocidad de propagación.

% Definimos los intervalos de integración y sus discretizaciones

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
th0=0; thf=2*pi; % Valor inicial y final de theta
T=[0,0.5,1,2]; % Discretización del intervalo de theta
Th=linspace(th0,thf); % Discretización del intervalo de theta
R=linspace(r0,rf,50); % Discretización del intervalo del radio

[TH,RR]=meshgrid(Th,R);

s=size(TH);

U=zeros(s); % Inicializamos los valores de u

XX=RR.*cos(TH);
YY=RR.*sin(TH);

% Solución fundamental en polares preparada para la convolución
K=@(a,l,r,t)(sqrt(r.^2+l.^2-2*r.*l.*cos(a))<c*t)./(0.01*(c^2*t.^2-r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)<10^-16)+2*pi*c*sqrt(abs(c^2*t.^2- r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a))));

% Solución para cada valor de t
for j=1:length(T)
for i=1:length(R)
U(i,:)=integral2(@(a,l)K(a,l,R(i),T(j)), 0,2*pi, 0,1/2)*ones(1,length(Th)); % Evaluamos la integral
j,i
end

figure(j)
surf(XX,YY,U)
shading interp
title("Solución para dim 2")
subtitle("t="+num2str(T(j)))

end
}}

==Conclusión==

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T17:24:30Z

Rocío Tajuelo: /* Solución fundamental */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación es <math> c=1 ~~m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar por <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos planteando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar, para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1~~ m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos. Se cumple que cuando la onda llega al extremo, rebota simétricamente, sufriendo un cambio en el signo de la tensión. Además, justo cuando la onda llega a la frontera, se puede observar cómo se anula la solución en todo el intervalo del espacio.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores, la solución es de periodo <math> 2 </math>.
Además, en este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
==Solución fundamental==
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución dundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Que como se puede observar también tiene una expresión analítica radial y por ello es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

Código de la solución fundamental para dimensión 1.

%%% EJERCICIO 2.1 dim1 %%%%

% Intervalos de definición
x0=-1; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
difx=10^-2; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de t

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(XX<=c*TT).*(XX>=-c*TT)./(2*c);

surf(XX,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 1")
xlabel("x")
ylabel("t")

}}

Código para representar la solución fundamental para dimensión 2.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim2 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(RR<=c*TT)./(eps + 2*pi*c.*sqrt(c^2*TT.^2-RR.^2));

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 2 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

Código de la solución fundamental para dimensión 3.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim3 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

c=1; % Velocidad de propagación
k=1000; % Parámetro empleado en la aproximación de la delta de Dirac

% Cálculo de la solución fundamental
K=sqrt(k/pi).*exp(-k*(RR-c*TT).^2)./(4*pi*c*RR);

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 3 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

==Aplicación de la solución fundamental==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=0 </math>.]]
[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=1 </math>.]]
[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

===Programas===

Código para representar la solución:

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.2 %%%%

c=1; % Velocidad de propagación.

% Definimos los intervalos de integración y sus discretizaciones

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
th0=0; thf=2*pi; % Valor inicial y final de theta
T=[0,0.5,1,2]; % Discretización del intervalo de theta
Th=linspace(th0,thf); % Discretización del intervalo de theta
R=linspace(r0,rf,50); % Discretización del intervalo del radio

[TH,RR]=meshgrid(Th,R);

s=size(TH);

U=zeros(s); % Inicializamos los valores de u

XX=RR.*cos(TH);
YY=RR.*sin(TH);

% Solución fundamental en polares preparada para la convolución
K=@(a,l,r,t)(sqrt(r.^2+l.^2-2*r.*l.*cos(a))<c*t)./(0.01*(c^2*t.^2-r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)<10^-16)+2*pi*c*sqrt(abs(c^2*t.^2- r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a))));

% Solución para cada valor de t
for j=1:length(T)
for i=1:length(R)
U(i,:)=integral2(@(a,l)K(a,l,R(i),T(j)), 0,2*pi, 0,1/2)*ones(1,length(Th)); % Evaluamos la integral
j,i
end

figure(j)
surf(XX,YY,U)
shading interp
title("Solución para dim 2")
subtitle("t="+num2str(T(j)))

end
}}

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T17:22:22Z

Rocío Tajuelo: /* Cambio a condición frontera de tipo Neumann */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación es <math> c=1 ~~m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar por <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos planteando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar, para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1~~ m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos. Se cumple que cuando la onda llega al extremo, rebota simétricamente, sufriendo un cambio en el signo de la tensión. Además, justo cuando la onda llega a la frontera, se puede observar cómo se anula la solución en todo el intervalo del espacio.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores, la solución es de periodo <math> 2 </math>.
Además, en este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
==Solución fundamental==
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución dundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Que como se puede observar también tiene una expresión analítica radial y por ello es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

Código de la solución fundamental para dimensión 1.

%%% EJERCICIO 2.1 dim1 %%%%

% Intervalos de definición
x0=-1; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
difx=10^-2; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de t

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(XX<=c*TT).*(XX>=-c*TT)./(2*c);

surf(XX,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 1")
xlabel("x")
ylabel("t")

}}

Código para representar la solución fundamental para dimensión 2.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim2 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(RR<=c*TT)./(eps + 2*pi*c.*sqrt(c^2*TT.^2-RR.^2));

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 2 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

Código de la solución fundamental para dimensión 3.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim3 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

c=1; % Velocidad de propagación
k=1000; % Parámetro empleado en la aproximación de la delta de Dirac

% Cálculo de la solución fundamental
K=sqrt(k/pi).*exp(-k*(RR-c*TT).^2)./(4*pi*c*RR);

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 3 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

==Apartado 2==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=0 </math>.]]
[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=1 </math>.]]
[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

===Programas===

Código para representar la solución:

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.2 %%%%

c=1; % Velocidad de propagación.

% Definimos los intervalos de integración y sus discretizaciones

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
th0=0; thf=2*pi; % Valor inicial y final de theta
T=[0,0.5,1,2]; % Discretización del intervalo de theta
Th=linspace(th0,thf); % Discretización del intervalo de theta
R=linspace(r0,rf,50); % Discretización del intervalo del radio

[TH,RR]=meshgrid(Th,R);

s=size(TH);

U=zeros(s); % Inicializamos los valores de u

XX=RR.*cos(TH);
YY=RR.*sin(TH);

% Solución fundamental en polares preparada para la convolución
K=@(a,l,r,t)(sqrt(r.^2+l.^2-2*r.*l.*cos(a))<c*t)./(0.01*(c^2*t.^2-r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)<10^-16)+2*pi*c*sqrt(abs(c^2*t.^2- r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a))));

% Solución para cada valor de t
for j=1:length(T)
for i=1:length(R)
U(i,:)=integral2(@(a,l)K(a,l,R(i),T(j)), 0,2*pi, 0,1/2)*ones(1,length(Th)); % Evaluamos la integral
j,i
end

figure(j)
surf(XX,YY,U)
shading interp
title("Solución para dim 2")
subtitle("t="+num2str(T(j)))

end
}}

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T17:20:07Z

Rocío Tajuelo: /* Apartado 1 */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación es <math> c=1 ~~m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar por <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos planteando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar, para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1~~ m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos. Se cumple que cuando la onda llega al extremo, rebota simétricamente, sufriendo un cambio en el signo de la tensión. Además, justo cuando la onda llega a la frontera, se puede observar cómo se anula la solución en todo el intervalo del espacio.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores la solución es de periodo <math> 2 \in </math>.
Además, este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
==Solución fundamental==
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución dundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Que como se puede observar también tiene una expresión analítica radial y por ello es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

Código de la solución fundamental para dimensión 1.

%%% EJERCICIO 2.1 dim1 %%%%

% Intervalos de definición
x0=-1; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
difx=10^-2; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de t

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(XX<=c*TT).*(XX>=-c*TT)./(2*c);

surf(XX,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 1")
xlabel("x")
ylabel("t")

}}

Código para representar la solución fundamental para dimensión 2.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim2 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(RR<=c*TT)./(eps + 2*pi*c.*sqrt(c^2*TT.^2-RR.^2));

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 2 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

Código de la solución fundamental para dimensión 3.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim3 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

c=1; % Velocidad de propagación
k=1000; % Parámetro empleado en la aproximación de la delta de Dirac

% Cálculo de la solución fundamental
K=sqrt(k/pi).*exp(-k*(RR-c*TT).^2)./(4*pi*c*RR);

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 3 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

==Apartado 2==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0 </math>.]]
[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=1 </math>.]]
[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.2 %%%%

c=1;

% Definimos los intervalos de integración y sus discretizaciones

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;
th0=0; thf=2*pi;

T=[0,0.5,1,2]; %Discretización del intervalo de theta
Th=linspace(th0,thf); %Discretización del intervalo de theta
R=linspace(r0,rf,50); %Discretización del intervalo del radio

[TH,RR]=meshgrid(Th,R);

s=size(TH);

U=zeros(s); % Inicializamos los valores de u

XX=RR.*cos(TH);
YY=RR.*sin(TH);

K=@(a,l,r,t)(sqrt(r.^2+l.^2-2*r.*l.*cos(a))<c*t)./(0.01*(c^2*t.^2-r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)<10^-16)+2*pi*c*sqrt(abs(c^2*t.^2- r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)))); % Función integrando
for j=1:length(T)
for i=1:length(R)
U(i,:)=integral2(@(a,l)K(a,l,R(i),T(j)), 0,2*pi, 0,1/2)*ones(1,length(Th)); % Evaluamos la integral
j,i
end

figure(j)
surf(XX,YY,U)
shading interp
title("Solución para dim 2")
subtitle("t="+num2str(T(j)))

end
}}

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T17:14:57Z

Rocío Tajuelo: /* Otra particularización del problema */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación es <math> c=1 ~~m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar por <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos planteando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar, para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1~~ m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos. Se cumple que cuando la onda llega al extremo, rebota simétricamente, sufriendo un cambio en el signo de la tensión. Además, justo cuando la onda llega a la frontera, se puede observar cómo se anula la solución en todo el intervalo del espacio.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores la solución es de periodo <math> 2 \in </math>.
Además, este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
==Apartado 1==
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución dundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Que como se puede observar también tiene una expresión analítica radial y por ello es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

Código de la solución fundamental para dimensión 1.

%%% EJERCICIO 2.1 dim1 %%%%

% Intervalos de definición
x0=-1; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
difx=10^-2; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de t

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(XX<=c*TT).*(XX>=-c*TT)./(2*c);

surf(XX,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 1")
xlabel("x")
ylabel("t")

}}

Código para representar la solución fundamental para dimensión 2.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim2 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Velocidad de propagación
c=1;

% Cálculo de la solución fundamental
K=(RR<=c*TT)./(eps + 2*pi*c.*sqrt(c^2*TT.^2-RR.^2));

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 2 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

Código de la solución fundamental para dimensión 3.

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim3 %%%%

% Intervalos de definición

r0=0; rf=1; % Valor inicial y final de r
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
divr=10^-2;divt=10^-3; % División del intervalo de r y t respectivamente
R=r0:divr:rf; % Discretización del intervalo de r
T=t0:divt:tf; % Discretización del intervalo de t

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

c=1; % Velocidad de propagación
k=1000; % Parámetro empleado en la aproximación de la delta de Dirac

% Cálculo de la solución fundamental
K=sqrt(k/pi).*exp(-k*(RR-c*TT).^2)./(4*pi*c*RR);

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 3 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

==Apartado 2==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0 </math>.]]
[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=1 </math>.]]
[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.2 %%%%

c=1;

% Definimos los intervalos de integración y sus discretizaciones

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;
th0=0; thf=2*pi;

T=[0,0.5,1,2]; %Discretización del intervalo de theta
Th=linspace(th0,thf); %Discretización del intervalo de theta
R=linspace(r0,rf,50); %Discretización del intervalo del radio

[TH,RR]=meshgrid(Th,R);

s=size(TH);

U=zeros(s); % Inicializamos los valores de u

XX=RR.*cos(TH);
YY=RR.*sin(TH);

K=@(a,l,r,t)(sqrt(r.^2+l.^2-2*r.*l.*cos(a))<c*t)./(0.01*(c^2*t.^2-r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)<10^-16)+2*pi*c*sqrt(abs(c^2*t.^2- r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)))); % Función integrando
for j=1:length(T)
for i=1:length(R)
U(i,:)=integral2(@(a,l)K(a,l,R(i),T(j)), 0,2*pi, 0,1/2)*ones(1,length(Th)); % Evaluamos la integral
j,i
end

figure(j)
surf(XX,YY,U)
shading interp
title("Solución para dim 2")
subtitle("t="+num2str(T(j)))

end
}}

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T17:11:34Z

Rocío Tajuelo: /* Otra particularización del problema */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación es <math> c=1 ~~m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar por <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos planteando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar, para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1~~ m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos y se cumple que, cuando la onda llega al extremo rebota simétricamente, sufriendo un cambio en el signo de la tensión. Además justo cuando la onda llega a la frontera, se puede observar como se anula la solución en todo el intervalo de espacio.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores la solución es de periodo <math> 2 \in </math>.
Además, este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
==Apartado 1==
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución dundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Que como se puede observar también tiene una expresión analítica radial y por ello es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim1 %%%%

% Intervalos de definición
x0=-1; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
difx=10^-2; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Velocidad de propagación.
c=1;

K=(XX<=c*TT).*(XX>=-c*TT)./(2*c);

surf(XX,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 1")
xlabel("x")
ylabel("t")

}}

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim2 %%%%

% Intervalos

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;

divr=10^-2;divt=10^-3;

R=r0:divr:rf;
T=t0:divt:tf;

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Otros valores
c=1;

K=(RR<=c*TT)./(eps + 2*pi*c.*sqrt(c^2*TT.^2-RR.^2));

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 2 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim3 %%%%

% Intervalos

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;

divr=10^-2;divt=10^-3;

R=r0:divr:rf;
T=t0:divt:tf;

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Otros valores
c=1;
k=1000;

K=sqrt(k/pi).*exp(-k*(RR-c*TT).^2)./(4*pi*c*RR);

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 3 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

==Apartado 2==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0 </math>.]]
[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=1 </math>.]]
[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.2 %%%%

c=1;

% Definimos los intervalos de integración y sus discretizaciones

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;
th0=0; thf=2*pi;

T=[0,0.5,1,2]; %Discretización del intervalo de theta
Th=linspace(th0,thf); %Discretización del intervalo de theta
R=linspace(r0,rf,50); %Discretización del intervalo del radio

[TH,RR]=meshgrid(Th,R);

s=size(TH);

U=zeros(s); % Inicializamos los valores de u

XX=RR.*cos(TH);
YY=RR.*sin(TH);

K=@(a,l,r,t)(sqrt(r.^2+l.^2-2*r.*l.*cos(a))<c*t)./(0.01*(c^2*t.^2-r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)<10^-16)+2*pi*c*sqrt(abs(c^2*t.^2- r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)))); % Función integrando
for j=1:length(T)
for i=1:length(R)
U(i,:)=integral2(@(a,l)K(a,l,R(i),T(j)), 0,2*pi, 0,1/2)*ones(1,length(Th)); % Evaluamos la integral
j,i
end

figure(j)
surf(XX,YY,U)
shading interp
title("Solución para dim 2")
subtitle("t="+num2str(T(j)))

end
}}

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T17:09:58Z

Rocío Tajuelo: /* Otra particularización del problema */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación es <math> c=1 ~~m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar por <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos planteando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar, para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Se observa que en la frontera…

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1~~ m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos y se cumple que, cuando la onda llega al extremo rebota simétricamente, sufriendo un cambio en el signo de la tensión. Además justo cuando la onda llega a la frontera, se puede observar como se anula la solución en todo el intervalo de espacio.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores la solución es de periodo <math> 2 \in </math>.
Además, este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
==Apartado 1==
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución dundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Que como se puede observar también tiene una expresión analítica radial y por ello es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim1 %%%%

% Intervalos de definición
x0=-1; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
difx=10^-2; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Velocidad de propagación.
c=1;

K=(XX<=c*TT).*(XX>=-c*TT)./(2*c);

surf(XX,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 1")
xlabel("x")
ylabel("t")

}}

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim2 %%%%

% Intervalos

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;

divr=10^-2;divt=10^-3;

R=r0:divr:rf;
T=t0:divt:tf;

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Otros valores
c=1;

K=(RR<=c*TT)./(eps + 2*pi*c.*sqrt(c^2*TT.^2-RR.^2));

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 2 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim3 %%%%

% Intervalos

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;

divr=10^-2;divt=10^-3;

R=r0:divr:rf;
T=t0:divt:tf;

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Otros valores
c=1;
k=1000;

K=sqrt(k/pi).*exp(-k*(RR-c*TT).^2)./(4*pi*c*RR);

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 3 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

==Apartado 2==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0 </math>.]]
[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=1 </math>.]]
[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.2 %%%%

c=1;

% Definimos los intervalos de integración y sus discretizaciones

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;
th0=0; thf=2*pi;

T=[0,0.5,1,2]; %Discretización del intervalo de theta
Th=linspace(th0,thf); %Discretización del intervalo de theta
R=linspace(r0,rf,50); %Discretización del intervalo del radio

[TH,RR]=meshgrid(Th,R);

s=size(TH);

U=zeros(s); % Inicializamos los valores de u

XX=RR.*cos(TH);
YY=RR.*sin(TH);

K=@(a,l,r,t)(sqrt(r.^2+l.^2-2*r.*l.*cos(a))<c*t)./(0.01*(c^2*t.^2-r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)<10^-16)+2*pi*c*sqrt(abs(c^2*t.^2- r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)))); % Función integrando
for j=1:length(T)
for i=1:length(R)
U(i,:)=integral2(@(a,l)K(a,l,R(i),T(j)), 0,2*pi, 0,1/2)*ones(1,length(Th)); % Evaluamos la integral
j,i
end

figure(j)
surf(XX,YY,U)
shading interp
title("Solución para dim 2")
subtitle("t="+num2str(T(j)))

end
}}

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T17:02:53Z

Rocío Tajuelo: /* Particularización del problema */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación es <math> c=1 ~~m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar por <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos planteando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar, para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Se observa que en la frontera…

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos y se cumple que, cuando la onda llega al extremo rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores la solución es de periodo <math> 2 \in </math>.
Además, este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
==Apartado 1==
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución dundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Que como se puede observar también tiene una expresión analítica radial y por ello es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim1 %%%%

% Intervalos de definición
x0=-1; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
difx=10^-2; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Velocidad de propagación.
c=1;

K=(XX<=c*TT).*(XX>=-c*TT)./(2*c);

surf(XX,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 1")
xlabel("x")
ylabel("t")

}}

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim2 %%%%

% Intervalos

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;

divr=10^-2;divt=10^-3;

R=r0:divr:rf;
T=t0:divt:tf;

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Otros valores
c=1;

K=(RR<=c*TT)./(eps + 2*pi*c.*sqrt(c^2*TT.^2-RR.^2));

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 2 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim3 %%%%

% Intervalos

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;

divr=10^-2;divt=10^-3;

R=r0:divr:rf;
T=t0:divt:tf;

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Otros valores
c=1;
k=1000;

K=sqrt(k/pi).*exp(-k*(RR-c*TT).^2)./(4*pi*c*RR);

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 3 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

==Apartado 2==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0 </math>.]]
[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=1 </math>.]]
[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.2 %%%%

c=1;

% Definimos los intervalos de integración y sus discretizaciones

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;
th0=0; thf=2*pi;

T=[0,0.5,1,2]; %Discretización del intervalo de theta
Th=linspace(th0,thf); %Discretización del intervalo de theta
R=linspace(r0,rf,50); %Discretización del intervalo del radio

[TH,RR]=meshgrid(Th,R);

s=size(TH);

U=zeros(s); % Inicializamos los valores de u

XX=RR.*cos(TH);
YY=RR.*sin(TH);

K=@(a,l,r,t)(sqrt(r.^2+l.^2-2*r.*l.*cos(a))<c*t)./(0.01*(c^2*t.^2-r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)<10^-16)+2*pi*c*sqrt(abs(c^2*t.^2- r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)))); % Función integrando
for j=1:length(T)
for i=1:length(R)
U(i,:)=integral2(@(a,l)K(a,l,R(i),T(j)), 0,2*pi, 0,1/2)*ones(1,length(Th)); % Evaluamos la integral
j,i
end

figure(j)
surf(XX,YY,U)
shading interp
title("Solución para dim 2")
subtitle("t="+num2str(T(j)))

end
}}

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T17:02:02Z

Rocío Tajuelo: /* Particularización del problema */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación es <math> c=1 ~~m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar por <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos planteando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar, para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Se observa que en la frontera…

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos y se cumple que, cuando la onda llega al extremo rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores la solución es de periodo <math> 2 \in </math>.
Además, este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
==Apartado 1==
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución dundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Que como se puede observar también tiene una expresión analítica radial y por ello es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim1 %%%%

% Intervalos de definición
x0=-1; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
difx=10^-2; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Velocidad de propagación.
c=1;

K=(XX<=c*TT).*(XX>=-c*TT)./(2*c);

surf(XX,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 1")
xlabel("x")
ylabel("t")

}}

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim2 %%%%

% Intervalos

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;

divr=10^-2;divt=10^-3;

R=r0:divr:rf;
T=t0:divt:tf;

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Otros valores
c=1;

K=(RR<=c*TT)./(eps + 2*pi*c.*sqrt(c^2*TT.^2-RR.^2));

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 2 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim3 %%%%

% Intervalos

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;

divr=10^-2;divt=10^-3;

R=r0:divr:rf;
T=t0:divt:tf;

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Otros valores
c=1;
k=1000;

K=sqrt(k/pi).*exp(-k*(RR-c*TT).^2)./(4*pi*c*RR);

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 3 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

==Apartado 2==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0 </math>.]]
[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=1 </math>.]]
[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.2 %%%%

c=1;

% Definimos los intervalos de integración y sus discretizaciones

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;
th0=0; thf=2*pi;

T=[0,0.5,1,2]; %Discretización del intervalo de theta
Th=linspace(th0,thf); %Discretización del intervalo de theta
R=linspace(r0,rf,50); %Discretización del intervalo del radio

[TH,RR]=meshgrid(Th,R);

s=size(TH);

U=zeros(s); % Inicializamos los valores de u

XX=RR.*cos(TH);
YY=RR.*sin(TH);

K=@(a,l,r,t)(sqrt(r.^2+l.^2-2*r.*l.*cos(a))<c*t)./(0.01*(c^2*t.^2-r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)<10^-16)+2*pi*c*sqrt(abs(c^2*t.^2- r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)))); % Función integrando
for j=1:length(T)
for i=1:length(R)
U(i,:)=integral2(@(a,l)K(a,l,R(i),T(j)), 0,2*pi, 0,1/2)*ones(1,length(Th)); % Evaluamos la integral
j,i
end

figure(j)
surf(XX,YY,U)
shading interp
title("Solución para dim 2")
subtitle("t="+num2str(T(j)))

end
}}

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T16:57:47Z

Rocío Tajuelo: /* Planteamiento del problema */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación es <math> c=1 ~~m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar por <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos planteando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar que para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Se observa que en la frontera…

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos y se cumple que, cuando la onda llega al extremo rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores la solución es de periodo <math> 2 \in </math>.
Además, este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
==Apartado 1==
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución dundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Que como se puede observar también tiene una expresión analítica radial y por ello es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim1 %%%%

% Intervalos de definición
x0=-1; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=1; % Valor inicial y final de t
difx=10^-2; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Velocidad de propagación.
c=1;

K=(XX<=c*TT).*(XX>=-c*TT)./(2*c);

surf(XX,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 1")
xlabel("x")
ylabel("t")

}}

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim2 %%%%

% Intervalos

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;

divr=10^-2;divt=10^-3;

R=r0:divr:rf;
T=t0:divt:tf;

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Otros valores
c=1;

K=(RR<=c*TT)./(eps + 2*pi*c.*sqrt(c^2*TT.^2-RR.^2));

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 2 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim3 %%%%

% Intervalos

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;

divr=10^-2;divt=10^-3;

R=r0:divr:rf;
T=t0:divt:tf;

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Otros valores
c=1;
k=1000;

K=sqrt(k/pi).*exp(-k*(RR-c*TT).^2)./(4*pi*c*RR);

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 3 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

==Apartado 2==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0 </math>.]]
[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=1 </math>.]]
[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.2 %%%%

c=1;

% Definimos los intervalos de integración y sus discretizaciones

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;
th0=0; thf=2*pi;

T=[0,0.5,1,2]; %Discretización del intervalo de theta
Th=linspace(th0,thf); %Discretización del intervalo de theta
R=linspace(r0,rf,50); %Discretización del intervalo del radio

[TH,RR]=meshgrid(Th,R);

s=size(TH);

U=zeros(s); % Inicializamos los valores de u

XX=RR.*cos(TH);
YY=RR.*sin(TH);

K=@(a,l,r,t)(sqrt(r.^2+l.^2-2*r.*l.*cos(a))<c*t)./(0.01*(c^2*t.^2-r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)<10^-16)+2*pi*c*sqrt(abs(c^2*t.^2- r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)))); % Función integrando
for j=1:length(T)
for i=1:length(R)
U(i,:)=integral2(@(a,l)K(a,l,R(i),T(j)), 0,2*pi, 0,1/2)*ones(1,length(Th)); % Evaluamos la integral
j,i
end

figure(j)
surf(XX,YY,U)
shading interp
title("Solución para dim 2")
subtitle("t="+num2str(T(j)))

end
}}

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T16:56:14Z

Rocío Tajuelo: /* Ecuación de ondas I */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación es <math> c=1 ~~m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar por <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos plantando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar que para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Se observa que en la frontera…

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos y se cumple que, cuando la onda llega al extremo rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores la solución es de periodo <math> 2 \in </math>.
Además, este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
==Apartado 1==
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución dundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Que como se puede observar también tiene una expresión analítica radial y por ello es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim1 %%%%

% Intervalos

x0=-1; xf=1;
t0=0; tf=1;

divx=10^-2;divt=10^-3;

X=x0:divx:xf;
T=t0:divt:tf;

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Otros valores
c=1;

K=(XX<=c*TT).*(XX>=-c*TT)./(2*c);

surf(XX,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 1")
xlabel("x")
ylabel("t")

}}

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim2 %%%%

% Intervalos

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;

divr=10^-2;divt=10^-3;

R=r0:divr:rf;
T=t0:divt:tf;

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Otros valores
c=1;

K=(RR<=c*TT)./(eps + 2*pi*c.*sqrt(c^2*TT.^2-RR.^2));

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 2 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim3 %%%%

% Intervalos

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;

divr=10^-2;divt=10^-3;

R=r0:divr:rf;
T=t0:divt:tf;

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Otros valores
c=1;
k=1000;

K=sqrt(k/pi).*exp(-k*(RR-c*TT).^2)./(4*pi*c*RR);

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 3 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

==Apartado 2==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0 </math>.]]
[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=1 </math>.]]
[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.2 %%%%

c=1;

% Definimos los intervalos de integración y sus discretizaciones

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;
th0=0; thf=2*pi;

T=[0,0.5,1,2]; %Discretización del intervalo de theta
Th=linspace(th0,thf); %Discretización del intervalo de theta
R=linspace(r0,rf,50); %Discretización del intervalo del radio

[TH,RR]=meshgrid(Th,R);

s=size(TH);

U=zeros(s); % Inicializamos los valores de u

XX=RR.*cos(TH);
YY=RR.*sin(TH);

K=@(a,l,r,t)(sqrt(r.^2+l.^2-2*r.*l.*cos(a))<c*t)./(0.01*(c^2*t.^2-r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)<10^-16)+2*pi*c*sqrt(abs(c^2*t.^2- r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)))); % Función integrando
for j=1:length(T)
for i=1:length(R)
U(i,:)=integral2(@(a,l)K(a,l,R(i),T(j)), 0,2*pi, 0,1/2)*ones(1,length(Th)); % Evaluamos la integral
j,i
end

figure(j)
surf(XX,YY,U)
shading interp
title("Solución para dim 2")
subtitle("t="+num2str(T(j)))

end
}}

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T16:55:38Z

Rocío Tajuelo: /* Ecuación de ondas I */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación es <math> c=1 ~~m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos plantando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar que para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Se observa que en la frontera…

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos y se cumple que, cuando la onda llega al extremo rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores la solución es de periodo <math> 2 \in </math>.
Además, este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
==Apartado 1==
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución dundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Que como se puede observar también tiene una expresión analítica radial y por ello es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim1 %%%%

% Intervalos

x0=-1; xf=1;
t0=0; tf=1;

divx=10^-2;divt=10^-3;

X=x0:divx:xf;
T=t0:divt:tf;

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Otros valores
c=1;

K=(XX<=c*TT).*(XX>=-c*TT)./(2*c);

surf(XX,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 1")
xlabel("x")
ylabel("t")

}}

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim2 %%%%

% Intervalos

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;

divr=10^-2;divt=10^-3;

R=r0:divr:rf;
T=t0:divt:tf;

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Otros valores
c=1;

K=(RR<=c*TT)./(eps + 2*pi*c.*sqrt(c^2*TT.^2-RR.^2));

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 2 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim3 %%%%

% Intervalos

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;

divr=10^-2;divt=10^-3;

R=r0:divr:rf;
T=t0:divt:tf;

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Otros valores
c=1;
k=1000;

K=sqrt(k/pi).*exp(-k*(RR-c*TT).^2)./(4*pi*c*RR);

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 3 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

==Apartado 2==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0 </math>.]]
[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=1 </math>.]]
[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.2 %%%%

c=1;

% Definimos los intervalos de integración y sus discretizaciones

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;
th0=0; thf=2*pi;

T=[0,0.5,1,2]; %Discretización del intervalo de theta
Th=linspace(th0,thf); %Discretización del intervalo de theta
R=linspace(r0,rf,50); %Discretización del intervalo del radio

[TH,RR]=meshgrid(Th,R);

s=size(TH);

U=zeros(s); % Inicializamos los valores de u

XX=RR.*cos(TH);
YY=RR.*sin(TH);

K=@(a,l,r,t)(sqrt(r.^2+l.^2-2*r.*l.*cos(a))<c*t)./(0.01*(c^2*t.^2-r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)<10^-16)+2*pi*c*sqrt(abs(c^2*t.^2- r.^2- l.^2 + 2.*r.*l.*cos(a)))); % Función integrando
for j=1:length(T)
for i=1:length(R)
U(i,:)=integral2(@(a,l)K(a,l,R(i),T(j)), 0,2*pi, 0,1/2)*ones(1,length(Th)); % Evaluamos la integral
j,i
end

figure(j)
surf(XX,YY,U)
shading interp
title("Solución para dim 2")
subtitle("t="+num2str(T(j)))

end
}}

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T16:55:04Z

Rocío Tajuelo: /* Ecuación de ondas I */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación es <math> c=1 m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos plantando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar que para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Se observa que en la frontera…

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos y se cumple que, cuando la onda llega al extremo rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores la solución es de periodo <math> 2 \in </math>.
Además, este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
==Apartado 1==
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución dundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Que como se puede observar también tiene una expresión analítica radial y por ello es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

===Programas===
{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim1 %%%%

% Intervalos

x0=-1; xf=1;
t0=0; tf=1;

divx=10^-2;divt=10^-3;

X=x0:divx:xf;
T=t0:divt:tf;

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Otros valores
c=1;

K=(XX<=c*TT).*(XX>=-c*TT)./(2*c);

surf(XX,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 1")
xlabel("x")
ylabel("t")

}}

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim2 %%%%

% Intervalos

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;

divr=10^-2;divt=10^-3;

R=r0:divr:rf;
T=t0:divt:tf;

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Otros valores
c=1;

K=(RR<=c*TT)./(eps + 2*pi*c.*sqrt(c^2*TT.^2-RR.^2));

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 2 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

{{matlab|codigo=
clear all
close all

%%% EJERCICIO 2.1 dim3 %%%%

% Intervalos

r0=0; rf=1;
t0=0; tf=1;

divr=10^-2;divt=10^-3;

R=r0:divr:rf;
T=t0:divt:tf;

[RR,TT]=meshgrid(R,T);

% Otros valores
c=1;
k=1000;

K=sqrt(k/pi).*exp(-k*(RR-c*TT).^2)./(4*pi*c*RR);

surf(RR,TT,K)
shading interp
title("Solución fundamental dim 3 en función del radio")
xlabel("r")
ylabel("t")

}}

==Apartado 2==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0 </math>.]]
[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=1 </math>.]]
[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T16:51:26Z

Rocío Tajuelo: /* Apartado 2 */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación <math> c=1 m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos plantando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar que para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Se observa que en la frontera…

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos y se cumple que, cuando la onda llega al extremo rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores la solución es de periodo <math> 2 \in </math>.
Además, este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
==Apartado 1==
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución dundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Que como se puede observar también tiene una expresión analítica radial y por ello es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

==Apartado 2==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0 </math>.]]

[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=1 </math>.]]

[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T16:50:49Z

Rocío Tajuelo: /* Apartado 2 */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación <math> c=1 m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos plantando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar que para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Se observa que en la frontera…

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos y se cumple que, cuando la onda llega al extremo rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k cos(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k cos (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 cos (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 cos^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que, al igual que para el problema con condiciones Dirichlet, en este caso la solución también es periódica de periodo dos.

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: Ejercicio1apartado5.png|400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores la solución es de periodo <math> 2 \in </math>.
Además, este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
==Apartado 1==
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución dundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Que como se puede observar también tiene una expresión analítica radial y por ello es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

==Apartado 2==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0 </math>.]][[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=1 </math>.]]

[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio. Pero esto también se obtiene de que la solución es la convolución de dos funciones radiales, y por ello se obtiene un resultado radial.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T16:31:32Z

Rocío Tajuelo: /* Cambio a condición frontera de tipo Neumann */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación <math> c=1 m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos plantando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar que para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Se observa que en la frontera…

Además, se tiene que el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>. Para poder apreciar esto, veamos la gráfica anterior desde otra perspectiva:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4lateral.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Observamos que el tiempo que tarda en llegar la onda de un extremo a otro es una unidad de tiempo. Como además estamos considerando que la cuerda mide una unidad de espacio, la velocidad de propagación es uno.

Además, al igual que en los casos anteriores, vamos a representar un vídeo de cómo varía la solución en función del tiempo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math> .]]

La solución es periódica de periodo dos y se cumple que, cuando la onda llega al extremo rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>. Entonces, tenemos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

En este caso, aplicando separación de variables obtenemos que la solución es:

La gráfica de la solución en este caso es:

[[Archivo: |400px|thumb|center| Representación de las cotas superior e inferior para dimensión 3 que determinan la región donde se encuentran las funciones armónicas a medida que aumenta el radio <math> R </math> entre <math> 1 </math> y <math> 20 </math>, considerando <math> r \in [0,1) </math>.]]

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in [0,4]</math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores la solución es de periodo <math> 2 \in </math>.
Además, este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
==Apartado 1==
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac.
La expresión de la solución dundamental es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) =\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[-ct,ct]}(x)=\frac{1}{2c}\textbf{1}_{[0,ct]}(|x|), </math></center>

Que se puede observar que tiene una expresión analítica radial, luego la solución fundamental para dimensión 1 es radial.

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \textbf{1}_{[0,ct]}(|x|),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>. Que como se puede observar también tiene una expresión analítica radial y por ello es una solución radial.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Que ya de por sí tiene también una expresión analítica radial.

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

==Apartado 2==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0 </math>.]]

[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=1 </math>.]]

[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=2 </math>.]]

A continuación, se deja un vídeo de la solución a lo largo del tiempo.

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

Se puede observar como, al contrario que en las primeras secciones, esta solución no es periódica, esto se debe exclusivamente al dominio, ya que al ser infinito, no se produce un 'rebote' de la onda, y por ello no vuelve al punto de partida.

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T15:56:18Z

Rocío Tajuelo: /* Apartado 2 */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, interpretaremos los resultados obtenidos. También vamos a estudiar la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones, gracias a la cual podremos interpretar el principio de Huygens.

Además, es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

'''Principio de Huygens''': El principio de Huygens es un concepto fundamental en la óptica y la física de ondas, formulado por el físico holandés Christiaan Huygens en 1678. Este principio establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente secundaria de ondas esféricas, y que el frente de onda en un momento posterior se puede considerar como la envolvente de todas estas ondas secundarias.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación <math> c=1 m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos plantando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
siendo

<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

Nótese que al considerar t como un múltiplo de dos, por la estructura de la solución, se obtiene de nuevo la condición inicial. Es decir, la solución es periódica con periodo dos. Este resultado lo analizaremos con más detalle en los siguientes apartados.

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar que para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos, como ya habíamos deducido en el apartado anterior.

Además, cuando la onda llega a cada uno de los extremos, como estos se mantienen fijos por hipótesis, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Como podemos observar, el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>.

Además vemos que en la frontera…

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando t∈[0,4].]]

AL igual que ocurría en el caso anterior, la solución es periódica de periodo dos y se cumple que, cuando la onda llega al extremo rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>

La gráfica de la solución en este caso es:

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in </math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores la solución es de periodo <math> 2 \in </math>.
Además, este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
==Apartado 1==
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac, que formalmente se define como el siguiente límite:
<center><math> \delta (x) = \lim \limits_{r \rightarrow 0} \frac{1}{|B(0,r)|} \chi_{B(0,r)}(x) \sim \left \{ \begin{array}{ll}
\infty \quad x=0, \\
0 \quad x\neq 0,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>\chi_{B(0,r)}(x) </math> es la función característica de la bola centrada en 0 de radio <math> r </math> y <math>|B(0,r)|</math> es el volumen de la bola.
La expresión de esta es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) = \frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)], </math></center>

Donde <math>H(s)</math> es la función de Heaviside,

<center><math> H(s) = \left \{ \begin{array}{ll}
0, \quad x<0 \\
1, \quad x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

==Apartado 2==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(0,\frac{1}{2})}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0 </math>.]]

[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=1 </math>.]]

[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=2 </math>.]]

[[Archivo:Vídeo-Ej-2.2.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> con <math> r \in [0,2] </math> y <math> t \in [0,4] </math>.]]

La solución de esta ecuación es radial, no depende del ángulo, esto se debe a que las condiciones del problema se pueden poner en función del radio de la siguiente forma:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2(\frac{1}{r}u_r+u_{rr})=0, \quad r \geq 0, t>0, \\
u(r,0)=0, \\
u_t(r,0)=h (r) = \textbf{1}_{[0,\frac{1}{2}]}(r), \quad x \in \mathbb{R}^2
\end{array} \right.
</math></center>

Por tanto la solución no depende del radio.
Además los programas se han hecho conociendo que la solución es radial, ya que reduce gran parte de la complejidad del código permitiendo que tarde menos.

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T15:34:36Z

Rocío Tajuelo: /* Apartado 2 */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, así como la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones.
Además, esto nos será de utilidad para interpretar el principio de Huygens.

Es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación <math> c=1 m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos plantando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
con
<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>
y
<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar que para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Como podemos observar, el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>.

Además vemos que en la frontera…

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando t∈[0,4].]]

En este caso, cuando la onda llega al extremo, como este se mantiene fijo, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>

La gráfica de la solución en este caso es:

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in </math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores la solución es de periodo <math> 2 \in </math>.
Además, este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac, que formalmente se define como el siguiente límite:
<center><math> \delta (x) = \lim \limits_{r \rightarrow 0} \frac{1}{|B(0,r)|} \chi_{B(0,r)}(x) \sim \left \{ \begin{array}{ll}
\infty \quad x=0, \\
0 \quad x\neq 0,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>\chi_{B(0,r)}(x) </math> es la función característica de la bola centrada en 0 de radio <math> r </math> y <math>|B(0,r)|</math> es el volumen de la bola.
La expresión de esta es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) = \frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)], </math></center>

Donde <math>H(s)</math> es la función de Heaviside,

<center><math> H(s) = \left \{ \begin{array}{ll}
0, \quad x<0 \\
1, \quad x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

==Apartado 2==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(o,1/2}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2,
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund0ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0 </math>.]]

[[Archivo:Solfund0.5ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund1ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=1 </math>.]]

[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=2 </math>.]]

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T15:33:43Z

Rocío Tajuelo: /* Ecuación de ondas II */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, así como la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones.
Además, esto nos será de utilidad para interpretar el principio de Huygens.

Es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación <math> c=1 m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos plantando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
con
<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>
y
<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando 1000 términos de la serie.]]

Como podemos observar que para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

[[Archivo: Vídeo-Ej-1.3.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución en función del tiempo considerando <math> t \in [0,4] </math>.]]

Como podemos observar, al considerar la solución al variar el tiempo entre <math>0</math> y <math>4</math>, partiendo de una posición, la onda vuelve a esa misma posición dos veces, es decir, su periodo es dos.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución de la ecuación de ondas con datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math>c=1</math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando <math>1000</math> términos de la serie.]]

Como podemos observar, el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>.

Además vemos que en la frontera…

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.4.gif|400px|thumb|center|Representación de la solución en función del tiempo considerando t∈[0,4].]]

En este caso, cuando la onda llega al extremo, como este se mantiene fijo, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>

La gráfica de la solución en este caso es:

Para poder apreciar mejor el comportamiento de la onda, hemos realizado el siguiente vídeo:

[[Archivo:Vídeo-Ej-1.5.gif|400px|thumb|center| Representación de la solución para <math> t \in </math>.]]

Como podemos observar, al igual que en los casos anteriores la solución es de periodo <math> 2 \in </math>.
Además, este caso, como los extremos no están fijos, cuando la onda llega a uno de los extremos, este varía. La razón de esto es que se debe cumplir que <math> u_x=0 </math>.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac, que formalmente se define como el siguiente límite:
<center><math> \delta (x) = \lim \limits_{r \rightarrow 0} \frac{1}{|B(0,r)|} \chi_{B(0,r)}(x) \sim \left \{ \begin{array}{ll}
\infty \quad x=0, \\
0 \quad x\neq 0,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>\chi_{B(0,r)}(x) </math> es la función característica de la bola centrada en 0 de radio <math> r </math> y <math>|B(0,r)|</math> es el volumen de la bola.
La expresión de esta es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) = \frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)], </math></center>

Donde <math>H(s)</math> es la función de Heaviside,

<center><math> H(s) = \left \{ \begin{array}{ll}
0, \quad x<0 \\
1, \quad x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0.01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

==Apartado 2==

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(o,1/2}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2,
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

A continuación se muestra la solución obtenida para los tiempos <math> t=0,0.5,1,2 </math>:

[[Archivo:Solfund2ej.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0 </math>.]]

[[Archivo:Solfund2ej0.5.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=0.5 </math>.]]

[[Archivo:Solfund2ej1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=1 </math>.]]

[[Archivo:Solfund2ej2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math> para <math> t=2 </math>.]]

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Archivo:Solfund2ej2.png

2024-05-24T15:18:38Z

Rocío Tajuelo:

Archivo:Solfund1ej2.png

2024-05-24T15:18:17Z

Rocío Tajuelo:

Archivo:Solfund0.5ej2.png

2024-05-24T15:17:37Z

Rocío Tajuelo:

Archivo:Solfund0ej2.png

2024-05-24T15:17:12Z

Rocío Tajuelo:

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T15:09:42Z

Rocío Tajuelo: /* Ecuación de ondas II */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, así como la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones.
Además, esto nos será de utilidad para interpretar el principio de Huygens.

Es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación <math> c=1 m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos plantando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
con
<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>
y
<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

Como podemos observar que para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

Como podemos observar, el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>.

Además vemos que en la frontera…

En este caso, cuando la onda llega al extremo, como este se mantiene fijo, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.
Para poder apreciar esto mejor,

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>

En este caso, como los extremos no están fijos, cuando lla onda llega a uno de los extremos, este varía, pues debe mantenerse que ux=0.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac, que formalmente se define como el siguiente límite:
<center><math> \delta (x) = \lim \limits_{r \rightarrow 0} \frac{1}{|B(0,r)|} \chi_{B(0,r)}(x) \sim \left \{ \begin{array}{ll}
\infty \quad x=0, \\
0 \quad x\neq 0,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>\chi_{B(0,r)}(x) </math> es la función característica de la bola centrada en 0 de radio <math> r </math> y <math>|B(0,r)|</math> es el volumen de la bola.
La expresión de esta es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) = \frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)], </math></center>

Donde <math>H(s)</math> es la función de Heaviside,

<center><math> H(s) = \left \{ \begin{array}{ll}
0, \quad x<0 \\
1, \quad x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0,01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

Ahora vamos a considerar el siguiente problema en dimensión 2:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^2, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=h (x) = \chi _{B(o,1/2}(x), \quad x \in \mathbb{R}^2,
\end{array} \right.

</math></center>

cuya solución viene dada por la convolución

<center><math> u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^2}K_2 (x-y, t)h(y) dy </math>. </center>

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T15:03:53Z

Rocío Tajuelo: /* Ecuación de ondas II */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, así como la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones.
Además, esto nos será de utilidad para interpretar el principio de Huygens.

Es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación <math> c=1 m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos plantando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
con
<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>
y
<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|600px|thumb|center| Gráfica de la solución para <math> x \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando como datos iniciales <math> u_0(x) = e^{ −100(x−\frac{1}{2})^2} </math> y <math> u_1(x) = 0</math>.]

Como podemos observar que para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:
[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

Como podemos observar, el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>.

Además vemos que en la frontera…
En este caso, cuando la onda llega al extremo, como este se mantiene fijo, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>

En este caso, como los extremos no están fijos, cuando lla onda llega a uno de los extremos, este varía, pues debe mantenerse que ux=0.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac, que formalmente se define como el siguiente límite:
<center><math> \delta (x) = \lim \limits_{r \rightarrow 0} \frac{1}{|B(0,r)|} \chi_{B(0,r)}(x) \sim \left \{ \begin{array}{ll}
\infty \quad x=0, \\
0 \quad x\neq 0,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>\chi_{B(0,r)}(x) </math> es la función característica de la bola centrada en 0 de radio <math> r </math> y <math>|B(0,r)|</math> es el volumen de la bola.
La expresión de esta es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) = \frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)], </math></center>

Donde <math>H(s)</math> es la función de Heaviside,

<center><math> H(s) = \left \{ \begin{array}{ll}
0, \quad x<0 \\
1, \quad x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0,01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T15:01:56Z

Rocío Tajuelo: /* Ecuación de ondas II */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, así como la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones.
Además, esto nos será de utilidad para interpretar el principio de Huygens.

Es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación <math> c=1 m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos plantando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
con
<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>
y
<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|600px|thumb|center| Gráfica de la solución para <math> x \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando como datos iniciales <math> u_0(x) = e^{ −100(x−\frac{1}{2})^2} </math> y <math> u_1(x) = 0</math>.]

Como podemos observar que para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

Como podemos observar, el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>.

Además vemos que en la frontera…
En este caso, cuando la onda llega al extremo, como este se mantiene fijo, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>

En este caso, como los extremos no están fijos, cuando lla onda llega a uno de los extremos, este varía, pues debe mantenerse que ux=0.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac, que formalmente se define como el siguiente límite:
<center><math> \delta (x) = \lim \limits_{r \rightarrow 0} \frac{1}{|B(0,r)|} \chi_{B(0,r)}(x) \sim \left \{ \begin{array}{ll}
\infty \quad x=0, \\
0 \quad x\neq 0,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>\chi_{B(0,r)}(x) </math> es la función característica de la bola centrada en 0 de radio <math> r </math> y <math>|B(0,r)|</math> es el volumen de la bola.
La expresión de esta es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) = \frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)], </math></center>

Donde <math>H(s)</math> es la función de Heaviside,

<center><math> H(s) = \left \{ \begin{array}{ll}
0, \quad x<0 \\
1, \quad x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0,01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

[[Archivo:Ejercicio1apartado4.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T14:55:19Z

Rocío Tajuelo: /* Ecuación de ondas II */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, así como la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones.
Además, esto nos será de utilidad para interpretar el principio de Huygens.

Es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación <math> c=1 m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos plantando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
con
<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>
y
<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|600px|thumb|center| Gráfica de la solución para <math> x \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando como datos iniciales <math> u_0(x) = e^{ −100(x−\frac{1}{2})^2} </math> y <math> u_1(x) = 0</math>.]

Como podemos observar que para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

Como podemos observar, el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>.

Además vemos que en la frontera…
En este caso, cuando la onda llega al extremo, como este se mantiene fijo, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>

En este caso, como los extremos no están fijos, cuando lla onda llega a uno de los extremos, este varía, pues debe mantenerse que ux=0.

=== Programa===
Representación de la solución del sistema con las condiciones de tipo Neumann:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales

u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución
U=trapz(U0,Int)*ones(size(XX));

for k=1:N
C=cos(k*pi*XX);
c=C(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*c); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*c); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*C;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

=Ecuación de ondas II=
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac, que formalmente se define como el siguiente límite:
<center><math> \delta (x) = \lim \limits_{r \rightarrow 0} \frac{1}{|B(0,r)|} \chi_{B(0,r)}(x) \sim \left \{ \begin{array}{ll}
\infty \quad x=0, \\
0 \quad x\neq 0,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>\chi_{B(0,r)}(x) </math> es la función característica de la bola centrada en 0 de radio <math> r </math> y <math>|B(0,r)|</math> es el volumen de la bola.
La expresión de esta es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) = \frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)], </math></center>

Donde <math>H(s)</math> es la función de Heaviside,

<center><math> H(s) = \left \{ \begin{array}{ll}
0, \quad x<0 \\
1, \quad x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0,01 </math>.</center>

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<center><math> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </math> </center>

Con <math>k=1000</math>.

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T14:54:04Z

Rocío Tajuelo: /* Ecuación de ondas II */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, así como la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones.
Además, esto nos será de utilidad para interpretar el principio de Huygens.

Es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación <math> c=1 m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos plantando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
con
<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>
y
<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3bueno.png|600px|thumb|center| Gráfica de la solución para <math> x \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando como datos iniciales <math> u_0(x) = e^{ −100(x−\frac{1}{2})^2} </math> y <math> u_1(x) = 0</math>.]

Como podemos observar que para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

Como podemos observar, el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>.

Además vemos que en la frontera…
En este caso, cuando la onda llega al extremo, como este se mantiene fijo, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier dk con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>

En este caso, como los extremos no están fijos, cuando lla onda llega a uno de los extremos, este varía, pues debe mantenerse que ux=0.

=Ecuación de ondas II=
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac, que formalmente se define como el siguiente límite:
<center><math> \delta (x) = \lim \limits_{r \rightarrow 0} \frac{1}{|B(0,r)|} \chi_{B(0,r)}(x) \sim \left \{ \begin{array}{ll}
\infty \quad x=0, \\
0 \quad x\neq 0,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>\chi_{B(0,r)}(x) </math> es la función característica de la bola centrada en 0 de radio <math> r </math> y <math>|B(0,r)|</math> es el volumen de la bola.
La expresión de esta es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) = \frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)], </math></center>

Donde <math>H(s)</math> es la función de Heaviside,

<center><math> H(s) = \left \{ \begin{array}{ll}
0, \quad x<0 \\
1, \quad x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

Gráficamente la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim =1 </math> es:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>.

Luego la representación de la solución fundamental en <math> dim=2</math> es:

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

donde hemos considerado la siguiente regularización para evitar la singularidad:

<center><math> K^{\varepsilon}_2 (x,t) = \frac{1}{\varepsilon + 2 \pi c \sqrt{c^2t^2 -|x|^2}} \chi _{B(0,1/2)}(x), ~~~~~\varepsilon = 0,01 </math></center>.

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

Por tanto, la solución fundamental en <math> dim=3</math> se representa de la siguiente forma:

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

donde hemos sustituido la delta de Dirac por su aproximación

<math><center> \delta (s) \sim \phi _k (s) = \sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-ks^2}, ~~~~~ k>>1, </center></math>

Con <math>k=1000</math>.

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T14:44:20Z

Rocío Tajuelo: /* Ecuación de ondas II */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, así como la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones.
Además, esto nos será de utilidad para interpretar el principio de Huygens.

Es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación <math> c=1 m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos plantando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
con
<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>
y
<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3.png|600px|thumb|center| Gráfica de la solución para <math> x \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando como datos iniciales <math> u_0(x) = e^{ −100(x−\frac{1}{2})^2} </math> y <math> u_1(x) = 0</math>.]

Como podemos observar que para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

Como podemos observar, el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>.

Además vemos que en la frontera…
En este caso, cuando la onda llega al extremo, como este se mantiene fijo, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>

En este caso, como los extremos no están fijos, cuando lla onda llega a uno de los extremos, este varía, pues debe mantenerse que ux=0.

=Ecuación de ondas II=
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac, que formalmente se define como el siguiente límite:
<center><math> \delta (x) = \lim \limits_{r \rightarrow 0} \frac{1}{|B(0,r)|} \chi_{B(0,r)}(x) \sim \left \{ \begin{array}{ll}
\infty \quad x=0, \\
0 \quad x\neq 0,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>\chi_{B(0,r)}(x) </math> es la función característica de la bola centrada en 0 de radio <math> r </math> y <math>|B(0,r)|</math> es el volumen de la bola.
La expresión de esta es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) = \frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)], </math></center>

Donde <math>H(s)</math> es la función de Heaviside,

<center><math> H(s) = \left \{ \begin{array}{ll}
0, \quad x<0 \\
1, \quad x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>.

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

A continuación se muestran las tres soluciones fundamentales:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1]</math> y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T14:43:40Z

Rocío Tajuelo: /* Ecuación de ondas II */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, así como la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones.
Además, esto nos será de utilidad para interpretar el principio de Huygens.

Es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación <math> c=1 m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos plantando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
con
<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>
y
<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3.png|600px|thumb|center| Gráfica de la solución para <math> x \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando como datos iniciales <math> u_0(x) = e^{ −100(x−\frac{1}{2})^2} </math> y <math> u_1(x) = 0</math>.]

Como podemos observar que para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

Como podemos observar, el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>.

Además vemos que en la frontera…
En este caso, cuando la onda llega al extremo, como este se mantiene fijo, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(Int,U0.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(Int,U1.*s); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>

En este caso, como los extremos no están fijos, cuando lla onda llega a uno de los extremos, este varía, pues debe mantenerse que ux=0.

=Ecuación de ondas II=
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac, que formalmente se define como el siguiente límite:
<center><math> \delta (x) = \lim \limits_{r \rightarrow 0} \frac{1}{|B(0,r)|} \chi_{B(0,r)}(x) \sim \left \{ \begin{array}{ll}
\infty \quad x=0, \\
0 \quad x\neq 0,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>\chi_{B(0,r)}(x) </math> es la función característica de la bola centrada en 0 de radio <math> r </math> y <math>|B(0,r)|</math> es el volumen de la bola.
La expresión de esta es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) = \frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)], </math></center>

Donde <math>H(s)</math> es la función de Heaviside,

<center><math> H(s) = \left \{ \begin{array}{ll}
0, \quad x<0 \\
1, \quad x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>.

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

A continuación se muestran las tres soluciones fundamentales:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] y <math>\varepsilon = 0.01</math>.]]

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] </math> y <math> k = 1000</math>.]]

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T14:41:35Z

Rocío Tajuelo: /* Ecuación de ondas II */

=Introducción=
A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, así como la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones.
Además, esto nos será de utilidad para interpretar el principio de Huygens.

Es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

=Conceptos previos=
Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este:

'''Velocidad de propagación''': La velocidad de propagación de una onda es la magnitud que mide la velocidad a la que se propaga la perturbación de la onda a lo largo de su desplazamiento. La velocidad a la que se propaga la onda depende tanto del tipo de onda como del medio por el que esta se propaga.

Además, en este trabajo vamos a emplear [[Series de Fourier (GRwM)|series de Fourier]].

= Ecuación de ondas I=
En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión.
Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo <math> [0,1]</math>, con densidad <math> d</math> y tensión <math> \tau_0 </math> constante. De modo que la velocidad de propagación <math> c=1 m/s</math> . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar <math> u_0(x)</math> y <math> u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente.

==Planteamiento del problema ==
Comenzamos plantando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas <math> u_{tt} – c^2u_{xx}=0</math> y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

== Resolución del sistema==
Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma <math> u(x,t) = T(t) X(x)</math> .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) </math></center>
con
<math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>
y
<math> d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math>

==Particularización del problema==
Ahora vamos a considerar como datos iniciales <math> u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math> y <math> u_1(x)= 0</math> y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo <math> [0,2]</math>.
Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:
<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) </math></center>
ya que en la expresión de <math> d_k</math> aparece la función <math> u_1(x)</math>, cuyo valor es cero por hipótesis.
Para obtener el valor de <math> c_k </math> vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, para un análisis detallado del mismo consulte el trabajo [[Ecuación de Laplace (GRwM)|Ecuación de Laplace (GRwM)]].

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3.png|600px|thumb|center| Gráfica de la solución para <math> x \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,2] </math> y considerando como datos iniciales <math> u_0(x) = e^{ −100(x−\frac{1}{2})^2} </math> y <math> u_1(x) = 0</math>.]

Como podemos observar que para <math>x=0 </math> y <math>x=1</math> se tiene que <math>u(x,t)=0</math>, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos.

Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo.

=== Programa ===
'''Nota''': En este programa y en los siguientes la solución se obtiene de forma numérica. Discretizaremos el espacio mediante una malla en la cual obtenemos un valor aproximado de la solución. En los siguientes programas los comentarios indicarán los valores que se pueden modificar y qué cambian.

Código para representar la solución del sistema de EDP's:

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap3

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración

difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
ck=2*trapz(Int,U0.*S(1,:)); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+ck*cos(k*pi*TT).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")
}}

==Otra particularización del problema==
Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, <math> u(x,t)=f(x-t)</math>. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales <math> u_0(x)= f(x)</math> y <math> u_1(x)= - f’(x)</math>, con <math> f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}</math>.

En este caso el sistema a resolver es:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)= 200(x- \frac{1}{2})e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2}

\end{array} \right.

</math></center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

Como podemos observar, el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación <math>c= 1 m/s </math>.

Además vemos que en la frontera…
En este caso, cuando la onda llega al extremo, como este se mantiene fijo, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

===Programa===

Código para representar la solución del sistema de EDP's anterior.

{{matlab|codigo=
% EJERCICIO 1 ONDAS Ap4

clear all
close all

% Intervalos de definición
x0=0; xf=1; % Valor inicial y final de x
t0=0; tf=2; % Valor inicial y final de t
difx=10^-3; dift=10^-3; % División del intervalo de x y t respectivamente
X=x0:difx:xf; % Discretización del intervalo de x
T=t0:dift:tf; % Discretización del intervalo de x

[XX,TT]=meshgrid(X,T);

% Intervalo de integración
difint=10^-3;
Int=x0:difint:xf;

% Condiciones iniciales
u0=@(x)exp(-100*(x-1/2).^2);
U0=u0(Int);

u1=@(x)100*2*(x-1/2).*exp(-100*(x-1/2).^2);
U1=u1(Int);

U=zeros(size(XX));

N=1000; % Número de términos de la serie que sumamos

% Obtención de la solución

for k=1:N
S=sin(k*pi*XX);
s=S(1,:);
ck=2*trapz(U0.*s,Int); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
dk=2/(k*pi)*trapz(U1.*s,Int); % Coeficientes de Fourier ck con la fórmula del trapecio
U=U+(ck*cos(k*pi*TT)+dk*sin(k*pi*TT)).*S;
end

% Dibujamos
surf(XX,TT,U)
shading interp
title("Solución para t \in [0,2]")
xlabel("Espacio")
ylabel("Tiempo")
zlabel("u(x,t)")

}}

==Cambio a condición frontera de tipo Neumann==
Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar <math>u_x(0,t) = u_x(1,t) =0</math>

En este caso, como los extremos no están fijos, cuando lla onda llega a uno de los extremos, este varía, pues debe mantenerse que ux=0.

=Ecuación de ondas II=
En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en <math> x=0 </math>.

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0, \\
u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math> \delta(x) </math> es la delta de Dirac, que formalmente se define como el siguiente límite:
<center><math> \delta (x) = \lim \limits_{r \rightarrow 0} \frac{1}{|B(0,r)|} \chi_{B(0,r)}(x) \sim \left \{ \begin{array}{ll}
\infty \quad x=0, \\
0 \quad x\neq 0,
\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>\chi_{B(0,r)}(x) </math> es la función característica de la bola centrada en 0 de radio <math> r </math> y <math>|B(0,r)|</math> es el volumen de la bola.
La expresión de esta es:

<math>1)</math> En dimensión <math>n=1</math>:

<center><math> K_1(x,t) = \frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)], </math></center>

Donde <math>H(s)</math> es la función de Heaviside,

<center><math> H(s) = \left \{ \begin{array}{ll}
0, \quad x<0 \\
1, \quad x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

<math>2)</math> En dimensión <math>n=2</math>:

<center><math>
K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \chi_{B(0,ct)}(x),

</math></center>

donde <math> \chi_{B(0,ct)}(x) </math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math> ct </math>.

<math>3)</math> En dimensión <math>n=3</math>:
<center><math>
K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c|x|}, t>0.

</math></center>

A continuación se muestran las tres soluciones fundamentales:

[[Archivo:Solfund1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=1</math>, con <math>c=1</math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [0,1] </math>.]]

[[Archivo:Solfund2.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=2</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] y <math>\varepsilon = 0.01</math> </math>.]]

[[Archivo:Solfund3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación de ondas en <math> dim=3</math>, con <math>c=1</math>, <math> r \in [0,1] </math>, <math> t \in [0,1] y <math>k = 1000</math>.]]

=Referencias=

* [https://www.lifeder.com/velocidad-propagacion-onda/ Velocidad de propagación de una onda]
* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Series_de_Fourier_(GRwM) Series de Fourier]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T14:36:51Z

Rocío Tajuelo: /* Ecuación de ondas II */

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T14:35:20Z

Rocío Tajuelo: /* Ecuación de ondas II */

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T14:29:21Z

Rocío Tajuelo: /* Ecuación de ondas II */

Ecuación de ondas (GRwM)

2024-05-24T14:26:59Z

Rocío Tajuelo: /* Ecuación de ondas II */

Archivo:Solfund3.png

2024-05-24T14:23:26Z

Rocío Tajuelo:

Archivo:Solfund2.png

2024-05-24T14:23:04Z

Rocío Tajuelo: