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El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-14T16:48:49Z

Raquel.am: /* Divergencia y rotacional del campo de velocidades */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo, investigaciones oceanográficas en el estudio de remolinos oceánicos, giros marinos, formación de sistemas rotatorios en fluidos geofísicos, volcanes, penachos volcánicos, ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna, además se utilizó también como un modelo básico en estudios de aerodinámica y fluidos rotatorios, contribuyendo al diseño de sistemas como las turbinas, ventiladores y estructuras resistentes vientos extremos.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{\text{v}}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\gt R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Con <math> \; \Gamma=2·\pi·R·Vo</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del campo de velocidades es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

{{matlab|codigo= %rotacional en z=0
%constantes
R0=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R0*Vo;
n=30;
rho=1.225;
Po=90000;
P_inf=101325;
g = 9.81;
z0 = 3200;

x=linspace(-600,600,n); y=x;
z=linspace(0,0,n);
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
R=sqrt(X.^2+Y.^2);

Rot=zeros(size(R));
for i=1:n
for j=1:n
for k=1:n
if R(i,j,k)<= 300
Rot(i,j,k)=Gamma/(pi*R0^2);
else
Rot(i,j,k)=0;
end
end
end
end
quiver3(X, Y, Z, zeros(n,n,n), zeros(n,n,n), Rot)
xlim([-450, 450]), ylim([-450, 450]); zlim([0, 100]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z. Altura (m)');
view(60,60)}}

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' en esta parte, la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro.
[[https://en.wikipedia.org/wiki/File:Rankine_vortex_animation.gif]]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
A partir de las ecuaciones de Euler, se puede deducir que la presión está dada por:
<math> \;
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho v_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \; \; \text{si} \, r \le R \\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho v_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \; \; \text{si} \, r \gt R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
donde <math>Po</math> es la presión en el centro del ojo, <math>P∞</math> es la presión atmosférica estándar, <math>\rho</math> es la densidad
del aire estándar, <math>g</math> es la aceleración de la gravedad, y <math>Vo</math> es la velocidad tangencial del vórtice.

A continuación se adjunta el código de Matlab que se utiliza para visualizar el gráfico y una animación del campo de presiones en un plano vertical que pasa por el centro del vórtice.

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
El flujo de masa lo podemos expresar como <math> \; \rho \overrightarrow{\text{v}} </math>, siendo <math> \overrightarrow{\text{v}} </math> el campo velocidad definido anteriormente en el apartado 2 y <math> \rho </math> la densidad del fluido.

El flujo de un campo vectorial sobre una superficie <math> S </math> esta definido como:
<math> \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS = \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>
En nuestro caso: <math> \; \int_{S}^{} (\; \rho \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \Rightarrow \rho \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>

Vamos a calcular el flujo a través de una superficie dada por el trozo de plano descrito por <math> \; 0 ≤ r ≤ 2R,\; 0 ≤ z ≤ z_{0} </math>, con <math> θ </math> arbitrario, es decir el área lateral de un cilindro de altura <math> z_{0} </math> y radio <math> 2R</math> . Podemos observar que <math> \overrightarrow{\text{v}}\ </math> es tangencial a la superficie descrita y <math> \overrightarrow{n}\ </math> , por definición, perpendicular a la misma, por lo tanto el ángulo que forman entre sí es un ángulo recto. Como resultado, su producto escalar:
<math> (\; \overrightarrow{\text{v}}\; · \overrightarrow{n}\; )= | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(\alpha) = | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(90º) = 0 </math>
, es nulo y por consecuente el flujo también lo es. Lo cual tiene sentido con la idealización antes expuesta del vórtice de Rankine.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad. Es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo en el huracán Katrina, de categoría 5, esta discontinuidad sería de más de 5200 pascales y en el huracán Wilma, de categoría 5 también, de aproximadamente 4900 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T17:38:34Z

Raquel.am: /* Significado del campo velocidad y el rotacional */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo, investigaciones oceanográficas en el estudio de remolinos oceánicos, giros marinos, formación de sistemas rotatorios en fluidos geofísicos, volcanes, penachos volcánicos, ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna, además se utilizó también como un modelo básico en estudios de aerodinámica y fluidos rotatorios, contribuyendo al diseño de sistemas como las turbinas, ventiladores y estructuras resistentes vientos extremos.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{\text{v}}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Con <math> \; \Gamma=2·\pi·R·Vo</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del campo de velocidades es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

{{matlab|codigo= %rotacional en z=0
%constantes
R0=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R0*Vo;
n=30;
rho=1.225;
Po=90000;
P_inf=101325;
g = 9.81;
z0 = 3200;

x=linspace(-600,600,n); y=x;
z=linspace(0,0,n);
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
R=sqrt(X.^2+Y.^2);

Rot=zeros(size(R));
for i=1:n
for j=1:n
for k=1:n
if R(i,j,k)<= 300
Rot(i,j,k)=Gamma/(pi*R0^2);
else
Rot(i,j,k)=0;
end
end
end
end
quiver3(X, Y, Z, zeros(n,n,n), zeros(n,n,n), Rot)
xlim([-450, 450]), ylim([-450, 450]); zlim([0, 100]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z. Altura (m)');
view(60,60)}}

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' en esta parte, la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro.
[[https://en.wikipedia.org/wiki/File:Rankine_vortex_animation.gif]]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
A partir de las ecuaciones de Euler, se puede deducir que la presión está dada por:
<math> \;
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho v_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \; \; \text{si} \, r \le R \\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho v_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \; \; \text{si} \, r \gt R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
donde <math>Po</math> es la presión en el centro del ojo, <math>P∞</math> es la presión atmosférica estándar, <math>\rho</math> es la densidad
del aire estándar, <math>g</math> es la aceleración de la gravedad, y <math>Vo</math> es la velocidad tangencial del vórtice.

A continuación se adjunta el código de Matlab que se utiliza para visualizar el gráfico y una animación del campo de presiones en un plano vertical que pasa por el centro del vórtice.

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
El flujo de masa lo podemos expresar como <math> \; \rho \overrightarrow{\text{v}} </math>, siendo <math> \overrightarrow{\text{v}} </math> el campo velocidad definido anteriormente en el apartado 2 y <math> \rho </math> la densidad del fluido.

El flujo de un campo vectorial sobre una superficie <math> S </math> esta definido como:
<math> \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS = \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>
En nuestro caso: <math> \; \int_{S}^{} (\; \rho \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \Rightarrow \rho \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>

Vamos a calcular el flujo a través de una superficie dada por el trozo de plano descrito por <math> \; 0 ≤ r ≤ 2R,\; 0 ≤ z ≤ z_{0} </math>, con <math> θ </math> arbitrario, es decir el área lateral de un cilindro de altura <math> z_{0} </math> y radio <math> 2R</math> . Podemos observar que <math> \overrightarrow{\text{v}}\ </math> es tangencial a la superficie descrita y <math> \overrightarrow{n}\ </math> , por definición, perpendicular a la misma, por lo tanto el ángulo que forman entre sí es un ángulo recto. Como resultado, su producto escalar:
<math> (\; \overrightarrow{\text{v}}\; · \overrightarrow{n}\; )= | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(\alpha) = | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(90º) = 0 </math>
, es nulo y por consecuente el flujo también lo es. Lo cual tiene sentido con la idealización antes expuesta del vórtice de Rankine.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad. Es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo en el huracán Katrina, de categoría 5, esta discontinuidad sería de más de 5200 pascales y en el huracán Wilma, de categoría 5 también, de aproximadamente 4900 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T17:30:10Z

Raquel.am: /* Campo de presiones con planos paralelos a la superficie */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo, investigaciones oceanográficas en el estudio de remolinos oceánicos, giros marinos, formación de sistemas rotatorios en fluidos geofísicos, volcanes, penachos volcánicos, ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna, además se utilizó también como un modelo básico en estudios de aerodinámica y fluidos rotatorios, contribuyendo al diseño de sistemas como las turbinas, ventiladores y estructuras resistentes vientos extremos.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{\text{v}}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Con <math> \; \Gamma=2·\pi·R·Vo</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del campo de velocidades es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

{{matlab|codigo= %rotacional en z=0
%constantes
R0=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R0*Vo;
n=30;
rho=1.225;
Po=90000;
P_inf=101325;
g = 9.81;
z0 = 3200;

x=linspace(-600,600,n); y=x;
z=linspace(0,0,n);
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
R=sqrt(X.^2+Y.^2);

Rot=zeros(size(R));
for i=1:n
for j=1:n
for k=1:n
if R(i,j,k)<= 300
Rot(i,j,k)=Gamma/(pi*R0^2);
else
Rot(i,j,k)=0;
end
end
end
end
quiver3(X, Y, Z, zeros(n,n,n), zeros(n,n,n), Rot)
xlim([-450, 450]), ylim([-450, 450]); zlim([0, 100]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z. Altura (m)');
view(60,60)}}

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' en esta parte, la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
A partir de las ecuaciones de Euler, se puede deducir que la presión está dada por:
<math> \;
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho v_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \; \; \text{si} \, r \le R \\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho v_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \; \; \text{si} \, r \gt R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
donde <math>Po</math> es la presión en el centro del ojo, <math>P∞</math> es la presión atmosférica estándar, <math>\rho</math> es la densidad
del aire estándar, <math>g</math> es la aceleración de la gravedad, y <math>Vo</math> es la velocidad tangencial del vórtice.

A continuación se adjunta el código de Matlab que se utiliza para visualizar el gráfico y una animación del campo de presiones en un plano vertical que pasa por el centro del vórtice.

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
El flujo de masa lo podemos expresar como <math> \; \rho \overrightarrow{\text{v}} </math>, siendo <math> \overrightarrow{\text{v}} </math> el campo velocidad definido anteriormente en el apartado 2 y <math> \rho </math> la densidad del fluido.

El flujo de un campo vectorial sobre una superficie <math> S </math> esta definido como:
<math> \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS = \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>
En nuestro caso: <math> \; \int_{S}^{} (\; \rho \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \Rightarrow \rho \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>

Vamos a calcular el flujo a través de una superficie dada por el trozo de plano descrito por <math> \; 0 ≤ r ≤ 2R,\; 0 ≤ z ≤ z_{0} </math>, con <math> θ </math> arbitrario, es decir el área lateral de un cilindro de altura <math> z_{0} </math> y radio <math> 2R</math> . Podemos observar que <math> \overrightarrow{\text{v}}\ </math> es tangencial a la superficie descrita y <math> \overrightarrow{n}\ </math> , por definición, perpendicular a la misma, por lo tanto el ángulo que forman entre sí es un ángulo recto. Como resultado, su producto escalar:
<math> (\; \overrightarrow{\text{v}}\; · \overrightarrow{n}\; )= | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(\alpha) = | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(90º) = 0 </math>
, es nulo y por consecuente el flujo también lo es. Lo cual tiene sentido con la idealización antes expuesta del vórtice de Rankine.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad. Es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo en el huracán Katrina, de categoría 5, esta discontinuidad sería de más de 5200 pascales y en el huracán Wilma, de categoría 5 también, de aproximadamente 4900 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T14:03:38Z

Raquel.am: /* Divergencia y rotacional del campo de velocidades */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo, investigaciones oceanográficas en el estudio de remolinos oceánicos, giros marinos, formación de sistemas rotatorios en fluidos geofísicos, volcanes, penachos volcánicos, ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna, además se utilizó también como un modelo básico en estudios de aerodinámica y fluidos rotatorios, contribuyendo al diseño de sistemas como las turbinas, ventiladores y estructuras resistentes vientos extremos.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{\text{v}}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Con <math> \; \Gamma=2·\pi·R·Vo</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del campo de velocidades es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

{{matlab|codigo= %rotacional en z=0
%constantes
R0=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R0*Vo;
n=30;
rho=1.225;
Po=90000;
P_inf=101325;
g = 9.81;
z0 = 3200;

x=linspace(-600,600,n); y=x;
z=linspace(0,0,n);
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
R=sqrt(X.^2+Y.^2);

Rot=zeros(size(R));
for i=1:n
for j=1:n
for k=1:n
if R(i,j,k)<= 300
Rot(i,j,k)=Gamma/(pi*R0^2);
else
Rot(i,j,k)=0;
end
end
end
end
quiver3(X, Y, Z, zeros(n,n,n), zeros(n,n,n), Rot)
xlim([-450, 450]), ylim([-450, 450]); zlim([0, 100]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z. Altura (m)');
view(60,60)}}

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' en esta parte, la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
A partir de las ecuaciones de Euler, se puede deducir que la presión está dada por:
<math> \;
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
donde <math>Po</math> es la presión en el centro del ojo, <math>P∞</math> es la presión atmosférica estándar, <math>\rho</math> es la densidad
del aire estándar, <math>g</math> es la aceleración de la gravedad, y <math>Vo</math> es la velocidad tangencial del vórtice.

A continuación se adjunta el código de Matlab que se utiliza para visualizar el gráfico y una animación del campo de presiones en un plano vertical que pasa por el centro del vórtice.

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
El flujo de masa lo podemos expresar como <math> \; \rho \overrightarrow{\text{v}} </math>, siendo <math> \overrightarrow{\text{v}} </math> el campo velocidad definido anteriormente en el apartado 2 y <math> \rho </math> la densidad del fluido.

El flujo de un campo vectorial sobre una superficie <math> S </math> esta definido como:
<math> \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS = \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>
En nuestro caso: <math> \; \int_{S}^{} (\; \rho \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \Rightarrow \rho \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>

Vamos a calcular el flujo a través de una superficie dada por el trozo de plano descrito por <math> \; 0 ≤ r ≤ 2R,\; 0 ≤ z ≤ z_{0} </math>, con <math> θ </math> arbitrario, es decir el área lateral de un cilindro de altura <math> z_{0} </math> y radio <math> 2R</math> . Podemos observar que <math> \overrightarrow{\text{v}}\ </math> es tangencial a la superficie descrita y <math> \overrightarrow{n}\ </math> , por definición, perpendicular a la misma, por lo tanto el ángulo que forman entre sí es un ángulo recto. Como resultado, su producto escalar:
<math> (\; \overrightarrow{\text{v}}\; · \overrightarrow{n}\; )= | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(\alpha) = | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(90º) = 0 </math>
, es nulo y por consecuente el flujo también lo es. Lo cual tiene sentido con la idealización antes expuesta del vórtice de Rankine.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad. Es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo en el huracán Katrina, de categoría 5, esta discontinuidad sería de más de 5200 pascales y en el huracán Wilma, de categoría 5 también, de aproximadamente 4900 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T13:53:37Z

Raquel.am: /* Introducción */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo, investigaciones oceanográficas en el estudio de remolinos oceánicos, giros marinos, formación de sistemas rotatorios en fluidos geofísicos, volcanes, penachos volcánicos, ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna, además se utilizó también como un modelo básico en estudios de aerodinámica y fluidos rotatorios, contribuyendo al diseño de sistemas como las turbinas, ventiladores y estructuras resistentes vientos extremos.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{\text{v}}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Con <math> \; \Gamma=2·\pi·R·Vo</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del campo de velocidades es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' en esta parte, la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
A partir de las ecuaciones de Euler, se puede deducir que la presión está dada por:
<math> \;
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
donde <math>Po</math> es la presión en el centro del ojo, <math>P∞</math> es la presión atmosférica estándar, <math>\rho</math> es la densidad
del aire estándar, <math>g</math> es la aceleración de la gravedad, y <math>Vo</math> es la velocidad tangencial del vórtice.

A continuación se adjunta el código de Matlab que se utiliza para visualizar el gráfico y una animación del campo de presiones en un plano vertical que pasa por el centro del vórtice.

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
El flujo de masa lo podemos expresar como <math> \; \rho \overrightarrow{\text{v}} </math>, siendo <math> \overrightarrow{\text{v}} </math> el campo velocidad definido anteriormente en el apartado 2 y <math> \rho </math> la densidad del fluido.

El flujo de un campo vectorial sobre una superficie <math> S </math> esta definido como:
<math> \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS = \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>
En nuestro caso: <math> \; \int_{S}^{} (\; \rho \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \Rightarrow \rho \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>

Vamos a calcular el flujo a través de una superficie dada por el trozo de plano descrito por <math> \; 0 ≤ r ≤ 2R,\; 0 ≤ z ≤ z_{0} </math>, con <math> θ </math> arbitrario, es decir el área lateral de un cilindro de altura <math> z_{0} </math> y radio <math> 2R</math> . Podemos observar que <math> \overrightarrow{\text{v}}\ </math> es tangencial a la superficie descrita y <math> \overrightarrow{n}\ </math> , por definición, perpendicular a la misma, por lo tanto el ángulo que forman entre sí es un ángulo recto. Como resultado, su producto escalar:
<math> (\; \overrightarrow{\text{v}}\; · \overrightarrow{n}\; )= | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(\alpha) = | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(90º) = 0 </math>
, es nulo y por consecuente el flujo también lo es. Lo cual tiene sentido con la idealización antes expuesta del vórtice de Rankine.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad. Es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo en el huracán Katrina, de categoría 5, esta discontinuidad sería de más de 5200 pascales y en el huracán Wilma, de categoría 5 también, de aproximadamente 4900 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T13:51:29Z

Raquel.am: /* Flujos de masa en el vórtice de Rankine */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo,investigaciones oceanográficas en el estudio de remolinos oceánicos, giros marinos, formación de sistemas rotatorios en fluidos geofísicos, volcanes, penachos volcánicos, ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna, además se utilizó también como un modelo básico en estudios de aerodinámica y fluidos rotatorios, contribuyendo al diseño de sistemas como las turbinas, ventiladores y estructuras resistentes vientos extremos.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{\text{v}}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Con <math> \; \Gamma=2·\pi·R·Vo</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del campo de velocidades es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' en esta parte, la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
A partir de las ecuaciones de Euler, se puede deducir que la presión está dada por:
<math> \;
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
donde <math>Po</math> es la presión en el centro del ojo, <math>P∞</math> es la presión atmosférica estándar, <math>\rho</math> es la densidad
del aire estándar, <math>g</math> es la aceleración de la gravedad, y <math>Vo</math> es la velocidad tangencial del vórtice.

A continuación se adjunta el código de Matlab que se utiliza para visualizar el gráfico y una animación del campo de presiones en un plano vertical que pasa por el centro del vórtice.

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
El flujo de masa lo podemos expresar como <math> \; \rho \overrightarrow{\text{v}} </math>, siendo <math> \overrightarrow{\text{v}} </math> el campo velocidad definido anteriormente en el apartado 2 y <math> \rho </math> la densidad del fluido.

El flujo de un campo vectorial sobre una superficie <math> S </math> esta definido como:
<math> \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS = \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>
En nuestro caso: <math> \; \int_{S}^{} (\; \rho \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \Rightarrow \rho \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>

Vamos a calcular el flujo a través de una superficie dada por el trozo de plano descrito por <math> \; 0 ≤ r ≤ 2R,\; 0 ≤ z ≤ z_{0} </math>, con <math> θ </math> arbitrario, es decir el área lateral de un cilindro de altura <math> z_{0} </math> y radio <math> 2R</math> . Podemos observar que <math> \overrightarrow{\text{v}}\ </math> es tangencial a la superficie descrita y <math> \overrightarrow{n}\ </math> , por definición, perpendicular a la misma, por lo tanto el ángulo que forman entre sí es un ángulo recto. Como resultado, su producto escalar:
<math> (\; \overrightarrow{\text{v}}\; · \overrightarrow{n}\; )= | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(\alpha) = | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(90º) = 0 </math>
, es nulo y por consecuente el flujo también lo es. Lo cual tiene sentido con la idealización antes expuesta del vórtice de Rankine.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad. Es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo en el huracán Katrina, de categoría 5, esta discontinuidad sería de más de 5200 pascales y en el huracán Wilma, de categoría 5 también, de aproximadamente 4900 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T13:48:09Z

Raquel.am: /* Flujos de masa en el vórtice de Rankine */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo,investigaciones oceanográficas en el estudio de remolinos oceánicos, giros marinos, formación de sistemas rotatorios en fluidos geofísicos, volcanes, penachos volcánicos, ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna, además se utilizó también como un modelo básico en estudios de aerodinámica y fluidos rotatorios, contribuyendo al diseño de sistemas como las turbinas, ventiladores y estructuras resistentes vientos extremos.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{\text{v}}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Con <math> \; \Gamma=2·\pi·R·Vo</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del campo de velocidades es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' en esta parte, la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
A partir de las ecuaciones de Euler, se puede deducir que la presión está dada por:
<math> \;
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
donde <math>Po</math> es la presión en el centro del ojo, <math>P∞</math> es la presión atmosférica estándar, <math>\rho</math> es la densidad
del aire estándar, <math>g</math> es la aceleración de la gravedad, y <math>Vo</math> es la velocidad tangencial del vórtice.

A continuación se adjunta el código de Matlab que se utiliza para visualizar el gráfico y una animación del campo de presiones en un plano vertical que pasa por el centro del vórtice.

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
El flujo de masa lo podemos expresar como <math> \; \rho \overrightarrow{\text{v}} </math>, siendo <math> \overrightarrow{\text{v}} </math> el campo velocidad definido anteriormente en el apartado 2 y <math> \rho </math> la densidad del fluido.

El flujo de un campo vectorial sobre una superficie <math> S </math> queda definida como:
<math> \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS = \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>
En nuestro caso: <math> \; \int_{S}^{} (\; \rho \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \Rightarrow \rho \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>

Vamos a calcular el flujo a través de una superficie dada por el trozo de plano descrito por <math> \; 0 ≤ r ≤ 2R,\; 0 ≤ z ≤ z_{0} </math>, con <math> θ </math> arbitrario, es decir el área lateral de un cilindro de altura <math> z_{0} </math> y radio <math> 2R</math> . Podemos observar que <math> \overrightarrow{\text{v}}\ </math> es tangencial a la superficie descrita y <math> \overrightarrow{n}\ </math> perpendicular a la misma por lo tanto el ángulo que forman entre es un ángulo recto. Como resultado, su producto escalar:
<math> (\; \overrightarrow{\text{v}}\; · \overrightarrow{n}\; )= | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(\alpha) = | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(90º) = 0 </math>
, es nulo y por consecuente el flujo también lo es. Lo cual tiene sentido con la idealización antes expuesta del vórtice de Rankine.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad. Es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo en el huracán Katrina, de categoría 5, esta discontinuidad sería de más de 5200 pascales y en el huracán Wilma, de categoría 5 también, de aproximadamente 4900 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T13:45:50Z

Raquel.am: /* Flujos de masa en el vórtice de Rankine */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo,investigaciones oceanográficas en el estudio de remolinos oceánicos, giros marinos, formación de sistemas rotatorios en fluidos geofísicos, volcanes, penachos volcánicos, ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna, además se utilizó también como un modelo básico en estudios de aerodinámica y fluidos rotatorios, contribuyendo al diseño de sistemas como las turbinas, ventiladores y estructuras resistentes vientos extremos.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{\text{v}}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Con <math> \; \Gamma=2·\pi·R·Vo</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del campo de velocidades es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' en esta parte, la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
A partir de las ecuaciones de Euler, se puede deducir que la presión está dada por:
<math> \;
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
donde <math>Po</math> es la presión en el centro del ojo, <math>P∞</math> es la presión atmosférica estándar, <math>\rho</math> es la densidad
del aire estándar, <math>g</math> es la aceleración de la gravedad, y <math>Vo</math> es la velocidad tangencial del vórtice.

A continuación se adjunta el código de Matlab que se utiliza para visualizar el gráfico y una animación del campo de presiones en un plano vertical que pasa por el centro del vórtice.

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
El flujo de masa lo podemos expresar como <math> \; \rho \overrightarrow{\text{v}} </math>, siendo <math> \overrightarrow{\text{v}} </math> el campo velocidad definido anteriormente en el apartado 2 y <math> \rho </math> la densidad del fluido.

El flujo de un campo vectorial sobre una superficie <math> S </math> queda definida como:
<math> \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS = \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>
En nuestro caso: <math> \; \int_{S}^{} (\; \rho \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \Rightarrow \rho \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>

Vamos a calcular el flujo a través de una superficie dada por el trozo de plano descrito por <math> \; 0 ≤ r ≤ 2R,\; 0 ≤ z ≤ z_{0} </math>, con <math> θ </math> arbitrario, es decir el área lateral de un cilindro de altura <math> z_{0} </math> y radio <math> 2R</math> . Podemos observar que <math> \overrightarrow{\text{v}}\ </math> es tangencial a la superficie descrita y <math> \overrightarrow{n}\ </math> perpendicular a la misma por lo tanto el ángulo que forman entre es un ángulo recto. Como resultado, su producto escalar:
<math> (\; \overrightarrow{\text{v}}\; · \overrightarrow{n}\; )= | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(\alpha) | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(90º) = 0 </math>
sea nulo y por consecuente el flujo también lo es. Lo cual tiene sentido con la idealización antes expuesta del vórtice de Rakine.

Según la fórmula, podemos observar que v es tangencial a la superficie del vórtice y n perpendicular a la misma por lo tanto el ángulo que forman entre ellos es igual a 90, dando lugar a que su producto escalar sea igual a 0 dándonos un flujo igual a 0, lo cual tiene sentido con la idealización antes expuesta del vórtice de Rakine.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad. Es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo en el huracán Katrina, de categoría 5, esta discontinuidad sería de más de 5200 pascales y en el huracán Wilma, de categoría 5 también, de aproximadamente 4900 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T13:44:43Z

Raquel.am: /* Flujos de masa en el vórtice de Rankine */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo,investigaciones oceanográficas en el estudio de remolinos oceánicos, giros marinos, formación de sistemas rotatorios en fluidos geofísicos, volcanes, penachos volcánicos, ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna, además se utilizó también como un modelo básico en estudios de aerodinámica y fluidos rotatorios, contribuyendo al diseño de sistemas como las turbinas, ventiladores y estructuras resistentes vientos extremos.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{\text{v}}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Con <math> \; \Gamma=2·\pi·R·Vo</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del campo de velocidades es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' en esta parte, la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
A partir de las ecuaciones de Euler, se puede deducir que la presión está dada por:
<math> \;
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
donde <math>Po</math> es la presión en el centro del ojo, <math>P∞</math> es la presión atmosférica estándar, <math>\rho</math> es la densidad
del aire estándar, <math>g</math> es la aceleración de la gravedad, y <math>Vo</math> es la velocidad tangencial del vórtice.

A continuación se adjunta el código de Matlab que se utiliza para visualizar el gráfico y una animación del campo de presiones en un plano vertical que pasa por el centro del vórtice.

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
El flujo de masa lo podemos expresar como <math> \; \rho \overrightarrow{\text{v}} </math>, siendo <math> \overrightarrow{\text{v}} </math> el campo velocidad definido anteriormente en el apartado 2 y <math> \rho </math> la densidad del fluido.

El flujo de un campo vectorial sobre una superficie <math> S </math> queda definida como:
<math> \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS = \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>
En nuestro caso: <math> \; \int_{S}^{} (\; \rho \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \Rightarrow \rho \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>

Vamos a calcular el flujo a través de una superficie dada por el trozo de plano descrito por <math> \; 0 ≤ r ≤ 2R,\; 0 ≤ z ≤ z_{0} </math>, con <math> θ </math> arbitrario, es decir el área lateral de un cilindro de altura <math> z_{0} </math> y radio <math> 2R</math> . Podemos observar que <math> \overrightarrow{\text{v}}\ </math> es tangencial a la superficie descrita y n perpendicular a la misma por lo tanto el ángulo que forman entre es un ángulo recto. Como resultado, su producto escalar:
<math> (\; \overrightarrow{\text{v}}\; · \overrightarrow{n}\; )= | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(\alpha) | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(90º) = 0 </math>
sea nulo y por consecuente el flujo también lo es. Lo cual tiene sentido con la idealización antes expuesta del vórtice de Rakine.

Según la fórmula, podemos observar que v es tangencial a la superficie del vórtice y n perpendicular a la misma por lo tanto el ángulo que forman entre ellos es igual a 90, dando lugar a que su producto escalar sea igual a 0 dándonos un flujo igual a 0, lo cual tiene sentido con la idealización antes expuesta del vórtice de Rakine.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad. Es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo en el huracán Katrina, de categoría 5, esta discontinuidad sería de más de 5200 pascales y en el huracán Wilma, de categoría 5 también, de aproximadamente 4900 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T13:39:46Z

Raquel.am: /* Flujos de masa en el vórtice de Rankine */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo,investigaciones oceanográficas en el estudio de remolinos oceánicos, giros marinos, formación de sistemas rotatorios en fluidos geofísicos, volcanes, penachos volcánicos, ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna, además se utilizó también como un modelo básico en estudios de aerodinámica y fluidos rotatorios, contribuyendo al diseño de sistemas como las turbinas, ventiladores y estructuras resistentes vientos extremos.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{\text{v}}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Con <math> \; \Gamma=2·\pi·R·Vo</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del campo de velocidades es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' en esta parte, la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
A partir de las ecuaciones de Euler, se puede deducir que la presión está dada por:
<math> \;
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
donde <math>Po</math> es la presión en el centro del ojo, <math>P∞</math> es la presión atmosférica estándar, <math>\rho</math> es la densidad
del aire estándar, <math>g</math> es la aceleración de la gravedad, y <math>Vo</math> es la velocidad tangencial del vórtice.

A continuación se adjunta el código de Matlab que se utiliza para visualizar el gráfico y una animación del campo de presiones en un plano vertical que pasa por el centro del vórtice.

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
El flujo de masa lo podemos expresar como <math> \; \rho \overrightarrow{\text{v}} </math>, siendo <math> \overrightarrow{\text{v}} </math> el campo velocidad definido anteriormente en el apartado 2 y <math> \rho </math> la densidad del fluido.

El flujo de un campo vectorial sobre una superficie <math> S </math> queda definida como:
<math> \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS = \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{u}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>
En nuestro caso: <math> \; \int_{S}^{} (\; \rho \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \Rightarrow \rho \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>

Vamos a calcular el flujo a través de una superficie dada por el trozo de plano descrito por 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario, es decir el área lateral de un cilindro de altura z0 y radio 2R. Podemos observar que v es tangencial a la superficie descrita y n perpendicular a la misma por lo tanto el ángulo que forman entre ellos es igual a 90. Como resultado, su producto escalar:
<math> (\; \overrightarrow{\text{v}}\; · \overrightarrow{n}\; )= | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(\alpha) | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(90º) = 0 </math>
sea nulo y por consecuente el flujo también lo es. Lo cual tiene sentido con la idealización antes expuesta del vórtice de Rakine.

Según la fórmula, podemos observar que v es tangencial a la superficie del vórtice y n perpendicular a la misma por lo tanto el ángulo que forman entre ellos es igual a 90, dando lugar a que su producto escalar sea igual a 0 dándonos un flujo igual a 0, lo cual tiene sentido con la idealización antes expuesta del vórtice de Rakine.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad. Es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo en el huracán Katrina, de categoría 5, esta discontinuidad sería de más de 5200 pascales y en el huracán Wilma, de categoría 5 también, de aproximadamente 4900 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T13:34:41Z

Raquel.am: /* Flujos de masa en el vórtice de Rankine */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo, remolinos oceánicos, formación de sistemas rotatorios en fluidos geofísicos, volcanes y penachos volcánicos y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{\text{v}}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Con <math> \; \Gamma=2·\pi·R·Vo</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del campo de velocidades es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' en esta parte, la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
A partir de las ecuaciones de Euler, se puede deducir que la presión está dada por:
<math> \;
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
donde <math>Po</math> es la presión en el centro del ojo, <math>P∞</math> es la presión atmosférica estándar, <math>\rho</math> es la densidad
del aire estándar, <math>g</math> es la aceleración de la gravedad, y <math>Vo</math> es la velocidad tangencial del vórtice.

A continuación se adjunta el código de Matlab que se utiliza para visualizar el gráfico y una animación del campo de presiones en un plano vertical que pasa por el centro del vórtice.

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
El flujo de masa lo podemos expresar como <math> \; \rho \overrightarrow{\text{v}} </math>, siendo <math> \overrightarrow{\text{v}} </math> el campo velocidad definido anteriormente en el apartado 2 y <math> \rho </math> la densidad del fluido.
El flujo de un campo vectorial sobre una superficie <math> S </math> queda definida como: <math> \\ \int_{S}^{} (\; \rho \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \Rightarrow \rho \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ </math>

En este caso vamos a calcular el flujo a través de una superficie dada por el trozo de plano descrito por 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario, es decir el área lateral de un cilindro de altura z0 y radio 2R. Podemos observar que v es tangencial a la superficie descrita y n perpendicular a la misma por lo tanto el ángulo que forman entre ellos es igual a 90. Como resultado, su producto escalar:
<math> (\; \overrightarrow{\text{v}}\; · \overrightarrow{n}\; )= | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(\alpha) | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(90º) = 0 </math>
sea nulo y por consecuente el flujo también lo es. Lo cual tiene sentido con la idealización antes expuesta del vórtice de Rakine.

Según la fórmula, podemos observar que v es tangencial a la superficie del vórtice y n perpendicular a la misma por lo tanto el ángulo que forman entre ellos es igual a 90, dando lugar a que su producto escalar sea igual a 0 dándonos un flujo igual a 0, lo cual tiene sentido con la idealización antes expuesta del vórtice de Rakine.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad. Es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo en el huracán Katrina, de categoría 5, esta discontinuidad sería de más de 5200 pascales y en el huracán Wilma, de categoría 5 también, de aproximadamente 4900 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T13:24:11Z

Raquel.am: /* Discontinuidad en la presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo, remolinos oceánicos, formación de sistemas rotatorios en fluidos geofísicos y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{\text{v}}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Con <math> \; \Gamma=2·\pi·R·Vo</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del campo de velocidades es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' en esta parte, la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
A partir de las ecuaciones de Euler, se puede deducir que la presión está dada por:
<math> \;
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
donde <math>Po</math> es la presión en el centro del ojo, <math>P∞</math> es la presión atmosférica estándar, <math>\rho</math> es la densidad
del aire estándar, <math>g</math> es la aceleración de la gravedad, y <math>Vo</math> es la velocidad tangencial del vórtice.

A continuación se adjunta el código de Matlab que se utiliza para visualizar el gráfico y una animación del campo de presiones en un plano vertical que pasa por el centro del vórtice.

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
El flujo de masa lo podemos expresar como <math> \; \rho \overrightarrow{\text{v}} </math>, siendo <math> \overrightarrow{\text{v}} </math> el campo velocidad definido anteriormente en el apartado 2 y <math> \rho </math> la densidad del fluido.
El flujo de un campo vectorial sobre una superficie <math> S </math> queda definida como: <math> \\ \int_{S}^{} (\; \rho \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \Rightarrow \rho \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ (\; \overrightarrow{\text{v}}\; · \overrightarrow{n}\; )= | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(\alpha) </math>

Según la fórmula, podemos observar que v es tangencial a la superficie del vórtice y n perpendicular a la misma por lo tanto el ángulo que forman entre ellos es igual a 90, dando lugar a que su producto escalar sea igual a 0 dándonos un flujo igual a 0, lo cual tiene sentido con la idealización antes expuesta del vórtice de Rakine.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad. Es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo en el huracán Katrina, de categoría 5, esta discontinuidad sería de más de 5200 pascales y en el huracán Wilma, de categoría 5 también, de aproximadamente 4900 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T13:15:13Z

Raquel.am: /* Flujos de masa en el vórtice de Rankine */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{\text{v}}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Con <math> \; \Gamma=2·\pi·R·Vo</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del campo de velocidades es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' en esta parte, la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
A partir de las ecuaciones de Euler, se puede deducir que la presión está dada por:
<math> \;
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
donde <math>Po</math> es la presión en el centro del ojo, <math>P∞</math> es la presión atmosférica estándar, <math>\rho</math> es la densidad
del aire estándar, <math>g</math> es la aceleración de la gravedad, y <math>Vo</math> es la velocidad tangencial del vórtice.

A continuación se adjunta el código de Matlab que se utiliza para visualizar el gráfico y una animación del campo de presiones en un plano vertical que pasa por el centro del vórtice.

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
El flujo de masa lo podemos expresar como <math> \; \rho \overrightarrow{\text{v}} </math>, siendo <math> \overrightarrow{\text{v}} </math> el campo velocidad definido anteriormente en el apartado 2 y <math> \rho </math> la densidad del fluido.
El flujo de un campo vectorial sobre una superficie <math> S </math> queda definida como: <math> \\ \int_{S}^{} (\; \rho \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \Rightarrow \rho \int_{S}^{} (\; \overrightarrow{\text{v}}\ ·\; \overrightarrow{n}\;) \;dS \\ (\; \overrightarrow{\text{v}}\; · \overrightarrow{n}\; )= | \; \overrightarrow{\text{v}} \; | · | \; \overrightarrow{n} \; | \; · cos(\alpha) </math>

Según la fórmula, podemos observar que v es tangencial a la superficie del vórtice y n perpendicular a la misma por lo tanto el ángulo que forman entre ellos es igual a 90, dando lugar a que su producto escalar sea igual a 0 dándonos un flujo igual a 0, lo cual tiene sentido con la idealización antes expuesta del vórtice de Rakine.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T12:58:48Z

Raquel.am: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{\text{v}}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Con <math> \; \Gamma=2·\pi·R·Vo</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del campo de velocidades es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' en esta parte, la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
A partir de las ecuaciones de Euler, se puede deducir que la presión está dada por:
<math> \;
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
donde <math>Po</math> es la presión en el centro del ojo, <math>P∞</math> es la presión atmosférica estándar, <math>\rho</math> es la densidad
del aire estándar, <math>g</math> es la aceleración de la gravedad, y <math>Vo</math> es la velocidad tangencial del vórtice.

A continuación se adjunta el código de Matlab que se utiliza para visualizar el gráfico y una animación del campo de presiones en un plano vertical que pasa por el centro del vórtice.

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
El flujo de masa lo podemos expresar como <math> \; \rho \overrightarrow{\text{v}} </math>

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T12:54:10Z

Raquel.am: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Con <math> \; \Gamma=2·\pi·R·Vo</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del campo de velocidades es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' en esta parte, la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
A partir de las ecuaciones de Euler, se puede deducir que la presión está dada por:
<math> \;
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
donde <math>Po</math> es la presión en el centro del ojo, <math>P∞</math> es la presión atmosférica estándar, <math>\rho</math> es la densidad
del aire estándar, <math>g</math> es la aceleración de la gravedad, y <math>Vo</math> es la velocidad tangencial del vórtice.

A continuación se adjunta el código de Matlab que se utiliza para visualizar el gráfico y una animación del campo de presiones en un plano vertical que pasa por el centro del vórtice.

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
El flujo de masa lo podemos expresar como <math> \; \rho \overrightarrow{\text{v}} </math>

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T12:53:11Z

Raquel.am: /* Flujos de masa en el vórtice de Rankine */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Con <math>\Gamma=2·\pi·R·Vo</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del campo de velocidades es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' en esta parte, la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
A partir de las ecuaciones de Euler, se puede deducir que la presión está dada por:
<math> \;
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
donde <math>Po</math> es la presión en el centro del ojo, <math>P∞</math> es la presión atmosférica estándar, <math>\rho</math> es la densidad
del aire estándar, <math>g</math> es la aceleración de la gravedad, y <math>Vo</math> es la velocidad tangencial del vórtice.

A continuación se adjunta el código de Matlab que se utiliza para visualizar el gráfico y una animación del campo de presiones en un plano vertical que pasa por el centro del vórtice.

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
El flujo de masa lo podemos expresar como <math> \; \rho \overrightarrow{\text{v}} </math>

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T12:47:46Z

Raquel.am: /* Flujos de masa en el vórtice de Rankine */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Con <math>\Gamma=2·\pi·R·Vo</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del campo de velocidades es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' en esta parte, la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
A partir de las ecuaciones de Euler, se puede deducir que la presión está dada por:
<math> \;
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
donde <math>Po</math> es la presión en el centro del ojo, <math>P∞</math> es la presión atmosférica estándar, <math>\rho</math> es la densidad
del aire estándar, <math>g</math> es la aceleración de la gravedad, y <math>Vo</math> es la velocidad tangencial del vórtice.

A continuación se adjunta el código de Matlab que se utiliza para visualizar el gráfico y una animación del campo de presiones en un plano vertical que pasa por el centro del vórtice.

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
El flujo de masa lo podemos expresar como

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T12:35:37Z

Raquel.am: /* Flujos de masa en el vórtice de Rankine */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Con <math>\Gamma=2·\pi·R·Vo</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del campo de velocidades es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' en esta parte, la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
A partir de las ecuaciones de Euler, se puede deducir que la presión está dada por:
<math> \;
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z \\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho V_{\theta}^{2}(r) -\rho g z
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
donde <math>Po</math> es la presión en el centro del ojo, <math>P∞</math> es la presión atmosférica estándar, <math>\rho</math> es la densidad
del aire estándar, <math>g</math> es la aceleración de la gravedad, y <math>Vo</math> es la velocidad tangencial del vórtice.

A continuación se adjunta el código de Matlab que se utiliza para visualizar el gráfico y una animación del campo de presiones en un plano vertical que pasa por el centro del vórtice.

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T10:21:59Z

Raquel.am: /* Divergencia y rotacional del campo de velocidades */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este calculo nos indica que dentro del vórtice las partículas giran en un plano horizontal en sentido antihorario, según la regla de la mano derecha.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T10:20:12Z

Raquel.am: /* Significado */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

== Significado del campo velocidad y el rotacional ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija mientras da vueltas al eje del vórtice.

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T10:18:39Z

Raquel.am: /* Divergencia y rotacional del campo de velocidades */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

== Significado ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija.

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T10:18:17Z

Raquel.am: /* Ojo del vórtice */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Significado ==
Cuando una barca se encuentra en un vórtice, su movimiento depende de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte la viscosidad del fluido es muy alta, lo que hace que se comporte como un sólido. Las partículas no solo giran al rededor del eje del vórtice sino que también giran sobre sí mismas cambiando su orientación. Si por ejemplo colocásemos una barca en el ojo del vórtice estaría continuamente apuntando a direcciones distintas siguiendo el movimiento definido anteriormente.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, el fluido pierde viscosidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice no tiene un movimiento de giro o rotación que los objetos mantengan su dirección. Si colocásemos la barca esta vez fuera del ojo, se mantendría paralela a una dirección fija.

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T09:57:36Z

Raquel.am: /* Divergencia y rotacional del campo de velocidades */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

En esta página encontramos un GIF que representa el movimiento del fluido tanto la dirección como el giro. [https://academia-lab.com https://academia-lab.com/enciclopedia/vortice-de-rankine/]

== Ojo del vórtice ==
Cuando una barca se encuentra en el ojo de un vórtice, lo que sucede depende de la exactitud de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte es donde los fluidos se mantienen estáticos, es decir, no se mueven. En esta sección, el vórtice está calmado, sin la
fuerza de rotación que hay en los bordes. Cuando la barca está en el centro del vórtice, no experimenta la fuerza de rotación que se encuentran en las capas externas. La
barca no rota sobre si misma ni se mueve de manera circular. Así como la fuerza centrífuga se equilibra en esta región.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, los fluidos se mueven con más velocidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice tiene un movimiento de giro o rotación que provoca el arrastre de objetos en esa dirección. El fluido se mueve en espiral, y la barca también se ve
arrastrada por ese movimiento. En esta región , el vórtice tiene más fuerza y la barca va a girar y moverse de acuerdo con la dirección del flujo del agua o aire. No se
mantiene paralela a una dirección fija, sino que sigue la misma rotación que el vórtice, moviéndose con el flujo.

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T09:46:12Z

Raquel.am: /* Divergencia y rotacional del campo de velocidades */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|750px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]

== Ojo del vórtice ==
Cuando una barca se encuentra en el ojo de un vórtice, lo que sucede depende de la exactitud de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte es donde los fluidos se mantienen estáticos, es decir, no se mueven. En esta sección, el vórtice está calmado, sin la
fuerza de rotación que hay en los bordes. Cuando la barca está en el centro del vórtice, no experimenta la fuerza de rotación que se encuentran en las capas externas. La
barca no rota sobre si misma ni se mueve de manera circular. Así como la fuerza centrífuga se equilibra en esta región.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, los fluidos se mueven con más velocidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice tiene un movimiento de giro o rotación que provoca el arrastre de objetos en esa dirección. El fluido se mueve en espiral, y la barca también se ve
arrastrada por ese movimiento. En esta región , el vórtice tiene más fuerza y la barca va a girar y moverse de acuerdo con la dirección del flujo del agua o aire. No se
mantiene paralela a una dirección fija, sino que sigue la misma rotación que el vórtice, moviéndose con el flujo.

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

Archivo:Rotacional rkn.png

2024-12-13T09:43:39Z

Raquel.am: Gráfico 3D del rotacional para z=0.

Gráfico 3D del rotacional para z=0.

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T09:40:04Z

Raquel.am: /* Divergencia y rotacional del campo de velocidades */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

[[Archivo:rotacional_rkn.png|miniaturadeimagen|300px|Gráfico 3D que muestra el rotacional de un vórtice de Rankine.]]
[[Archivo:Rotaciona rkn.png|miniaturadeimagen|Grafico 3D Rotacional para z=0]]

== Ojo del vórtice ==
Cuando una barca se encuentra en el ojo de un vórtice, lo que sucede depende de la exactitud de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte es donde los fluidos se mantienen estáticos, es decir, no se mueven. En esta sección, el vórtice está calmado, sin la
fuerza de rotación que hay en los bordes. Cuando la barca está en el centro del vórtice, no experimenta la fuerza de rotación que se encuentran en las capas externas. La
barca no rota sobre si misma ni se mueve de manera circular. Así como la fuerza centrífuga se equilibra en esta región.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, los fluidos se mueven con más velocidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice tiene un movimiento de giro o rotación que provoca el arrastre de objetos en esa dirección. El fluido se mueve en espiral, y la barca también se ve
arrastrada por ese movimiento. En esta región , el vórtice tiene más fuerza y la barca va a girar y moverse de acuerdo con la dirección del flujo del agua o aire. No se
mantiene paralela a una dirección fija, sino que sigue la misma rotación que el vórtice, moviéndose con el flujo.

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T09:05:46Z

Raquel.am: /* Vórtices */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

== Ojo del vórtice ==
Cuando una barca se encuentra en el ojo de un vórtice, lo que sucede depende de la exactitud de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte es donde los fluidos se mantienen estáticos, es decir, no se mueven. En esta sección, el vórtice está calmado, sin la
fuerza de rotación que hay en los bordes. Cuando la barca está en el centro del vórtice, no experimenta la fuerza de rotación que se encuentran en las capas externas. La
barca no rota sobre si misma ni se mueve de manera circular. Así como la fuerza centrífuga se equilibra en esta región.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, los fluidos se mueven con más velocidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice tiene un movimiento de giro o rotación que provoca el arrastre de objetos en esa dirección. El fluido se mueve en espiral, y la barca también se ve
arrastrada por ese movimiento. En esta región , el vórtice tiene más fuerza y la barca va a girar y moverse de acuerdo con la dirección del flujo del agua o aire. No se
mantiene paralela a una dirección fija, sino que sigue la misma rotación que el vórtice, moviéndose con el flujo.

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.

Gardea-Villegas, Humberto. "Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices". *Ingeniería, Investigación y Tecnología*, vol. II, núm. 2, 2001, pp. 81-87. [DOI](http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009).

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T00:19:07Z

Raquel.am: /* Vórtices */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

== Ojo del vórtice ==
Cuando una barca se encuentra en el ojo de un vórtice, lo que sucede depende de la exactitud de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte es donde los fluidos se mantienen estáticos, es decir, no se mueven. En esta sección, el vórtice está calmado, sin la
fuerza de rotación que hay en los bordes. Cuando la barca está en el centro del vórtice, no experimenta la fuerza de rotación que se encuentran en las capas externas. La
barca no rota sobre si misma ni se mueve de manera circular. Así como la fuerza centrífuga se equilibra en esta región.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, los fluidos se mueven con más velocidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice tiene un movimiento de giro o rotación que provoca el arrastre de objetos en esa dirección. El fluido se mueve en espiral, y la barca también se ve
arrastrada por ese movimiento. En esta región , el vórtice tiene más fuerza y la barca va a girar y moverse de acuerdo con la dirección del flujo del agua o aire. No se
mantiene paralela a una dirección fija, sino que sigue la misma rotación que el vórtice, moviéndose con el flujo.

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
La clasificación más general de los vórtices es según su formación, se denomina vórtice forzado el que se genera por el contacto entre un fluido en movimiento y un obstáculo, mientras que los vórtices libre son consecuencia de una caída de presión que crea el núcleo del vórtice.
{{cita publicación
| apellidos = Gardea-Villegas
| nombre = Humberto
| título = Conceptos básicos sobre la formación y teoría de los vórtices
| publicación = Ingeniería, Investigación y Tecnología
| año = 2001
| volumen = II
| número = 2
| páginas = 81-87
| doi = 10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009
| issn = 2594-0732
| url = http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2001.02n2.009
}}

Tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-13T00:05:19Z

Raquel.am: /* Introducción */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

Ideado por William John Macquorn Rankine, un ingeniero y físico escocés considerado uno de los fundadores de la termodinámica, el modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

== Ojo del vórtice ==
Cuando una barca se encuentra en el ojo de un vórtice, lo que sucede depende de la exactitud de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte es donde los fluidos se mantienen estáticos, es decir, no se mueven. En esta sección, el vórtice está calmado, sin la
fuerza de rotación que hay en los bordes. Cuando la barca está en el centro del vórtice, no experimenta la fuerza de rotación que se encuentran en las capas externas. La
barca no rota sobre si misma ni se mueve de manera circular. Así como la fuerza centrífuga se equilibra en esta región.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, los fluidos se mueven con más velocidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice tiene un movimiento de giro o rotación que provoca el arrastre de objetos en esa dirección. El fluido se mueve en espiral, y la barca también se ve
arrastrada por ese movimiento. En esta región , el vórtice tiene más fuerza y la barca va a girar y moverse de acuerdo con la dirección del flujo del agua o aire. No se
mantiene paralela a una dirección fija, sino que sigue la misma rotación que el vórtice, moviéndose con el flujo.

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
Primero hablaremos de los tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-12T23:48:06Z

Raquel.am: /* Discontinuidad en la presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

El modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

== Ojo del vórtice ==
Cuando una barca se encuentra en el ojo de un vórtice, lo que sucede depende de la exactitud de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte es donde los fluidos se mantienen estáticos, es decir, no se mueven. En esta sección, el vórtice está calmado, sin la
fuerza de rotación que hay en los bordes. Cuando la barca está en el centro del vórtice, no experimenta la fuerza de rotación que se encuentran en las capas externas. La
barca no rota sobre si misma ni se mueve de manera circular. Así como la fuerza centrífuga se equilibra en esta región.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, los fluidos se mueven con más velocidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice tiene un movimiento de giro o rotación que provoca el arrastre de objetos en esa dirección. El fluido se mueve en espiral, y la barca también se ve
arrastrada por ese movimiento. En esta región , el vórtice tiene más fuerza y la barca va a girar y moverse de acuerdo con la dirección del flujo del agua o aire. No se
mantiene paralela a una dirección fija, sino que sigue la misma rotación que el vórtice, moviéndose con el flujo.

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 .\\</math> Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
Primero hablaremos de los tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-12T23:47:27Z

Raquel.am: /* Discontinuidad en la presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

El modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

== Ojo del vórtice ==
Cuando una barca se encuentra en el ojo de un vórtice, lo que sucede depende de la exactitud de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte es donde los fluidos se mantienen estáticos, es decir, no se mueven. En esta sección, el vórtice está calmado, sin la
fuerza de rotación que hay en los bordes. Cuando la barca está en el centro del vórtice, no experimenta la fuerza de rotación que se encuentran en las capas externas. La
barca no rota sobre si misma ni se mueve de manera circular. Así como la fuerza centrífuga se equilibra en esta región.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, los fluidos se mueven con más velocidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice tiene un movimiento de giro o rotación que provoca el arrastre de objetos en esa dirección. El fluido se mueve en espiral, y la barca también se ve
arrastrada por ese movimiento. En esta región , el vórtice tiene más fuerza y la barca va a girar y moverse de acuerdo con la dirección del flujo del agua o aire. No se
mantiene paralela a una dirección fija, sino que sigue la misma rotación que el vórtice, moviéndose con el flujo.

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 </math>. Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales.

Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
Primero hablaremos de los tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-12T23:44:23Z

Raquel.am: /* Discontinuidad en la presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

El modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

== Ojo del vórtice ==
Cuando una barca se encuentra en el ojo de un vórtice, lo que sucede depende de la exactitud de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte es donde los fluidos se mantienen estáticos, es decir, no se mueven. En esta sección, el vórtice está calmado, sin la
fuerza de rotación que hay en los bordes. Cuando la barca está en el centro del vórtice, no experimenta la fuerza de rotación que se encuentran en las capas externas. La
barca no rota sobre si misma ni se mueve de manera circular. Así como la fuerza centrífuga se equilibra en esta región.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, los fluidos se mueven con más velocidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice tiene un movimiento de giro o rotación que provoca el arrastre de objetos en esa dirección. El fluido se mueve en espiral, y la barca también se ve
arrastrada por ese movimiento. En esta región , el vórtice tiene más fuerza y la barca va a girar y moverse de acuerdo con la dirección del flujo del agua o aire. No se
mantiene paralela a una dirección fija, sino que sigue la misma rotación que el vórtice, moviéndose con el flujo.

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.
Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 </math>. Esto representa una discontinuidad de 925 pascales. Según los datos del huracán Camile esta discontinuidad es de 745,99 pascales. Esto se debe a que el vórtice de Rankine es un modelo simplificado de la realidad, que funciona muy bien para vórtices pequeños, pero cuanto más grandes son, más factores entran en juego y por lo tanto más difiere el modelo de la realidad es por eso que en huracanes de categorías altas, como por ejemplo el huracán Katrina, la discontinuidad alcanzo los 5200 pascales.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
Primero hablaremos de los tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-12T22:06:11Z

Raquel.am: /* Discontinuidad en la presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

El modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

== Ojo del vórtice ==
Cuando una barca se encuentra en el ojo de un vórtice, lo que sucede depende de la exactitud de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte es donde los fluidos se mantienen estáticos, es decir, no se mueven. En esta sección, el vórtice está calmado, sin la
fuerza de rotación que hay en los bordes. Cuando la barca está en el centro del vórtice, no experimenta la fuerza de rotación que se encuentran en las capas externas. La
barca no rota sobre si misma ni se mueve de manera circular. Así como la fuerza centrífuga se equilibra en esta región.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, los fluidos se mueven con más velocidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice tiene un movimiento de giro o rotación que provoca el arrastre de objetos en esa dirección. El fluido se mueve en espiral, y la barca también se ve
arrastrada por ese movimiento. En esta región , el vórtice tiene más fuerza y la barca va a girar y moverse de acuerdo con la dirección del flujo del agua o aire. No se
mantiene paralela a una dirección fija, sino que sigue la misma rotación que el vórtice, moviéndose con el flujo.

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|10000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>.

Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple. Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 </math>

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
Primero hablaremos de los tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-12T22:04:46Z

Raquel.am: /* Discontinuidad en la presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

El modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

== Ojo del vórtice ==
Cuando una barca se encuentra en el ojo de un vórtice, lo que sucede depende de la exactitud de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte es donde los fluidos se mantienen estáticos, es decir, no se mueven. En esta sección, el vórtice está calmado, sin la
fuerza de rotación que hay en los bordes. Cuando la barca está en el centro del vórtice, no experimenta la fuerza de rotación que se encuentran en las capas externas. La
barca no rota sobre si misma ni se mueve de manera circular. Así como la fuerza centrífuga se equilibra en esta región.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, los fluidos se mueven con más velocidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice tiene un movimiento de giro o rotación que provoca el arrastre de objetos en esa dirección. El fluido se mueve en espiral, y la barca también se ve
arrastrada por ese movimiento. En esta región , el vórtice tiene más fuerza y la barca va a girar y moverse de acuerdo con la dirección del flujo del agua o aire. No se
mantiene paralela a una dirección fija, sino que sigue la misma rotación que el vórtice, moviéndose con el flujo.

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|800px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|1500px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Rgradiente.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
for j=1:n1
if rr(i,j)<= 300
Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
else
Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
end
end
end

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
for j=1:n2
if Mr(i,j)<=R
u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
v(i,j)=-rho*9.8;
else
uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
vv(i,j)=-rho*9.8;
end
end
end

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off}}

[[Archivo:Cortehorizontal.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:Gradientef.gif|100px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>. Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple. Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos <math> \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 </math>

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
Primero hablaremos de los tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-12T21:43:48Z

Raquel.am: /* Discontinuidad en la presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

El modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

== Ojo del vórtice ==
Cuando una barca se encuentra en el ojo de un vórtice, lo que sucede depende de la exactitud de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte es donde los fluidos se mantienen estáticos, es decir, no se mueven. En esta sección, el vórtice está calmado, sin la
fuerza de rotación que hay en los bordes. Cuando la barca está en el centro del vórtice, no experimenta la fuerza de rotación que se encuentran en las capas externas. La
barca no rota sobre si misma ni se mueve de manera circular. Así como la fuerza centrífuga se equilibra en esta región.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, los fluidos se mueven con más velocidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice tiene un movimiento de giro o rotación que provoca el arrastre de objetos en esa dirección. El fluido se mueve en espiral, y la barca también se ve
arrastrada por ese movimiento. En esta región , el vórtice tiene más fuerza y la barca va a girar y moverse de acuerdo con la dirección del flujo del agua o aire. No se
mantiene paralela a una dirección fija, sino que sigue la misma rotación que el vórtice, moviéndose con el flujo.

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|800px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|1500px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Gradiente5.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|"Campo de presiones"]]

[[Archivo:Gradientef.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>. Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple. <math> 101325-90000=1.225·100^2 </math>

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
Primero hablaremos de los tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-12T21:40:53Z

Raquel.am: /* Discontinuidad en la presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

El modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

== Ojo del vórtice ==
Cuando una barca se encuentra en el ojo de un vórtice, lo que sucede depende de la exactitud de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte es donde los fluidos se mantienen estáticos, es decir, no se mueven. En esta sección, el vórtice está calmado, sin la
fuerza de rotación que hay en los bordes. Cuando la barca está en el centro del vórtice, no experimenta la fuerza de rotación que se encuentran en las capas externas. La
barca no rota sobre si misma ni se mueve de manera circular. Así como la fuerza centrífuga se equilibra en esta región.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, los fluidos se mueven con más velocidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice tiene un movimiento de giro o rotación que provoca el arrastre de objetos en esa dirección. El fluido se mueve en espiral, y la barca también se ve
arrastrada por ese movimiento. En esta región , el vórtice tiene más fuerza y la barca va a girar y moverse de acuerdo con la dirección del flujo del agua o aire. No se
mantiene paralela a una dirección fija, sino que sigue la misma rotación que el vórtice, moviéndose con el flujo.

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|800px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|1500px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Gradiente5.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|"Campo de presiones"]]

[[Archivo:Gradientef.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math> . Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple.

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
Primero hablaremos de los tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-12T21:32:26Z

Raquel.am: /* Discontinuidad en la presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

El modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

== Ojo del vórtice ==
Cuando una barca se encuentra en el ojo de un vórtice, lo que sucede depende de la exactitud de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte es donde los fluidos se mantienen estáticos, es decir, no se mueven. En esta sección, el vórtice está calmado, sin la
fuerza de rotación que hay en los bordes. Cuando la barca está en el centro del vórtice, no experimenta la fuerza de rotación que se encuentran en las capas externas. La
barca no rota sobre si misma ni se mueve de manera circular. Así como la fuerza centrífuga se equilibra en esta región.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, los fluidos se mueven con más velocidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice tiene un movimiento de giro o rotación que provoca el arrastre de objetos en esa dirección. El fluido se mueve en espiral, y la barca también se ve
arrastrada por ese movimiento. En esta región , el vórtice tiene más fuerza y la barca va a girar y moverse de acuerdo con la dirección del flujo del agua o aire. No se
mantiene paralela a una dirección fija, sino que sigue la misma rotación que el vórtice, moviéndose con el flujo.

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|800px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|1500px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Gradiente5.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|"Campo de presiones"]]

[[Archivo:Gradientef.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

<math> En \; r=R
\\ p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}\\</math>
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos <math> P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 </math>

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
Primero hablaremos de los tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-12T21:10:32Z

Raquel.am: /* Discontinuidad en la presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

El modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

== Ojo del vórtice ==
Cuando una barca se encuentra en el ojo de un vórtice, lo que sucede depende de la exactitud de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte es donde los fluidos se mantienen estáticos, es decir, no se mueven. En esta sección, el vórtice está calmado, sin la
fuerza de rotación que hay en los bordes. Cuando la barca está en el centro del vórtice, no experimenta la fuerza de rotación que se encuentran en las capas externas. La
barca no rota sobre si misma ni se mueve de manera circular. Así como la fuerza centrífuga se equilibra en esta región.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, los fluidos se mueven con más velocidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice tiene un movimiento de giro o rotación que provoca el arrastre de objetos en esa dirección. El fluido se mueve en espiral, y la barca también se ve
arrastrada por ese movimiento. En esta región , el vórtice tiene más fuerza y la barca va a girar y moverse de acuerdo con la dirección del flujo del agua o aire. No se
mantiene paralela a una dirección fija, sino que sigue la misma rotación que el vórtice, moviéndose con el flujo.

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|800px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|1500px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Gradiente5.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|"Campo de presiones"]]

[[Archivo:Gradientef.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
view(60, -10); % Vista 3D
title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
pause(0.1); % Pausa entre frames
end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión al igual que la velocidad deberían ser continuas, de hecho según las formulas lo son.

<math> En r=R
p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{o}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{o}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}</math>

<math>P_\infty-P_0=ρ\frac{\Gamma}{2πR} = \rho·V_{o}\left( R \right)</math>

<math>P_0(\frac{1}{2})ρ(\frac{τ}{2πR^2})- ρgz=P_\infty(\frac{1}{2})ρ(\frac{τ}{2πR^2})- ρgz</math>

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
Primero hablaremos de los tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-12T18:55:13Z

Raquel.am: /* Diferencia de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 34) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción==

El modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

== Campo de velocidades ==

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math>(r, θ, z)</math> como <math>\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}</math>, donde:

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,</math>

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en <math>\overrightarrow{e_{\theta}}</math>, por lo que es la misma para todos los valores de z.
El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

'''-Región central (núcleo sólido):''' Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

'''-Región periférica (vórtice potencial):''' Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente).
Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece).
Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

{{matlab|codigo=%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%
Vo = 360; %km/h%
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
for j=1:n
if r(i,j)<=R
u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
else
uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
end
end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off}}

[[Archivo:tornadobridge.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Tornado Bridge]]

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades ==
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que
<math>\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0</math>.

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen <math> r\le R</math> y nula para todos los puntos que cumplen <math>r\gt R</math>.

<math>\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\
\frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{r} & ru_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix} =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\
0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r > R
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
</math>

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.
Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

== Ojo del vórtice ==
Cuando una barca se encuentra en el ojo de un vórtice, lo que sucede depende de la exactitud de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas.
Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

'''- Barca en el ojo del vórtice (centro) :''' esta parte es donde los fluidos se mantienen estáticos, es decir, no se mueven. En esta sección, el vórtice está calmado, sin la
fuerza de rotación que hay en los bordes. Cuando la barca está en el centro del vórtice, no experimenta la fuerza de rotación que se encuentran en las capas externas. La
barca no rota sobre si misma ni se mueve de manera circular. Así como la fuerza centrífuga se equilibra en esta región.

'''- Barca en la parte exterior del vórtice :''' cuando se encuentra en la región exterior, los fluidos se mueven con más velocidad y la situación cambia. El fluido en la
periferia del vórtice tiene un movimiento de giro o rotación que provoca el arrastre de objetos en esa dirección. El fluido se mueve en espiral, y la barca también se ve
arrastrada por ese movimiento. En esta región , el vórtice tiene más fuerza y la barca va a girar y moverse de acuerdo con la dirección del flujo del agua o aire. No se
mantiene paralela a una dirección fija, sino que sigue la misma rotación que el vórtice, moviéndose con el flujo.

== Campo de presiones con planos paralelos a la superficie ==
Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

[[Archivo:Captura de pantalla 2024-11-29 191108.png|800px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300; % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200; % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

Código para animación del campo de presiones

[[Archivo:myanimate.gif|1500px|miniaturadeimagen|derecha|"Animación campo de presiones"]]

{{matlab|codigo=% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);

% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa

% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');

% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90); % Vista 3D

% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end }}

== Campo del gradiente de presión ==
Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

[[Archivo:Gradiente5.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|"Campo de presiones"]]

[[Archivo:Gradientef.gif|2000px|miniaturadeimagen|derecha|"Campo de presiones con su gradiente"]]

{{matlab|codigo=% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
for j = 1:n
for k = 1:n
if R(i, j, k) <= 300
P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
else
P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
end
end
end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
for j = 1:ngr
for k = 1:ngr
if RR(i, j, k) <= 300
PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
else
PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
end
end
end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
clf(fig); % Limpiar la figura

% Superficie isobárica
P_iso = P_range(k);
isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
hold on;

% Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
[idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

% Extraer posiciones y componentes del gradiente
X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

% Superposición del gradiente
quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
'r', 'LineWidth', 1.2);

% Configuración del gráfico
clim([P_min, P_max]); % Límites de color
colorbar;
axis square;
xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
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title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
xlabel('X (m)');
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end}}

== Flujos de masa en el vórtice de Rankine==
<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A}
</math>
=<math>\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 </math>

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

<math>\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta</math>

Para la región <math>0 \le r \le R</math>

<math>\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right]
= \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math>

Para la región <math>R \le r \le 2R</math>

<math>\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta
= \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \
= 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\
=z_0 \rho \Gamma R</math>

<math>
\Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R</math>

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

'''Conclusión:'''

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por <math>\Phi1 </math>, que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.
Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo <math>\Phi2 </math>corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

'''-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi1 </math> muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r.
La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

'''Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅)'''
En esta región:

El flujo <math>\Phi2 </math>refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas.
Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

'''¿Qué significa el resultado total?'''

El resultado:
<math> \frac{z_0\rho\Gamma R}{3}
</math> es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

'''-Centro del vórtice:''' Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

'''-Periferia del vórtice:''' Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

==Discontinuidad en la presión ==
Teóricamente la presión al igual que la velocidad deberían ser continuas, de hecho según las formulas lo son.

<math> En r=R </math>
p(r,z) =
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&P_{o}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{o}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\
&P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

<math>P_\infty-P_0=ρ\frac{\Gamma}{2πR} = \rho·V_{o}\left( R \right)</math>

<math>P_0(\frac{1}{2})ρ(\frac{τ}{2πR^2})- ρgz=P_\infty(\frac{1}{2})ρ(\frac{τ}{2πR^2})- ρgz</math>

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán:
El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

'''-Formación:''' El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
'''-Pico de intensidad:''' Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
'''-Impacto:''' Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
'''-Áreas afectadas:''' Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
'''-Consecuencias:''' Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

== Vórtices ==
Primero hablaremos de los tipos de vórtices que se pueden encontrar:

[[Archivo:Tabla tipos de vórtices.png|800px|miniaturadeimagen|centre|"Tipos de vórtices"]]

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

[[Archivo:Diferencias y similitudes vórtices.png|1000px|miniaturadeimagen|centre|"Diferencias y similitudes de los vórtices"]]

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-12T11:31:10Z

Raquel.am: /* Campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-02T22:02:14Z

Raquel.am: /* Diferencia de presión */

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-02T22:01:22Z

Raquel.am: /* Diferencia de presión */

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-02T22:00:41Z

Raquel.am: /* Diferencia de presión */

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-12-01T11:28:30Z

Raquel.am: /* Aplicaciones de este modelo en huracanes */

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-11-29T10:49:42Z

Raquel.am: /* Divergencia y rotacional del campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-11-28T15:12:03Z

Raquel.am: /* Divergencia y rotacional del campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-11-28T15:08:52Z

Raquel.am: /* Divergencia y rotacional del campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-11-28T12:59:54Z

Raquel.am: /* Divergencia y rotacional del campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-11-28T12:41:09Z

Raquel.am: /* Divergencia y rotacional del campo de velocidades */

El vórtice de Rankine (grupo 34)

2024-11-28T12:15:06Z

Raquel.am: /* Divergencia y rotacional del campo de velocidades */