Modelo de vibraciones con muelles y masas (Grupo 3B)

2017-04-18T11:18:39Z

Rafael Márquez de Prado Arrarás:

{{ TrabajoED | Modelo de vibraciones con muelles y masas (Grupo 3B) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED16/17|Curso 2016-17]] | Alejandro García García - 2006; Cindy Devia Preciado - 2134; Juan Carlos López Segovia - 2183; Lays Oscarina de Souza Soares - 2333; Rafael Ventura Márquez de Prado Arrarás - 2019; Sofía de Miguel González - 2132 }}

En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de tres masas unidas entre sí y con dos paredes en los extremos mediante muelles, que deslizan libremente sobre un plano horizontal.

[[Archivo:Muelles y masas.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

== Modelización del sistema ==

Llamaremos <math> p_i0 </math> a la posición de equilibrio para cada masa y <math> x_i </math> al desplazamiento de cada muelle, el cual consideraremos positivo hacia la derecha. Entonces <math> P_i </math> que es la posición de cada masa se define así::

<math> P_1(t)=p_10+x_1(t) </math>:
<math> P_2(t)=p_20+x_2(t) </math>:
<math> P_3(t)=p_30+x_3(t) </math>:

Llamando <math> k_i </math> a las constantes de recuperación de cada muelle, considerando nulo el rozamiento y ningún amortiguamiento se puede ver que las fuerzas que actúan sobre cada masa son:
Masa 1: <math> F_1=-k_1x_1 </math>:
<math> F_2=k_2(x_2-x_1) </math>
Masa 2: <math> F_3=-k_2(x_2-x_1) </math>:
<math> F_4=k_3(x_3-x_2) </math>
Masa 3: <math> F_5=-k_3(x_3-x_2) </math>:
<math> F_6=-k_4x_3 </math>

Aplicando la Ley de Hooke y la Segunda Ley de Newton se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones::
<math>\begin{cases}m_1x_1''=-k_1x_1+k_2(x_2-x_1)\\m_2x_2''=-k_2(x_2-x_1)+k_3(x_3-x_2)\\m_3x_3''=-k_3(x_3-x_2)-k_4x_3\end{cases}</math>

Ahora transformamos el sistema para sea de orden 1::
<math>\begin{cases}x_1'=v_1\\x_2'=v_2\\x_3'=v_3\\v_1'=\frac{1}{m_1}(-k_1x_1+k_2(x_2-x_1))\\v_2'=\frac{1}{m_2}(-k_2(x_2-x_1)+k_3(x_3-x_2))\\v_3'=\frac{1}{m_3}(-k_3(x_3-x_2)-k_4x_3)\end{cases}</math>

Para resolverlo necesitaremos seis condiciones iniciales que serán las posiciones y velocidades iniciales de cada masa.

== Resolución del sistema ==

En primer lugar resolveremos el sistema tomando los desplazamientos iniciales de las masas como 0.4, 0.9 y 0.6 metros y con velocidad inicial nula en las tres masas. También vamos a considerar que <math> k1 = 3.5N/m </math>, <math> k2 = 2.1N/m </math>, <math> k3 = 2.5N/m </math>, <math> k4 = 3.1N/m </math>, <math> m1 = 2.3kg </math>, <math> m2 = 1.1kg </math>, <math> m3 = 3.3kg </math>, la distancia entre las paredes es de 13 metros y las posiciones de equilibrio de las tres masas son 3, 6 y 9 metros.

De esta forma el problema queda así::
<math>\begin{cases}x_1'=v_1\\x_2'=v_2\\x_3'=v_3\\v_1'=\frac{1}{2.3}(-3.5x_1+2.1(x_2-x_1))\\v_2'=\frac{1}{1.1}(-2.1(x_2-x_1)+2.5(x_3-x_2))\\v_3'=\frac{1}{3.3}(-2.5(x_3-x_2)-3.1x_3)\end{cases}</math>

=== Runge-Kutta ===

El código de Matlab es este:

{{matlab| codigo=
%Datos del problema y discretización

%Tiempo inicial
t0=0;
%Tiempo final
tf=20;
%Tamaño de paso
h=0.025;
%Número de intervalos
N=(tf-t0)/h;
%Vector tiempo
t=t0:h:tf;
y0=[0.4; 0.9;0.6;0;0;0]; %El orden con el que vamos a obtener las soluciones es x1, x2, x3, x1', x2', x3'

%Método numérico

%Creamos el vector de soluciones (vacío)
y=zeros(6,N+1);
%La solución en el inicio es dato
y(:,1)=y0;
%Convertimos el sistema en una matriz por el vector 'y', obteniéndose la función F
F=@(t,y) [y(4);y(5);y(6);(1/2.3)*(-3.5*y(1)+2.1*(y(2)-y(1)));(1/1.1)*(-2.1*(y(2)-y(1))+2.5*(y(3)-y(2)));(1/3.3)*(-2.5*(y(3)-y(2))-3.1*y(3))];
%Aplicamos el método Runge-Kutta
for n=1:N
k1=F(t(n),y(:,n));
k2=F(t(n)+0.5*h,y(:,n)+0.5*k1*h);
k3=F(t(n)+0.5*h,y(:,n)+0.5*k2*h);
k4=F(t(n)+h,y(n)+k3*h);
y(:,n+1)=y(:,n)+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
end
%Ahora para calcular los desplazamientos entorno a las posiciones de
%equilibrio de cada masa, sumamos la propia posición de equilibrio a cada
%una
y(1,:)=y(1,:)+ones(1,N+1)*3;
y(2,:)=y(2,:)+ones(1,N+1)*6;
y(3,:)=y(3,:)+ones(1,N+1)*9;
%Ahora dibujamos el gráfico y añadimos los nombres de los ejes y un título
plot(t,y(1:3,:))
ylabel('Posicion de la masa')
xlabel('Tiempo')
title('Runge-Kutta')
legend('x1(t)','x2(t)','x3(t)');
}}

Y se obtiene la siguiente gráfica:

[[Archivo:RungeKuttaGrupo3B.png|marco|centro]]

En esta gráfica podemos observar que las tres masas no van a oscilar de la misma manera; la uno y la dos lo harán de manera irregular mientras que la tres se asemeja más a un movimiento armónico. Además se ve que las masas no tienden a detenerse para un tiempo infinito sino que oscilan en torno a la posición de equilibrio.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED16/17]]
[[Categoría:Trabajos 2016-17]]

Archivo:RungeKuttaGrupo3B.png

2017-04-18T11:04:29Z

Rafael Márquez de Prado Arrarás:

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Archivo:RungeKuttaGrupo3B.png