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Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-08T10:34:13Z

R.fernandez-reyesd: /* Teorema de Steiner */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. Grupo G9 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2013-14]] | Ramón Fernández-Reyes Doallo, Antón Fernández Arriola, Pablo García González, Adrián Piñeiro Novas }}

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)we3×we3
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)We3x

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las graficas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados)
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
representaremos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros(3,3);
AUX= zeros(3,3);
m=10; % masa de cada particula
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % Elementos de la diagonal principal
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2);
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2);
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h)); % Elementos t,h son el producto de la componentes t,h del vector de posicion
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula obteniendo el tensor momento de inercia.
w=[0 0 1];
Vangular= L*w'
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
Ec= 110
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo obtenemos el momento de inercia en P utilizando el Teorema de Steiner
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*Ig*w'); %Demostración de que el la energia cinetica también se puede calcular de esta manera
}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:

para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M;
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2 %Coordeanda de Xg

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2 %Coordeanda de Yg
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2 %Coordeanda de Zg
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-08T10:31:09Z

R.fernandez-reyesd: /* Momento angular */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. Grupo G9 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2013-14]] | Ramón Fernández-Reyes Doallo, Antón Fernández Arriola, Pablo García González, Adrián Piñeiro Novas }}

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)we3×we3
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)We3x

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las graficas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados)
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
representaremos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros(3,3);
AUX= zeros(3,3);
m=10; % masa de cada particula
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % Elementos de la diagonal principal
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2);
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2);
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h)); % Elementos t,h son el producto de la componentes t,h del vector de posicion
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula obteniendo el tensor momento de inercia.
w=[0 0 1];
Vangular= L*w'
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
Ec= 110
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo obtenemos el momento de inercia en P utilizando el Teorema de Steiner

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:

para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M;
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2 %Coordeanda de Xg

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2 %Coordeanda de Yg
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2 %Coordeanda de Zg
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-08T10:27:53Z

R.fernandez-reyesd: /* Momento angular */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. Grupo G9 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2013-14]] | Ramón Fernández-Reyes Doallo, Antón Fernández Arriola, Pablo García González, Adrián Piñeiro Novas }}

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)we3×we3
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)We3x

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las graficas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados)
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
representaremos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % Elementos de la diagonal principal
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2);
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2);
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h)); % Elementos t,h son el producto de la componentes t,h del vector de posicion
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula obteniendo el tensor momento de inercia.
w=[0 0 1]
Vangular= L*w'
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
Ec= 110
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo obtenemos el momento de inercia en P utilizando el Teorema de Steiner

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:

para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M;
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2 %Coordeanda de Xg

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2 %Coordeanda de Yg
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2 %Coordeanda de Zg
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-05T21:32:10Z

R.fernandez-reyesd: /* Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16 */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. Grupo G9 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2013-14]] | Ramón Fernández-Reyes Doallo, Antón Fernández Arriola, Pablo García González, Adrián Piñeiro Novas }}

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)we3×we3
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)We3x

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las graficas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados)
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
representaremos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
Ec= 110
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo obtenemos el momento de inercia en P utilizando el Teorema de Steiner

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:

para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M;
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2 %Coordeanda de Xg

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2 %Coordeanda de Yg
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2 %Coordeanda de Zg
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-04T13:25:22Z

R.fernandez-reyesd:

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. Grupo G9 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2013-14]] | Ramón Fernández-Reyes Doallo, Antón Fernández Arriola, Pablo García González, Adrián Piñeiro Novas }}

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las graficas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados)
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
representaremos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
Ec= 110
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo obtenemos el momento de inercia en P utilizando el Teorema de Steiner

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:

para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M;
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2 %Coordeanda de Xg

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2 %Coordeanda de Yg
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2 %Coordeanda de Zg
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-04T13:25:05Z

R.fernandez-reyesd:

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. Grupo G9 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2013-14]] | Ramón Fernández-Reyes Doallo, Antón Fernández Arriola, Pablo García González, Adrián Piñeiro Novas }}

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las graficas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados)
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
representaremos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
Ec= 110
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo obtenemos el momento de inercia en P utilizando el Teorema de Steiner

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:

para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M;
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2 %Coordeanda de Xg

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2 %Coordeanda de Yg
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2 %Coordeanda de Zg
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-04T13:24:52Z

R.fernandez-reyesd:

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. Grupo G9 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2013-14]] | Ramón Fernández-Reyes Doallo, Antón Fernández Arriola, Pablo García González, Adrián Piñeiro Novas }}

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las graficas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados)
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
representaremos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
Ec= 110
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo obtenemos el momento de inercia en P utilizando el Teorema de Steiner

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:

para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M;
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2 %Coordeanda de Xg

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2 %Coordeanda de Yg
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2 %Coordeanda de Zg
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-04T13:23:41Z

R.fernandez-reyesd:

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. Grupo G9 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2013-14]] | Ramón Fernández-Reyes Doallo Anton Fernandez Arriola Pablo García González Adrian Piñeiro Novas }}

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las graficas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados)
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
representaremos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
Ec= 110
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo obtenemos el momento de inercia en P utilizando el Teorema de Steiner

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:

para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M;
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2 %Coordeanda de Xg

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2 %Coordeanda de Yg
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2 %Coordeanda de Zg
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-04T13:13:02Z

R.fernandez-reyesd: /* Calculo del centro de masas */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las graficas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados)
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
representaremos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
Ec= 110
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo obtenemos el momento de inercia en P utilizando el Teorema de Steiner

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:

para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M;
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2 %Coordeanda de Xg

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2 %Coordeanda de Yg
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2 %Coordeanda de Zg
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-04T13:11:18Z

R.fernandez-reyesd: /* Teorema de Steiner */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las graficas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados)
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
representaremos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
Ec= 110
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo obtenemos el momento de inercia en P utilizando el Teorema de Steiner

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:

para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M; %Coordeanda de Xg
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-04T13:09:59Z

R.fernandez-reyesd: /* Energía cinética del sistema */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las graficas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados)
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
representaremos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
Ec= 110
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:

para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M; %Coordeanda de Xg
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-04T13:07:26Z

R.fernandez-reyesd: /* Visualización de vectores velocidad */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las graficas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados)
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
representaremos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:

para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M; %Coordeanda de Xg
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-04T13:05:54Z

R.fernandez-reyesd:

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las graficas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados)
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:

para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M; %Coordeanda de Xg
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-04T13:04:50Z

R.fernandez-reyesd:

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las graficas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados)
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:

para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M; %Coordeanda de Xg
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-04T13:04:05Z

R.fernandez-reyesd: /* Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16 */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las graficas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados)
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:

para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M; %Coordeanda de Xg
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-02T10:49:18Z

R.fernandez-reyesd: /* Calculo del centro de masas */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:

para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M; %Coordeanda de Xg
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-02T10:48:56Z

R.fernandez-reyesd: /* Calculo del centro de masas */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big><big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:
para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M; %Coordeanda de Xg
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-02T10:48:01Z

R.fernandez-reyesd: /* Calculo del centro de masas */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big><big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:
para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big><big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big><big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M; %Coordeanda de Xg
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-02T10:47:15Z

R.fernandez-reyesd: /* Calculo del centro de masas */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde <big>dm=densidad*dxdydz</big><big><big>Texto grande</big></big> respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:
para <big>Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ</big><big><big>Texto grande</big>

para <big>Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ</big><big><big>Texto grande</big></big>

para <big>Zg=ρ*cosθ+1</big><big><big>Texto grande</big></big>

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M; %Coordeanda de Xg
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-02T10:46:07Z

R.fernandez-reyesd: /* Calculo del centro de masas */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde dm=densidad*dxdydz respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:
para Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ
para Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ
para Zg=ρ*cosθ+1

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M; %Coordeanda de Xg
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas en 3D (grupo 21C)

2015-12-02T10:45:52Z

R.fernandez-reyesd: /* Centro de masas */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. Grupo 21-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Álvaro Pérez Martín

María Pablos Romero

Jesus Pérez Fernandez }}

En mecánica consideramos un sistema de partículas como un conjunto de N partículas que se mueven por separado, si bien interactúan entre sí y están sometidos a fuerzas externas.
Cada una de las partículas del sistema posee una masa propia, <math> m_{i} </math>, siendo i=1,...,N un índice que sirve para etiquetar individualmente cada una de las partículas. La partícula i está caracterizada por una posición ri y una velocidad vi. Esta posición y esta velocidad evolucionan de acuerdo con las leyes de la dinámica.

En nuestro caso consideramos un conjunto de diez partículas inicialmente situadas en los puntos de coordenadas <big><math>(x_{i},y_{i},z_{i})=(\frac{(i-1)}{5},\frac{sen(π(i-1)}{4},\frac{π(i-1)}{30})</math></big>, i=1,2,3...,10 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Las partículas se encuentran unidas por alambres de masa despreciable de forma que su posición relativa no cambia.

=RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA=
==Representación del sistema de partículas==
A continuación se presenta el dibujo cuyos ejes están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[-2,2].
[[Archivo:Campos1.jpg|miniaturadeimagen|Resultado del visionado de la curva dada]]
El código en MATLAB para obtener la gráfica del sistema sería:
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,10); %Generamos matrices de ceros para escribir sobre las mismas
y=zeros(1,10);
z=zeros(1,10);
for i=1:10 %bucle para introducir las variables en las matrices
x(i)=(i-1)/5;
y(i)=sin(pi*(i-1)/4);
z(i)=pi*(i-1)/30;
end
plot3(x,y,z,"-o")
%plot dibujamos el archivo guion indica trazado y "o" que marque los puntos
axis([-2,2,-2,2,-2,2])

}}

==Cálculo del centro de masas==

Obtenemos el centro de masas del sistema de partículas sabiendo que tienen la misma masa cuyo valor es 10
El código en MATLAB para su obtención es el siguiente:
{{matlab| codigo=
m=10;M=100; %datos de masa de particula y totales
x=zeros(1,10);
y=zeros(1,10);
z=zeros(1,10);
for i=1:10
x(i)=m*(i-1)/5;
y(i)=m*sin(pi*(i-1)/4);
z(i)=m*pi*(i-1)/30;
end
xg=0;
yg=0;
zg=0;
for i=1:10 %bucle que a los puntos con la masa ya asignada suma todas las componentes posibles del mismo para dividir entre masa total
xg=x(i)+xg;
yg=y(i)+yg;
zg=z(i)+zg;
end
Xg=xg/M;
Yg=yg/M;
Zg=zg/M;
G=[Xg Yg Zg];%coordenadas del centro de masas
sprintf("El centro de masas es: %f %f %f",G)
plot3(Xg,Yg,Zg,"*g") %comando de visualización del mismo
}}

El gráfico obtenido sería:

[[Archivo:Curvag.jpg|500x500px|marco|centro|Curva con el centro de gravedad]]
el centro de masas es: [x,y,z]=[0.9 0.070711 0.471239]

==Matriz de rotación==
Las Matrices de rotación siguen la expresión:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

Construímos la matriz de componentes asociada a la rotación de eje ω=e3 y ángulo θ= π/16 con los siguientes cálculos en MATLAB:

{{matlab| codigo=
th=pi/16; %Angulo para la rotación
eje=[0,0,1]; %Eje a elegir
mod=eje*eje';%Modulo del vector para conseguir un vector unitario
ejef=eje/sqrt(mod); %vector unitario
A=cos(th)*eye(3); %Primera expresión de la Rotación tomando una matriz identidad
B=(1-cos(th))*(ejef'*ejef);%Segunda expresión obteniendo el tensor diada
C=sin(th)*[0 -ejef(3) ejef(2);ejef(3) 0 -ejef(1);-ejef(2) ejef(1) 0];% Tercera expresión del wx
R1=A+B+C; %La rotación es la suma de las tres matrices anteriores;
}}

Repetimos los cálculos cambiando el eje por ω=e1, ω=e2 y ω=e1+e2+e3

ω=e3=\begin{pmatrix} 0,98079 & -0,19509 & 0 \\ 0,19508 & 0,98079 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix};ω=e1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,98079 & -0,19509 \\ 0 & 0,19509 & 0,98079\end{pmatrix}
ω=e2=\begin{pmatrix} 0,98079 & 0 & 0,19509 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,19509 & 0 & 0,98079\end{pmatrix}
ω=e1+e2+e3=\begin{pmatrix} 0,98079 & -0,1062 & 0,1190 \\ 0,1190 & 0,98079 & -0,1062\\ -0,1062 & 0,1190 & 0,98079\end{pmatrix}

==Relación entre la velocidad y la posición mediante una matriz antisimétrica==
Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario <math>\overrightarrow{\omega} </math> de manera que la variación viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0,π] es el tiempo.
Vamos a demostrar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema esta relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A. Es decir:

<math>\overrightarrow{V_{i}}(t)=\frac{d\overrightarrow{r_{i}}(t)}{dt}=A\cdot \overrightarrow{r_{i}}(t)</math>, para todo i=1,2,...,10

:Sabemos que <math>\overrightarrow{r_{i}}(t)=cosθ(t)11+(1-cosθ(t))\overrightarrow{\omega}\otimes \overrightarrow{\omega}+senθ(t)\overrightarrow{\omega}× </math>

:Entonces <math>\frac{d\overrightarrow{r_{i}}(t)}{dt}=\overrightarrow{r′_{i}}(t)=-θ′(t)sen(t)11+θ′(t)sen(t)\overrightarrow{\omega}\otimes \overrightarrow{\omega}+θ'(t)cos(t)\overrightarrow{\omega}×=θ'(t)[-senθ(t)11+senθ(t)\overrightarrow{\omega}\otimes \overrightarrow{\omega}+cosθ(t)\overrightarrow{\omega}×]</math>

:La matriz antisimétrica <math>A=θ'(t)\overrightarrow{\omega}×</math>

:Realizamos la siguiente operación: <math>A\cdot \overrightarrow{r_{i}}(t)=(θ'(t)\overrightarrow{\omega})×\overrightarrow{r_{i}}(t)=θ'(t)[-senθ(t)11+senθ(t)\overrightarrow{\omega}\otimes \overrightarrow{\omega}+cosθ(t)\overrightarrow{\omega}×]</math> cuyo resultado, podemos comprobar que es equivalente a la derivada de <math>\overrightarrow{r_{i}}(t)</math> realizada en el paso anterior

==Velocidad de las particulas con <math>\overrightarrow{ω}=\overrightarrow{e_{3}}</math>==
Aplicamos una rotación de eje <math>\overrightarrow{e_{3}}</math> al sistema y representamos los vectores velocidad de cada particula mediante el siguiente programa:
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,10);% Matrices de ceros para inscribir en ellas
y=zeros(1,10);
z=zeros(1,10);
for i=1:10 %Bucle para obtener las coordenadas de los puntos
x(i)=(i-1)/5;
y(i)=sin(pi*(i-1)/4);
z(i)=pi*(i-1)/30;
end
th=pi/12; %Ángulo de giro decidido para experimentar dicha rotación
eje=[0,0,1];
A=cos(th)*eye(3); %Matrices de la rotación
B=(1-cos(th))*(eje'*eje);
C=sin(th)*[0 -eje(3) eje(2);eje(3) 0 -eje(1);-eje(2) eje(1) 0];
R1=A+B+C;
pos=[x',y',z']; % Ensamblaje de las coordenadas de todos los puntos en una matriz
vel=pos*R1; %Con el producto de las coordenadas con la rotación obtenemos los puntos finales de cada una de las coordenadas de los puntos.
vfx=vel(:,1)';
vfy=vel(:,2)';
vfz=vel(:,3)';
tre=vel-pos;
hold on %mantenemos el gráfico para obtener el grafico de las posiciones iniciales y el de los vectores que unen la posición final con la inicial
plot3(x,y,z,"-*")
quiver3(x,y,z,vfx,vfy,vfz,"r--")
axis([-2,2,-2,2,-2,2])
hold off
}}
Y cuya figura es la siguiente:
[[Archivo:Velocidad9.jpg|500x500px|marco|centro|Velocidad aplicada a los puntos del sistema]]

==Definición del momento angular==

Supongamos un sistema de n partículas cuyas masas son: m1,m2,...,mn; y cuyos vectores de posición respecto a un punto O, en un instante determinado son: r1,r2,...,rn. Definimos el momento angular del sistema con respecto al punto O como: el vector '''L''', que resulta de la suma de los productos vectoriales del vector posición '''ri''' , de cada partícula, por su momento lineal. Aplicado a nuestro sistema seria:

<math> L=\sum_{i=1}^{10}\bar{r_i} \times m_i \bar{v_i}</math>

Suponiendo que los puntos se mueven a una velocidad angular <math>\overrightarrow{w} </math> , sustituyendo en la expresión anterior por <math> \bar{v_i} = \bar{w} \times\bar{r_i}</math> y utilizando la regla de expulsión comprobamos que:

<math> L= \sum_{i=1}^{10} \bar{r_i} \times m_i \bar{v_i}= \sum_{i=1}^{10} \bar{r_i} \times m_i (w \times \bar{r_i}) = \sum_{i=1}^{10} m_i [\bar{r_i} \times(w \times \bar{r_i})] = \sum_{i=1}^{10} m_i [(\bar{r_i}\bar{r_i})w - (\bar{r_i}w)\bar{r_i}] = \sum_{i=1}^{10} m_i [(\bar{r_i}\bar{r_i})1 - \bar{r_i} \otimes\bar{r_i}]w = (\sum_{i=1}^{10} I_0)w = Iw </math>

de esta comprobación obtenemos que <math> I_0 =\sum_{i=1}^{10} m_i [(\bar{r_i}\bar{r_i})1 - \bar{r_i} \otimes\bar{r_i}]</math> es el tensor de inercia de orden 2 simétrico, por lo que el momento angular de un sistema de partículas se puede expresar como <math>L = Iw </math>

El programa para calcular el momento angular suponiendo ω=e3 sería:
{{matlab| codigo=
w=[0 0 1];% eje
x=zeros(1,10);
y=zeros(1,10);
z=zeros(1,10);
m=10;
for i=1:10 %bucle de las posiciones
x(i)=(i-1)/5;
y(i)=sin(pi*(i-1)/4);
z(i)=pi*(i-1)/30;
end
A=[x',y',z']; %matriz de las posiciones
v=zeros(10,3);%Generamos un vector vacio para las velocidades
L=zeros(10,3);% Otro vector vacio de las posiciones de los momentos angulares
for i=1:10
a=[cross(w,A(i,:))]; %Hacemos el producto vectorial de w por r obteniendo v;
v(i,:)=a;
L(i,:)=m*[cross(A(i,:),v(i,:))];%Volvemos ha hacer el producto vectorial para obtener todos los vectores del momento angular.
end
Lg=zeros(1,3);
for i=1:10 %Bucle para sumar todos los vectores del momento angular
Lg=L(i,:)+Lg;
end
Lg %llegando a obtener Lg que es la suma de todos los momentos angulares
}}
Lg=(-59,6903 ; 3,4483 ; 159)

==Energía total del sistema==
La energía cinética de un cuerpo es aquella que posee debido a su movimiento. Esta se define como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa determinada desde el reposo hasta la velocidad indicada, y cuya ecuacion es la siguiente:

<math> Ec= \sum_{i=1}^{10}\frac{1}{2}m_{i}|v_{i}|^{2}</math>
Sabiendo que <math>\overrightarrow{v_{i}} = \overrightarrow{\omega}×\overrightarrow{r_{i}}</math>, podemos demostrar que la energía cinética también se puede definir como:

<math>Ec =\frac{1}{2}(\overrightarrow{\omega}·I·\overrightarrow{\omega})</math>, donde <math>I</math> es el tensor de inercia.

:Sabemos por el apartado anterior que <math>I= m_{i}(|\overrightarrow{r_{i}}|^{2}1 - \overrightarrow{r_{i}}⊗\overrightarrow{r_{i}})</math>. Entonces, sustituyendo en la ecuación anterior:
<math>Ec = \sum_{i=1}^{10}\frac{1}{2}m_{i}|v_{i}|^{2} → \frac{1}{2}m_{i}|\overrightarrow{\omega}×\overrightarrow{r_{i}}|^{2}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\omega}·I·\overrightarrow{\omega})= \overrightarrow{\omega}·(m_{i}(|\overrightarrow{r_{i}}|^{2}1 - \overrightarrow{r_{i}}⊗\overrightarrow{r_{i}}))·\overrightarrow{\omega} = \overrightarrow{\omega}·(m_{i}|\overrightarrow{r_{i}}|^{2}·\overrightarrow{\omega} - m_{i}(\overrightarrow{r_{i}}·\overrightarrow{\omega})·\overrightarrow{r_{i}}) = m_{i}(|\overrightarrow{r_{i}}|^{2}·(\overrightarrow{\omega})^{2}-|\overrightarrow{r_{i}}·\overrightarrow{\omega}|^{2})</math>, vemos que:

:<math> m_{i}|\overrightarrow{\omega}×\overrightarrow{r_{i}}|^{2} = m_{i}(|\overrightarrow{r_{i}}|^{2}·(\overrightarrow{\omega})^{2}-|\overrightarrow{r_{i}}·\overrightarrow{\omega}|^{2})</math>, quedando demostrada la definición propuesta.

El programa para calcular la energía cinética del sistema sería:
{{matlab| codigo=
w=[0 0 1]; % Eje de la velocidad angular
x=zeros(1,10);
y=zeros(1,10);
z=zeros(1,10);
for i=1:10 %Bucle para las posiciones
x(i)=(i-1)/5;
y(i)=sin(pi*(i-1)/4);
z(i)=pi*(i-1)/30;
end
r=[x',y',z']; % Matriz que une las posiciones
for i=1:10 % Aplicamos la definición dada haciendo el producto vectorial de w y a
a=r(i,:);
kl(:,i)=cross(w,a);
end
K=kl';%Obtenemos una matriz de los vectores obtenidos en el producto vectorial
a=zeros(10,1);
b=0;
for i=1:10
a(i)=(K(i,:)*K(i,:)'); %Hacemos un bucle que almacena el modulo de cada uno de los vectores hallados anteriormente
b=a(i)+b; %Y lo sumamos con el anterior obteniendo un sumatorio de todos
end
energiacinetica=0.5*10*b
}}
Obteniendose una energia de 79,5J

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

Hemos diseñado un programa capaz de resolver el teorema de Steiner de la siguiente manera:
{{matlab| codigo=
m=10;
p=[0.9 0.070711 0.471239];%Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
Mg=[0.9 0.070711 0.471239]; % Coordenadas del centro de masas
a=Mg-p;
B=m*(((a*a')*eye(3))-a'*a); %Matriz del elemento que toma como 'a' el vector que une P con MG
x=zeros(1,10);
y=zeros(1,10);
z=zeros(1,10);
for i=1:10 %Bucle para obtener las coordenadas
x(i)=(i-1)/5;
y(i)=sin(pi*(i-1)/4);
z(i)=pi*(i-1)/30;
end
pos=[x' y' z'];
Ig=zeros(3,3);
for i=1:10
Ig=m*(pos(i,:))*(pos(i,:)')*eye(3)-m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
%Que viene de la definición anterior
end
Ip=Ig+B
}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Estos tienen la propiedad interesante de que un sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. El hecho de que el giro alrededor de un eje principal sea tan simple se debe a que, cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular <math>\overrightarrow{\omega}</math> son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<math>L=I·\overrightarrow{\omega}=λ·\overrightarrow{\omega}</math>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Puede probarse además que si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,10);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,10);
z=zeros(1,10);
Mg=[0.9 0.070711 0.471239];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:10 %Bucle para obtener las coordenadas
x(i)=(i-1)/5;
y(i)=sin(pi*(i-1)/4);
z(i)=pi*(i-1)/30;
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz general de las posiciones con las coordenadas obtenidas
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:10 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig obtenido en los apartados anteriores
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
ve1=a(:,1)';
ve2=a(:,2)';
ve3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
rx1=Mg(1)+l*ve1(1); %A cada recta viene dada por el punto Mg centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
ry1=Mg(2)+l*ve1(2);
rz1=Mg(3)+l*ve1(3);
rx2=Mg(1)+l*ve2(1);
ry2=Mg(2)+l*ve2(2);
rz2=Mg(3)+l*ve2(3);
rx3=Mg(1)+l*ve3(1);
ry3=Mg(2)+l*ve3(2);
rz3=Mg(3)+l*ve3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Mantenemos el gráfico para dibujar el grafico y las tres rectas.
plot3(rx1,ry1,rz1,"r")
plot3(rx2,ry2,rz2,"g")
plot3(rx3,ry3,rz3,"k")
}}
Quedando representado en el sistema de la siguiente manera:
[[Archivo:Autovec.jpg|500x500px|marco|centro]]

=Tensor de inercia respecto a un sólido=
Vamos calcular el tensor de inercia respecto a un solido. Para ello podemos utilizar las sumas anteriores interpretándolas como integrales.
Consideramos una placa en forma de anillos semicircular centrado en el origen con radios 1 y 2 y espesor 0,2.Trabajaremos en centímetros y en coordenadas cilíndricas y su densidad d depende del radio, es decir que <big><math>d(ρ, θ, z) = \frac{1}{ρ} (\frac{Kg}{cm^{3}})</math></big>.

==Masa total del solido en función de la densidad==
El calculo de la masa total del solido se obtiene de integrar su volumen por su densidad. Quedando una integral a resolver en coordenadas cilíndricas en función de '''ρ''' por lo que, teniendo en cuenta la función de la densidad, la integral que queda a calcular es <big><math>\frac{ρ}{ρ}=1</math></big> . De este modo obtenemos una integral doble multiplicada por una simple que seria el área del disco por la altura del mismo.

El programa base para obtener estas integrales utilizando el método del trapecio es:
{{matlab| codigo=
h=1000;%Numero de puntos que tomamos
zf=20;zi=0; %Intervalos final e inicial que va a tomar Z
pf=200;p0=100;%Intervalos final e inicial que va a tomar p
thf=2*pi;thi=0; %Intervalos final e inicial que va a tomar theta
h1=(pf-p0)/h; %hacemos el mismo espaciado entre todas las variables para que tengan el mismo numero de puntos
h2=(thf-thi)/h;
h3=(zf-zi)/h;
a=p0:h1:pf;b=thi:h2:thf;c=zi:h3:zf; %Hacemos el interespaciado de todos las variables de manera que todas tendrán la misma dimensión
f=ones(h+1,1); %seria la matriz de la Integral Simple
i=ones(h+1,h+1);%seria la matriz de la Integral Doble
w=ones(h+1,1);
w(1)=1/2; w(h+1)=1/2;
i1=h3*w'*f; %Resultado de la primera integral simple en funcion de z
i2=h1*h2*w'*i*w;% Resultado de la integral doble en funcion de p y th
intf=i1*i2 % El resultado final es la suma de ambas integrales
}}
Siendo la masa total 1256,6 Kg

==Centro de masas==
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]
Por lo que hacemos el siguiente programa utilizando la regla del trapecio.
{{matlab| codigo=
h=1000;%Numero de puntos que tomamos
zf=20;zi=0; %Intervalos final e inicial que va a tomar Z
pf=200;p0=100;%Intervalos final e inicial que va a tomar p
thf=2*pi;thi=0; %Intervalos final e inicial que va a tomar theta
h1=(pf-p0)/h; %hacemos el mismo espaciado entre todas las variables para que tengan el mismo numero de puntos
h2=(thf-thi)/h;
h3=(zf-zi)/h;
a=p0:h1:pf;
b=thi:h2:thf;
c=zi:h3:zf;
w=ones(h+1,1);
w(1)=1/2; w(h+1)=1/2;
M=1256.6;% Masa total del sistema
[r0,theta]=meshgrid(a,b); %Mallado de puntos para obtener ro y theta
%Coordenadas XG
x1=r0; %La integral de masa x tiene como función ro*cos(th)
x2=cos(theta);
x3=ones(h+1,1);
%Coordenadas YG
y1=r0; %La integral de masa y tiene como función ro*sen(th)
y2=sin(theta);
y3=ones(h+1,1);
%Coordenadas ZG %La integral de masa z tiene como función z
z1=ones(h+1,1);
z2=ones(h+1,1);
z3=c';
%Procedemos al calculo de componentes.
inx1=h1*w'*x1*w; %integral simple en funcion de ro
inx2=h2*w'*x2*w; %integral simple en funcion de theta
inx3=h3*w'*x3; %integral simple en funcion de z
Xg=inx1*inx2*inx3/M % coordenada x del centro de masas
iny1=h1*w'*y1*w; %integral simple en funcion de ro
iny2=h2*w'*y2*w; %integral simple en funcion de thetha
iny3=h3*w'*y3; %integral simple en funcion de z
Yg=iny1*iny2*iny3/M % coordenada y del centro de masas
inz1=h1*w'*z1*w; %integral simple en funcion de ro
inz2=h2*w'*z2*w; %integral simple en funcion de theta
inz3=h3*w'*z3; %integral simple en funcion de z
Zg=inz1*inz2*inz3/M % coordenada z del centro de masas
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0000
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

==Momento de inercia==
Para hallar la expresión del momento de inercia del Disco podemos aplicar la definición hallada en el apartado 6:
[[Archivo:Tensorinercia.png|258x72px|sinmarco|centro]]
De esta manera podemos hacer un programa en matlab muy similar a los anteriores para obtener dicho tensor, el cual sería:
{{matlab| codigo=
xg=0;
yg=0;
zg=10;
M=1256.6;
a=[xg,yg,zg];%vector que une el centro de masas
Ig=M*(a*a')*eye(3)-M*(a'*a)
}}
De manera que
Ig=\begin{pmatrix} 12566 & 0 & 0 \\ 0 & 12566 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-02T10:44:11Z

R.fernandez-reyesd: /* Calculo del tensor de inercia de un solido */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) =|cosθ| + 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde dm=densidad*dxdydz respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:
para Xg= ρ^2*cos^2(θ) teta+ro*cosθ
para Yg=ρ^2*senθ*cosθ+ρ*senθ
para Zg=ρ*cosθ+1

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M; %Coordeanda de Xg
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0003
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-02T10:40:14Z

R.fernandez-reyesd: /* Calculo del centro de masas */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
Las coordenadas del centro de masas vienen dadas por la integral
[[Archivo:Centrodemasase10.JPG|849x108px|sinmarco|centro]]

donde dm=densidad*dxdydz respectivamente asi pues nuestros integrandos en cilidriacas y habiendolos multiplicado por el jacobiano serán:
para Xg= ro^2*cos^2 teta+ro*costeta
para Yg=ro^2*seno(teta)*cos(teta)+ro*sen teta
para Zg=ro*cos(teta)+1

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M; %Coordeanda de Xg
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0003
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-02T10:34:15Z

R.fernandez-reyesd: /* Calculo del centro de masas */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
fx4=ro^2;
fx5=cos(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
fy4=ro^2;
fy5=sin(teta)*cos(teta);
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
fz4=ro;
fz5=cos(teta);
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
intx4=h1*w'*fx4*w;
intx5=h2*w'*fx5*w;
xg1=intx1*intx2*intx3/M; %Coordeanda de Xg
xg2=intx4*intx5/M;
xG=xg1+xg2

%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
inty4=h1*w'*fy4*w;
inty5=h2*w'*fy5*w;
yg1=inty1*inty2*inty3/M;
yg2=inty4*inty5/M;
yG=yg1+yg2
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
intz4=h1*w'*fz4*w;
intz5=h2*w'*fz5*w;
zg1=intz1*intz2*intz3/M;
zg2=intz4*intz5/M;
zG=zg1+zg2
}}

El resultado nos da
Xg =-1.3719e-004
Yg =-6.7179e-004
Zg =10.0003
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-02T09:29:17Z

R.fernandez-reyesd: /* Calculo de la masa total */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N;
h1=(ro2-ro1)/N; %Longitud de cada particion
h2=(tt2-tt1)/N;
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
xg=intx1*intx2*intx3/M %Coordeanda de Xg
%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
yg=inty1*inty2*inty3/M
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
zg=intz1*intz2*intz3/M
}}

El resultado nos da
Xg =-1.1148e-08
Yg =5.2383e-09
Zg =10.0003
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-02T09:28:44Z

R.fernandez-reyesd: /* Calculo de la masa total */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilíndricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; tt1=0; tt2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos expresados en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(tt2-tt1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=tt1:h2:tt2; %Vector de la partición para cada variable con intervalos cada h,h1,h2
fun1=ones(N+1,1); %La funcion de la integral simple que es 1
fun2=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble que tambien es 1
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Siguiendo el metodo del trapecio el primer y ultimo termino de w es 1/2
simple=h*w'*fun1; %Resultado de la integral simple
doble=h1*h2*w'*fun2*w; %Resultado de la integral doble
triple=simple*doble %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
xg=intx1*intx2*intx3/M %Coordeanda de Xg
%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
yg=inty1*inty2*inty3/M
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
zg=intz1*intz2*intz3/M
}}

El resultado nos da
Xg =-1.1148e-08
Yg =5.2383e-09
Zg =10.0003
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-02T09:22:30Z

R.fernandez-reyesd: /* Calculo de la masa total */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
xg=intx1*intx2*intx3/M %Coordeanda de Xg
%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
yg=inty1*inty2*inty3/M
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
zg=intz1*intz2*intz3/M
}}

El resultado nos da
Xg =-1.1148e-08
Yg =5.2383e-09
Zg =10.0003
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-12-01T22:37:18Z

R.fernandez-reyesd: /* Calculo de la masa total */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
xg=intx1*intx2*intx3/M %Coordeanda de Xg
%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
yg=inty1*inty2*inty3/M
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
zg=intz1*intz2*intz3/M
}}

El resultado nos da
Xg =-1.1148e-08
Yg =5.2383e-09
Zg =10.0003
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 2-A)

2015-12-01T22:35:36Z

R.fernandez-reyesd: /* Calculo del tensor de inercia de un solido */

{{ TrabajoED | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 2-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] |
Arévalo Lecanda, Javier

Bezares Planells, Catalina

Buitrago Peña, Marcos

Jiménez Ocampo, Estefanía

López Gilabert, Tamara }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 10 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = ((i − 1)/5,sin(π(i − 1)/4), π(i −1)/30), i = 1, 2, ..., 10 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.
[[Archivo:Imagen Problema 1.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Visualizacion de un sistema de particulas]]
{{matlab|codigo=
i=(1:10);
x=(i-1)/5; %Coordenadas x de las partículas según i
y=sin(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las partículas según i
z=pi*(i-1)/30; %Coordenadas z de las partículas según i
f=[x;y;z]; % coordenadas de las partículas según i
plot3(f(1,:),f(2,:),f(3,:),'o-','MarkerFaceColor','b') % Dibujar las partículas en azul unidas por un alambre
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la región [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 10 particulas y cada particula tiene la misma masa mi=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
(∑inrimi)/M donde M es la masa total (10×10=100) y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. La funcion que usaremos es la siguiente;

{{matlab|codigo=
function [cx,cy,cz] = CentroMasa(x,y,z)
%CentroMasa Coje un cierto numero de puntos con cordenadas en x,y,z y devuele su centro de masas
m=10; % Masa de una particula
M=100; %Masa de las 10 particulas
cx=0; cy=0; cz=0; % Damos un valor inicial de 0 a las coordenadas del centro de masas
for i=1:10
cx=cx+x(i)*m; %Sumatorio de las coordenadas x de las particulas por su masa
cy=cy+y(i)*m; %Sumatorio de las coordenadas y de las particulas por su masa
cz=cz+z(i)*m; %Sumatorio de las coordenadas z de las particulas por su masa
end
cx=cx/M; %Centro de masas en la coordenada x
cy=cy/M; %Centro de masas en la coordenada y
cz=cz/M; %Centro de masas en la coordenada z
end
}}
El centro de masas obtenido es
cx=0.9000
cy=0.0707
cz=0.4712

===Visualicacion del centro de masas===
Implementando esta funcion a nuestro codigo de obtenemos lo siguiente:

[[Archivo:Imagen Problema 2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Visualicacion del centro de masas]]
{{matlab|codigo=
hold on
i=(1:10); %Variable i
x=(i-1)/5; %Coordenadas x de las particulas segun i
y=sin(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=pi*(i-1)/30; %Coordenadas z de las particulas segun i
[cx,cy,cz]=CentroMasa(x,y,z); %Usamos la funcion para calcular el centro de masas
f=[x;y;z]; % Coordenadas de las particulas segun i
plot3(cx,cy,cz,'o','MarkerFaceColor','g') %Dibujamos el centro de masas de las particulas en verde
plot3(f(1,:),f(2,:),f(3,:),'o-','MarkerFaceColor','b') % Dibujamos las particulas
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para conseguir esta matriz hemos usado el siguiente codigo:

{{matlab|codigo=
% La Matriz de rotacion, R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux
v=[0 0 1]; %Introducimo el eje de giro
t=pi/16; %Introducimos el angulo de giro
w=v/sqrt(sum(v.^2)); %Convierte el eje de giro en un vector unitario
R1=eye(3)*cos(t); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(w,w')*(1-cos(t)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -w(3) w(2); w(3) 0 -w(1);-w(2) w(1) 0]*sin(t); % Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux
R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);
}}

La matriz de rotacion R obtenida es:
0.9808 -0.1951 0
0.1951 0.9808 0
0 0 1.0000

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder entonces visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado. (Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados, el eje verde es el eje de giro)

[[Archivo:Imagen_Problema_2_2.jpg|derecha|miniaturadeimagen|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]
{{matlab|codigo=
i=(1:10);
x=(i-1)/5; %Coordenadas x de las particulas segun i
y=sin(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=pi*(i-1)/30; %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; % coordenadas de las particulas segun i
R=[0.9808 -0.1951 0; 0.1951 0.9808 0; 0 0 1.0000]; %matriz de rotacion calculada
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R)'; % Rota las particulas
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') % Dibujar las particulas
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
}}

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Si queremos ahora rotar los puntos con otro eje de giro usamos un procedimiento analogo al que hemos usado en el apartado 3.1 (usamos el mismo codigo) . Lo que tenemos que hacer es volver a calcular la matriz de rotacion. Para los ejes ω = e1, ω = e2 el procedimiento es casi identico, solo habria que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0] y v=[0 1 0] respectivamente. Para el que si que cambia un poco es para el eje ω = e1+e2+e3 ya que tenemos que añadir una linea de codigo mas para convertir el vector v=[1 1 1] en un vector unitario como precisa el tensor de rotacion.

{{matlab|codigo=
v=[1 1 1]; %Introducimo el eje de giro
w=v/sqrt(sum(v.^2)); %Convierte el eje de giro en un vector unitarios
}}

Las matrices obtenidas son=
Rotacion con eje ω = e1 y angulo θ= π/16
1.0000 0 0
0 0.9808 -0.1951
0 0.1951 0.9808

Rotacion con eje ω = e2 y angulo θ= π/16
0.9808 0 0.1951
0 1.0000 0
-0.1951 0 0.9808

Rotacion con eje ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16
0.9872 -0.1062 0.1190
0.1190 0.9872 -0.1062
-0.1062 0.1190 0.9872

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para poder ahora visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 (usamos el mismo codigo) . De esta manera conseguimos sistema de puntos rotados. (Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados, el eje verde es el eje de giro)
[[Archivo:Imagen Problema 3 1.jpg|miniaturadeimagen|izquierda|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16]]
[[Archivo:Imagen Problema 3 2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω = e2 y angulo θ= π/16]]
[[Archivo:Imagen Problema 3 3.jpg|miniaturadeimagen|izquierda|Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω = e1+e2+e3y angulo θ= π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ^'(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

== Dibujar los vectores velocidad de las partículas cuando ϖ=e3 ==

Para poder dibujar los verctores velocidad de las particulas primero tenemos que calcularlo. Como nos dicen que θ varia con el tiempo nuestro vector posicion r tambien lo hara. r(t)=cos(t)xi+sin(t)yj+zk. Para sacar el vector velocidad tenemos que derivar el vector posicion respecto al tiempo: v(t)=-sin(t)xi +cos(t)yj.
El codigo que hemos usado para visualizarlo es el siguiente
[[Archivo:Imagen Problema 6.jpg|miniaturadeimagen|Visualizacion del vector de velocidad]]
{{matlab|codigo=
i=(1:10);
x=(i-1)/5; %Coordenadas x de las particulas segun i
y=sin(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=pi*(i-1)/30; %Coordenadas z de las particulas segun i
t=zeros(1,10); %valor inicial de la t para todos los puntos
u=-sin(t); %componente de la i del vector velocidad
v=cos(t); %componente de la j del vector velocidad
w=zeros(1,10); %componente de la k del vector velocidad
hold on
quiver3(x,y,z,u,v,w); %dibuja los vectores
f=[x;y;z]; % coordenadas de las particulas segun i
plot3(f(1,:),f(2,:),f(3,:),'o-','MarkerFaceColor','b') % Dibujar las particulas
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
}}

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de diez partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

A continuación, se demuestra que el momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

Sabiendo que

[[Archivo:formula 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

===Calculo del tensor de inercia===
Para calcular la expresión tensorial de I y sus componentes en la base {ē1,ē2,ē3} usaremos el siguiente codigo;

{{matlab|codigo=
m=10; %masa de cada particula
I=0; %valor inicial del tensor de inercia
for i=1:10 %sumatorio de cada tensor de inercia
x=(i-1)/5; %Coordenadas x de las particulas segun i
y=sin(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=pi*(i-1)/30; %Coordenadas z de las particulas segun i
v=[x,y,z]; %vector de posicion
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=I+(I1-I2)*m; %Tensor de Inercia para cada particula
end %fin del sumatorio
disp(I); %valor final y total del tensor de inercia}}

El tensor de inercia calculado es :
76.2537 6.5858 -59.6903
6.5858 145.2537 3.4483
-59.6903 3.4483 159.0000

===Conclusiones===
El momento angular de un sistema de partículas se conserva en ausencia de momentos externos. Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias. Es importante destacar que para calcular la suma de los momentos de las fuerzas externas es necesario calcular el momento de cada una de las fuerzas y luego sumarlos todos vectorialmente, es decir, no es válido sumar primero las fuerzas externas y luego calcular el momento de la resultante.

== Energía cinética del sistema de partículas ==

Llamemos ri al radiovector de un cierto punto del sólido, visto desde el sistema inercial rCM a la posición del centro de masas (CM) del sólido y r al mismo punto visto desde el sistema de referencia situado en el centro de masas (CM):

[[Archivo:E_L_T_4.jpg|izquierda]]

Derivando respecto al tiempo

[[Archivo:E_L_T_5.jpg|izquierda]]

Si el sólido gira, la velocidad es distinta de cero, pero ya que se trata de un movimiento de rotación, es más conveniente escribir

[[Archivo:E_L_T_9.jpg|izquierda]]

donde w es un vector cuya magnitud indica la velocidad de giro y cuya dirección es la del eje respecto al cual se produce el giro. La energía cinética del sólido será

[[Archivo:E_L_T_10.jpg|izquierda]]

donde 10 es el número de partículas que lo componen.

Es más conveniente tratar el sólido como un medio continuo. En lugar de sumar sobre las partículas, hemos de integrar sobre elementos de masa

[[Archivo:E_L_T_11.jpg|izquierda]]

siendo ρ la densidad del medio. Así,

[[Archivo:E_L_T_12.jpg|izquierda]]

donde vI es la velocidad que tiene, en un instante dado, el elemento de volumen d3r con masa la indicada anteriormente. Escribiendo vI en términos de vCM y v.

[[Archivo:E_L_T_13.jpg|izquierda]]

Dividiendo la integral anterior en tres subintegrales deducimos que la que se necesita para dicha demostración es la Ec3.

Las integrales resultantes son:

[[Archivo:E_L_T_14.jpg|izquierda]]

Desarrollando el producto vectorial, podemos reescribir el último término como:

[[Archivo:E_L_T_15.jpg|izquierda]]

donde xi son las componentes cartesianas de r. Por tanto

[[Archivo:E_L_T_16.jpg|izquierda]]

Es conveniente introducir la delta de Kronecker para extraer wiwj Introduciendo la cantidad Iij denominada tensor de inercia,

[[Archivo:E_L_T_17.jpg|izquierda]]

la expresión de Ec3 adquiere la forma sencilla

[[Archivo:E_L_T_18.jpg|izquierda]]

A continuación, se propondrá otro método para la demostración de la fórmula anterior.Para ello se van a utilizar: propiedades del producto vectorial triple, propiedades del producto tensorial y propiedades del tensor de inercia.

[[Archivo:formula.jpg|centro]]

===Calculo de la energia cinetica===
Para calcular la energia cinetica usamos la formula anterior, el codigo es simplemente:

{{matlab|codigo=
I=[76.2537 6.5858 -59.6903;
6.5858 145.2537 3.4483;
-59.6903 3.4483 159.0000]; %Momento de inecia calculado del sistema de particulas
w=[0 0 1]; %Velocidad angular
Ec=0.5*(w*I*w') %Energia cinetica
}}

La energia cinetica calculada es:

79.5000

== Tensor de inercia y teorema de Steiner ==

El tensor de inercia I es un tensor de orden 2 simétrico que tiene por componentes cartesianas:
<math>
I_{ij} =
\begin{bmatrix}
I_{x} & I_{xy} & I_{xz}\\
I_{yx} & I_{y} & I_{yz}\\
I_{zx} & I_{zy} & I_{z}
\end{bmatrix}
</math>
Donde los elementos de la diagonal son los momentos de inercia y el resto son los productos de inercia, expresado matemáticamente:

*si i=j entonces

:<math> I_{x} = \int_M d{x}^2\ dm </math>

:<math> I_{y} = \int_M d{y}^2\ dm </math>

:<math> I_{z} = \int_M d{z}^2\ dm </math> 

*si i≠j

:<math>I_{xy} = I_{yx} = \int_M -xy\ dm </math>

:<math>I_{yz} = I_{zy} = \int_M -yz\ dm </math>

:<math>I_{zx} = I_{xz} = \int_M -zx\ dm </math> 

Para poder mover el tensor de inercia utilizamos los teoremas de Steiner y de los ejes paralelos para mover uno a uno los momentos
y los productos de inercia, siendo:

Th. de Steiner Th, de los ejes paralelos

<math> I_{P} = I_{G} + md^2,\,</math> <math> I_{x'y'} = I_{xy} + m*x*y,\,</math>

Donde IP e IG son los momentos de inercia en P y G y Ixy e Ix'y' los productos de inercia respecto a dichos ejes.

Ahora definimos ''a'' como el vector que va de ''G'' al punto ''P'' y definimos la forma tensorial general del teorema de Steiner y de los ejes paralelos.

<math> \mathbf{I}_P = \mathbf{I}_G - m *(|a|^2*λ-\mathbf{a}\otimes\mathbf{a})
</math>

Siendo IG e IP los tensores de inercia en G y P,considerando los ejes xyz en P y sus paralelos x'y'z' en G, matricialmente queda:

<math>
\begin{bmatrix}
I_{x} & I_{xy} & I_{xz}\\
I_{yx} & I_{y} & I_{yz}\\
I_{zx} & I_{zy} & I_{z}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
I_{x'} & I_{x'y'} & I_{x'z'}\\
I_{y'x'} & I_{y'} & I_{y'z'}\\
I_{z'x'} & I_{z'y'} & I_{z'}
\end{bmatrix} - m*\begin{bmatrix}
|a|^2-a_{1}a_{1} & -a_{1}a_{2} & -a_{1}a_{3}\\
-a_{2}a_{1} &-|a|^2-a_{2}a_{2} &- a_{2}a_{3}\\
-a_{3}a_{1} &- a_{3}a_{2} & |a|^2-a_{3}a_{3}
\end{bmatrix}
</math>

Comprobamos que para cualquier elemento de la diagonal la expresión tensorial es la misma que el Teorema de Steiner siendo la distancia |a|2 -aiai es el cuadrado de la distancia entre ejes.

Además para cualquier elemento que no esté en la diagonal la formula es equivalente al teorema de los ejes paralelos(comprobación evidente).
{{matlab|codigo=
Ti=[0 0 0;0 0 0;0 0 0];
T=[0 0 0;0 0 0;0 0 0];
X=0;
Z=0;
Y=0;
disp('Masa de las particulas')
m=10
for i=1:10;
r=[(i-1)/5,sin(pi*(i-1)/4),pi*(i-1)/30];
for j=1:3;
for k=1:3;
if j==k;
Ti(1,1)=m*((r(2)^2)+(r(3)^2));
Ti(2,2)=m*((r(1)^2)+(r(3)^2));
Ti(3,3)=m*((r(1)^2)+(r(2)^2));
else
Ti(j,k)=-m*(r(j)*r(k));
end
end
end
T=T+Ti;
X=X+r(1)/10;
Y=Y+r(2)/10;
Z=Z+r(3)/10;
end
disp('El tensor de inercia respecto de los ejes cartesianos es:')
T=T
disp('Las coordenadas del centro de masas son:')
X=X
Y=Y
Z=Z
a=[-X -Y -Z];
b=-a;
disp('El tensor de inercia respecto de G es:')
TG=T-m*(((norm(a)^2)*eye(3))-(a'*a))

Ecin=0;
Ecini=0;
for i=1:10;
r=[(i-1)/5,sin(pi*(i-1)/4),pi*(i-1)/30];
Ecini=0.5*m*((r(1)^2+r(2)^2));
Ecin=Ecin+Ecini;
end
disp('La energia cinetica es:')
Ecin=Ecin
W=[0 0 1]
Ecina=0.5*W*TG*W'
disp('Queda comprobado numéricamente mediante las dos fórmulas')
for i=1:10;
ri(i,:)=[(i-1)/5,sin(pi*(i-1)/4),pi*(i-1)/30];
end
[A,B]=eig(TG);
disp('Los ejes principales de inercia son los vectores columna de A')
A
disp('Los momentos principales de inercia son:')
B
X1=ri(:,1);
Y1=ri(:,2);
Z1=ri(:,3);
C=[X,X,X];
D=[Y,Y,Y];
E=[Z,Z,Z];
hold on
plot3(X1,Y1,Z1,'-+r')
plot3(X,Y,Z,'+g')
quiver3(C,D,E,A(:,1)',A(:,2)',A(:,3)')
hold off}}

==Direcciones principales de inercia==

Partimos de la definición de momento cinético respecto de un eje instantáneo de rotación O, que será el producto del tensor de inercia respecto a dicho eje y a su velocidad angular.

:<math> H_{O} =I_{O}Ω </math>

En un movimiento general los vectores velocidad angular y momento cinético tendrán direcciones diferentes pero como el tensor de inercia es una aplicación lineal que transforma vectores en vectores existirán unos vectores transformados que tendrán la misma dirección que los vectores sin transformar, es decir, el momento cinético y la velocidad angular tendrán la misma dirección ó dicho de otro modo unos autovectores cuyos autovalores serán los momentos principales de inercia puesto que los productos de inercia serán cero.

:<math> H_{O} =λ Ω </math>

Dichos momentos de inercia compondrán el triedro principal de inercia:
:<math>
I_{ij} =
\begin{bmatrix}
I_{A} & 0 & 0\\
0 & I_{B} & 0\\
0 & 0 & I_{C}
\end{bmatrix}
</math>
que como se observa es una matriz diagonal, fisicamente lo interpretamos como que no hay descompensaciones en el giro por lo que en un movimiento por inercia el sólido rígido tratará de girar respecto a dichos ejes y así no tener movimientos adicionales(nutación y predecesión).

Otra propiedad interesante es que dichos ejes son perpendiculares y forman base del espacio vectorial(siempre que existan y sean distintos claro)

Partimos de 3 autovalores A,B, y C que son reales y distintos y sus 3 direcciones asociadas (autovectores) eA,eB,eC
:<math> I_{O} e_{A}= A e_{A}</math>
:<math> I_{O} e_{B}= B e_{B}</math>
:<math> I_{O} e_{C}= C e_{C}</math>
[[Archivo:Imagen Grafico.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Visualizacion de un sistema de particulas]]
Y ahora demostramos que eA,eB,eC son ortogonales entre sí:

:<math> e_{B}(I_{O} e_{A})= A e_{B}e_{A}</math>
:<math> e_{A}(I_{O} e_{B})= B e_{A}e_{B}</math>

restando queda:

:<math> 0= (A-B) e_{A}e_{B}</math>

Si A y B son distintos entonces eA y eB son ortogonales
Si A y B son iguales existe algún plano de simetría y la única condición es que sean ortogonales a C(si es distinto a A y B)
Queda demostrado

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = cosθ + 1/ρ Kg/cm3.
=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρcosθ+1. Al plantear dicha integral vemos que los extremos de integración para el termino cosθ van a ser [0,2*pi] por lo que ese factor quedaria anulado, resultando ser la integral 1 la que debemos calcular. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
xg=intx1*intx2*intx3/M %Coordeanda de Xg
%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
yg=inty1*inty2*inty3/M
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
zg=intz1*intz2*intz3/M
}}

El resultado nos da
Xg =-1.1148e-08
Yg =5.2383e-09
Zg =10.0003
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-30T11:54:05Z

R.fernandez-reyesd:

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

=== Calculo del centro de masas ===
Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples.
{{matlab|codigo=
N=1000; %Numero de puntos intermedios
M=12566; %Masa total
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion
[ro,teta]=meshgrid(s,t);
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
%Funciones para la coordenada de Xg
fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta))
%Funciones para la coordenada de Yg
fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1)
fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro)
fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta))
%Funciones para la coordenada de Zg
fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z)
fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1)
fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1)
%Calculo de la coordenada de Xg
intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z
intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro
intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta
xg=intx1*intx2*intx3/M %Coordeanda de Xg
%Calculo de la coordenada de Yg
inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z
inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro
inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta
yg=inty1*inty2*inty3/M
%Calculo de la coordenada de Zg
intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z
intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro
intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta
zg=intz1*intz2*intz3/M
}}

El resultado nos da
Xg =-1.1148e-08
Yg =5.2383e-09
Zg =10.0003
Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es
Xg=0
Yg=0
Zg=10

=== Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas ===
Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo:
{{matlab|codigo=
Xg=0; %coordenada de centro de masas en X
Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y
Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z
M=12566; %masa total
v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas
I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1
I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r
I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia
}}

El tensor obtenido es el
1256600 0 0
0 1256600 0
0 0 0

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-30T10:45:37Z

R.fernandez-reyesd:

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-30T10:45:15Z

R.fernandez-reyesd:

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-30T10:44:48Z

R.fernandez-reyesd:

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-30T10:41:54Z

R.fernandez-reyesd:

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-30T10:41:21Z

R.fernandez-reyesd:

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-30T10:40:53Z

R.fernandez-reyesd: /* Ejes principales de inercia */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

[[Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y los tres ejes principales de inercia en verde rojo y negro, se puede observar que son perpendiculares por definición de eje principal de inercia]]

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

Archivo:EJESPRINCIPALESINERCIAG9.jpg

2015-11-30T10:39:15Z

R.fernandez-reyesd:

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-30T10:38:10Z

R.fernandez-reyesd: /* Energía cinética del sistema */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-30T10:33:14Z

R.fernandez-reyesd: /* Ejes principales de inercia */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==
HAY UN ERROR AL ESCRIBIR LA MATRIZ
La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=Ig·omega=λ·omega</big>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-30T10:32:53Z

R.fernandez-reyesd: /* Ejes principales de inercia */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==
HAY UN ERROR AL ESCRIBIR LA MATRIZ
La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<big>L=I·omega=λ·omega</big>
Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-30T10:24:24Z

R.fernandez-reyesd: /* Ejes principales de inercia */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==
HAY UN ERROR AL ESCRIBIR LA MATRIZ
La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
<math>\overrightarrow{\omega}</math> son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<math>L=I·overrightarrow {\omega}=λ·overrightarrow{\omega}</math>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Creamos de nuevo el bucle para obtener los puntos de la curva
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz cuyas columnas seran las coordenadas x y z de los puntos
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig cuya formula ya se ha deducido
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
vector1=a(:,1)';
vector2=a(:,2)'; %Como se nos indica en el enunciado, estos autovectores seran las direcciones de los ejes
vector3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
E1x=G(1)+l*vector1(1); %A cada recta viene dada por el punto G centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
E1y=G(2)+l*vector1(2);
E1z=G(3)+l*vector1(3);
E2x=G(1)+l*vector2(1);
E2y=G(2)+l*vector2(2);
E2z=G(3)+l*vector2(3);
E3x=G(1)+l*vector3(1);
E3y=G(2)+l*vector3(2);
E3z=G(3)+l*vector3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Representación de la curva en azul.
plot3(E1x,E1y,E1z,"r") %Representación del Eje 1 en rojo.
plot3(E2x,E2y,E2z,"g") %Representación del Eje 2 en verde.
plot3(E3x,E3y,E3z,"k") %Representación del Eje 3 en negro.
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-28T21:38:32Z

R.fernandez-reyesd: /* Visualización de vectores velocidad */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==
HAY UN ERROR AL ESCRIBIR LA MATRIZ
La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
<math>\overrightarrow{\omega}</math> son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<math>L=I·overrightarrow {\omega}=λ·overrightarrow{\omega}</math>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
Mg=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Bucle para obtener las coordenadas
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz general de las posiciones con las coordenadas obtenidas
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig obtenido en los apartados anteriores
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
ve1=a(:,1)';
ve2=a(:,2)';
ve3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
rx1=Mg(1)+l*ve1(1); %A cada recta viene dada por el punto Mg centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
ry1=Mg(2)+l*ve1(2);
rz1=Mg(3)+l*ve1(3);
rx2=Mg(1)+l*ve2(1);
ry2=Mg(2)+l*ve2(2);
rz2=Mg(3)+l*ve2(3);
rx3=Mg(1)+l*ve3(1);
ry3=Mg(2)+l*ve3(2);
rz3=Mg(3)+l*ve3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Mantenemos el gráfico para dibujar el grafico y las tres rectas.
plot3(rx1,ry1,rz1,"r")
plot3(rx2,ry2,rz2,"g")
plot3(rx3,ry3,rz3,"k")
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-28T21:38:04Z

R.fernandez-reyesd: /* Visualización de vectores velocidad */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus respectivos vectores velocidad, con el fin de no dificultar la visión de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos]]

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==
HAY UN ERROR AL ESCRIBIR LA MATRIZ
La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
<math>\overrightarrow{\omega}</math> son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<math>L=I·overrightarrow {\omega}=λ·overrightarrow{\omega}</math>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
Mg=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Bucle para obtener las coordenadas
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz general de las posiciones con las coordenadas obtenidas
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig obtenido en los apartados anteriores
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
ve1=a(:,1)';
ve2=a(:,2)';
ve3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
rx1=Mg(1)+l*ve1(1); %A cada recta viene dada por el punto Mg centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
ry1=Mg(2)+l*ve1(2);
rz1=Mg(3)+l*ve1(3);
rx2=Mg(1)+l*ve2(1);
ry2=Mg(2)+l*ve2(2);
rz2=Mg(3)+l*ve2(3);
rx3=Mg(1)+l*ve3(1);
ry3=Mg(2)+l*ve3(2);
rz3=Mg(3)+l*ve3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Mantenemos el gráfico para dibujar el grafico y las tres rectas.
plot3(rx1,ry1,rz1,"r")
plot3(rx2,ry2,rz2,"g")
plot3(rx3,ry3,rz3,"k")
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-28T21:36:12Z

R.fernandez-reyesd: /* VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==Visualización de vectores velocidad==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}

[[Archivo:VECTORES_VELOCIDAD.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva con sus respectivos vectores velocidad, con el fin de facilitar la visualización de dichos vectores, hemos decidido no unir los puntos de la curva

Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==
HAY UN ERROR AL ESCRIBIR LA MATRIZ
La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
<math>\overrightarrow{\omega}</math> son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<math>L=I·overrightarrow {\omega}=λ·overrightarrow{\omega}</math>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
Mg=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Bucle para obtener las coordenadas
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz general de las posiciones con las coordenadas obtenidas
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig obtenido en los apartados anteriores
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
ve1=a(:,1)';
ve2=a(:,2)';
ve3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
rx1=Mg(1)+l*ve1(1); %A cada recta viene dada por el punto Mg centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
ry1=Mg(2)+l*ve1(2);
rz1=Mg(3)+l*ve1(3);
rx2=Mg(1)+l*ve2(1);
ry2=Mg(2)+l*ve2(2);
rz2=Mg(3)+l*ve2(3);
rx3=Mg(1)+l*ve3(1);
ry3=Mg(2)+l*ve3(2);
rz3=Mg(3)+l*ve3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Mantenemos el gráfico para dibujar el grafico y las tres rectas.
plot3(rx1,ry1,rz1,"r")
plot3(rx2,ry2,rz2,"g")
plot3(rx3,ry3,rz3,"k")
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

Archivo:VECTORES VELOCIDAD.jpg

2015-11-28T21:34:25Z

R.fernandez-reyesd:

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-28T21:31:40Z

R.fernandez-reyesd:

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}
Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==
HAY UN ERROR AL ESCRIBIR LA MATRIZ
La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
<math>\overrightarrow{\omega}</math> son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<math>L=I·overrightarrow {\omega}=λ·overrightarrow{\omega}</math>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
Mg=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Bucle para obtener las coordenadas
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz general de las posiciones con las coordenadas obtenidas
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig obtenido en los apartados anteriores
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
ve1=a(:,1)';
ve2=a(:,2)';
ve3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
rx1=Mg(1)+l*ve1(1); %A cada recta viene dada por el punto Mg centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
ry1=Mg(2)+l*ve1(2);
rz1=Mg(3)+l*ve1(3);
rx2=Mg(1)+l*ve2(1);
ry2=Mg(2)+l*ve2(2);
rz2=Mg(3)+l*ve2(3);
rx3=Mg(1)+l*ve3(1);
ry3=Mg(2)+l*ve3(2);
rz3=Mg(3)+l*ve3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Mantenemos el gráfico para dibujar el grafico y las tres rectas.
plot3(rx1,ry1,rz1,"r")
plot3(rx2,ry2,rz2,"g")
plot3(rx3,ry3,rz3,"k")
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-28T21:28:04Z

R.fernandez-reyesd: /* Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16 */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados
[[Archivo:R1G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1 y angulo π/16]]
[[Archivo:R2G9.jpg|400px|thumb|rigth|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e2 y angulo π/16]]
[[Archivo:R4G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e1+e2+e3 y angulo π/16]]

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}
Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==
HAY UN ERROR AL ESCRIBIR LA MATRIZ
La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
<math>\overrightarrow{\omega}</math> son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<math>L=I·overrightarrow {\omega}=λ·overrightarrow{\omega}</math>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
Mg=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Bucle para obtener las coordenadas
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz general de las posiciones con las coordenadas obtenidas
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig obtenido en los apartados anteriores
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
ve1=a(:,1)';
ve2=a(:,2)';
ve3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
rx1=Mg(1)+l*ve1(1); %A cada recta viene dada por el punto Mg centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
ry1=Mg(2)+l*ve1(2);
rz1=Mg(3)+l*ve1(3);
rx2=Mg(1)+l*ve2(1);
ry2=Mg(2)+l*ve2(2);
rz2=Mg(3)+l*ve2(3);
rx3=Mg(1)+l*ve3(1);
ry3=Mg(2)+l*ve3(2);
rz3=Mg(3)+l*ve3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Mantenemos el gráfico para dibujar el grafico y las tres rectas.
plot3(rx1,ry1,rz1,"r")
plot3(rx2,ry2,rz2,"g")
plot3(rx3,ry3,rz3,"k")
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-28T21:25:43Z

R.fernandez-reyesd: /* Rotacion de un sistema de particulas */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}
Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==
HAY UN ERROR AL ESCRIBIR LA MATRIZ
La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
<math>\overrightarrow{\omega}</math> son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<math>L=I·overrightarrow {\omega}=λ·overrightarrow{\omega}</math>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
Mg=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Bucle para obtener las coordenadas
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz general de las posiciones con las coordenadas obtenidas
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig obtenido en los apartados anteriores
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
ve1=a(:,1)';
ve2=a(:,2)';
ve3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
rx1=Mg(1)+l*ve1(1); %A cada recta viene dada por el punto Mg centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
ry1=Mg(2)+l*ve1(2);
rz1=Mg(3)+l*ve1(3);
rx2=Mg(1)+l*ve2(1);
ry2=Mg(2)+l*ve2(2);
rz2=Mg(3)+l*ve2(3);
rx3=Mg(1)+l*ve3(1);
ry3=Mg(2)+l*ve3(2);
rz3=Mg(3)+l*ve3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Mantenemos el gráfico para dibujar el grafico y las tres rectas.
plot3(rx1,ry1,rz1,"r")
plot3(rx2,ry2,rz2,"g")
plot3(rx3,ry3,rz3,"k")
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-28T21:24:55Z

R.fernandez-reyesd: /* Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16 */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}
Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==
HAY UN ERROR AL ESCRIBIR LA MATRIZ
La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
<math>\overrightarrow{\omega}</math> son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<math>L=I·overrightarrow {\omega}=λ·overrightarrow{\omega}</math>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
Mg=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Bucle para obtener las coordenadas
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz general de las posiciones con las coordenadas obtenidas
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig obtenido en los apartados anteriores
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
ve1=a(:,1)';
ve2=a(:,2)';
ve3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
rx1=Mg(1)+l*ve1(1); %A cada recta viene dada por el punto Mg centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
ry1=Mg(2)+l*ve1(2);
rz1=Mg(3)+l*ve1(3);
rx2=Mg(1)+l*ve2(1);
ry2=Mg(2)+l*ve2(2);
rz2=Mg(3)+l*ve2(3);
rx3=Mg(1)+l*ve3(1);
ry3=Mg(2)+l*ve3(2);
rz3=Mg(3)+l*ve3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Mantenemos el gráfico para dibujar el grafico y las tres rectas.
plot3(rx1,ry1,rz1,"r")
plot3(rx2,ry2,rz2,"g")
plot3(rx3,ry3,rz3,"k")
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04

Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

2015-11-28T21:24:36Z

R.fernandez-reyesd: /* Rotacion de un sistema de particulas */

==Visualización de un sistema de partículas==

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10) para i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

[[Archivo:sistemaG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada]]

{{matlab|codigo=
t = (1:1:21); % Generamos un vector t con los 21 puntos
x = sin(pi*(t-1)/10); % Vectores de las componenetes de los puntos de la curva
y = cos(pi*(t-1)/4);
z = cos(pi*(t-1)/10);
plot3(x,y,z,'-x') % Representamos la curva
axis equal % Igualamos los ejes
axis ([-2,2,-2,2,-2,2]) % Definimos los ejes entre -2 y 2
}}

==Centro de masas de un sistema de particulas==
===Formula del centro de masas===
En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa m=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas :
'''(∑inrimasai)/M''' donde M es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. El codigo que utilizaremos es:

{{matlab|codigo=
masa = 10; %masa de cada particula
Mtotal = 21*masa; %La masa total la obtenemos al sumar la masa de las 21 particulas
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21); %Creamos 3 matrices de ceros que posteriormente completaremos
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i); %Creamaos 3 matrices fila con las coordenadas de cada punto multiplicadas por la masa del mismo
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y); % X Y Z serán el sumatorio de los productos de las coordenadas de los puntos por su masa
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal); %Dividimos XYZ entre la masa total y obtenemos las coordenadas del centro de masas.
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

}}

===Visualicacion del centro de masas===
A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:
{{matlab|codigo=
%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
x = (sin(pi*(t-1)/10));
y = (cos (pi*(t-1)/4));
z = cos(pi*(t-1)/10);

plot3(x,y,z,'-x')
axis equal
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
X(1,i) = masa*x(i);
Y(1,i) = masa*y(i);
Z(1,i) = masa*z(i);
end
XG = sum(X)/Mtotal;
YG = sum(Y)/Mtotal;
ZG = sum(Z)/Mtotal;

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
}}
[[Archivo:centromasasG9.jpg|600px|thumb|left|Visualización de la curva dada en azul y el centro de masas en verde]]

==Rotacion de un sistema de particulas==
===Matriz de componentes de una Rotación===
En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación.
La fórmula de una rotación es:
[[Archivo:TL 1.jpg|izquierda]]

donde w es el vector unitario:
[[Archivo:TL 2.jpg|izquierda]]

Refiriéndonos a la base ortonormal {e1,e2,e3}, podemos expresar la rotación como:
[[Archivo:TL 3.jpg|izquierda]]

Por lo que la matriz de componentes es:
[[Archivo:TL 4.jpg|izquierda]]

===Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para generar esta matriz utilizaremos:

{{matlab|codigo=
We3= [0,0,1]; %Eje de rotacion
mod = sqrt(sum(We3.^2)); %Hallamos el modulo del vector rotación, aunque en este caso sea innecesario, lo haremos para un eje generico
We3 = We3./mod; %Por ultimo hacemos que el eje sea un vector unitario
tt = pi/16; %Definimos el angulo de rotación

% La Matriz de rotacion,segun hemos explicado será: R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux

R1=eye(3)*cos(tt); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(We3,We3')*(1-cos(tt)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -We3(3) We3(2); We3(3) 0 -We3(1);-We3(2) We3(1) 0]*sin(tt);
% Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux

R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

R3=R= [0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000] %Esta será el tensor de rotación segun el eje e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16===
Para poder visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

{{matlab|codigo=
R3=R=[0.98079 -0.19509 0.00000 ;0.19509 0.98709 0.00000 ;0.00000 0.00000 1.00000]; %Componentes del tensor rotación de eje w3
i=(1:21);
x=sin (pi*(i-1)/10); %Coordenadas x de las particulas segun i
y=cos(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=cos(pi*(i-1)/10); %Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; %Creamos una matriz cuyas filas seran las coordenadas xyz de los puntos
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R3)'; %La matriz g nos da las particulas rotadas segun R3
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') %Dibuja las partículas rotadas
hold on
plot3(x,y,z,'x-','MarkerFaceColor','y') %Dibujamos tambien los puntos de la curva
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
}}

[[Archivo:R3G9.jpg|400px|thumb|left|Visualización de los puntos de la curva y sus rotados segun el tensor rotación de eje e3 y angulo π/16]]

Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

===Calculo del tensor de rotacion de un sistema de puntos con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para rotar el conjunto de puntos por estos ejes de giros usaremos el mismo codigo que en el apartado 3.1. Para esto calculamos de nuevo las matrices de rotacion para los ejes: ω = e1, ω = e2 y ω = e1+e2+e3. El procedimiento es el mismo, solo hay que cambiar el vector introducido por v=[1 0 0], v=[0 1 0] y v=[1 1 1] respectivamente.

Asi pues, para no repetir el codigo utilizado en apartados anteriores, escribiremos directamente el tensor rotación obtenido para cada eje, siendo R1 para [1 0 0], R2 para [0 1 0] y R4 para [1 1 1].

{{matlab|codigo=
R1=[1 0 0; 0 0.980785 -0.19509; 0 0.19509 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e1
R2=[0.980785 0 0.19509; 0 1 0; -0.19509 0 0.980785] %Componentes del tensor de rotación de eje e2
R4=[0.98719 -0.106231 0.11904; 0.11904 0.98719 -0.106231; -0.106231 0.11904 0.98719] %Componentes del tensor de rotacion de eje e1+e2+e3
}}

===Visualizacion de un sistema de puntos rotados con ejes ω = e1, ω = e2, ω = e1+e2+e3 y angulo θ= π/16===
Para visualizar los sistemas de puntos rotados tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por cada matriz de rotacion como hizimos en el apartado 3.2 . De esta manera conseguimos el sistema de puntos rotados para cada uno. Para evitar volver a escribir el codigo tres veces, mostraremos las gragicas directamente.

(Los puntos azules son los iniciales, los puntos rojos son los rotados

== Velocidad de los puntos del sistema ==

=== Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A ===

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

[[Archivo:F0.jpg|izquierda]]

Un tensor es antisimétrico si

[[Archivo:F0_1.jpg|izquierda]]

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

[[Archivo:F00_1.jpg|izquierda]]

de donde se obtiene la '''matriz antisimétrica''' definida como:

[[Archivo:F00_2.jpg|izquierda]]

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

=== Demostracción que el vector axial asociado a A es θ(t)ϖ ===

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

[[Archivo:F0 4.jpg|izquierda]]

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

[[Archivo:F0 5.jpg|izquierda]]

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

[[Archivo:F0_6.jpg|izquierda]]

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

[[Archivo:F0 7.jpg|izquierda]]

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

[[Archivo:F0 8.jpg|izquierda]]

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

[[Archivo:F0 9.jpg|izquierda]]

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

[[Archivo:F0 10.jpg|izquierda]]

De donde se deduce que

[[Archivo:F0 11.jpg|izquierda]]

==VISUALIZACIÓN DE LOS VECTORES VELOCIDAD==

Hallamos las componentes de la velocidad de las partículas al girar con velocidad angular ω=e3 con la formula que hemos demostrado en el apartado 4. Una vez encontramos estas componentes
pintamos sus vectores aplicados en las coordenadas de cada punto.
Para ello utilizamos:

{{matlab|codigo=
p=zeros(21,3); %Vector de posición de las partículas
for i=1:21
p(i,:)=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10)]; %Definimos un vector con las componentes de los puntos de la curva
w(i,:)=[0,0,1]; %Definimos el vector velocidad angular
end
v=cross(w,p); % Producto vectorial de los vectores posición y ω nos da el vector velocidad

hold on
figure(1)
quiver3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),v(:,1),v(:,2),v(:,3)) %Representación tanto de la curva como de la velocidad
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) %Ejes en los que definimos el grafico
plot3(p(:,1),p(:,2),p(:,3),'o','MarkerFaceColor','b')
hold off
}}
Los valores de las componentes de la velocidad van a ser distintos de 0 para el caso de e1 y e2, ya que en el caso de e3 sabemos que el producto vectorial de e3 por e3 es nulo. Por otro lado, el primer punto del sistema de partículas tiene como coordenadas (0,0,0), por tanto su velocidad es nula.

La gráfica obtenida sería la siguiente:

== Momento angular de un sistema de partículas ==

El momento angular de un sistema de 21 partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como

[[Archivo:E T 1.jpg|sinmarco|izquierda]]

El momento lineal se puede expresar como:

[[Archivo:E T 2.jpg|sinmarco|izquierda]]

Para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad vi por w x r.

[[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]]

===Momento angular===

El momento angular es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, que da lugar la ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

Para calcular las componentes del tensor de inercia I lo haremos de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
L= zeros[3,3];
AUX= zeros[3,3];
m=10; % masa de cada particula
x=0;
y=0;
z=0;
for i=1:21;
vpos=[cos(pi*(i-1)/10),cos(pi*(i-1)/4),cos(pi*(i-1)/10] %vector posición de las particulas
for t=1:3;
for h=1:3;
if t==h; % Para modificar la diagonal principal que ya calculamos directamente sus valores
AUX(1,1)=(vpos(2)^2)+(vpos(3)^2); % EXPLICACION
AUX(2,2)=(vpos(3)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
AUX(3,3)=(vpos(2)^2)+(vpos(1)^2); %EXPLICACION
else
AUX(t,h)=-(vpos(t)*vpos(h));
end
end
end
L=L+AUX;
end
L=m*L % Multiplicamos la matriz por la masa de cada particula
}}

==Energía cinética del sistema==
HAY UN ERROR AL ESCRIBIR LA MATRIZ
La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para un sistema de partículas, la energía cinética total se escribe como:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.36.png|125x125px|centro]]

Sustituyendo en la fórmula anterior el valor de la velocidad que es:
[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 21.03.17.png|95x95px|centro]]

Nos da:

[[Archivo:Captura de pantalla 2014-12-14 a la(s) 20.16.43.png|920x920px|centro]]

llegando así,a la expresión pedida.Hemos usado las propiedades del producto mixto y la regla de la expulsión.
Para obtener la energía cinética del sistema utilizamos:
{{matlab|codigo=
L=[220 0 -110; 0 220 0; -110 0 220];
%velocidad angular
w=[0 0 1];
Ec=0.5*(w*L*w')
}}

==Teorema de Steiner==
El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes.
Se nos pide demostrar la siguiente fórmula, definiendo el vector 'a' como el vector que une el centro de masas G con el punto P:

[[Archivo:Demostracionde8.JPG|901x391px|sinmarco|centro]]

A continuación escribimos el codigo para usar el teorema de Steiner de modo que:
{{matlab| codigo=
m=10; % masa de cada partícula
p=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Punto en el que queremos hallar el momento de inercia
G=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619]; % Coordenadas del centro de masas
t=G-p; % t es el vector que uno G y p
B=m*(((t*t')*eye(3))-t'*t); % Tensor el momento de Inercia para el vector t
x=zeros(1,21);
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
for i=1:21 % Bucle para obtener las coordenadas de los puntos ya visto en apartados anteriores
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
vpos=[x' y' z']; %vpos sera el la matriz cuyas columnas son las componentes de los puntos
Ig=zeros(3,3);
for i=1:21
Ig=m*(vpos(i,:))*(vpos(i,:)')*eye(3)-m*(vpos(i,:)')*(vpos(i,:))+Ig; % Tensor el momento de Inercia para el vector de posición
end
Ip=Ig+B %Por ultimo

}}

==Ejes principales de inercia==
Llamamos ejes principales de inercia a los vectores propios de '''Ig'''. Todo sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular '''L''' y la velocidad angular
<math>\overrightarrow{\omega}</math> son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

<math>L=I·overrightarrow {\omega}=λ·overrightarrow{\omega}</math>

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Y si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Lo primero que hacemos es realizar el cálculo de autovalores y autovectores del Tensor '''Ig'''
{{matlab| codigo=
x=zeros(1,21);% Matrices de ceros para las coordenadas
y=zeros(1,21);
z=zeros(1,21);
Mg=[-1.16633e-17 6.76707e-17 0.047619];%Coordenadas del centro de masas
m=10; %Masa de cada partícula
for i=1:21 %Bucle para obtener las coordenadas
x(i)=sin(pi*(i-1)/10);
y(i)=cos(pi*(i-1)/4);
z(i)=cos(pi*(i-1)/10);
end
pos=[x' y' z']; %Generamos una matriz general de las posiciones con las coordenadas obtenidas
Ig=zeros(3,3); %Matriz de ceros para introducir Ig
for i=1:21 %Bucle del tensor diada que genera el termino de Ig obtenido en los apartados anteriores
Ig=m*(pos(i,:)')*(pos(i,:))+Ig;
end
[a,b]=eig(Ig);% Obtenemos los autovectores de la matriz Ig obteniendo las direcciones principales de Inercia
ve1=a(:,1)';
ve2=a(:,2)';
ve3=a(:,3)';
l=linspace(-1,0.5,2); %creamos un parametro landa que introducimos en las paramétricas.
rx1=Mg(1)+l*ve1(1); %A cada recta viene dada por el punto Mg centro de masas y la dirección del autovector de Ig.
ry1=Mg(2)+l*ve1(2);
rz1=Mg(3)+l*ve1(3);
rx2=Mg(1)+l*ve2(1);
ry2=Mg(2)+l*ve2(2);
rz2=Mg(3)+l*ve2(3);
rx3=Mg(1)+l*ve3(1);
ry3=Mg(2)+l*ve3(2);
rz3=Mg(3)+l*ve3(3);%De esta manera obtenemos las 3 rectas cada una con sus coordenadas.
hold on
plot3(x,y,z,"-*b") %Mantenemos el gráfico para dibujar el grafico y las tres rectas.
plot3(rx1,ry1,rz1,"r")
plot3(rx2,ry2,rz2,"g")
plot3(rx3,ry3,rz3,"k")
hold off
}}
Quedando representado en el sistema de forma:

== Calculo del tensor de inercia de un solido ==
Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el
origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que
d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm3.

=== Calculo de la masa total ===
Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas.
Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacobiano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble.

{{matlab|codigo=
N=800; %Numero de puntos intermedios
ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm
h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion
r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1);
f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1)
i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1)
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple
int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble
int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total)
}}

La masa en kg es igual a
1.2566e+04