La clotoide (Grupo 40)

2024-12-06T11:17:18Z

Pedro.sanchezpe:

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 40| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rodrigo Avellaneda Ciruelos Carlos de la Casa Gámez Alejandro Casasola Mora Pedro Sánchez Perez-Nievas}}
En este trabajo vamos a exponer la curva conocida como clotoide y sus numerosas propiedades en el ámbito civil. Una clotoide es una curva cuya característica principal es que la tasa de cambio de la curvatura es constante a lo largo de su longitud, es decir, aumenta o disminuye de manera progresiva y suave, sin cambios bruscos.

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,L) </math> </center>
 

=='''''La Clotoide'''''==
=== '''Dibujo de la curva''' ===
Comenzaremos el trabajo dibujando la curva dada. Para ello utilizaremos matlab. (L=5)
[[File:1.1 definitivo.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

=== '''Cálculo de vectores velocidad y aceleración''' ===

Calcularemos los vectores velocidad y aceleración a partir de la siguiente parametrización:
 
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(-5,5) </math> </center>
 
Calculo vector velocidad:
<math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>
 
Calculo vector aceleración:
<math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

[[File:1.2 definitivo.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Vectores velocidad y aceleración''' ]]

{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 5, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}
 

=== '''Cálculo longitud de la curva''' ===

Utilizando la siguiente fórmula calcularemos la longitud de la curva:
 
 

<center> <math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{-5}^{5}1dt= 5-(-5)= 10 </math></center>
 
 

=== '''Cálculo de los vectores tangente y normal''' ===

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:1.4 definitivo.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Curva vector tangente y normal''' ]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 5, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Curva, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

=== '''Cálculo de la curvatura''' ===

Estudiaremos la curvatura en el punto <math> γ(t) </math> que viene dada por la siguiente fórmula:
 
 
<math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [-5,5] </math>
 
 
[[File:1.5555.jpg|thumb|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la curvatura''' ]]
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,5,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');}}

 

=== '''Cálculo de la circunferencia osculatriz''' ===

Dado el punto <math> P=\gamma (2) </math>, es decir <math> t=2 </math>, hallaremos el centro y el radio de la siguiente forma:
 
 
El radio:
<center><math> R(t)=\frac{1}{\kappa (t)}=\frac{1}{t} </math>, por lo que el <math> R=1/2 </math></center>
 
 

El centro:
<center><math> Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)} \vec n(t) </math></center>
 
 
<center><math> Q(t)= (Q_{X},Q_{y})=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot (-sen(\frac{t^2}{2})) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot cos(\frac{t^2}{2})] </math> </center>
 
 
Parametrizamos el centro de la circunferencia osculatriz con la siguiente fórmula:
 
 
<center><math> c(t)=(Q_{X}+R \cdot cos(t),Q_{y}+R \cdot sen(t) t ∈(0,2\pi) </math></center>
 
 
<center><math> c(t)=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds-sen(\frac{1}{2})+1 \cdot cos(t) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+cos(\frac{t^2}{2})+1 \cdot sen(t)] </math></center>
 

[[File:1.6666|410px|miniaturadeimagen|right|'''Circunferencia osculatriz''' ]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
xc = arrayfun(x, t);
yc = arrayfun(y, t);
t1= linspace (0, 1/2, 20);
x1= @(t1) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t1);
y1= @(t1) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t1);
x1= arrayfun (x1, 2);
y1= arrayfun (y1, 2);
P=[ x1, y1 ];
fprintf('El punto de la curvatura es %f,%f \n',P);
n=[-sin(1/2),cos(1/2)];
k=1;
R=1/2;
fprintf('El radio de la curvatura es %d \n',R);
Q=P+R*n;
Qx=x1+R*(-sin(1/2));
Qy=y1+R*(cos(1/2));
fprintf('El centro de la circuferencia es %f,%f \n',Q)
tt=linspace(0,2*pi,40);
xx=R*cos(tt)+Qx;
yy=R*sin(tt)+Qy;
figure
hold on
plot(xc,yc,'m','linewidth',1)
%punto p
plot(x1,y1,'*k','linewidth',1)
plot(xx,yy,'b')
hold off
title('Circunferencia osculatriz.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

}}

= '''''Helicoide cónico''''' =
=== '''Dibujo de la superficie''' ===
En este apartado se va a dibujar la superficie reglada asociada a la parametrización de una curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector director eρ. Esta superficie se conoce habitualmente como helicoide cónico
 
*La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>

Porque el vector director eρ en cartesianas es <math> cos(\theta) \vec i + sin(\theta) \vec j </math> y ρ controla la magnitud de los segmentos en la dirección de eρ.

[[File:Graficaej9.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la superficie''' ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('winter');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Superficie Reglada de la Hélice Cónica');
grid on;
}}

=== '''Aplicaciones en ingeniería''' ===

= ''''' Masa de la superficie reglada.'''''=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior está descrita por la función:
<center>
<math>f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>
</center>
Una vez conocida la superficie y la densidad podemos calcular su masa utilizando la siguiente expresión:
<center>
Masa <math>S =\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f({x(u,v),y(u,v),z(u,v)})\cdot \left | \bar{r_u}\times\bar{r_v} \right |dudv</math>
</center>

Gracias a los cálculos realizados anteriormente podemos calcular la masa :
<center><math>
\phi (u,v)\begin{cases}
x=cosv+u\cdot cosv \\
y=senv+u\cdot senv\\
z=v
\end{cases}
</math>
</center>

El vector de posición esta dado por:

<center>
<math>
\vec{{r}}(u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\vec{i}+(sinv+u\cdot sinv)\vec{j}+v\vec{k}
</math>
</center>

Así que deberemos aplicar la siguiente fórmula para obtener rᵤ y rᵥ:

<center>
<math>
\vec{{rᵤ}}(u,v)=\frac{\partial\vec{r}}{\partial{u}} = cosv \vec{i}+sinv\vec{j}
</math>

<math>
\vec{{rᵥ}}(u,v)=\frac{\partial\vec{r}}{\partial{v}} = -(sinv+u\cdot sinv) \vec{i}+(cosv+u\cdot cosv)\vec{j}+\vec{k}
</math>
</center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La clotoide (Grupo 40)

2024-12-06T11:10:32Z

Pedro.sanchezpe:

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 40| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rodrigo Avellaneda Ciruelos Carlos de la Casa Gámez Alejandro Casasola Mora Pedro Sánchez Perez-Nievas}}
En este trabajo vamos a exponer la curva conocida como clotoide y sus numerosas propiedades en el ámbito civil. Una clotoide es una curva cuya característica principal es que la tasa de cambio de la curvatura es constante a lo largo de su longitud, es decir, aumenta o disminuye de manera progresiva y suave, sin cambios bruscos.

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,L) </math> </center>
 

=='''''La Clotoide'''''==
=== '''Dibujo de la curva''' ===
Comenzaremos el trabajo dibujando la curva dada. Para ello utilizaremos matlab. (L=5)
[[File:1.1 definitivo.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

=== '''Cálculo de vectores velocidad y aceleración''' ===

Calcularemos los vectores velocidad y aceleración a partir de la siguiente parametrización:
 
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(-5,5) </math> </center>
 
Calculo vector velocidad:
<math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>
 
Calculo vector aceleración:
<math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

[[File:1.2 definitivo.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Vectores velocidad y aceleración''' ]]

{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 5, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}
 

=== '''Cálculo longitud de la curva''' ===

Utilizando la siguiente fórmula calcularemos la longitud de la curva:
 
 

<center> <math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{-5}^{5}1dt= 5-(-5)= 10 </math></center>
 
 

=== '''Cálculo de los vectores tangente y normal''' ===

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:1.4.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Curva vector tangente y normal''' ]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Curva, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

=== '''Cálculo de la curvatura''' ===

Estudiaremos la curvatura en el punto <math> γ(t) </math> que viene dada por la siguiente fórmula:
 
 
<math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [-5,5] </math>
 
 
[[File:1.5555.jpg|thumb|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la curvatura''' ]]
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,5,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');}}

 

=== '''Cálculo de la circunferencia osculatriz''' ===

Dado el punto <math> P=\gamma (2) </math>, es decir <math> t=2 </math>, hallaremos el centro y el radio de la siguiente forma:
 
 
El radio:
<center><math> R(t)=\frac{1}{\kappa (t)}=\frac{1}{t} </math>, por lo que el <math> R=1/2 </math></center>
 
 

El centro:
<center><math> Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)} \vec n(t) </math></center>
 
 
<center><math> Q(t)= (Q_{X},Q_{y})=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot (-sen(\frac{t^2}{2})) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot cos(\frac{t^2}{2})] </math> </center>
 
 
Parametrizamos el centro de la circunferencia osculatriz con la siguiente fórmula:
 
 
<center><math> c(t)=(Q_{X}+R \cdot cos(t),Q_{y}+R \cdot sen(t) t ∈(0,2\pi) </math></center>
 
 
<center><math> c(t)=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds-sen(\frac{1}{2})+1 \cdot cos(t) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+cos(\frac{t^2}{2})+1 \cdot sen(t)] </math></center>
 

[[File:1.6666|410px|miniaturadeimagen|right|'''Circunferencia osculatriz''' ]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
xc = arrayfun(x, t);
yc = arrayfun(y, t);
t1= linspace (0, 1/2, 20);
x1= @(t1) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t1);
y1= @(t1) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t1);
x1= arrayfun (x1, 2);
y1= arrayfun (y1, 2);
P=[ x1, y1 ];
fprintf('El punto de la curvatura es %f,%f \n',P);
n=[-sin(1/2),cos(1/2)];
k=1;
R=1/2;
fprintf('El radio de la curvatura es %d \n',R);
Q=P+R*n;
Qx=x1+R*(-sin(1/2));
Qy=y1+R*(cos(1/2));
fprintf('El centro de la circuferencia es %f,%f \n',Q)
tt=linspace(0,2*pi,40);
xx=R*cos(tt)+Qx;
yy=R*sin(tt)+Qy;
figure
hold on
plot(xc,yc,'m','linewidth',1)
%punto p
plot(x1,y1,'*k','linewidth',1)
plot(xx,yy,'b')
hold off
title('Circunferencia osculatriz.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

}}

= '''''Helicoide cónico''''' =
=== '''Dibujo de la superficie''' ===
En este apartado se va a dibujar la superficie reglada asociada a la parametrización de una curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector director eρ. Esta superficie se conoce habitualmente como helicoide cónico
 
*La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>

Porque el vector director eρ en cartesianas es <math> cos(\theta) \vec i + sin(\theta) \vec j </math> y ρ controla la magnitud de los segmentos en la dirección de eρ.

[[File:Graficaej9.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la superficie''' ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('winter');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Superficie Reglada de la Hélice Cónica');
grid on;
}}

=== '''Aplicaciones en ingeniería''' ===

= ''''' Masa de la superficie reglada.'''''=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior está descrita por la función:
<center>
<math>f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>
</center>
Una vez conocida la superficie y la densidad podemos calcular su masa utilizando la siguiente expresión:
<center>
Masa <math>S =\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f({x(u,v),y(u,v),z(u,v)})\cdot \left | \bar{r_u}\times\bar{r_v} \right |dudv</math>
</center>

Gracias a los cálculos realizados anteriormente podemos calcular la masa :
<center><math>
\phi (u,v)\begin{cases}
x=cosv+u\cdot cosv \\
y=senv+u\cdot senv\\
z=v
\end{cases}
</math>
</center>

El vector de posición esta dado por:

<center>
<math>
\vec{{r}}(u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\vec{i}+(sinv+u\cdot sinv)\vec{j}+v\vec{k}
</math>
</center>

Así que deberemos aplicar la siguiente fórmula para obtener rᵤ y rᵥ:

<center>
<math>
\vec{{rᵤ}}(u,v)=\frac{\partial\vec{r}}{\partial{u}} = cosv \vec{i}+sinv\vec{j}
</math>

<math>
\vec{{rᵥ}}(u,v)=\frac{\partial\vec{r}}{\partial{v}} = -(sinv+u\cdot sinv) \vec{i}+(cosv+u\cdot cosv)\vec{j}+\vec{k}
</math>
</center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

2024-12-06T11:07:41Z

Pedro.sanchezpe:

La clotoide (Grupo 40)

2024-12-06T11:05:03Z

Pedro.sanchezpe:

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 40| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rodrigo Avellaneda Ciruelos Carlos de la Casa Gámez Alejandro Casasola Mora Pedro Sánchez Perez-Nievas}}
En este trabajo vamos a exponer la curva conocida como clotoide y sus numerosas propiedades en el ámbito civil. Una clotoide es una curva cuya característica principal es que la tasa de cambio de la curvatura es constante a lo largo de su longitud, es decir, aumenta o disminuye de manera progresiva y suave, sin cambios bruscos.

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,L) </math> </center>
 

=='''''La Clotoide'''''==
=== '''Dibujo de la curva''' ===
Comenzaremos el trabajo dibujando la curva dada. Para ello utilizaremos matlab. (L=5)
[[File:1.1111.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

=== '''Cálculo de vectores velocidad y aceleración''' ===

Calcularemos los vectores velocidad y aceleración a partir de la siguiente parametrización:
 
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(-5,5) </math> </center>
 
Calculo vector velocidad:
<math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>
 
Calculo vector aceleración:
<math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

[[File:1.2222.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Vectores velocidad y aceleración''' ]]

{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}
 

=== '''Cálculo longitud de la curva''' ===

Utilizando la siguiente fórmula calcularemos la longitud de la curva:
 
 

<center> <math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{-5}^{5}1dt= 5-(-5)= 10 </math></center>
 
 

=== '''Cálculo de los vectores tangente y normal''' ===

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:1.4.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Curva vector tangente y normal''' ]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Curva, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

=== '''Cálculo de la curvatura''' ===

Estudiaremos la curvatura en el punto <math> γ(t) </math> que viene dada por la siguiente fórmula:
 
 
<math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [-5,5] </math>
 
 
[[File:1.5555.jpg|thumb|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la curvatura''' ]]
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,5,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');}}

 

=== '''Cálculo de la circunferencia osculatriz''' ===

Dado el punto <math> P=\gamma (2) </math>, es decir <math> t=2 </math>, hallaremos el centro y el radio de la siguiente forma:
 
 
El radio:
<center><math> R(t)=\frac{1}{\kappa (t)}=\frac{1}{t} </math>, por lo que el <math> R=1/2 </math></center>
 
 

El centro:
<center><math> Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)} \vec n(t) </math></center>
 
 
<center><math> Q(t)= (Q_{X},Q_{y})=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot (-sen(\frac{t^2}{2})) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot cos(\frac{t^2}{2})] </math> </center>
 
 
Parametrizamos el centro de la circunferencia osculatriz con la siguiente fórmula:
 
 
<center><math> c(t)=(Q_{X}+R \cdot cos(t),Q_{y}+R \cdot sen(t) t ∈(0,2\pi) </math></center>
 
 
<center><math> c(t)=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds-sen(\frac{1}{2})+1 \cdot cos(t) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+cos(\frac{t^2}{2})+1 \cdot sen(t)] </math></center>
 

[[File:1.6666|410px|miniaturadeimagen|right|'''Circunferencia osculatriz''' ]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
xc = arrayfun(x, t);
yc = arrayfun(y, t);
t1= linspace (0, 1/2, 20);
x1= @(t1) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t1);
y1= @(t1) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t1);
x1= arrayfun (x1, 2);
y1= arrayfun (y1, 2);
P=[ x1, y1 ];
fprintf('El punto de la curvatura es %f,%f \n',P);
n=[-sin(1/2),cos(1/2)];
k=1;
R=1/2;
fprintf('El radio de la curvatura es %d \n',R);
Q=P+R*n;
Qx=x1+R*(-sin(1/2));
Qy=y1+R*(cos(1/2));
fprintf('El centro de la circuferencia es %f,%f \n',Q)
tt=linspace(0,2*pi,40);
xx=R*cos(tt)+Qx;
yy=R*sin(tt)+Qy;
figure
hold on
plot(xc,yc,'m','linewidth',1)
%punto p
plot(x1,y1,'*k','linewidth',1)
plot(xx,yy,'b')
hold off
title('Circunferencia osculatriz.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

}}

= '''''Helicoide cónico''''' =
=== '''Dibujo de la superficie''' ===
En este apartado se va a dibujar la superficie reglada asociada a la parametrización de una curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector director eρ. Esta superficie se conoce habitualmente como helicoide cónico
 
*La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>

Porque el vector director eρ en cartesianas es <math> cos(\theta) \vec i + sin(\theta) \vec j </math> y ρ controla la magnitud de los segmentos en la dirección de eρ.

[[File:Graficaej9.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la superficie''' ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('winter');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Superficie Reglada de la Hélice Cónica');
grid on;
}}

=== '''Aplicaciones en ingeniería''' ===

= ''''' Masa de la superficie reglada.'''''=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior está descrita por la función:
<center>
<math>f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>
</center>
Una vez conocida la superficie y la densidad podemos calcular su masa utilizando la siguiente expresión:
<center>
Masa <math>S =\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f({x(u,v),y(u,v),z(u,v)})\cdot \left | \bar{r_u}\times\bar{r_v} \right |dudv</math>
</center>

Gracias a los cálculos realizados anteriormente podemos calcular la masa :
<center><math>
\phi (u,v)\begin{cases}
x=cosv+u\cdot cosv \\
y=senv+u\cdot senv\\
z=v
\end{cases}
</math>
</center>

El vector de posición esta dado por:

<center>
<math>
\vec{{r}}(u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\vec{i}+(sinv+u\cdot sinv)\vec{j}+v\vec{k}
</math>
</center>

Así que deberemos aplicar la siguiente fórmula para obtener rᵤ y rᵥ:

<center>
<math>
\vec{{rᵤ}}(u,v)=\frac{\partial\vec{r}}{\partial{u}} = cosv \vec{i}+sinv\vec{j}
</math>

<math>
\vec{{rᵥ}}(u,v)=\frac{\partial\vec{r}}{\partial{v}} = -(sinv+u\cdot sinv) \vec{i}+(cosv+u\cdot cosv)\vec{j}+\vec{k}
</math>
</center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La clotoide (Grupo 40)

2024-12-06T11:03:50Z

Pedro.sanchezpe:

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 40| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rodrigo Avellaneda Ciruelos Carlos de la Casa Gámez Alejandro Casasola Mora Pedro Sánchez Perez-Nievas}}
En este trabajo vamos a exponer la curva conocida como clotoide y sus numerosas propiedades en el ámbito civil. Una clotoide es una curva cuya característica principal es que la tasa de cambio de la curvatura es constante a lo largo de su longitud, es decir, aumenta o disminuye de manera progresiva y suave, sin cambios bruscos.

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,L) </math> </center>
 

=='''''La Clotoide'''''==
=== '''Dibujo de la curva''' ===
Comenzaremos el trabajo dibujando la curva dada. Para ello utilizaremos Octave. (L=5)
[[File:1.1111.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

=== '''Cálculo de vectores velocidad y aceleración''' ===

Calcularemos los vectores velocidad y aceleración a partir de la siguiente parametrización:
 
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(-5,5) </math> </center>
 
Calculo vector velocidad:
<math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>
 
Calculo vector aceleración:
<math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math>

[[File:1.2222.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Vectores velocidad y aceleración''' ]]

{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}
 

=== '''Cálculo longitud de la curva''' ===

Utilizando la siguiente fórmula calcularemos la longitud de la curva:
 
 

<center> <math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{-5}^{5}1dt= 5-(-5)= 10 </math></center>
 
 

=== '''Cálculo de los vectores tangente y normal''' ===

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:1.4.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Curva vector tangente y normal''' ]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Curva, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

=== '''Cálculo de la curvatura''' ===

Estudiaremos la curvatura en el punto <math> γ(t) </math> que viene dada por la siguiente fórmula:
 
 
<math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [-5,5] </math>
 
 
[[File:1.5555.jpg|thumb|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la curvatura''' ]]
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,5,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');}}

 

=== '''Cálculo de la circunferencia osculatriz''' ===

Dado el punto <math> P=\gamma (2) </math>, es decir <math> t=2 </math>, hallaremos el centro y el radio de la siguiente forma:
 
 
El radio:
<center><math> R(t)=\frac{1}{\kappa (t)}=\frac{1}{t} </math>, por lo que el <math> R=1/2 </math></center>
 
 

El centro:
<center><math> Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)} \vec n(t) </math></center>
 
 
<center><math> Q(t)= (Q_{X},Q_{y})=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot (-sen(\frac{t^2}{2})) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot cos(\frac{t^2}{2})] </math> </center>
 
 
Parametrizamos el centro de la circunferencia osculatriz con la siguiente fórmula:
 
 
<center><math> c(t)=(Q_{X}+R \cdot cos(t),Q_{y}+R \cdot sen(t) t ∈(0,2\pi) </math></center>
 
 
<center><math> c(t)=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds-sen(\frac{1}{2})+1 \cdot cos(t) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+cos(\frac{t^2}{2})+1 \cdot sen(t)] </math></center>
 

[[File:1.6666|410px|miniaturadeimagen|right|'''Circunferencia osculatriz''' ]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
xc = arrayfun(x, t);
yc = arrayfun(y, t);
t1= linspace (0, 1/2, 20);
x1= @(t1) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t1);
y1= @(t1) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t1);
x1= arrayfun (x1, 2);
y1= arrayfun (y1, 2);
P=[ x1, y1 ];
fprintf('El punto de la curvatura es %f,%f \n',P);
n=[-sin(1/2),cos(1/2)];
k=1;
R=1/2;
fprintf('El radio de la curvatura es %d \n',R);
Q=P+R*n;
Qx=x1+R*(-sin(1/2));
Qy=y1+R*(cos(1/2));
fprintf('El centro de la circuferencia es %f,%f \n',Q)
tt=linspace(0,2*pi,40);
xx=R*cos(tt)+Qx;
yy=R*sin(tt)+Qy;
figure
hold on
plot(xc,yc,'m','linewidth',1)
%punto p
plot(x1,y1,'*k','linewidth',1)
plot(xx,yy,'b')
hold off
title('Circunferencia osculatriz.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

}}

= '''''Helicoide cónico''''' =
=== '''Dibujo de la superficie''' ===
En este apartado se va a dibujar la superficie reglada asociada a la parametrización de una curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector director eρ. Esta superficie se conoce habitualmente como helicoide cónico
 
*La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>

Porque el vector director eρ en cartesianas es <math> cos(\theta) \vec i + sin(\theta) \vec j </math> y ρ controla la magnitud de los segmentos en la dirección de eρ.

[[File:Graficaej9.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la superficie''' ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('winter');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Superficie Reglada de la Hélice Cónica');
grid on;
}}

=== '''Aplicaciones en ingeniería''' ===

= ''''' Masa de la superficie reglada.'''''=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior está descrita por la función:
<center>
<math>f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>
</center>
Una vez conocida la superficie y la densidad podemos calcular su masa utilizando la siguiente expresión:
<center>
Masa <math>S =\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f({x(u,v),y(u,v),z(u,v)})\cdot \left | \bar{r_u}\times\bar{r_v} \right |dudv</math>
</center>

Gracias a los cálculos realizados anteriormente podemos calcular la masa :
<center><math>
\phi (u,v)\begin{cases}
x=cosv+u\cdot cosv \\
y=senv+u\cdot senv\\
z=v
\end{cases}
</math>
</center>

El vector de posición esta dado por:

<center>
<math>
\vec{{r}}(u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\vec{i}+(sinv+u\cdot sinv)\vec{j}+v\vec{k}
</math>
</center>

Así que deberemos aplicar la siguiente fórmula para obtener rᵤ y rᵥ:

<center>
<math>
\vec{{rᵤ}}(u,v)=\frac{\partial\vec{r}}{\partial{u}} = cosv \vec{i}+sinv\vec{j}
</math>

<math>
\vec{{rᵥ}}(u,v)=\frac{\partial\vec{r}}{\partial{v}} = -(sinv+u\cdot sinv) \vec{i}+(cosv+u\cdot cosv)\vec{j}+\vec{k}
</math>
</center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La clotoide (Grupo 40)

2024-11-27T16:56:49Z

Pedro.sanchezpe:

La clotoide (Grupo 40)

2024-11-27T16:54:35Z

Pedro.sanchezpe: